3.5 导数中与零点有关的问题
考点一 利用导数判断、证明或讨论函数零点的个数
考点二 由函数零点的个数求参数范围
考点三 隐零点的问题
考点一 利用导数判断、证明或讨论函数零点的个数
1．（25-26 高二下·江西南昌·期中）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】求导
，令
，继续求导可得
有唯一解
，且
，进而可
得
的单调性和最值，结合单调性及最值判断零点个数即可．
【详解】
，令
，
，解得
或
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
，
，
又
，
有唯一解
，且
，即
，
则
时，
，即
，
单调递减，
时，
，即
，
单调递增，
，
又x0∈(1,2)，
，
即
，又
，
所以
在
和
分别存在一个零点，即
零点个数为2．
2．（25-26 高二下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数
，则方程
的根的个数为
______．
【答案】3
【分析】根据函数
解析式求得导函数
并令
，由导函数符号判断函数
的单调性和函数值的
符号，画出函数图象；将方程
视为一元二次方程，解方程求得
的值，结合函数图象即
可求解．
【详解】由函数
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增，
又当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时取得极小值，
；当
时，
，
所以函数
的大致图象如下所示；
又
，
解得
或
，
由函数图象可知，方程
的根的个数为3．
3．（2026·江苏苏州·三模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，
（
为常数），
①证明：当
时，函数
存在两个零点
，
；
②在①的条件下，若
，证明：
.
【答案】(1)当
时，
在
上单调递增，当
时，
在
时单调递减；，
在
时单调递增；
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）求导，分
、
两种情况结合导数的符号判断单调性即可；
（2）①利用导数分析函数
的单调性，根据单调性得到极值，利用极值及零点存在定理证明即可；
②法一：先分析得到
、
，再利用函数
的单调性
，进而得证；法二：由①可知
，则
，进而得到
，结合
，然后可得
即可．
【详解】（1）
，
当
时，
，所以
在
上单调递增.
当
时，
，
，
单调递减；
，
，
单调递增；
（2）①
时，
，
，
令
，解得
或
（舍去），
所以当
时，
，
单调递减；
当
，
，
单调递增，
因为
，
，所以
，
又因为
，
在定义域内连续不间断，
所以
，使得
，
令
，
，
所以
在
上单调递增，所以
，
即
，所以
，
又因为
，
在定义域内连续不间断，
所以
，使得
，
综上所述，当
时，
存在两个零点
，
；
②法一：因为
，所以由①可知
，
由
，即
，
，所以
，
因为
，
所以
，即
，即
，
法二：由①可知
，所以
，
所以
，所以
，
又因为
，所以由①可知
，
所以
．
4．（2026·山东德州·三模）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)当
时，讨论
在区间
上零点的个数．
【答案】(1)
的极大值为
，无极小值
(2)
(3)3 个零点
【分析】（1）求导分析函数单调性，依据单调性确定极值点，算出对应极值；
（2）分离参数构造新函数，求导判定单调区间，求出函数最小值，进而确定参数取值范围；
（3）拆分区间分段讨论函数符号，借助导数研究单调性，统计区间内零点总数．
【详解】（1）由
，则
，
，
当
时，
；当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值；
（2）
，此时
，
法一：分离参数法，
从而
，
令
，则
，
所以
；
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
因此
，故
的取值范围为
；
法二：必要性探路，
，
令
，
，
下证：
，
时，
恒成立，
由一次函数
在
上递减，
则
，
在
和
上
恒成立，且
时
，
所以
恒成立，故
的取值范围为
；
（3）
在区间
上有3 个零点，
理由如下：
由于
，所以
是函数
的一个零点，
，
①当
时，此时
恒成立，又
恒成立，
从而
恒成立，所以
在区间
上没有零点；
②当
时，此时
，
，
设
，
，
由于
恒成立，所以
，即
在
上单调递减，
从而存在
使得
，
即
在区间
上递增，区间
上递减，从而
，
又
，
所以
在
有唯一零点，即在
上有唯一零点，
③当
时，此时
，
，
所以
从而
，
由于
，
，
，所以
，
，
又
，从而
在
上恒成立，
所以
在区间
上单调递减，
因为
，
，
因此
在区间
上有唯一零点，
综上所述，函数
在区间
上有3 个零点
5．（2026·广西崇左·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的零点个数；
(3)若
有3 个零点
，
，
，证明：
.
