文档文本内容
3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
7 大考点汇总
考点01 导数的概念及其应用
考点02 导数的计算
考点03 求在曲线上一点处的切线方程
考点04 求过一点的切线方程
考点05 切线条数的问题
考点06 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题
考点07 切线的其他用法（距离最值）
题型专练
考点01 导数的概念及其应用
1．已知
，则
______．
【答案】
【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果．
【详解】
．
2．已知三角函数
（
，
，
，
），若
，当
或
时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4 时用时为0.1 秒，则
__________．
【答案】
【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出
，结合初速度为0，求出
，结合第一次达
到最大值的时间构造方程求出
，进而求出
解析式．
【详解】由题意知，
和
时，导数为0，即
的最小值为0，最大值为4，
又
，
所以
，解得
，故
；
已知初速度为0，则
，解得
，
已知
，则
，
速度第一次达到4 时用时
秒，则
，
即
，则
，
解得
，
解得
，当
时取得最小正数
，
，
此时
．
3．已知函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】A
【分析】由题设结合导数定义可得答案.
【详解】
.
4．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量
随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量
与时间之间满足关系式
，其中
是臭氧的初始含量，当
时，臭氧含量的瞬时变化率为____________．
【答案】
【详解】由
，则
，
所以当
时，臭氧含量的瞬时变化率为
．
5．已知函数
满足
，则
（ ）
A．4
B．-4
C．-2
D．2
【答案】B
【分析】由题设结合导数定义可得答案.
【详解】
.故选：B.
6．若一个质点在时间段
内相应的平均速度为
，则该质点在
时的瞬时速度是（ ）
A．-6
B．6
C．3
D．-3
【答案】B
【详解】因为当
无限趋近于0 时，
无限趋近于常数6，
所以该质点在
时的瞬时速度为6.
考点02 导数的计算
7．以下求导运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】选项A，
，故选项A 错误；
选项B，
，故选项B 正确；
选项C，
，故选项C 正确；
选项D，
，故选项D 正确.
8．已知
，则
______．
【答案】
【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可.
【详解】对
求导，
可得
，
所以
，解得
.
9．（多选）下列求导正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 正确；
对于C，
，C 错误；
对于D，
，D 错误.
10．已知函数
，则
______．
【答案】
【详解】因为
，于是
．
11．下列求导数的运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导数公式及简单复合函数求导逐项判断即可．
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确．
12．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出导函数，然后令
即可求解.
【详解】对函数求导得
，令
得
，解得
.
考点03 求在曲线上一点处的切线方程
13．曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，则
，当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
14．函数
的图象在
处的切线在
轴上的截距为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，令
可得
轴上的截距.
【详解】
，
，又
，
所以
处的切线为
，
令
，可得
，
故函数
的图象在
处的切线在
轴上的截距为
.
15．曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求切点坐标，再求函数在切点处的导数值得到切线斜率，最后由点斜式整理得到切线方程.
【详解】函数
的定义域为
，切点为
：
得
，即切点为
；
，代入
得斜率
；
切线方程为
，整理得
.
16．函数
在点
处的切线的斜率为________．
【答案】
【详解】由
，得
，
则
，即函数
在点
处的切线的斜率为
.
考点04 求过一点的切线方程
17．已知
是函数
的导函数，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若曲线
存在过点
的切线，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先对已知函数式令
，推出
简化原式，再对
求导，代入
利用
解出
，进而求出
的解析式.
（2）先求出函数导数，设出切点写出切线方程，把定点(t，0)代入切线方程整理出关于切点横坐标的表达
式，转变成一元二次不等式问题得到实数的取值范围.
【详解】（1）已知
，令
，得
.
即
，解得
.
因此
.
对
求导：
.
令
，结合
，得
，即
，解得
.
代入得
的解析式：
.
（2）由（1）得
，
.
设切点为
，切线斜率为
，切线方程
.
因为切线过点
，代入得
.
约去
并整理得一元二次方程
.
曲线存在这样的切线等价于关于
的一元二次方程有实数解.
故判别式
，化简得
。
解不等式得
或
，所以实数的取值范围是
.
18．曲线
过点
的两条切线的方程为________，________.
【答案】
【分析】分
和
，设切点，得出
。结合点斜式求出
的切线方程.
【详解】当
时，
，
设切点为
，所以切线斜率为
，所以
，
所以切点为
，即得切线方程为
，所以切线方程为
，
当
时，
，
设切点为
，所以切线斜率为
，所以
，
所以切点为
，即得切线方程为
，所以切线方程为
；
19．过原点的直线与曲线
相切，则切点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设曲线切点为
，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到
，解出
后代入曲
线方程即得切点坐标.
