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3.2 导数与函数的单调性
函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递增
f ′(x)＜0
单调递减
【注意】(1)f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件．
(2)f ′(x)＝0 在某个区间内恒成立时，该区间内f (x)为常函数．
利用导数求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数y＝f (x)的定义域．
(2)求出导数f ′(x)的零点．
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，进而求出
单调区间．
导数的符号与函数单调性的关系
(1)在某区间D 上，若f ′(x)＞0⇒函数f (x)在D 上单调递增；在某区间D 上，若f ′(x)＜0⇒函数f (x)
在D 上单调递减．
(2)若函数f (x)在D 上单调递增⇒f ′(x)≥0；若函数f (x)在D 上单调递减⇒f ′(x)≤0．需要检验f ′(x)
＝0 不能恒成立．
(3)若函数f (x)在D 上存在单调递增区间⇒f ′(x)＞0 有解．
若函数f (x)在D 上存在单调递减区间⇒f ′(x)＜0 有解．
【注意】(1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间．
(2)注意以下区别：若单调递增，则f ′(x)≥0 恒成立；若存在单调递增区间，则f ′(x)＞0 能成立．
利用函数的单调性求参数，常用方法如下：
1
函数f (x)在区间D 上单调递增⇒f ′(x)≥0 在区间D 上恒成立
2
函数f (x)在区间D 上单调递减⇒f ′(x)≤0 在区间D 上恒成立
3
函数f (x)在区间D 上不单调⇒f ′(x)在区间D 上存在变号零点
4
函数f (x)在区间D 上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f ′(x0)>0 成立
5
函数f (x)在区间D 上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f ′(x0)<0 成立
6
若已知f (x)在区间D 上的单调性，区间D 上含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D
是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围
考点一 函数与导函数图象的关系
考点二 利用导数求函数的单调区间（不含参)
考点三 利用函数在区间上单调求参数
考点四 利用函数在区间上存在单调求参数
考点五 利用函数在区间上不单调求参数
考点六 讨论含参函数的单调性（因式分解型）
考点七 讨论含参函数的单调性（不可分解型）
考点一 函数与导函数图象的关系
1．（25-26 高三上·广东汕头·期中）已知函数
定义域为
，部分对应值如表，
的导函数
的图
象如图所示.下列关于函数
的结论正确的有__________.（请填写所有正确的序号）
0
2
4
5
1
2
0
2
1
①函数
的极大值点有2 个；
②函数
在区间
上单调递减；
③若
时，
的最大值是2，则的最大值为5；
④若函数
有4 个零点，则
.
【答案】①②③
【分析】根据图象分析导函数的符号，进而得到函数的单调性，分析函数的极值点、最大值以及零点.
【详解】当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
；
①根据图象知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
即
和
共2 个极大值点；
②根据图象知，当
时，
，只有
，
所以函数
在区间
上单调递减；
③由表格得
，端点
，
，
因此当
时，只要
，
的最大值都是
，的最大值为，故③正确.
④
有4 个零点即
有4 个解，
如图，因此
有4 个零点时
，故④错误.
2．（25-26 高三上·上海长宁·期中）已知定义在
上的函数
图象如图所示，设
的导函数为
，则
的解集为_____．
【答案】
【分析】由图可得
单调性，据此可得
正负性，结合
正负性可解不等式.
【详解】由图可得
时，
；
，
，
又由图可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
时，
；
时，
，
则
或
，
对于
，可得
；
对于
，可得
；
综上可得
的解集为：
.
3．（25-26 高三上·陕西榆林·期中）函数
的导函数
的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
有两段单调递减区间
B．
有两段单调递增区间
C．
有两个极值点
D．
有两个零点
【答案】D
【分析】由导函数为负，原函数单调递减；导函数为正，原函数单调递增.与极值点的定义即可选出答案.
【详解】记函数
与
轴的两个交点横坐标从左往右依次为
，
则由图可知：当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
故
有两段单调递增区间，
有两段单调递减区间，函数
有一个极小值点：
；有一个极大值点：
；
即A，B，C 选项正确，
不能确定函数
的零点个数，D 错误.