【答案】(1)
(2)当
时，函数
有且仅有1 个零点；
当
时，函数
有3 个零点.
(3)证明见详解
【分析】（1）求导，可得
，
，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）求导可得
，根据函数定义域和
判别式分
和
两种情况讨论，判断函数单调性并
结合
分析零点个数；
（3）可证
，分析可知
，
，
，结合基本不等式分析证明.
【详解】（1）若
，则
，
，
可得
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程
.
（2）由题意可知：函数
的定义域为
，且
，
对于方程
，则
，
因为
，若
，则
；若
，即
，则
；
当
时，则
，即
，
可知函数
在定义域
内单调递增，
且
，所以函数
有且仅有1 个零点；
当
时，则
，可知
有2 个不相等的实数根
，
，
且
，则
，
若
，则
，即
；
若
或
，则
，即
；
可知函数
在
，
内单调递增，在
内单调递减，
则
，且
，即
，
因为
，
令
，则
，
可知
在
内单调递减，则
，可得
；
又因为
，
所以函数
有3 个零点；
综上所述：当
时，函数
有且仅有1 个零点；
当
时，函数
有3 个零点.
（3）若
有3 个零点
，
由（2）可知：
，
，
因为
，
又因为
，则
，且
，
，则
，
所以
.
6．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，证明：关于
方程
在区间
上有两个根；
(3)在（2）的条件下，设方程
的两个根为
，
，其中
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接利用导数判断，分四种情况：
，
，
，
讨论可得；
（2）构造函数
，将方程的根转化为函数的零点问题，显然函数有一个根
，再用零点存在
性定理判断另一个零点可得；
（3）由（2）知
，根据函数单调性，要证
只需证
，再通过换元
，即只需证
，再构造函数
，再令
，用导数判断
，从而可得
，进而可得所证不等式.
【详解】（1）由函数
，所以函数的定义域为
，
① 当
时：
对
恒成立，
时
，
单调递减；
时
，
单调递增.
② 当
时，当
时
，
单调递增；当
时
，
单调递增；当
时
，
单调递减；
③ 当
时：
恒成立，
在
单调递增；
④ 当
时：当
时
，
单调递增；当
时
，
单调递增；
时
，
单调递减；
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增；
在
上单调递减；
当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
（2）令
，显然
，
，所以方程
有一个根
.
由（1）知当
时，
在
，
上单调递增；
在
上单调递减；
所以
是极大值，
是极小值，且
，即
.
又因为
，
令
，则
，所以
在
上单调递减，
所以
，即
，
由零点存在定理，
在
存在唯一一个零点
，
因此
在
上共有两个不同零点，即方程
在
上有两个根.
（3）由（2）知
，且
在
单调递增，且
因此要证
，只需证
.
令
，则
，故只需证明
.
令
，
,
令
，
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，故
，即
，
所以
，因为
在
单调递增，因此
.
考点二 由函数零点的个数求参数范围
7．（2026·江苏苏州·三模）已知
，若
有两个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
令
，
，转化为
与
的图象有
两个交点，利用导数求出
的图象可得答案.
【详解】令
，
得
，
令
，
，
即
与
的图象有两个交点，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
有极小值，为
，
当
时，
有极小值，为
，
当
时，
，
再由
可得
的大致图象如下图:
所以当
时，函数
有两个零点.
8．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数
．
(1)记
，若
在定义域内单调递减，求
的最小值；
(2)若
有两个不同的零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
【答案】(1)1
(2)（i）
（ii）证明见解析
【分析】（1）由
恒成立，通过分离参数，结合基本不等式求最值，即可求解；
（2）（i）求导，通过讨论
和
，确定单调性，进而可求解；（ii）由（i）将
，转换成
，结合单调性再转换成
，构造函数
，求导确定单调性，进
而可证明.
【详解】（1）由题得
，
则
．
因为
在定义域内单调递减，所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，则
．
因为
．当且仅当
时等号成立，所以
，则
的最小值为1．
（2）（i）由题意得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
此时
最多有一个零点，不符合题意；
当
时，令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又当
趋向0 时，
趋向
；当
趋向
时，
趋向
，
因为
有两个不同的零点
，
所以
．解得
．
所以
的取值范围为
（ii）由（i）知
，且
在
上单调递增，
要证
，即证
，
又
，即证
，即证
，
即证
，
由
，得
，
即证
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，
则
所以
，则
在
上单调递减，
由（i）知
．
所以当
时，
，
所以
得证．
9．（25-26 高二下·浙江金华·阶段检测）设函数
，
，若曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过构造函数
，求证
是偶函数，根据零点个数得到
，计算即可.
