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3.4 导数中的构造问题
f(x)与x 构造常见的形式
(1)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x)．
(2)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝f (x)
x ．
(3)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造h(x)＝xnf(x)．
(4)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造h(x)＝f (x)
x
n ．
f(x)与ex构造常见的形式
(1)对于f′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x)．
(2)对于f′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝f (x)
e
x ．
(3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造h(x)＝enxf(x)．
(4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造h(x)＝f (x)
e
nx ．
f(x)与sinx，cos x 构造常见的形式
(1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f(x)sin x；
(2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f (x)
sin x ；
(3)对于f′(x)cos x－f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f(x)cos x；
(4)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f (x)
cos x ．
考点一 利用f(x)与xn构造
考点二 利用f(x)与ex构造
考点三 利用f(x)与sin x,cos x 构造
考点四 利用构造解不等式
考点五 利用构造比较大小
考点一 利用f(x)与xn构造
1．（25-26 高三上·北京·期中）已知定义在
上的函数
，其导函数为
，当
时，
，
若
，
，
，则
由小到大为_______．
【答案】
【分析】依题意令
，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小．
【详解】设
，
，
当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
，即
，
所以
．
2．（24-25 高三上·北京·月考）已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，
，
，则
按从小到大排列为______．
【答案】
【分析】构造辅助函数
，利用函数的单调性和奇偶性比较大小.
【详解】因为
是奇函数，所以
令
，则
，
所以
是偶函数
因为当
时，
，
所以当
时，
，所以
在
上单调递增，
因为
，而
，
所以
故答案为：
3．（25-26 高二上·河北衡水·期末）已知函数
是定义在区间
上的可导函数，其导函数为
，且满
足
，则不等式
的解集为___________．
【答案】
【分析】构造函数
，利用导数及题目信息证明函数在
上单调递增，所求不等式可化为
，利用单调性解不等式即可求出答案.
【详解】因为
且
，所以
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，
对于不等式
，
整理得
，即
，
根据函数的单调性及其定义域得
，
解得
，
所以不等式
的解集为
．
故答案为：
.
4．（25-26 高三上·山东枣庄·期中）设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，
，并且
，则不等式
的解集为_________．
【答案】
【详解】函数
是定义在
上的可导函数，且
，
所以令
，所以
，
所以函数
是定义在
上单调递增，且
，
所以
，
所以
，解得
，
所以不等式
的解集为
考点二 利用f(x)与ex构造
5．（2026·全国·模拟预测）已知
是可导函数，且
对于
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造
，求导，得到其单调性，从而结合
得到答案.
【详解】设
，则
．
因为
，所以
，
所以
是R 上的增函数，
因为
，
所以
，
即
，
即
．
故选：C．
6．（25-26 高三上·甘肃金昌·期中）（多选）函数
满足
，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件构造新函数，利用函数导数与函数的单调性，逐项比较大小即可.
【详解】令
，由
，
又
且
，
所以
，所以函数
在
上单调递减；
对于A，因为
，所以
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，所以
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，所以
，故D 正确；
7．（25-26 高三上·北京·期中）设
是定义在
上的可导函数，且满足
，对任意的正数
，下面不
等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】构造函数
，则
，
因为
，所以
，故
，
因此
在
上单调递增，
所以对于任意的正数
，有
，即
，即
，
又因为
，所以
，结合选项可知B 正确.
8．（25-26 高二上·河南商丘·期末）已知定义在
上的函数
，其导函数为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，利用导数结合已知确定单调性，进而比较大小即得.
【详解】令函数
，则
，函数
在
上单调递增，
则
，即
，所以
.
故选：B
考点三 利用f(x)与sin x,cos x 构造
9．（25-26 高三上·贵州毕节·阶段检测）（多选）定义在
上的函数
，已知
是它的导函数，且恒有
成立，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】研究题中所给函数
的性质，利用导数除法法则求出
，由题得
推出
在
单调递减，再根据自变量大小比较
、
、
的大小，代入余弦值化简整理，进而判断选项正
误.