4．（25-26 高三上·重庆渝北·期中）已知函数
的大致图象如图所示，则（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】A
【分析】由题意可知函数
的单调区间及极值点为
，
，从而得
，
是
的两根，
结合韦达定理及函数与
轴的交点位于
轴的正半轴，即可判断
的正负.
【详解】由题意可知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，极大值点为
，极小
值点为
，
所以
的两根为
，
，且
，
所以
，所以
，
由题意可得函数与
轴的交点位于
轴的正半轴，所以
.
综上，
，
，
，
.
5．（25-26 高三上·云南德宏·期中）（多选）函数
的导函数
的图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A．
是
的极值点
B．
是
的极大值点
C．
的单调递减区间是
D．
【答案】BC
【分析】根据给定的函数图象，求出函数
的单调区间，结合极值点的意义逐项判断.
【详解】观察导函数
的图象，当
或
时，
，当且仅当
时取等号，
当
时，
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是
的极大值点，
但
在
两侧符号不变，所以
不是
的极值点，所以A 错误，B 正确；
的单调减区间是
，所以 C 正确；
函数
在
上单调递增，所以
，所以D 错误.
6．（25-26 高三上·河南·期中）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导函数的符号与原函数单调性的关系进行判断函数图像趋势即可求解.
【详解】由
的图象可知：当
和
时，
，
故
在
，
上单调递增，
当
和
时，
，
故
在
，
上单调递减，
所以，选项D 正确.
考点二 利用导数求函数的单调区间（不含参)
7．（25-26 高三上·天津静海·期中）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
【详解】（1）∵
，函数定义域为
，
∴
，即切点坐标为
.
，
∴ 切线斜率
.
由点斜式得切线方程为
，整理得
或
.
（2）由(1)得
，
∵ 对任意
，
恒成立，
∴
的符号由二次函数
的符号决定.
令
，即
，解得
，
.
∵ 二次函数
开口向上，
∴ 当
或
时，
，即
，
单调递增；
当
时，
，即
，
单调递减.
故
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
8．（25-26 高三上·广东东莞·期中）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数
定义域内的极小值点.
B．
的单调减区间是
.
C．
在定义域内无最小值，无最大值.D．
.
【答案】ACD
【分析】应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，根据
结合函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，定义域为
，
，令
可得
，
当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数；
所以
是函数
的极小值点，A 正确；
对于B，由A 可知当
时，
，
为减函数，所以
的单调减区间是
和
，B 不正确；
对于C，由前面分析，
的单调减区间是
和
，增区间为
，极小值为e，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
简图如下，由图可知，
在定义域内无最小值，也无最大值，C 正确，
对于D，由题可得
，由于
增区间为
，所以
，故
，即D 正确.
9．（2026·安徽·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求函数
的单调区间和极值；
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
，极小值为
，无极大值
【分析】（1）求导根据导数的正负判断单调性与极值；
【详解】（1）依题意，函数
的定义域为
，导函数
，
令
，因为
，所以
是增函数
又
，
故当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
即
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
当
时，函数取极小值，且极小值为
．
10．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)判断
的单调性；
【答案】(1)
(2)
在
上单调递增
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程；
（2）求导，判断导数的正负，进而判断
的单调性；
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
在
处的切线方程为
，
即
.
（2）因为
，令
，则
，
令
，则
，又
，
1
0
+
单调递减
0
单调递增
所以
在
处取得极小值（也是最小值）0，即
，
所以
（当且仅当
时为零），
因此
在
上单调递增.
11．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，
．
(1)当
时，求
的单调区间；
【答案】(1)
的单调递减区间为
，
的单调递增区间为
，
【分析】（1）将a 的值代入，再对函数求导，对函数的导数进行研究即可；
【详解】（1）当
时，
，
所以
．由
，得
或
0；由
，得
.
所以
的单调递减区间为
，
的单调递增区间为
，
.
12．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的单调递增区间为________．
【答案】
【分析】由
，解三角不等式求得
的单调递增区间.
【详解】由导函数
，得
，
所以
，
即函数
的单调递增区间为
．
考点三 利用函数在区间上单调求参数
13．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数
，则“
在
上单调递减”的充要
条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
在
上恒成立，即
在
上恒成立，令
，利用对
勾函数的性质求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
由题意可得
在
上恒成立，
即
，
在
上恒成立，
令
，
由对勾函数的性质可知
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
所以实数
的取值范围为
.