【详解】已知函数
，
，
令
，定义域为
，
由于曲线
与
恰有一个交点，即函数
只有一个零点，
又因为
，所以函数
是偶函数，
因此
的零点只能是
，即
，代入函数
，得
，解得
，故D 正确.
10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知关于
的方程
有且仅有两个不同的实数解，则实数
的取值范
围为_____.
【答案】
【分析】首先将方程转化为
，再由
的单调性及零点可得
，进而转化为
函数
与
的交点问题，用导数判断函数
的单调性及极值，再用数形结合判断可得.
【详解】由
，得
，即
.
由函数
在
上单调递增，且
，得
，即
.
令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，故
.
且当
时，
，当
时，
，当
时，
，如图：
若方程
有且仅有两个交点，则
，即
.
因此，实数
的取值范围为
.
11．（25-26 高二下·四川泸州·期中）已知函数
在
上有两个极值点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将函数
在
上有两个极值点，转化为
在
上有两不等实根，即
在
上有两不等实根，再令
，根据导数方法判断出函数
的单调性，求出最值，作出简图，结
合图像即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
由函数
在
上有两个极值点，
可得
在
上有两不等实根，即
在
上有两不等实根；
令
，则
，
由
得
；
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增；故
；
又由
在
上有两不等实根，
即
与曲线
的图像有两不同交点，
结合图像可得
.
12．（2026·天津和平·三模）若
，
，使得关于
的方程
有
个不同的实根，
则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】令
，且
，化简函数
的解析式，分析可知直线
与函数
的图象有
个交点，结合导数法可得出的取值范围.
【详解】令
，且
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
即
，
函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
，如下图所示：
因为
，
当
时，
，即
，
要使得直线
与函数
的图象有
个交点，
则
，则
，
令
，其中
，则
对任意的
恒成立，
所以函数
在
上单调递减，
，
令
，其中
，则
，
故函数
在
上单调递增，所以
，
此时
；
当
时，
，则
，
，
要使得直线
与函数
的图象有
个交点，则
，解得
；
当
时，
，要使得直线
与函数
的图象有
个交点，
则
，可得
，
令
，其中
，则
，
所以函数
在
上单调递增，则
，
令
，其中
，则
，
当
时，
；当
时，
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
，
，
所以
，且
，此时
，
此时
.
综上所述，实数的取值范围是
.
考点三 隐零点的问题
13．（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）先求出导数，再求斜率结合点斜式写出切线方程；
（2）先把恒成立问题通过参数分离转化为求最小值求出
的最大值.
【详解】（1）当
时，
，
因为
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）由题意，知
对任意
恒成立，
可知
对任意
恒成立．
设函数
，只需
．
对函数
求导，得
．
设函数
，对函数
求导，得
，
所以函数
在
上单调递增．
又
，
所以存在
，使
，即
，
所以当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增，
所以
，
所以
．又
，所以
，
所以整数
的最大值为2．
14．（2026 高三上·全国·专题练习）函数
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，证明：
.
【答案】(1)
在
上单调递增，在
上单调递减；
(2)证明见详解.
【分析】（1）把
代入，求出函数
的导数
并变形，构造函数探求
大于0 或小于0 的取值区间作
答.
（2）在给定条件下探讨函数
的最大值，将不等式转化为证
的最大值小于
即可作答.
【详解】（1）依题意，函数
的定义域为
，
当
时，
，求导得
，
令
，则
，则
在
上单调递减，而
，
当
时，
，
，当
时，
，
，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）当
时，
，
，
令
，则
，
在
上单调递减，而
，
，
则
有
，即
，有
，
当
时，
，
，
在
上单调递增，
时，
，
，
在
上单调递减，
因此函数
在
时取最大值，即
，
令函数
，
则
在
上单调递减，即有
，
要证
，即证
，只需证
，
令
，
，
则
在
上单调递减，
因此，
，即
成立，
则有
成立，
所以当
时，不等式
成立.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值
问题处理.
