文档文本内容
2．2 函数的单调性与最值
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数的单调性................................................................................................................................3
二、函数的最值....................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：函数单调性的判断................................................................................................................5
题型二：利用定义证明函数的单调性................................................................................................7
题型三：利用单调性比较函数值的大小..........................................................................................10
题型四：求函数的最值......................................................................................................................12
题型五：解函数不等式......................................................................................................................15
题型六：求参数的值(范围)...............................................................................................................18
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................20
05 数学思想方法.................................................................................................................................23
①数形结合..........................................................................................................................................23
②转化与化归......................................................................................................................................25
③分类讨论..........................................................................................................................................27
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................31
基础过关篇..........................................................................................................................................31
能力拓展篇..........................................................................................................................................40
1、借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义．
2、掌握函数单调性的简单应用．
一、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数
的定义域为
，区间
：
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
当
时，都有
，那么就说
在区间
上是增函数．
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
，那么就说
在区间
上是减函数．
①属于定义域
内某个区间上；
②任意两个自变量
，
且
；
③都有
或
；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数
在区间
上是增函数或减函数，那么就说函数
在区间
上具
有单调性，
称为函数
的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
减函数．
二、函数的最值
1、最大值：
的定义域为
，如果
满足：（1）对
，都有
，（2）
，使得
，则称
为
的最大值，记作
；
2、最小值：
的定义域为
，如果
满足：（1）对
，都有
，（2）
，使得
，则称
为
的最小值，记作
．
常用二级结论
1、单调性定义的变式：设
，且
，
①
在
是增函数
恒成立
②
在
是减函数
恒成立
2、判断函数单调性
设
，
具有单调性，常数
，常数
，则
①
，
，
与
有相同的单调性
②
，
与
有相反的单调性
③若
，
都是区间
上的增（减）函数，则
在区间
上也是增（减）函
数．
④设
，
都是区间
上的恒正的增（减）函数，则
在区间
上也是增
（减）函数．
题型一：函数单调性的判断
【例1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A，定义域为
，
，则
为奇函数，
因
，
，则
不是增函数，故A 错误；
B，定义域为
，
，则
为奇函数，
因
，
，则
不是增函数，故B 错误；
C，定义域为
，
，则
为奇函数，
因
，
，则
不是增函数，故C 错误；
D，因
，则
，故定义域为
，
，则
为奇函数，
且
，
则
因
，则
，
又
，
，
则
，
则
，即
，
则
，即
，
则
是
上的增函数，故D 正确.
故选：D
【解题总结】
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
【变式1-1】已知函数
的定义域为R，对任意实数
满足
．且
，
当
时，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
为增函数
D．
为奇函数
【答案】B
【解析】函数
的定义域为R，对任意实数
满足
，
令
，可得
，即有
，故A 正确；由
，可得
，
，即
，可得
，故B 错误；令
，则
，即
，则函数
为奇函数，
故D 正确；
令
，可得
即
，当
时，
，
即
，
设
，即
，即有
，
则
在
上递增，故C 正确．
故选：B．
【变式1-2】下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，函数
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，函数
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，当
时，
，由指数函数单调性得，
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，函数
在
上单调递减，故D 错误．
故选：C．
【变式1-3】（2025·陕西榆林·一模）已知函数
在
上单调递增，则对实数
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数
在
上单调递增，且
，
由增函数的定义可知，当
时，有
，
充分性成立；当
时，若
，由函数定义可知矛盾，
若
，由函数单调性的定义可知矛盾，则
，必要性成立.
即对实数
，“
”是“
”的充要条件.
故选：C
题型二：利用定义证明函数的单调性
【例2】已知函数
(1)若
，求
的值；
(2)若
，判断
在区间
上的单调性，并用定义证明.
【解析】（1）由题设
，则
，故
；
（2）
在区间
上递增，证明如下：
令
，则
，
又
，则
，且
，
所以
，即
在区间
上递增.
【解题总结】
证明函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.
【变式2-1】已知函数
满足任意的实数
，
，都有
，且当
时，
.
(1)求
的值，并证明：
是奇函数；
(2)判断
在
上的单调性并证明；
(3)若关于
的不等式
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）因为函数
满足任意的实数
，
，都有
，
令
，则
，所以
.
令
，则
，
所以
，所以
是奇函数.
（2）
在
上单调递增.
证明：设
，
且
，所以
，
又
，所以
，所以
，所以
，即
，所以
在
上单调递增.