14．（25-26 高三上·吉林·期中）函数
，若
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
在
上恒成立，从而得
在
上恒成立，求出函数
在
上的值域，即可得答案.
【详解】因为
，
所以
，
由题意可得
在
上恒成立，
所以
，
在
上恒成立，
又因为
在
上单调递增，
所以
，
所以
的取值不大于函数
在区间
上的下确界，即
，
所以实数
的取值范围为
.
15．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为
在
上恒成立，由此可求结论.
【详解】函数
求导得
，
已知
在区间
上单调递减，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，
，求导得
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
则
是极小值点，
，
，
在
的上确界为3，
．
16．（24-25 高三上·北京·期中）函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是_____.
【答案】
【分析】将已知条件转化为恒成立问题，通过分离参数求最值得到
的取值范围.
【详解】因为
在
单调递增，
所以
在
恒成立，
所以
在
恒成立，令
，则
，
因为
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，即实数
的取值范围是
.
17．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）设函数
，且
在
上满足
，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．[0,1]
B．[－1,1]
C．
D．
【答案】B
【分析】由
在
上满足
得到
是
上的单调递增函数，则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解.
【详解】
，
，
在R 上满足
，
或
，
则
是
上的单调递增函数，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
设
，
，
则
转化为
，
则
转化为
在
上恒成立，
则需要满足
，解得
，即
，
则实数a 的取值范围为
，故选项B 正确.
18．（25-26 高三上·黑龙江·期中）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.
【详解】由题意可知，函数
在
上单调递增，需同时满足以下三个条件：
①
在
上单调递增；
②
在
上单调递增；
③当
时，
，因此
.
对于①，要使
在
上单调递增，则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，因为
，所以
，解得
；
对于②，因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增时，
；
对于③，
，所以
.
综上所述，实数
的取值范围是
，故D 正确.
考点四 利用函数在区间上存在单调求参数
19．（25-26 高三上·广东中山·阶段检测）（多选）若函数
在
上存在单调递减区间，
则
的取值可以是（ ）
A．1
B．0
C．
D．－1
【答案】AC
【分析】对函数
求导得到
，由函数在
存在单调递减区间转化为
在区间上有解，分离参数得
有解，换元令
转化为二次函数在
上求值域，得其值域为
，只需
即
且
，据此判断
和
符合条件.
【详解】函数
在
上存在单调递减区间.
等价于
在
上有解.求导得
.
由
在
上有解，得
在
上有解.
令
，则
.
该函数在
上单调递减，最大值为
，最小值为
.
要使
在
上有解，只需
，即
且
.
选项中
和
均满足
且
，故A、C 正确.
20．（25-26 高二上·福建莆田·期末）若函数
在区间
上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围
是____________.
【答案】
【分析】对函数求导，判断函数的单调性，求出最值，进而求得结果.
【详解】函数
，
，
依题意，存在
，使得
，即存在
，使得
，
显然函数
在
上单调递减，当
时，
，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
21．（25-26 高二·全国·课后作业）已知函数
．
(1)若函数
存在单调递减区间，求a 的取值范围；
(2)若函数
在
上单调递减，求a 的取值范围．
【答案】(1)
，且
(2)
，且
【分析】（1）对
求导，使
有解即可；
（2）
在
上单调递减，转化为
时，
恒成立，计算其最值即可
【详解】（1）
，
．
在
上存在单调递减区间，
当
时，
有解，即
有解．设
只要
即可．
而
．
故a 的取值范围是
，且
．
（2）
在
上单调递减，
时，
恒成立，
即
恒成立，
，而
，
．
．
故a 的取值范围是
，且
．
22．（25-26 高三上·江苏南京·期中）若函数
在区间
上存在单调递减区间，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为
在
上有解，分离参数后构造函数，用导数求出最小值求解.
【详解】
，要使函数
在区间
上存在单调递减区间，
则
在
上有解，即
在
上有解，
即
在
上有解，令
，
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递增，
所以
在
上的最小值为
，所以
，
所以
的取值范围是
.
