文档内容
重难点突破 01 玩转指对幂比较大小
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................3
题型一：直接利用单调性............................................................................................................................................3
题型二：引入媒介值....................................................................................................................................................4
题型三：含变量问题....................................................................................................................................................6
题型四：构造函数.........................................................................................................................................................9
题型五：数形结合.......................................................................................................................................................12
题型六：特殊值法、估算法......................................................................................................................................19
题型七：放缩法...........................................................................................................................................................20
题型八：不定方程.......................................................................................................................................................23
题型九：泰勒展开.......................................................................................................................................................26
题型十：同构法...........................................................................................................................................................28
题型十一：帕德逼近估算法......................................................................................................................................32
03过关测试.........................................................................................................................................33（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小
关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥题型一：直接利用单调性
【典例1-1】记 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，幂函数 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
所以 ，
又对数函数 在 上单调递减，所以 ，
故 .
故选：D.
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则实数a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 在R上单调递增，可得 ，又 ，
则 ．
由 在 上单调递增，可得 ．
由 在 上单调递增，可得 ．
所以 ，
故选：A．
【变式1-1】设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 ，则 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，则 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：D
【变式1-2】（2024·宁夏银川·三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ， ， ，因为 在定义域内单调递增，
所以 ，即 ，
因为 在定义域内单调递减，所以 ，即 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，
综上： .
故选：D
题型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·甘肃兰州·二模）故 ， ， ，则a，b，c的大小顺序是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ，
所以 ，
故选：D
【典例2-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，那么 ， ， 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，则 ，即 ，
，即 ，
，故
故选：B
【变式2-2】（2024·江西上饶·模拟预测）设 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ， ，
，而 ，所以 .
故选：B题型三：含变量问题
【典例3-1】（2024·陕西西安·统考一模）设 且 ，则
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，
则
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ．
故选：A．
【典例3-2】（多选题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A选项中，因为 ，故 在R上单调递减，故 ，
因为 在 上单调递增，故 ，综上， ，A正确；
B选项中，由于 ，而已知 ，所以B不正确；
C选项中， ，
设 ，则 ，
设 ，
则 ，
所以 在 上递增，这样 ，故C正确；
D选项中，取 ， ，则 ， ，又 ，故 ，所以D错误.
故选：AC.
【变式3-1】（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知x，y，z都为正数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】令 ，则 ， ， ，
所以 ，B错误；
（注意 等号不成立），故 ，A正确；
（注意 等号不成立），则 ，C正确，
由 ，令 且 ，
则 ，
由 ，
因为 ，故 ，
综上， ，即 在 上单调递减，
所以 ，故 恒成立，即 ，D正确.
故选：ACD
【变式3-2】（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，A正确；因为 ，则 ， ，…， ，以上各式相加有 ，B
错误；
由 得， ，即 ，
于是 ， ， ，…， ，
以上各式相加有 ，即 ，C正确；
由 得， ，因此 ，
设 ， ，
则 ，所以 ，D正确．
故选：ACD
【变式3-3】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知正实数a，b，c满足 ，则一定有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由正实数a，b，c，以及 ， 可得 ，
又 ，所以 ．
所以 ，又 ，所以 ，
即 ，等价于 ，
构造函数 ，
，
当 时，
故 在 上递增，从而 ．
又取 时，原式为 同样成立，
故CD不正确，
故选：AB题型四：构造函数
【典例4-1】设 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ， 的定义域为 ，
，令 可得： ，令 可得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
故 ，即 ，
变形可得 ，即 ，所以 ；
又 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，综上， ，
故选：B．
【典例4-2】（2024·湖北武汉·二模）设 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
综上 ，设 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
所以
故选：B.
【变式4-1】设 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
易知 ，且 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，在 时取得等号，
且 ，在 时取得等号，则 ，在 时取得等
号，
所以 ，即 .
故选：D
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 恒成立，所以 在 上单调递减，则 ，
所以 在 上恒成立，则 上单调递减，又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ；
因为 ，所以 ，而 ，
令 ，则 ，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 在 上恒成立，则 上单调递减，又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ；
综上， .