15．（24-25 高二下·江西景德镇·期末）设函数
．
(1)证明：当
时，
在区间
内存在唯一极小值点；
(2)当
时，
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
在
上存在零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）分类讨论
，
，
时，
的正负，得出
的单调性，即可证明；
（2）
在
上恒成立转化为
在
上恒成立，
令
，分类讨论
的范围，结合导数即可求解范围；
（3）令
，分离参数得
，设
，求得
的值域即可求解
的范围．
【详解】（1）证明：当
时，
，则
，
①当
时，
单调递增，
所以
在
单调递增，又
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，即
为
的极小值点；
②当
时，因为
，所以
，
所以
在
单调递增，
③当
时，设
，则
，
因为
在
单调递增，
所以
在
单调递增，又
，
，
所以存在
使得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
又
，
，
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
综上所述，当
，
单调递增，
当
，
单调递减，
当
，
单调递增，
所以
在区间
内存在唯一极小值点．
（2）当
时，
，
所以
在
上恒成立，转化为
在
上恒成立，
令
，则
，
若
，则
在
上恒成立，则
在
上单调递增，
所以
，符合题意；
若
，令
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
，当
时，
，
所以
，使得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，不合题意；
综上所述，实数
的取值范围是
．
（3）因为
，
，令
，得
，
设
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
，
时，
，所以
在
，
上单调递增，
当
时，
取得极小值，
即当
时，
取得极小值，
又
，
，
所以
，即
，
当
时，
取得极大值，
即当
时，
取得极大值，
又
，
，
所以
，即
，
所以当
时，
，
所以
，又
，
所以
时，
在
上存在零点，
故实数
．
16．（25-26 高二下·北京西城·期末）已知函数
.
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）设函数
，其中
.证明：
的图象在
图象的下方.
【答案】(1)
.
(2)
.
(3)证明见解析.
【详解】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算
和
的值，点斜式求出切线方程即可.
（Ⅱ）设
，并求导.将问题转化为在区间
上，
恒成立，或者
恒成立，通过特殊值
，且
，确定
恒成立，通过参数分离，
求得实数
的取值范围；
(Ⅲ）设
，将问题转化为证明
，利用函数的导数确定函数最小值
在区间
，
并证明
. 即
的图象在
图象的下方.
详解：解：（Ⅰ）求导，得
，
又因为
所以曲线
在点
处的切线方程为
（Ⅱ）设函数
，
求导，得
，
因为函数
在区间
上为单调函数，
所以在区间
上，
恒成立，或者
恒成立，
又因为
，且
，
所以在区间
，只能是
恒成立，即
恒成立.
又因为函数
在区间
上单调递减，
，
所以
.
(Ⅲ）证明：设
.
求导，得
.
设
，则
（其中
）.
所以当
时，
（即
）为增函数.
又因为
，
所以，存在唯一的
，使得
且
与
在区间
上的情况如下：
-
0
+
↘
↗
所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
又因为
，
，
所以
，
所以
，即
的图象在
图象的下方.
点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，函数的单调性与导数的关系，考查了恒成立问题的参
数分离方法. 将
的图象在
图象的下方，通过构造新函数
，转化
恒成立是解题
关键.
17．（2025·湖北武汉·二模）已知函数
．
(1)若在
处的切线斜率为
，求
；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，由
计算可得；
（2）依题意可得
恒成立，令
，
，利用导数说明函数的单调性，
求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为
，
所以
，依题意
，解得
；
（2）因为
的定义域为
，
又
，
所以
恒成立，
令
，
，则
，
令
，
，则
，所以
在
上单调递增，
又
，
，
所以
使得
，即
，
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
即实数
的取值范围为
.
18．（25-26 高三·四川成都·阶段检测）已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）求证：函数
的图象在
轴上方.
【答案】（1）单调递增区间
，单调递减区间为
；（2）证明见解析.
【分析】（1）由
，求得
，结合导数的正负，即可求得函数的单调区间；
（2）由函数
，得到
，根据零点的存在定理，得到在
上存在一个
，
使得
，进而利用函数的单调性和极值，证得
，即可得到结论.
【详解】（1）由题意，函数
，则
令
，解得
，
当
时，
，所以函数
单调递增，
当
时，
，所以函数
单调递减，
所以函数
在区间
单调递增，在区间
单调递减.
（2）由题意，函数
，则
，
可得函数
的递增，
因为
，
所以在
上存在一个
，使得
即
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
所以
，
所以
，
所以
的图象在
轴的上方.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计
算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等
式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
1．（2026·陕西咸阳·三模）方程
有两实数根
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】变形构造函数
，利用该函数的单调性和值域，将原方程的根的问题转化为函数值相等的问题，
所以结合构造函数的性质，分析参数
需满足的条件，确定其取值范围.