23．（25-26 高三上·江苏无锡·期中）已知函数
存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可.
【详解】函数
的定义域为
，导函数为
.
函数存在单调递增区间，等价于存在
使得
.
因为
，所以
等价于
.
即
在
上有解.
对
配方得
，
在
上单调递增，
.
要使
在
上有解，只需
.
因此
的取值范围是
.
24．（25-26 高三上·河南洛阳·阶段检测）函数
在
上存在单调递增区间，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出导函数，再根据存在单调递增区间得出
，使得
，进而应用参数分离即可计算求
解.
【详解】因为
，所以
，
因为函数
在
上存在单调递增区间，
所以
，使得
，所以
，
，设
，故
需小于函数
在
上的上界，
因为
，所以
，
则
，所以
．
考点五 利用函数在区间上不单调求参数
25．（25-26 高三上·北京丰台·期中）已知函数
在区间
上不单调，则
的一个取值为___．
【答案】
（答案不唯一）
【详解】由
，得
，
令
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
即
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
由于函数
在区间
上不单调，
故
，或
，解得
或
，
故
的一个取值可为0.
26．（25-26 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
在区间
上不单调，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，
在
不恒大于等于零，也不恒小于等于零，而
，可求解.
【详解】函数
，则
，
当
时，
，
因为函数
在区间
上不单调，
则
在
不恒大于等于零，也不恒小于等于零，
所以
.
27．（2026 高三下·全国·专题练习）若函数
在
上不单调，求
满足的条件为_____.
【答案】
【分析】结合导数以及二次函数的性质求解即可.
【详解】已知函数
在
上不单调，
则
有两不等实根
，
即
.
28．（25-26 高三上·重庆·期中）若函数
不单调，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将问题转化为
在
上有变号零点，结合二次函数的图象与性质分析即可求解.
【详解】函数
的定义域为
,
,
令
，解得：
，且
恒成立，
因为函数
不单调，则
在
上有变号零点，
则两个根
和
至少有一个在
，
由于
，则
必在区间
内，故
，解得：
29．（25-26 高三上·湖南·期中）已知函数
，
，若
在
上不单调，则a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求得
，转化为
在
上有变号零点，设
，求得
在
上单调递
增，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
要使得函数
在
上不单调，即
在
上有变号零点，
设
，可得
，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
30．（25-26 高三上·江苏无锡·期中）已知函数
和函数
.
(1)若函数
在区间
上不单调，求
的取值范围；
(2)若函数
的图象与函数
的图象在公共点处有相同的切线，求该公切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求
的导数
，将问题转化为导数方程在
内有解的问题，再计算即可；
（2）列出关于
和
的方程组，联立求解
和
，求出
和
后，利用点斜式求切线方程.
【详解】（1）由题意得
，
则
，
因为
在
上不单调，说明
在
内有变号零点，
即方程
的根落在区间
内，
当
时，
，因此
，解得
，
即
取值范围为
.
（2）设两函数公共点为
，由公共点处函数值相等、切线斜率相等，
得方程组：
，
化简式(2)，两边同乘
得
，代入式(1)得
，
因
，则
，即
，
代入得切点为
，切线斜率
，则公切线方程
.
考点六 讨论含参函数的单调性（因式分解型）
31．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
上单调
递增；
【分析】（1）求导后，分
与
进行讨论，即可得到不同情况下函数的单调性；
【详解】（1）
，
当
时，
，则
恒成立，故
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
32．（25-26 高三上·山西长治·期中）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
在
处的切线；
(2)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
(2)
时，
在
单调递增，在
单调递减；
时，
在
，
单调递增，在
单调递减；
时，
在
上单调递增；
时，
在
，
单调递增，在
单调递减；
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定函数的单调性即可；
【详解】（1）当
时，
，则
，
又
，则
，
切线方程为
，即
；
（2）函数
的定义域为
，
∴
，
若
，则
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
若
，令
，则
或
，
当
，即
时，
或
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
，即
时，
在
上恒成立，此时
在
上单调递增；
当
，即
时，
或
，
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
综上：
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
时，
在
上单调递增；
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
33．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)若函数
的导函数是奇函数，求
的值；
(2)求函数
的单调区间.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）对函数
求导，再根据函数奇偶性的定义，即可求解；
（2）对函数
求导，对
的取值进行分类讨论，判断
的正负区间，进而可得函数
的单调区
间.