【详解】已知
，根据商的求导法则求导得：
.
由题知
，因此
在
上单调递减.
因为
，结合单调递减性得：
.
由
，即
， 整理得
.
由
，即
， 整理得
.
综上，选项A、B 错误，选项C、D 正确.
10．（25-26 高三上·四川广元·月考）（多选）已知
是函数
的导函数，
，且对于任意的
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，设
，利用条件判断其在
上单调递增，且为偶函数，结合各选项的具体自
变量的值，利用上述函数的性质即可逐一判断.
【详解】设
，则
，
因对于任意的
满足
，
即
在
上恒成立，故函数
在
上单调递增.
又
，则
，即函数
为偶函数.
对于A，因
，且
，则
，
即
，于是，
，化简得
，故A 正确；
对于B，因
，且
，则
，
即
，于是，
，化简得
，即
，故B 正确；
对于C，因
，且
，则
，即
，
于是，
，化简得
，故C 错误；
对于D，因
，且
，则
，即
，
于是，
，化简得
，故D 正确.
故选：ABD.
11．（25-26 高三上·河北唐山·期中）已知
上的奇函数
，其导函数为
，且当
时，
，若
，则a 与b 的大小关系为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数
，确定函数
的奇偶性，再利用导数确定
在
上单调
性，进而比较大小.
【详解】令函数
，由
为
上的奇函数，
得
，即函数
是偶函数，
当
时，
，则
，
函数
在
上单调递减，
，
，
由
，得
，因此
，
所以
.
12．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在
上的
的导函数为
，且
，则下列判断中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】观察题给式子构造函数
，结合已知条件利用导数得到
的单调性，然后利用单调性逐项
判断即可.
【详解】设
，则
，
因为
，所以
，
单调递减，
易知
，所以
，即
，A 错误；
因为
，所以
，而
，
所以
且有
，所以
，B 错误；
易知
，所以
即
，C 正确；
易知
，所以
即
，D 正确.
考点四 利用构造解不等式
13．（24-25 高三上·湖北黄冈·期末）已知定义在
上的函数
，其导函数为
，若
且
，
则不等式
的解集为______.
【答案】
【分析】构造
，
，求导，得到其单调性，结合
，从而得到
，得
到
，求出解集.
【详解】令
，
，
则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
其中
，
故
，所以
，
又
，解得
.
故答案为：
14．（24-25 高三上·广东潮州·月考）定义在
上的函数
的导函数为
，当
时，
且
，则不等式
的解集为__________．
【答案】
【分析】构造
，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可．
【详解】解：令
则
，
，
当
时，
，
所以当
时，
，
，故
在
上为减函数，
令
，
则
，
所以
，
故不等式
的解集为
故答案为：
15．（2025·吉林长春·模拟预测）已知定义在
上的函数
的导函数为
，且对
都有
，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【分析】根据题意，构造新函数，分析新函数的单调性，从而得到不等式
的解集.
【详解】令
，
，则
.
因为对
都有
，所以
，所以函数
在
上单调递增.
因为
，所以不等式
，即
的解集为
.
故不等式
的解集为
.
故答案为：
.
16．（2025·四川遂宁·二模）定义在
上的函数
满足
，当
时，
恒成立.若
，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】构造函数
，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数
在
上单调
递增，进而可得出该函数在
上单调递减，将所求不等式变形为
，可得
，可
得出
，由此可解得实数的取值范围．
【详解】由
可得
，
构造函数
，则
，
所以，函数
为偶函数，
当
时，
，
所以，函数
在
上单调递增，则该函数在
上单调递减，
，
由
得
，
即
，即
，则
，
由于函数
在
上单调递减，所以，
，解得
，
因此，实数的取值范围是
．
故答案为：
．
考点五 利用构造比较大小
17．（25-26 高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先将
的大小比较转化为比较
，构造函数
，即比较
，求导分
析函数的单调性可得结果.