（3）关于
的不等式
对任意的
恒成立，即关于
的不等式
对任意的
恒成立，
由（2）可知
在
上单调递增，
令
，
，所以
，
，
令
，
，
当
，即
时，
在
上单调递增，
所以
，解得
，
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，不符合题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，
所以
，解得
，与
矛盾，不符合题意.
综上，
的取值范围是
.
【变式2-2】讨论函数
在区间
上的单调性.
【解析】函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
以下根据函数单调性的定义证明：
①设
，
则
，
，即
，
在
内是减函数.
②设
由①知
，
即
，
在
内是增函数.
【变式2-3】判断并证明函数
（其中
）在
上的单调性.
【解析】证明：法一（定义法）：设
，
则
.
，
，
，
.
因此当
时，
，即
，
此时函数
在
上为减函数.
法二（导数法）：对
求导得
.
又
，
，所以
，所以函数
在
上为减函数.
题型三：利用单调性比较函数值的大小
【例3】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，则
下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，对
求导，得
.
已知
，所以
，这表明
在
上单调递增.
设
，对
求导，得
.
已知
，所以
，这表明
在
上单调递减.
因为
在
上单调递增，且
，所以
.
，则
，即
，无法确定
，所以选项A
错误.
因为
在
上单调递增，且
，所以
.
，则
，即
，无法确定
，所以选项B 错误.
因为
在
上单调递增，且
，所以
.
，则
，即
.
又因为
在
上单调递减，且
，所以
.
，则
，即
.
同时
，移项可得
，所以选项C 正确.
因为
在
上单调递增，且
，所以
.
，则
，即
.
又因为
在
上单调递减，且
，所以
.
，则
，即
，无法确定
，所以选项D 错误.
故选：C.
【解题总结】
比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
【变式3-1】已知定义域为
的函数
，
，
，
，都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
，则
，
且
，可得
，即
，
可知
是
上的减函数，且
，所以
．
故选：B.
【变式3-2】设
，则下列函数值最小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
所以
的图像关于直线
对称，
当
时，
，
，
所以
，
于是
，
所以
，
因此，当
时，
单调递增，故
为最小值.
故选：C．
【变式3-3】（2025·山东日照·一模）定义在
上的函数
满足以下条件：①
；②
对任意
，当
时都有
．则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为定义在
上的函数
满足条件
，
所以函数
是偶函数，
对任意
，当
时都有
，
所以不妨设
，则有
，
因此
时，函数
是增函数，
因为函数
是偶函数，
所以
，
，
因为
时，函数
是增函数，
所以
，即
，
故选：A
题型四：求函数的最值
【例4】函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由
，可得
，所以函数
的定义域为
，
与
在
上均为增函数，
在
上为单调递增函数，
∴当
时，
．
故答案为：
.
【解题总结】
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个
分式和的形式.
【变式4-1】函数
的最大值为1，最小值为
，则
.
【答案】
/
【解析】
，
令
，
，对称轴方程为
，
①当
时，
，
，
解得
，
，
②当
时，
，
，
解得
，
，
③当
时，
，
，
即
或
，无满足条件的解，
综上，
.
故答案为：
.
【变式4-2】已知函数
，点
是
图象上的两点．
(1)求
的值：
(2)用定义判断函数
在
上的单调性，并求该函数的最大值和最小值.
(3)若函数
，求函数
的值域．
【解析】（1）由题意，得
，解得
.
（2）由（1）知，
，
任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，
，
则
，即
，
所以函数
在
上单调递减，
则
，
.
（3）由（1）知，
，
则
，
，
令
，则
，
因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，且
时，
，
所以函数
的值域为
．
【变式4-3】已知函数
在
时有最大值.
(1)求实数
的值；
(2)设
，若当
时，
的最小值为
，最大值为
，求
，
的值.
【解析】（1）因为
在
时有最大值，
则
，解得
，所以
；
（2）由（1）可得
，
则
，又
，所以
，则
，
所以当
时
单调递减，
所以
，且
，
所以
，
是关于
的方程
的两个解，
即
，
解方程得
，
，
，
又
，所以
，
.
题型五：解函数不等式
【例5】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，其定义域为
.
,对
进行变形，
所以
，则
是奇函数.
对于
，因为
在
上单调递增，
，对
求导得
，所以
在
上单调递增，
根据复合函数同增异减的性质可知
在
上单调递增.
对于
，其导数
，所以
在
上单调递增.
两个增函数相加还是增函数，所以
在
上单调递增.
已知
，则
，
.