【详解】（1）函数
的定义域为
，由已知得
，
因为函数
的导函数是奇函数，
所以
，即
，
解得
；
（2）由（1）得，
.
①当
时，可得
恒成立，所以当
时，函数
在
上单调递减，
②当
时，由
得
，即
，
所以
，解得
，所以函数
在
上单调递增，
由
可得
，即
，解得
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，当
时，函数
在
上单调递减，
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
34．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论函数
的单调性．
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）根据条件，求出
的解，再由极值的定义即可求解；
（2）根据条件得到
，再对
分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解.
【详解】（1）当
时，
，易知
的定义域为
，
，又
恒成立，
当
时，
，当
时，
，
所以
是
的极小值点，极小值为
，无极大值.
（2）
的定义域为
，
,
当
时，
恒成立，当
时，
，当
时，
，
当
，由
，得到
或
，
若
时，
，
时，
，
时，
，
若
时，
，此时
恒成立，当且仅当
时取等号，
若
时，
，
时，
，
时，
，
综上所述，当
时，
的减区间为
，增区间为
，
当
时，
的减区间为
，增区间为
，
当
时，
的增区间为
，
当
时，
的减区间为
，增区间为
.
35．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
【答案】(1)
(2)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增
【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出
处的导数值即切线斜率，再
求出
对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.
（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域
，按参数
的正负分类讨论；
时判断导函数在定义域内
恒正，直接得出函数单调递增；
时以
为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递
增区间，最后汇总两种情况的单调结论.
【详解】（1）当
时，
，所以
所以切线方程为
即
，
（2）
，
若
，可得
时，
，所以
在
上单调递增；
若
时，当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
36．（25-26 高三上·山东青岛·期中）已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减；在
上单调递增.
【分析】（1）先对函数
求导，分
和
两种情况讨论可求得
的单调性；
【详解】（1）由题意得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，令
.
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；在
上单调递增.
37．（25-26 高三上·广东东莞·阶段检测）已知函数
，
．
(1)若
，求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及极值；
（2）求导，利用导数分析函数单调性；
【详解】（1）
的定义域为
，
当
时，
，
令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
在
时取得极大值为
，无极小值．
（2）
，
当
时，
在
上恒成立，此时
在
上单调递增，
当
时，若
时，
，则
在
上单调递增；
若
时，
，则
在
上单调递减；
综上可知：当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增，在
上单调
递减．
38．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递减；当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增 ，当
时，函数
在
上单调递减，
在
上单调递增.
【分析】（1）求导得
，对
分类讨论可得函数
的单调性;
【详解】（1）函数
的定义域为
，
由
，
①当
时，
，则函数
在
上单调递减；
②当
时，
，则函数
在
上单调递增；
③当
时，
，令
，得
，令
，得
或
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
④当
时，
，令
，可得
，令
，得
或
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述：当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增 ，
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
考点七 讨论含参函数的单调性（不可分解型）
39．（2026·山东泰安·模拟预测）已知正项数列
中，
，
．
(1)证明：
；
(2)已知
．
（i）讨论函数
的单调性；
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
【分析】（1）构造函数并利用导数确定单调性，进而证明不等式.
（2）（i）求出函数
的导数
，按
分类讨论
的符号即可；
【详解】（1）设函数
，求导得
函数
在
上单调递减，
，则当
时，
恒成立，
由
，得
，而
，因此
，数列
单调递减，
所以
（2）（i）函数
的定义域为
，求导得
，
设函数
，
，
当
，即
时，
，
，函数
在
上单调递增；
当
，即
时，
有两个不相等实根
，
，
函数
对称轴
，
，
，则
，
当
或
时，
，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，
，函数
在
上单调递减，
所以当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，
在
上单调递减.
40．（2026·天津和平·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程：
(2)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
(2)当
时，函数
的增区间为
，无减区间；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
、
.
【分析】（1）当
时，求出
、
的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）求出函数
的定义域，求出
，对实数
的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由
此可得出函数
的增区间和减区间；
【详解】（1）当
时，
，则
，
，则
，
所以当
时，曲线
在
处的切线方程为
，
即
.
