文档文本内容
§2.2 函数的单调性与最值
课标要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意
义.2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x，x∈I
1 2
当x<x 时，都有____________，那么 当x<x 时，都有____________，那么
1 2 1 2
定义 就称函数f(x)在区间I上单调递增，特 就称函数f(x)在区间I上单调递减，特
别地，当函数f(x)在它的定义域上单调 别地，当函数f(x)在它的定义域上单调
递增时，我们就称它是增函数 递减时，我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上____________或________________，那么就说函数y＝f(x)在这一
区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
(1)∀x∈D，都有____________； (1)∀x∈D，都有____________；
条件
(2)∃x∈D，使得____________ (2)∃x∈D，使得____________
0 0
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
常用结论
1．∀x，x∈I且x≠x，有>0(<0)或(x－x)[f(x)－f(x)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
1 2 1 2 1 2 1 2
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增．( )
(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3)．( )
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．( )
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝2x
3．(2023·宜春统考)函数y＝－在区间[1,2]上的最大值为( )
A．－ B．－
C．－1 D．不存在
4．函数 f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足 f(2x－1)>f 的 x 的取值范围是
________________.
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x－ B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1)
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法．
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( )
A. B.
C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞)
(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝ 的单调递增区间为___________________．
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小例3 (2023·湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x ，x∈(－∞，0](x≠x)，有
1 2 1 2
<0，则( )
A．f(－2)<f(3)<f(4)
B．f(－2)>f(3)>f(4)
C．f(3)<f(4)<f(－2)
D．f(4)<f(－2)<f(3)
命题点2 求函数的最值
例4 (2023·四川外国语大学附中模拟)函数f(x)＝x－＋1在[1,4]上的值域为( )
A. B．[0,1]
C. D.
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
(3)数形结合法．
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数
和一个分式和的形式．
典例 (多选)下列函数中，值域正确的是( )
A．当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)
B．函数y＝的值域为R
C．函数y＝2x－的值域为
D．函数y＝＋的值域为[，＋∞)
命题点3 解函数不等式
例5 函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是
____________________．
命题点4 求参数的取值范围
例6 (2024·恩施模拟)已知函数f(x)＝满足：对任意x ，x∈R，当x≠x 时，都有>0成立，
1 2 1 2
则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B.
C. D．[1,2]
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是( )
A．(－2,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)
(2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为_______________．