【详解】由题可知：
，
原方程
可化为：
令
，
，故
在
单调递增，
即每个不同对应唯一不同的
，易得
的值域为R，
原方程有两个不同实根等价于方程
有两个不同解，
变形得：
，令
，求导得：
，
令
，
当
且
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
在
处取得极小值
，作出
的图象如下：
若
，则
，此时方程
仅有一解，不符题意，
故
，则
，因此只需考虑
在
上的情况，其在此区间上的最小值为
，
当
时，
有两个不同解，对应原方程有两个不同实根，
因此
的取值范围是
.
2．（2026·北京朝阳·二模）设函数
若关于
的方程
恰有两个不同的实数解，
则满足条件的实数
的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】分
和
两种情况讨论，当
时，分
且
，
，
，
四种情况；当
时，分
，
，
三种情况，当
时，设
，利用导数求出
，对最大值的符号进行讨论分
，
，
三种情况.
【详解】（i）当
时，
，代入方程
整理得：
，两根为
和
，
因此，当
且
时，则
有2 个不同根；
当
时，则
有1 个根；当
时，仅存在根
；
当
时，
，故
恒有1 个根.
（ii）当
时，
，代入方程
整理得：
，
设
， 求导得
，
当
时，
，得
，
有1 个根，
若
，
，
在
单调递增，
时
，
时
，故
恒有1 个根；
当
时，
，
，
单调递增；
，
单调递减，
时
，
时
，故
恒有1 个根；
故
在
取最大值
，
令
，
单调递减且
.
当
时，
，方程
有2 个根；
当
时，
，方程
有1 个根；
当
时，
，方程
无实根；
综上所述：
，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
时，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
时，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
其余
均不满足条件，共3 个符合的
.
3．（25-26 高二下·黑龙江·期中）已知关于
的方程
有实数根，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将方程实根
代入原式，把点
转化为在对应定直线上，利用原点到该直线的距离作为
的最小
值，换元构造函数
求导分析单调性得到最小值e，进而推出
，最后验证取等条件求出对
应
的值.
【详解】设方程
的实数根为
.
则
，即
.
设点
，则点
在以
为变量的直线
上.
点
到直线
的距离
.
设
，则
.
当
时，
0；当
时，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，则
.
所以
，则
.
当
时，
，由
解得
此时
；
由
解得
此时
.
4．（2026·河北邢台·二模）已知函数
，
.若
与
的图象恰好有4 个不同的交点，
则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性将问题转化为
与
函数图象有2 个不同的交点，利用导函数研究其
单调性即可.
【详解】由
可知，
为偶函数，
又
也为偶函数， 故
与
的图象恰好有4 个不同的交点
等价于方程
恰好有2 个不同的正根，显然
，
所以
与
函数图象有2 个不同的交点，
，
当
时
，
单调递增；当
时
，
单调递减；
所以
，
当
时
；当
时
，
所以
，所以
，故实数a 的取值范围为
5．（24-25 高二上·安徽阜阳·期末）函数
在区间
上存在极值，则的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】求得
，令
，求得
，得到
在
上单调递减，由
且
，得到
存在唯一的
，使得
，得出
的单调性，结合极值点的定义，
即可求解.
【解答过程】函数
，求导可得
，
令
，可得
，
当
时，
.
当
时，可得
，
在
上单调递减，
又因为
，
所以存在唯一的
，使得
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是函数
的极值点，
因为函数
在区间
且
上存在极值，
所以的最大值为.
故选：B.
6．（2026·安徽芜湖·二模）（多选）关于
的方程
，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，方程有两个根
B．当方程有两个根时，
C．当
时，方程有三个根
D．当方程在区间
上有三个根时，
【答案】ACD
【分析】对于A，解方程即可判断；对于BCD，结合图象及导数的几何意义求解判断即可.
【详解】对于A，当
时，方程为
，则
，即
或
，故A 正确；
对于B，由于函数
为过定点
的直线，
当
时，设
，如图，
设
与
相切于点
，
当
时，
，则
，则
，即
，
则
时，函数
与
有两个交点，则方程有两个根，故B 错误；
对于C，由B 知，当
时，函数
与
有3 个交点，
则方程有三个根，故C 正确；
对于D，要使方程在区间
上有三个根，则
，
且
，即
，则
，故D 正确.