（2）函数
的定义域为
，
则
，
当
时，对任意的
，
恒成立，
此时函数
的增区间为
，无减区间；
当
时，对于函数
，
.
若
时，即当
时，对任意的
，
，
此时函数
的增区间为
，无减区间；
若
时，即当
时，由
可得
，
由
可得
或
，
此时函数
的减区间为
，
增区间为
、
.
综上所述，当
时，函数
的增区间为
，无减区间；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
、
.
41．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，求函数
的单调增区间；
【答案】(1)极小值
，无极大值
(2)当
时，
的单调增区间为
和
；
当
时，
的单调增区间为
【分析】(1)原函数求导，算出单调区间，即可求函数极值
(2)原函数求导，参数
进行分类讨论，求出单调区间
【详解】（1）当
时，
，
，
则
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以函数的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以函数只有极小值，为
；
（2）因为
，
，
的判别式
，
①当
时，
，
在
上单调递增；
②当
时，
令
，得
，
，
此时
，
所以当
时，
，
所以当
时，
的单调增区间为
和
；
当
时，
的单调增区间为
；
42．（2026·上海·模拟预测）已知函数
（
）.
(1)当
时，求函数
的单调区间和极值；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）代入已知参数后求导并因式分解，通过分析导函数的正负符号变化，直接确定函数的单调区间与极
值；
【详解】（1）当
时，
，定义域为
.
求导：
.
令
，解得
（
舍去，因
）.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
极大值为
，无极小值.
43．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增，在
上递减，在
上递增.
【分析】（1）求出
的定义域，求出
，利用基本不等式得到
，故分别按照
和
这两种情况讨论求解，当
时，令
，即
，求出此方程的两个根
，
；利用韦达定理得到
，解出
和
的解，从而得到
的单调性.
【详解】（1）
的定义域为
，
，
，当且仅当
时，即
时，等号成立，
故当
时，
，
则
，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，即
，
则
的两个根为
，
；
又
，则
，
则
的解为
或
，
的解为
，
则
在
上单调递增，在
上递减，在
上递增；
综上所述：
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上递减，在
上递增.
44．（25-26 高三上·山东济南·期中）函数
.
(1)求
的单调区间；
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】（1）对函数求导并利用判别式得出导函数零点，求出相应区间上的单调性即可；
【详解】（1）函数
，定义域为
，则
因为
，设
，
则令
得，
，
当
时，
单调递增，
当
时,
单调递减，
当
时，
单调递增，
综上所述
的单调递增区间为
，
单调递减区间为
；
1（25-26 高三上·福建宁德·期中）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
的图象
大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导数图像的变化特点进行分析即可.
【详解】结合图象可知，
在
从最大值逐渐减小到最小值，所以切线斜率从趋近于0 逐渐到最小，斜
率绝对值逐渐增大，因此下降越来越快，
在
从最小值逐渐增加到0，所以切线斜率从最小值（负值）逐渐趋近于0，斜率绝对值逐渐减小，因
此下降越来越平缓，D 符合这个性质.
2．（24-25 高三上·河南洛阳·期中）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】D
【分析】求导，由
求解即可.
【详解】
，求导得：
，
由
，解不等式
，
因式分解得：
， 解得
或
，
因此函数的单调增区间为
和
3．（25-26 高三上·北京·期中）函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求得
，根据题意，转化为
在区间
上恒成立，结合二次函数的性质，
列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数
，
可得
，
因为
在区间
上是减函数，可得
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
根据二次函数的性质，则满足
，解得
，
4．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）已知
，函数
在区间
上不单调，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数研究单调性，进而得
，解出即可求解.
【详解】由题意得：
，令
，
所以
，所以
在
单调递增，且
，
，
又因为
在
上不单调，所以
，解得
.
5．（25-26 高三上·广东肇庆·期中）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
在
上恒成立求得参数范围．
【详解】
，
在
上单调递增，则
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
，
时，
的最大值是
，
所以
．
6．（25-26 高三上·广东深圳·期中）（多选）函数
的导函数
的图象如图所示，以下命题正确的
是（ ）
A．
是函数
的极值点
B．
是函数
的极值点
C．
在区间
上单调递增
D．
是函数
的极值点
【答案】AC
【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可.