故选：B．
【变式4-3】已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递增；
又 ，所以 ，
所以 ；
， ，
设 ， ，，所以函数 在区间 上单调递减，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，则 ，
综上， .
故选：C.
题型五：数形结合
【典例5-1】（2024·高三·海南·期末）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，当 时，
， 单减，故 ，即 ；
设 ， ，当 时， ，
所以 ，即 ，即 ；
，故 最小，
， ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以
故选：C
【典例5-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
设 0，所以 ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 .
根据已知得 ，
可设 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 .
综上， .
故选：D.
【变式5-1】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，画出 的图象，
故 为下凸函数，
当 时 ，
所以 ， .
设 ，画出 图象，
故 为上凸函数，当 时 ，所以 ，
同一坐标系内画出 和 的图象，
又 在R上单调递减，故 ，所以 .
设 ，则 ， 在 上单调递减，
所以 时 ，
所以 ， ，
所以 ，同理可得 ， ，
相加得 ， ，
所以 .
故选：A
【变式5-2】（2024·四川广安·二模）已知 ， ， 均为正数， ， ，
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 可变形为： ， 可变形为： ，
可变形为： ，
令 ， ， ， ，且 ，
可知 分别为函数 与 ， ， 的交点横坐标，
当 时， 单调递增且 ， ，
， ， 这三个函数全部单调递减，且 ， ，， ，
由零点存在性定理可知： ，所以只需判断 ， ， 这三个函数的单调性，在
范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，
由图象可知， 下降速度最慢，所以 最大，
， ， 时， ，所以交点 ，
故选：B
【变式5-3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知 ， ，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，由 ，故 ，
由 与 在 上单调递增，故 在 上单调递增，
又 ， ，故 ，故B错误；
令 ，
由函数 的图象及 的图象可得 在 上只有一个零点，由 ，故 ，
又 ，
，故 ，故C错误；
有 ，故A错误； ，故D正确.
故选：D.
【变式5-4】雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，
他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的
不等式．伯努利不等式的一种形式为： ， ，则 ．伯努利不等式是数学中的一
种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
令 ，两函数图象如图所示，
因为 均单调递增，且 ，
结合图象可知当 时， ，即 ，
故 ，故 ；
如图，单位圆A中， 于 ，设 ， ，则 的长度 ， ， ，
则由图易得， ，即 ，
所以 ，故 ；
综上， .
故选：B.
【变式5-5】（2024·高三·江苏苏州·期中）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，作出单位圆，与 轴交于 点，则 ，
过点 作 垂直于 轴，交射线 于点 ，连接 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
由三角函数定义可知 ， ， ，
设扇形 的面积为 ，则 ，即 ，故 ，
因为 ，所以 ，
又 ，由 得 ，即 ，
令 ， ，则 ，当 时， ，
故 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
故 ，
综上， .
故选：D
【变式5-6】（2024·江西南昌·三模）若 ， ， ，则正数 大小关系是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，则 为 与 交点的横坐标，
由 ，则 为 与 交点的横坐标，
由 ，即 ，则 为 与 交点的横坐标，
作出 ， ， ， 的图象如下所示，
由图可知， .
故选：B
题型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】若都不为零的实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】取 ，满足 ，但 ，A错误；
当 ，满足 ，但 ，B错误；
因为 ，所以 ，所以 ，C正确；
当 或 时， 无意义，故D错误．
故选：C
【典例6-2】已知 ， ， ，若 ，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】取 ，则 ， ， ，所以 ．
故选：B．
【变式6-1】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ，可知 ，
又由 ，从而 ，可得 ，
因为 ，所以 ；
因为 ，从而 ，即 ，
由对数函数单调性可知， ，
综上所述， ．
故选：B．
【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）若 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】由 ，得 ，所以 ，所以 ，所以 错误；
令 ，此时 与 无意义，所以 错误；
因为 ，所以由不等式的性质可得 ，所以 正确；
令 ，则 ，所以 错误.
故选： .
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以当 时， ，即 ；
令 ，则 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以当 时， ，即 ；
由诱导公式得 ，
所以 ，因此 ；
因为 ， ，
故只需比较 与 的大小，
由二项式定理得， ，
所以 ．
综上， .
