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§2.2 函数的单调性与最值
课标要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意
义.2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果∀x，x∈I
1 2
当x f ( x )，那么就
1 2 1 2
当x0(<0)或(x－x)[f(x)－f(x)]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减)．
1 2 1 2 1 2 1 2
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
⇔
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(－3)f 的x的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
∴2x－1≥0，即x≥，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
∴2x－1<，即x<，则x的取值范围为.
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x－ B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1)
答案 ACD
解析 ∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；
∵y′＝2－2sin x≥0，
∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确；
函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解 方法一 定义法
设－10，x－1<0，x－1<0，
2 1 1 2
故当a>0时，f(x)－f(x)>0，
1 2
即f(x)>f(x)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
1 2
当a<0时，f(x)－f(x)<0，
1 2
即f(x)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法．
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( )
A. B.
C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞)
答案 B
解析 g(x)＝x·|x－1|＋1
＝
画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为.
(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝ 的单调递增区间为________．
答案
解析 令t＝2x2－3x－2>0，
解得x>2或x<－，
则f(x)的定义域为∪(2，＋∞)，
由f(t)＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递
增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为.
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 (2023·湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x ，x∈(－∞，0](x≠x)，有
1 2 1 2
<0，则( )
A．f(－2)f(3)>f(4)
C．f(3)0成立，
1 2 1 2
则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B.
C. D．[1,2]
答案 C
解析 对任意x，x∈R，当x≠x 时，都有>0成立，
1 2 1 2
所以函数f(x)＝在R上是增函数，
所以解得0，
解得x>1或x<－2，
则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
(2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案 [1,2)
解析 f(x)＝＝＝1＋，
∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，
∴ 1≤a<2.
⇒
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝
C．y＝ D．y＝3－x
答案 B
解析 y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意；
y＝是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0,1)上单调递增，故B符合题意；
y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0,1)上单调递减，故C不符合题意；
y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意．
2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[0,2] D．[0，＋∞)
答案 B
解析 ∵y＝|x－2|＝
∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，
∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)．
3．(2024·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小
关系为( )
A．f(1)>f(－2)>f(－3)
B．f(－2)>f(－3)>f(1)
C．f(－3)>f(1)>f(－2)
D．f(－3)>f(－2)>f(1)
答案 D
解析 因为f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．
因为f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)，
所以f(－3)>f(－2)>f(1)．
4．已知函数f(x)＝，则f(x)在区间[2,6]上的最大值为( )
A. B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 ∵f(x)＝＝2＋在[2,6]上单调递减，
∴f(x) ＝f(2)＝4.
max
5．(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集为( )
A．(e，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞)．
因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，
又f(1)＝1＋ln 1－1＝0，
所以不等式f(x)<0的解集为(0,1)．
6．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x，x 且x≠x，都有>－1，则下列说法正确的是
1 2 1 2
( )
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
答案 A
解析 不妨令x－1 f(x)－f(x)<－(x－x) f(x)＋x0，则y＝f(x)在I上单调递增
1 2 1 2
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－在定义域上是增函数
D．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
答案 AD
解析 对于A，若对任意x ，x∈I，当x0，则有f(x)1>0，xx－a>0，
1 2 1 2 1 2 1 2
则g(x)－g(x)<0，即g(x)0恒成立，
而函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上不单调，因此01时，函数y＝log u在(0，＋∞)上单调递增，
a
由复合函数的单调性，得函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上单调递减，
因此≥1，并且12－a×1＋3>0，解得2≤a<4，
所以实数a的取值范围是[2,4)．
四、解答题
13．(2023·昆明统考)给定函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在
区间(－∞，a]上的单调性．
解 (1)f(x)，g(x)的图象如图所示．
(2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上
单调递减，
所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减；
当02时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a]上单调递减．
14．(2023·重庆联考)已知f(x)＝(x∈R)．
(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(2)解关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0.
解 (1)f(x)＝＝1－在R上是增函数．
证明：在R上任取x，x 且x0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f ＝－＝4，
解得a＝4或a＝－4(舍去)，
又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2