【详解】对于AC，根据导函数图像可知当
时，
；
当
时，
，当且仅当
时，
，
所以函数
在
上单调递减；
在
上单调递增，故
是极值点，故A、C 正确；
对于B，因为
左右两侧导函数均大于
，故
不是极值点，故B 错误；
对于D，因为
左右两侧导函数均大于
，故
不是极小值点，故D 错误；
7．（25-26 高三上·宁夏·期中）（多选）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】转化为
在
内有解，然后参变分离即可求解.
【详解】
，
因为函数
在区间
内存在单调递增区间，
所以
在
内有解，所以
有解，
由于
，所以
，故
，
则实数
的取值范围是
，结合选项可知
，
符合题意.
8．（25-26 高一下·湖南娄底·开学考试）（多选）若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的可
能的取值有（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】CD
【详解】由
，
当
时，
，
由反比例函数
在
上单调递增的充要条件是
，即：
，
所以实数a 的可能的取值有或
.
9．（25-26 高三上·全国·课后作业）（多选）若函数
在区间
上不单调，则实数
的可
能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】求出函数
的极值点，分析可知，函数
在区间
内存在极值点，可得出关于实数
的不
等式组，由此可求得实数
的取值范围.
【详解】因为
，则
，
由
可得
，由
可得
或
，
所以，函数
的增区间为
,
，减区间为
，
所以，函数
的极大值点为
，极小值点为
，
因为函数
在区间
上不是单调函数，
则该函数在区间
内存在极值点，即
或
，
解得
或
，
所以，实数
的取值范围是
.
故选：CD.
10．（25-26 高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数
是
上的增函数，则
的值为
______．
【答案】
/
【分析】求出导函数，由题意
恒成立，然后按照
和
分类讨论求解即可.
【详解】由题意得
，
因为
是
上的增函数，所以
恒成立．
当
时，
，此时
不恒成立，不满足题意；
当
时，要使
恒成立，
则
时，
即
恒成立，所以
，
时，
即
恒成立，所以
，
因为
，所以
，
综上，得
．
故答案为：
11．（24-25 高二上·云南昆明·期中）设
，若函数
在区间
上单调，则
的取值范
围是__________.
【答案】
【分析】利用导数求
的单调区间，由
在区间
上单调，求
的取值范围.
【详解】因为
，
所以
，
设
，则
，
所以
时，
，故
在
上单调递减，即
在
上单调递减，
又
，所以
时
；
时
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
故
，所以
的取值范围是
.
故答案为：
12．（25-26 高三上·天津南开·期中）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数a 的取
值范围是______.
【答案】
【分析】求
，根据
分离参数
，构造函数可得
的取值范围.
【详解】∵
，∴
，
∵
在区间
内存在单调递增区间，
∴
在
上有解，故
在
上有解，
令
，则
，
∵
，∴
，即
在
上为减函数，
∴
，∴
，故
．
13．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
，则满足函数
在
上存在递增区间
的
的一个值为___________.
【答案】写出
内的任意一个值都可以
【详解】
函数
在
上存在单调递增区间
，使得
成立，
即
成立.
令
，则
.
因为
时，
恒成立，
所以
恒成立，
单调递增.
因为
，所以
，
所以
，
因为
,所以实数
的取值范围是
.
所以写出
内的任意一个值都可以
14．（25-26 高三上·天津东丽·期中）已知函
，
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增
【分析】（1）根据导数与单调性的关系分类讨论即可.
【详解】（1）
的定义域为
.
.
其中
，则
，故只需讨论
的符号.
当
时，
，则
，
在
上单调递增.
当
时，令
，解得
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
15．（2026·河北保定·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）对
求导，分类讨论
，
，
三种情况，判断导数的正负进而得出单调性；
【详解】（1）
，
①当
时，
，则
在
上单调递减，
②当
时，令
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
③当
时，令
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
16．（2026·河北张家口·三模）已知函数
，
，
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导得
，再根据判别式，分
，
两种情况讨论求解即可；
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
对于
，
，
当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
由
，得
，
则当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上
单调递增.