【详解】依题意，
，
，
，
令
，
，则
，所以当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
因为
，所以
，即
，即
.
18．（25-26 高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对于
，通过构造函数
，求导确定单调性可判断，对于
，通过构造
，求导确定单调性可判断，进而可解题.
【详解】由
，构造
，
则
，
，
所以
在
上单调递增，
故
，即
，故
.
由
，
构造
，
则
，
，
所以
在
上单调递增，
故
，即
，故
.
综上，
.
19．（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，可判断
大小，构造函数
，求导确定单调性，可判断
大小，即可求解.
【详解】因为
，所以
，则
．
令
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
则
，
则
，即
．故
．
20．（2026·河北沧州·三模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，求导可得
，可得
，令
，利用导数
可得
，进而判断
.
【详解】令
，则
，
当
时，
，即函数
在
上为减函数，
当
，
，即函数
在
上为增函数，
所以
，所以
，当且仅当
时取到等号，
令
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
令
，求导得
，
令
，求导得
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
在
上单调递增，所以
，
令
，则可得
，
所以
，所以
，
所以
.
1．（24-25 高三上·安徽六安·月考）（多选）
是定义在非零实数集上的函数，
为其导函数，且
时，
，记
，
，
，则错误的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】令
，求函数的导函数，可得
在
上单调递减，再根据指数函数、对数函数的性质
判断
、
、
的大小，最后根据函数的单调性比较大小即可.
【详解】令
，得
，
由
时，
，得
，
在
上单调递减，
又
，
，
，
可得
，故
，故
.
故选：ABD.
2．（25-26 高三上·河南·期中）（多选）已知定义在
上的可导函数
满足
，当且
仅当
时，等号成立，
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】构建
，求导，结合题意分析可知
在
上单调递增，结合单调性分析判断.
【详解】构建
，可知
的定义域为
，
则
，
由题意可知：
，当且仅当
时，等号成立，
所以
在
上单调递增，
则
，
即
，
可得
，
，
，
，
故BCD 正确，A 错误.
故选：BCD.
3．（2026·河北衡水·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过
，
确定
是最小的，然后通过变换
，
，构造函数
，利用导数
求解函数的单调性，从而确定
的大小，从而得到答案.
【详解】
，
，
，
又
，
，令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
所以
，即
，
所以
，所以
，所以
，
又
，
．所以
，所以
，故A 正确.
4．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）已知定义在
上的函数
满足
，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，则
，所以
在
上单调递增，
则
，即
，所以
.
5．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
在其定义域
内可导，且满足
，则对任意的实数
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接构造函数
，再用导数判断函数的单调性，进而可判断AC 选项，对BD 选项通过举反例
可得.
【详解】令
，则
，所以
在
上单调递减，
因为
，所以
，即
，故A 错误，C 正确；
对于BD，举反例，取
，则
，
若
，则
，得
，
若
，则，
，得
，
所以BD 选项无法对任意
成立，故BD 错误.
6．（24-25 高三上·山东聊城·期中）（多选）定义在
上的函数
，已知
是它的导函数，且恒有
成立，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据不等式结构特征构造函数
，研究该函数的单调性即可求解.
【详解】令
，则
.
由已知可得
，即
在
上单调递减．
所以
，
故
，
，即C、D 选项正确．
选项B，因为
，所以
，
若
为负，则
，
所以不等式
不成立.
选项A，由
，
可得
，
无法推出
，因此选项A 错误.