【详解】设切点坐标为
，
.
由
，求导得
，则切线的斜率
.
因为切线过原点
和切点
，所以斜率
.
又切点在曲线上，则
，即得
.
解得
，即
.
将其代入曲线方程得
，所以切点坐标为
.
20．过点
的直线与曲线
相切，则直线的斜率为（ ）
A．1
B．-1
C．3 或1
D．3 或
【答案】D
【分析】分切点在
处与不在
处，利用导数的几何意义求解．
【详解】解：因为
，所以
，
，
当
为切点时，
；
当
不为切点时，设切点为
，
，
所以
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，
所以
，
即
，即
，
解得
或
（舍去），所以切点为
，
所以
．
综上所述，直线l 的斜率为3 或
．
考点05 切线条数的问题
21．已知函数
，过原点作函数
的切线，则可作的切线条数为（ ）
A．无数条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
【答案】B
【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过原点的切线方程即可.
【详解】设过原点作函数
的切线的切点为
，
而
，则
，
因此切线方程为
，
由切线过原点
，得
，
则
或
，当
时，切线方程为
；
由
，得
或
，
当
时，切线方程为
；
当
时，切线方程为
，
所以过原点可作函数
图象的切线条数为3.
22．函数
过点
的切线条数为（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】B
【分析】讨论当点
为切点时与当点
不是切点时，利用导数的几何意义即可求解．
【详解】由函数
，则
，
当点
为切点时，则
，即切线的斜率
，
所以切线的方程为
，
当点
不是切点时，设切点
，则
，
即
，即
，
解得
或
（舍去），所以
所以切线的方程为
，即
．
综上，函数
过点
的切线条数为2 条.
故选：B
23．过点
可作曲线
的切线的条数最多为______.
【答案】
【分析】设切点坐标为
，利用导数求出切线方程，将点
的坐标代入切线方程，求出
的值，即可得出结果.
【详解】设切点坐标为
．
因为
，所以
，则切线斜率为
，
所以切线方程为
．
又点
在切线上，所以
，解得
，
故过点
可作条切线与曲线
相切．
故答案为：.
24．函数
过原点的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为
，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况
进行讨论可得.
【详解】
，
，
设切点为
，切线方程为
，
将原点代入切线方程可得
，
所以
，
化简可得
，解得
或
，
当
时，
，
，切线方程为
；
当
时，解得
，当
为偶数时，
对应的切线方程为
；
当
为奇数时，
对应的切线方程为
；
所以共有3 条不同的切线.
故选：C
25．过点
作曲线
的切线，则切线条数最多为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设切点为
，根据条件，利用导数的几何意义，得到
，构造函数
，利用导数与函数单调性间的关系，得到
在区间
上单调递增，
利用零点存在性原理，可得
只有一解，即可求解.
【详解】设切点为
，则
，
又
，所以切线斜率为
，
又切线过点
，所以
，整理并化简得
，
令
，则
，
令
，则
，
易知
时，
，
时，
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，又
，
，
所以存在唯一
，使
，所以切线只有一条，
故选：B.
26．曲线
过点
的切线条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】由题意，设切点
，利用导数求得切线方程
，进而
，
设
，利用导数研究函数
的零点个数，即为所求切线条数.
【详解】首先判断点
是否在已知曲线上.
因为
，所以点
不在函数
的图象上.
由题意知，
，
设曲线过点
的切点为
，
则
(1)
(2)
切线的方程为
，
因为切线过点
，代入切线方程：
(3)
由
得
整理得
.
设
，则
，
令
，
或
，
所以
在
上单调递减，在
、
上单调递增，
则
的极大值为
，极小值为
，
且
，
故
的图象与
轴有3 个不同的交点，即方程
有3 个不同的根，
所以曲线过点
的切线有3 条.
故选：D
考点06 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题
27．曲线
与
的公切线的条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得
，令
，构造
，由导数求解方程根的个数即可求解.
【详解】设
的切点为
，
的切点为
，
，
，
所以
在
处的切线方程为
，即
，
在
处的切线方程为
，即
故
且
，
故
，即
，
令
，构造
，
则
，
当
在区间
单调递增，
在区间
单调递减，
故
，且当
，
，
故
有两个不相等的实数根，
故公切线的条数为2，
故选：C
28．已知曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】B
【详解】设公切线与
的切点为
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
则
，得
.