7．（2026·江苏盐城·三模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
的单调递增区间为
C．
的极小值为
D．若关于
的方程
恰有三个不等的实数根，则
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】求得
，结合奇偶性的定义和判定方法，可判定A 正确；求得
，求得
的
单调区间，可判定B 错误；由
的单调性，结合极值的定义，求得函数的极值，进而可判定C、D 都正确.
【详解】对于A，由函数
，可得
，其定义域为
，
且
，所以函数
为奇函数，所以A 正确；
对于B，由函数
，可得
，
令
，即
，解得
或
；
令
，即
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以B 错误；
对于C，由B 项知：函数
在
处取得极小值，极小值为
，故C 正确；
对于D，由B 项知：函数
极大值为
，极小值为
，
且当
时，
；当
时，
；
要使得方程
恰有三个不等的实数根，
即
与
的图象有三个不同的交点，则满足
，
所以实数
的取值范围是
，所以D 正确.
8．（25-26 高二下·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小值为
B．函数
有2 个极值点
C．若函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是
D．函数
有5 个零点
【答案】ABD
【分析】对函数求导，再根据导数与函数的关系验证选项的答案，对于D 选项验证
与函数y 的解有几个交点.
【详解】由题目可知
，
令
，因为
，则
，即
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
可得当
时，
为极小值，
，故A 选项正确；
有两个零点，故
有2 个极值点，故B 选项正确；
减区间为
，故实数
的取值范围是
，故C 选项错误；
对于D 选项，令
，则
，
，解得
或
，
由A 知
，作出
的图象和直线
，由图可知有5 个交点，
则函数
有5 个零点，故D 选项正确.
9．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）设函数
，则（ ）
A．函数
在区间
上单调递减
B．函数
是奇函数
C．直线
与曲线
有3 个公共点
D．斜率为
的直线与曲线
有且仅有一个公共点
【答案】ABD
【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数奇偶性的定义判断B，求出公共点来判断C，分离参数并结合导数
得到
，
，进而判断D 即可.
【详解】对于A，因为
，
所以
，
当
时，
恒成立，则
在区间
上单调递减，故A 正确；
对于B，由题意得
，
令
，则
，
可得
，得到函数
是奇函数，故B 正确；
对于C，联立方程组
，解得
或
，
则直线与曲线的公共点为
和
，共2 个，故C 错误；
对于D，设直线方程为
，联立方程组
，
化简可得
，若曲线和直线有且仅有一个公共点，
则
有且仅有一个解，
即
与
有且仅有一个公共点，
而
，得到
在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
，
则
，
，得到
与
有且仅有一个公共点成立，故D 正确.
10．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知
存在两个极小值点,则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】若
存在两个极小值点,则
至少有三个变号零点,对
进行全分离,
求出
有三个变号零点时的
的取值范围,再根据
的取值范围证明此时有两个极小值点,再根据选项是否在此范
围内,即可得出结果.
【详解】解:由题知
,
定义域为
,
所以
,
若
存在两个极小值点,
则
至少有三个变号零点,
因为
,所以需
在
上至少有两个不等于1 的零点,
即
与
有两个不同的交点,
故
,
,
当
时,
,
单调递增,
当
时,
,
单调递减,
因为指数函数增长比幂函数增长快,
所以当
趋向于正无穷时,
远远大于
,
故
趋向于正无穷时,
趋向于0,
又因为
由此画出
在
图象如下:
由图象可知:
,
下证:当
时,
有两个极小值点,
不妨记
与
的两个不同交点的横坐标为
,
可记
,
则当
时,
,即
,
,
此时
,
单调递减,
当
时,
,即
,
,
此时
,
单调递增,
当
时,
,即
,
,
此时
,
单调递减,
当
时,
,即
,
,
此时
,
单调递增,
故
存在两个极值点分别为
符合题意,
故
成立;
因为
,
故选项A 正确;
取
,
,
所以
,
因为
,
,
所以存在
,使得
,
所以在
上,
,
单调递减,
在
上,
,
单调递增,
注意到
,
所以
,
即
时,
,
即
,
所以
,
故选项B 正确;
取
,
所以
,
故
在
上单调递减,
所以
,即
,
所以
,
故选项C 正确,
取
,
所以
,
故
在
上单调递增,
所以
,即
,
所以
,
故选项D 错误.