7．（25-26 高三上·全国·课堂例题）（多选）设函数
的导函数为
，且当
时，
，下列判断中，一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】构造函数
，结合已知条件判断
的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．
【详解】因为
对于任意的
满足
，令
，
则
，
所以
在
上单调递减．
又因为
，所以
，因此对任意
，有
，
．
因为
，所以
，则
化简可得
，所以选项A 正确；
因为
，所以
，则
化简可得
，所以选项B 正确；
因为
，
，即
，
又因为
，所以
，所以选项C 错误；
因为
，所以
，则
，
化简可得
，所以选项D 错误．
故选：AB．
8．（2026·河南·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别构造函数
，
，利用导数分析两个函数的单调性，即
可得
及
关系，从而得到答案.
【详解】令
，则
.
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
又
，所以
所以
，即
.
令
，则
，
令
，则
.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
所以
恒成立，即
恒成立，所以
是减函数，
所以
，即
，即
．
综上所述，
.
9．（2026·贵州毕节·三模）已知函数
（
且
），若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断函数
的奇偶性，再根据导数判断单调性，先利用基本不等式求
的最小值，再估算
的范围，以及确定
的数值范围，得到三个自变量的大小关系，进而结合单调性判断
的大小关系.
【详解】
，
因此
是偶函数，故
.
当
时，
对任意
，
，
，
因此
对
恒成立，
在
上单调递增.
，
而
，因此
，
即
，
结合
在
上单调递增可得
.
10．（25-26 高三上·海南·阶段检测）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系，求出的单调减区间，进而利用单调性比较大小即可.
【详解】令
，则
.
由
，得
.
所以当
时，
，
；当
时，
，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
因为
，所以
，
即
.
11．（25-26 高二上·浙江衢州·期末）已知奇函数
的定义域为
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断.
【详解】令
，因为当
时，
，
所以
，所以
在
单调递增，
定义域为
，对
，
且
，所以
是偶函数，
对于A、B：因为
，即
，所以
，A、B 错误；
对于C：因为
，即
，所以
，C 正确；
对于D：因为
，即
，所以
，D 错误.
故选：C.
12．（25-26 高三上·吉林长春·期中）已知定义在
上的函数
，
，若
，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，求导确定单调性，即可求解
【详解】设
，对
求导得：
，
因为
，得
，因此
是定义在R 上的单调递减函数，
又
，得
，代入即得
.
13．（25-26 高三上·江西萍乡·期中）（多选）已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
在
处取得最小值
C．
时，
恒成立
D．
【答案】ACD
【分析】令
，利用导数求出
的单调性，即可判断A；结合A，可得
，
为常
数，进而可得
，利用导数确定其单调性及最值，即可判断B；利用对数函数的性质可判断C；根
据函数的解析式，利用放缩或图象法判断D.
【详解】因为
，
所以
，
令
，
则
，
令
，得
，解得
，
所以当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减.
对于A，因为
，
所以
，即
，
所以
，故A 正确；
对于B，由A 可知
，
所以
，
为常数，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
令
，得
，
所以当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
所以
在
处取得最大值，故B 错误；
对于C，因为
，
所以当
时，
恒成立，故C 正确；
对于D，由B 可知
，且
在
处取得最大值，
又因为
，
，
所以
，故D 正确.
14．（25-26 高一下·江西抚州·期中）已知函数
是定义在R 上的偶函数，在
上单调递减，若
，
，
，则a，b，c 大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用偶函数性质和单调性比较函数值大小.
【详解】
是
上的偶函数，故
，又
在
单调递减，
，得
.
，得
.
，得
.
由
，
在
单调递减，
可得：
，
即
.
15．（2026·河南周口·三模）已知函数
的定义域为
，
，且
在
上单调递增，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由
可得函数
关于点
中心对称，再根据在
上单调递增，结合对
称性可得在
上也单调递增，最后转化在一个单调区间上利用单调性比较大小即可.
【详解】解：由
，则
，
令
，则
，所以
，
因此函数
关于点
中心对称，
因为
在
上单调递增，结合
又关于点
对称，
所以
在
上也单调递增.
由
，则令
，所以
，即
.
因为
，
在
上单调递增，
所以
，即
.