29．已知曲线
和
有两条公切线，其中一条为直线
，则另外一条公切
线的方程为________．
【答案】
【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为
，结合导数的几何意义求出
，设出另一条切线的两条曲
线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可.
【详解】对
，求导得
，
设切点为
，切线斜率
，解得
，则切点为
，切线方程为
，满足条件.
对
，求导得
.
设切点为
，则切线斜率为
，所以
，故切点坐标为
，
代入切线
中得，
，则
.
设另一条公切线与
相切于
，则切线方程为
，
即
.
设该公切线与
相切于
，则切线方程为
，
即
.
所以
，解得
或
.
当
时，对应切线方程为
，即已知切线方程；
当
时，对应切线方程为
.
故另外一条公切线的方程为
.
30．函数
在点
处的切线与
平行，则
___________．
【答案】1
【分析】求出函数
的导数，再利用导数的几何意义，结合已知求出
.
【详解】函数
，求导得
，则
，
由函数
在点
处的切线与
平行，得
，
此时
，切点
不在直线
上，符合题意，所以
.
故答案为：1
31．已知函数
的图象在点
处的切线与直线
垂直，则实数m 的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解.
【详解】函数
，求导得
，则
，
由函数
的图象在点
处的切线与直线
垂直，得
，
即
，所以
.
32．若曲线
在
处的切线也是曲线
的切线，则
__________．
【答案】
【分析】先求出曲线
在
处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的
几何意义联立方程求解参数
.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，导数值
，即切线斜率为；
由点斜式得切线方程为
，整理为
，
设直线
与
相切于点
，
对
，求导得
，
由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即
，解得
，
因此切点坐标为
，又切点在切线
上，
代入得：
，解得
.
考点07 切线的其他用法（距离最值）
33．已知点
在函数
的图象上，点
在直线
上，则
两点之间距离的最小值
是___________．
【答案】
【详解】要使得
两点之间的距离最小，可使直线与平行，且直线与曲线
相切时，
与的距离即
两点之间的最小距离，
由
，解得
．
由
得直线的方程为
，即
，
则与的距离
，
即
两点之间距离的最小值是
．
34．函数
图象上的点到直线
的距离的最小值为___________.
【答案】
/
【分析】求解
导数令
求解
，可得曲线
在切点处的切线与直线平行，再由两平行线之间
的距离公式求解即可.
【详解】将函数
求导得
令
，得
（负值舍去），又
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
依题意，该函数图象上的点到直线
的距离的最小值即直线
与
的距离
，
因为
则函数
图象上的点到直线
的距离的最小值为
.
35．已知函数
与函数
互为反函数，若P，Q 分别为它们图像上的两个动点，则这两点之间
距离的最小值为________.
【答案】
【分析】先判断出
与
的图像的对称性，然后结合导数与点到直线的距离公式求得最小值.
【详解】由题可得，
的反函数为
，互为反函数的两函数图像关于
对称，
所以P，Q 两点最小距离等于其中一个函数图像到直线
最小距离的两倍.
设
上与
平行的切线的切点为
，
，
所以
，
，
则切点为
，
36．点M 是曲线
上的动点，则点M 到直线
的距离的最小值为________．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义及点到线的距离计算.
【详解】因
到直线的距离最小，故过
与直线
平行的直线与曲线
相切，
由题意可知：
,令
，得
易得函数
在
单调递增，且
为零点.
此时点M 的坐标为
.
此时M 到直线的距离
，
所以点M 到直线
的距离的最小值为
.
37．（1）设
（
为常数），曲线
与直线
在
点
相切.求
的值.
（2）曲线
在
处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为
，求直线l 的方程.
【答案】（1）
，
；（2）
或
【分析】（1）由题意可得
，利用导数的几何意义可得
，计算即可求解；
（2）求导，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据平行线间距离公式列式计算即可求解.
【详解】（1）由曲线
过
点，可得
，故
，
由
，得
，
则
，
此即为曲线
在点
处的切线的斜率，
由题意，得
，故
.
（2）设
，则
，
切线方程为
，即
.
因为直线l 与切线平行，所以可设直线l 的方程为
.
两平行线间的距离
，解得
或
.
故直线l 的方程为
或
.
38．曲线
上的点到直线
距离的最小值为___________．
【答案】
【分析】求出曲线
的斜率为
的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
的定义域为
，
求导得
，令
得
，即
，解得
或
（舍去），
当
时，
，此时切点为
，
所以曲线
到直线
的距离的最小值即为切点
到直线
的距离，
即为
，
故答案为：