不等式
可化为
，即
.
因为
是奇函数，所以
可化为
.
因为
在
上单调递增，所以
等价于
.
移项可得
，即
，解得
.
不等式
的解集为
，
故选：C.
【解题总结】
求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
【变式5-1】（2025·广西河池·二模）设函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递增.若
实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【解析】由于
是偶函数，根据偶函数的定义，
.
因此，不等式
可以转化为
.
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，解得
或
.
故选：C.
【变式5-2】已知函数
，若
，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】显然
的定义域为
，
因为
，所以
为偶
函数．
又
，
令
，令
，
，则
，且
在
上单调递增，
当
时，
，又
在
单调递增，所以
在
单调递增；
当
时，
，又
在
单调递减，所以
在
上单调递减，
（也可利用定义求证单调性）
又
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
又
，
为偶函数，
所以
等价于
，
所以
，故
，则
，即
或
，
得
或
.
综上，m 的取值范围为
.
故选：C．
【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）若定义在
上的偶函数
在
上单调递减，且
，则
满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为定义在
上的偶函数
在
上单调递减，且
，则
，
则
；
；
当
即
时，
，
，
成立；
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
当
即
时，
，
所以
的取值范围是
．
故选：D．
题型六：求参数的值(范围)
【例6】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
在区间
单调递增，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，其在
上单调递增，
若
在
单调递增，
，所以
.
故选：D．
【解题总结】
利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图
象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【变式6-1】已知函数
在
内单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，因为
为
上的增函数，
而
在
内单调递增，
故
为
内的增函数，且
在
内恒成立，
故
，故
，
故选：D.
【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，根据对数函数的性质可知：函数
在
上单调
递增，符合题意；
当
时，由换底公式可得
，
因为函数
在
上单调递增，且函数
在
上单调递增，所以
.
又
，所以
，
，所以
，所以
，即
，解得
.
综上，a 的取值范围为
.
故选：A.
【变式6-3】已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
在
上单调递减，
所以当
时，
恒成立，则
；
当
时，由
在
上递减，
若
，
，合题意，
若
，则
，故
;
又分段点处也要满足递减的性质，所以
，解得
.
综上所述，
，
故选：C．
1 ．已知
、
、
、
、
、
为6 个不同的实数，满足①
，
，
，②
，③
，以下选项值恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
方法1：构造函数，
由题设
，并令
，
则
，同理
，
，
条件③转化为
，
考虑到函数
为开口向下的二次函数，它在定义域内整体为上凸函数，
由条件①可得，
，且函数
在
上严格增，
因此
，即
恒成立，
故选：
方法2：特殊值排除法，
由题意，设
，
并令
，
，
，满足条件，
显然选项 B，C，D 均错误，
故选：
2．若
，
，则ab 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
方法一：由
，
，消去c 得到
，
要使ab 有最大值，而
，则只需考虑
且
的情况，
当
且
时，则
，即
，
，当且仅当
时等号成立，故ab 的最大值为
方法二：由
，
，可消去c 得到
，
则
，令
，
，
当
时，
，故ab 的最大值为
故选：
①数形结合
1．设函数
则满足
的x 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
作出函数
的图像如图所示，
要使
，
则
或
即
或
因此
故选：
2．已知定义在R 上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
满足
在区间
上单调递减，
，则关于x 的不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得
的图象关于直线
对称，
又
，得
，解得
，
由
在
上单调递减，可知
在
上单调递增，
画出
的大致图象如下所示，
结合图象及
解得
或
，
不等式
的解集为
故选：
3．若
为R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
令
，
，
，
，
则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
有极大值
在
时取最小值
根据分段函数的定义，当
时，
与
一致，当
时，
与
一致．
在同一坐标系下作出
与
的图象．
要使分段函数
的表达式有意义，则有
因为
为R 上的减函数，所以
在
上单调递减，
在
上单调递减，
且
，
观察可得，a 的取值范围为
②转化与化归
4．已知函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为
在
上单调递增，且函数
在区间
上单调递减，
所以
在
上单调递减，且
恒成立．
所以
，解得
故选
5．函数
，若
，不等式
恒成立，则实数m 的取
值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
，
在R 上为减函数；
又因为
所以
为奇函数，
若