故选:ABC
【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题,属于难题,该题应用了放缩来判断数的大小,关于常见的放缩有:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)根据函数的凹凸性,可得函数在某个区间内与函数割线的大小关系.
11．（25-26 高二下·吉林长春·期中）已知函数
．若函数
有两个不同的零点，则
的取
值范围为__．
【答案】
【分析】根据导数与单调性及极值的关系，分
，
两种情况讨论计算即可.
【详解】
的定义域为
，
.
当
时，
，所以
在
上单调递增，不可能有两个零点，舍去；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
有两个不同的零点，所以
，解得
.
当
时，
，所以
在
上存在一个零点，
因为
，所以
在
上也存在一个零点.
综上，
.
12．（22-23 高二下·湖北武汉·期末）已知函数
，不等式
对任意
恒成立，则
实数m 的取值范围是_______________.
【答案】
【分析】问题等价于
在
恒成立，令
，
，根据函数的单调性求出
的最小值，求出
的取值范围即可．
【详解】由题可得
对任意
恒成立，等价于
对任意
恒成立，
令
，
，则
，
令
，则
，
在
单调递增，
，
存在唯一零点
，且
，使得
,
在
单调递减，在
单调递增，
，
，即
，
令
，
，
恒成立，
故
在
单调递增，则
，即
，则
，
.
故答案为：
.
13．（25-26 高二下·北京·期中）设函数
①若
，则
的零点个数为__________；
②若
有且仅有两个零点，则实数
的范围是__________.
【答案】 1
【分析】分析每一段函数的零点情况，再结合函数的性质进行求解.
【详解】① 当
时，
，
当
时，
，解得
，
所以
在
上有1 个零点，
当
时，
，
，
令
，即
，因为
恒成立，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
在
处取得极小值，也是最小值，
得到
，
所以
在
上恒成立，所以总零点个数为，
② 当
时，令
，解得
，
要使
在
上有零点，则
，
当
时，令
，即
，
设
，求导得
，
令
，因为
恒成立，
所以
，解得：
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
在
处取得极小值，也是最小值，
则
，当
时，
，
当
时，
，
要使
在
上有一个零点，则
，
结合
，
的范围是
.
14．（2026·河北雄安·三模）过点
可向曲线
作三条切线，则实数
的取值范围为________．
【答案】
【分析】设切点坐标为
，借助导数的几何意义计算可得切线方程为
，将点
代入，可得
，构造相应函数
，则可得该函数的图象与直线
有三个不同交点，借助导数研究单调性后计算即可得解.
【详解】设曲线
的切点坐标为
，
，
则切线方程为
，
点
在该直线上，有
，
整理得
，
由题意可得函数
的图象与直线
有三个不同交点，
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
又当
时，
，
时，
，
故当
时，函数
的图象与直线
有三个不同交点，
即实数
的取值范围为
.
15．（25-26 高二下·浙江嘉兴·期中）若关于x 的方程
有唯一实数解，则实数k 的取值范围为______.
【答案】
【分析】设
，问题转化为
与
有唯一实数解，对
求导，分析其单调性以及变化
趋势即可求解.
【详解】设
，定义域为
，
，
令
，得
，
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减， 因此
的最大值为
，
时，
；当
时，
，且
.
的大致图象如图所示：
由图可知，
，
与
无交点，方程无解，不符合；
，
与
仅在最高点
处相切，仅有一个交点，方程有唯一解，符合；
，
仅与
在
上有一个交点（
时仅
一个解），
方程有唯一解，符合.
综上，
的取值范围为
.
16．（25-26 高二下·湖南衡阳·期中）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有实根，求
的取值范围；
(3)若函数
有
个极值点
、
，证明：
．
【答案】(1)当
时，
的增区间为
，无减区间；当
时，
的减区间为
，增区间为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数
的定义域，求导，对实数
的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出
函数
的增区间和减区间；
（2）由
结合参变量分离可得
，令
，利用导数求出函数
的值域，即可得出实数
的取值范围；
（3）利用极值点的定义可得出
，
，结合
可得出
，求得
，
，化简得出
，构造函数
，其中
，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立.
【详解】（1）由题知
的定义域为
，
，
若
，则
，此时函数
的增区间为
，无减区间；
若
，由
可得
，由
可得
.
此时函数
的减区间为
，增区间为
.
综上所述，当
时，函数
的增区间为
，无减区间；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
.