，不等式
恒成立，
则不等式
，因为
为奇函数，所以
，
因为
为减函数，所以
恒成立，
所以
恒成立，所以
，
，
，
当且仅当
即
时等号成立，所以
，
所以
，所以实数m 的取值范围是
故选：
6 ．已知函数
，若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
根据题意，函数
，所以
，
令
，则
，所以
为奇函数，
所以
的图象关于点
中心对称，
所以
，由
可得
，所以
，
再次研究
，
，
易得
，当且仅当
，即
时，取等号，
当
时，
，则
，
当
时，则
，而根据余弦函数的性质易得
，
则
，
综上
，
所以函数
单调递减，
由
可得，
，即
，即
，解得
，
故选：
③分类讨论
7．已知函数
的最小值为
，则
．
【答案】
【解析】若
，
当
时，则
，在
上单调递增，
所以
，
当
时，
，对称轴为
，
则
，
由
，即
，解得
或
，
又
，所以
，
此时
，符合题意；
若
，
当
时，
，单调递增；
当
时，
，单调递减，
则
，
当
时，则
在
上单调递减，
故
，
若
，解得
，
此时
，符合题意；
若
，解得
，
此时
，不符合题意，
综上所述，
故答案为：
8．已知函数
若
，
，且
，使得
成立，则实数a 的取值
范围是
．
【答案】
【解析】
当
时，可得
，易知函数在R 上单调递减，不满足题意；
当
时，当
时，
，对称轴为
，
当
时，
，此时函数在
上单调递减；
当
时，
，
当
时，开口向上，大致图象如图所示：
所以函数在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
，且
，使得
成立，满足题意；
当
时：
当
时，函数的开口下，对称轴
，
①当
，即
时，
易知函数在
和
上单调递减，在
上单调递增，
大致图象如图所示：
由此可知
，
，且
，使得
成立，满足题意；
②当
时，即
时，
此时函数的大致图象如图所示：
易知函数在R 上单调递减，
所以不存在
，且
，使得
成立；
综上，a 的取值范围为：
，
故答案为：
9．定义在闭区间
上的函数
的最大值与最小值之积为
，则b 的取值
范围是
．
【答案】
【解析】
记
在
上的最大值为
，最小值为
，
，
，
8．
①当
时，
，
，
，解得：
②当
时，
，
，
，解得：
③当
时，
，
，
，
，均不合题意．
或
基础过关篇
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
在
上为增函数，
在
上为减函数，在
上为增函
数，
且函数
在
上单调，
根据复合函数的单调性，可得
，即
，
所以
的取值范围是
.
故选：A.
2．（2025·云南·模拟预测）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，因为
是减函数，且
，所以
，故A 错误；
对于B，取
，则
，故B 错误；
对于C，因为
是增函数，且
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
是增函数，且
，所以
，故D 错误.
故选：C.
3．（2025·浙江金华·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】求导得
，
要满足函数
在区间
上单调递增，
则
，即
，
因为
，所以
，即
，
故选：B.
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数
同时满足以下三个条件：①
在定义域内是奇函数或偶函数；
②有奇数个零点；③在
内单调递增．函数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】选项中的四个函数对应的大致图象如图下图所示．
对于选项A：在区间
不单调，故A 错误；
对于选项B：没有零点，故B 错误；
对于选项C：是奇函数，有3 个零点，在
上单调递增，故C 正确；
对于选项D：有2 个零点，故D 错误.
故选：C
5．（2025·河北保定·二模）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，根据指数函数
在
上单调递增，可知
.
当
时，
，所以
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上不单调；
当
时，
，所以
，
在
上单调递减.
综上，
.
故选：C.
6．（2025·江西·二模）若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据函数
在区间
上单调递增，且
单调递增，
可得
在区间
上单调递增，所以
.
故选:D.
7．函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
及
，解得
，
所以
，故
在
上单调递增，
所以
，
，综上可得
，
故选：B.
8．（2025·陕西西安·一模）已知函数
，则满足
的x 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得，
的定义域为
，
，
因为
，
所以
为偶函数，
当
时，令
，则
，
因为
和
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增．
由
，得
，所以
，
两边平方并整理，得
，解得
．
故选：B．
9．已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
10．下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
11．设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
12．已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
13．设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
14．（多选题）（2025·广东·二模）设函数
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．
C．函数
的值域为
D．函数
在其定义域上为增函数
【答案】ABC
【解析】
，
令
，此函数定义域为
，
，故此函数为奇函数，A 正确；
；
，B 正确；
，令
，则
，
因为
所以由二次函数性质可知
，由反比例函数性质可知
所以
，即
，
所以函数
的值域为
，C 正确；
，令
，
，
由二次函数单调性可知：当
时
随的增大而增大，且
由反比例函数单调性可知：
随
的增大而减小，
故当当
时即
时
为减函数，故D 错误.
故选：ABC
15．（多选题）已知函数
若
的最小值为
，则（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．函数
在
上单调递增
C．
D．函数
的最小值为
【答案】ACD
【解析】当
时，
，当
时，
，由条件
知
（否则
的最小值不是
，所以函数
在
上单调递减，
．又
由条件知
，解得
，所以当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
由以上分析知A，C，D 正确．
16．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）若
是定义域为R 的单调递增函数，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
，
B．
，
，且
，有
C．
，
，且
，有
D．
，
【答案】AB
【解析】对于A，因为
是定义域为R 的单调递增函数且
，
所以当
时，
恒成立，当
时，
恒成立，
所以
，
恒成立，故A 正确；
对于B，
，
，且
，都有
，
所以
，故B 正确；
对于C，设
，则
，
都有
，故C 错误；
对于D，例如
在定义域为R 的单调递增函数，但
所以
，
，故D 错误.
故选：AB
17．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
【答案】AC
【解析】令
，得
，解得
或
.
若
，令
，得
，则
，
此时
，而
，
显然
不恒成立.
若
，同理得
，代入恒等式中验证有
恒成立，
故
，A 正确，B 错误.
易知
是偶函数，且
在
上单调递增.
因为
，且等号不能同时成立，所以
，
则
，则
，C 正确.
，易得
的值域为
，D 错误.
故选：AC
18．（2025·广东茂名·二模）已知函数
在
上单调递增，函数
是定义在
上的奇函数，且
，则
可以是 .（写出一个满足条件的函数即可）
【答案】
(答案不唯一)
【解析】根据题意只要函数
是
上单调递增的奇函数即可符合题意，所以
，即
可以是
，
故答案为：
(答案不唯一).
19．（2025·山西·模拟预测）已知函数
在R 上可导，其导函数为
，且
，则不等
式
的解集为 ．
【答案】
【解析】设
则
，
故
在R 上单调递减，
且
，即
，
即
，
故
.
故不等式
的解集为
.
故答案为：
20．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知
，
，
，
，则
，
，
的大小关系为 .（均用“>”连接）
【答案】
【解析】易知
为偶函数，周期为4，
当
，
，此时
在
上单调递减，且
，
当
，
，此时
在
上单调递减，且
，
，
，
，所以
；
又
，所以
，
又
，所以
，故
.
故答案为：
能力拓展篇
21．（2025·安徽合肥·三模）已知
，若
，则
的范围为 .
【答案】
【解析】由题可得：
则
注意到
，
则
注意到
，
则
，
.
注意到
，则
.
则
或
，
则
或
，
则
，当
时，
；
当
时，
；
时，
.
综上可得：
的范围是
.
故答案为：
22．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为
的函数
是奇函数，且在
上严格单调递增，若对
的某个内角
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】依题意，
是奇函数，且在
上严格单调递增，所以
在
上单调递增，
由
，得
，
，
设
，由于
，所以
，
所以
，即
，
则
的取值范围是
，
的取值范围是
，
由不等关系：
恒成立，
的取值范围是
.
故答案为：
.
23．已知
是定义在
上的奇函数，
，若
在
上单调递增，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】由
是定义在
上的奇函数，得
，
是
上的偶函数，由
，得
，
则
，由
在
上递增，得
在
上递减，
当
时，
，不等式
成立，因此
；
当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
24．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
满足对
都有
成立．当
时，
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】因为对
都有
，所以
是
上的奇函数，
又
时，
，显然
在
上单调递增，
故函数
在
上单调递增，
当
时，
，则
，即
；
由
，可得
，
故得
，
则有
或
，
即
或
，解得：
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
25．（2025·全国·一模）已知函数
，则
的解集为 .
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
，
当
时，
，得
，
在
上单调递减，
当
时，
，得
，
在
上单调递增，
又
，故
为
上的偶函数，
故
等价于
，
即
，两边平方解得
或
.
所以不等式解集为
，
故答案为：
26．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象上任意一点
处的切线方程
是
，且
在区间
上不是单调递增的，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【解析】由已知得
，若
，则
，满足
是增函数；
若
，由
得，
或
，也满足
在
上单调递增；
若
，由
得，
或
，若
在
上单调递增，需满足
，即
，解得
，
在
上单调递增时，实数
的取值范围是
或
，
在区间
上不是单调递增时，实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