（2）由
得
，参变量分离可得
，
令
，则
，
当
时，
，
，则
，
当
时，
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
的极大值为
，
又当
时，
，所以
的取值范围是
．
（3）由题可知
，
则
，
由题知
、
是方程
的两根，即方程
的两个根，
所以
，由韦达定理可得
，
，
所以
，
，
，
所以
，
令
，其中
，
则
，
令
，其中
，
则
对任意的
恒成立，
故函数
在
上为增函数，则
，
所以
在
上单调递减，则
，
故
.
17．（25-26 高二下·陕西宝鸡·期中）已知
．
(1)若
，求函数
在区间
的最大值和最小值；
(2)若方程
有3 个不同的实根，求实数
的取值范围．
【答案】(1)最大值为
，最小值为
(2)
【分析】（1）求导后可得函数单调性，利用函数单调性计算即可得解；
（2）由题意可得
有3 个不同的实根，令
，求导后可得该函数单调性，利用函数
单调性计算即可得解.
【详解】（1）当
时，
，
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
故当
时，
，
由
，
，
故
；
（2）由方程
有3 个不同的实根，则方程
有3 个不同的实根，
令
，则
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
故实数
的取值范围为
.
18．（2026·重庆·三模）设函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点，求
的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用导数求斜率，再结合切点坐标写出方程即可；
（2）先通过导数分析单调性与极值，再结合函数两端趋势，通过极值与0 的大小关系判断零点个数，最后结合零
点存在的条件，确定参数的取值范围即可.
【详解】（1）当
时，函数为：
，
所以
，
所以曲线在点
处的切线斜率为：
，
所以
，整理得切线方程：
.
（2）函数
的定义域为
，
，
当
时，因为
，所以
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，此时
至多有1 个零点，不符合题意；
当
时，令
，解得：
，
当
时，
，故
，
单调递减，
当
时，
，故
，
单调递增，
因此，
在
处取得极小值（也是最小值）：
又
，
，
因此
有两个零点当且仅当极小值小于零，
即
，所以
，所以
.
综上，
的取值范围是
19．（2026·辽宁·三模）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若
恒成立，求
取值范围；
(3)若
，求证：函数
有两个大于1 的零点．
【答案】(1)
时
在
上单调递增，
时
在
上单调递增，在
上单调递减
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号，进而确定区间单调性；
（2）问题化为
，应用导数研究左侧的最小值，利用不等式恒成立求参数范围；
（3）应用导数研究
的单调性，结合零点存在性定理确定零点的范围，即可证.
【详解】（1）由题意，
，
当
时，
，故
在
上单调递增；
当
时，
令
，得
，
在
上单调递增，
令
，得
，
在
上单调递减.
（2）当
时，不等式
可化为
，
令
，
，
，
，
在
上单调递减，
，
，
在
上单调递增，
所以
，
设
，则
，
，
，
在
上单调递增，
，
，
在
上单调递减，
当
时
，
，
所以
的取值范围是
；
（3）由题意，
，易知
为增函数，
又
，且
，故
，又
，
故
，使得
，
，
，
，
在
上单调递减，
，
，
在
上单调递增，
，
令
，
，
，
故
在
上单调递减，
，
所以
，又
，
故
，使得
，又
，
对于
，
，则
，
故
在
上单调递增，则
，即
，
对于
，
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
所以
，即
，故
，
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，故
，使得
，
综上，函数
有
，
两个大于1 的零点.
20．（25-26 高三下·北京·月考）已知函数
，
.
(1)当
时，
①求曲线
在
处的切线方程；
②求证：
在
上有唯一极大值点；
(2)若
没有零点，求
的取值范围.
【答案】(1)①
；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①利用导数的几何意义计算即可得切线方程；②令
，利用导数判断出
在
上有唯一零点
，即可利用导数零点与原函数极值的关系求证；
（2）令
，利用导数研究其单调性后，对
分类讨论即可得.
【详解】（1）①
，则
，
则
，又
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
②令
，则
，
则
在
上单调递减，
又
，
，
故存在
，使得
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减；
故
在
上有唯一极大值点；
（2）
，
令
，则
；
①若
，则
，
在
上是增函数，
因为
，
，
所以
恰有一个零点
，
要想
的零点
不是
的零点，
则需满足
，即有
，
代入
，得
，解得
，
所以当
时，此时
无零点，符合题意；
②若
，此时
的定义域为
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以
，又
，
由题意，当
，即
时，
无零点，符合题意；
综上，
的取值范围是
.