故选：C
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ．
综上可知， ．
故选：B．
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
对于A，易得 ，所以 ，故A成立.
对于B，因为 ，所以 ，故B成立.
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，
显然等号不成立，所以 ，故C不成立.
对于D，因为 且 ，
所以 ，故D成立.
故选：C.
【变式7-2】（2024·江西宜春·模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】显然 ， ，
因为 ，所以 ；又因为 ， ，
令 ， ．则 ，
可知 在 上单调递增，
则 ，可得 ，
令 ， ，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递增，
则 ，即 ，所以 ；
综上所述： ．
故选：A．
【变式7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设 ， ， ，则 、 、 的大
小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
，
因为 ，所以 ，
因为 ，
，
所以 ，
所以 .
故选：D.
【变式7-4】下列大小关系正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】对于A，由于 ，
所以 ，故 ，故A错误；
对于BCD，设 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
因此 ，
即 ，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C
题型八：不定方程
【典例8-1】已知a、b、c是正实数，且 ，则a、b、c的大小关系不可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，a、b、c是正实数，
所以 ，
因为 ，所以 ，
对于A，若 ，则 ，满足题意；
对于B，若 ，则 ，满足题意；
对于C，若 ，则 ，满足题意；
对于D，若 ，则 ，不满足题意．
故选：D．
【典例8-2】设实数 ， 满足 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】C
【解析】假设 ，则 ， ，
由 得 ，
因函数 在 上单调递减，又 ，则 ，所
以 ；
由 得 ，
因函数 在 上单调递减，又 ，则 ，所以
；
即有 与假设 矛盾，所以 ，
故选：C
【变式8-1】已知实数 、 ，满足 ， ，则关于 、 下列判断正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】先比较 与2的大小，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
故排除 ， ，
再比较 与2 的大小，
易得，当 时，由 ，得 与 矛盾，舍去，
故 ，则有 ，得 ，
令 ， ，
令 ，则 ，
故 ，
故 ，
从而 ．故选： ．
【变式8-2】已知实数 ， 满足 ， ，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ，
故 ，
， ，
故 ，即 ，
，且 ，
， ，
令 ，
则 ，
故 ，即 ，
故 ，
故选： ．
【变式8-3】若 且 ， 且 ， 且 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】令 ，则 ．
由 得： ．
函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
， ， ， ， ， ，
（4） （a）， （5） （b）， （6） （c）．
， （6） （5） （4）， （c） （b） （a），
又 ， ， ， ， ， 都小于 ， ．
故选： ．
题型九：泰勒展开
【典例9-1】已知 ，则（ ）【答案】A
【解析】设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A．
【典例9-2】设 ，则 的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】 ，由函数切线放缩 得 ，因此
．
故答案为：
【变式9-1】设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
故选
【变式9-2】 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
，故选B
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， 则（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知， ， ，
设 ， ，
则 ，
其中 ，
令 ，则 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减， ，
∴当 时， ， ， 在 上单调递增，
∴ ，即 ，∴有 .
对于 与 ， ，
将 泰勒展开，得 ，
，
∴ .
综上所述， ， ， 的大小关系为 .
故选：C.
题型十：同构法
【典例10-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足 ，则下
列关系式中可能正确的是（ ）
A． ，使 B． ，使
C． ，有 D． ，有
【答案】ABC
【解析】由得 ，
令 ，则 分别在 和 上单调递增，
令 ，则 分别在 和 上单调递增，
当 时， 的值域为 ，当 时， 的值域为 ，
所以存在 ，使得 ；
同理可得，存在 ，使得 ，
因此 ，使 ，故选项A正确．
令 ，则方程
可化为 ，
由换底公式可得 ，
显然关于b的方程在 上有解，所以 ，使 ，故选项B正确．
当 时，因为 ，所以 ．
又 在 上单调递增，所以 ．
因为 ，
令 ，则 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
综上所述， ，故选项C正确．
当 时，因为 ，所以 ．
又 在 上单调递增，所以 ．
因为 ．
令 ，则 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．综上所述， ，故选项D错误．
故选：ABC．
【典例10-2】（多选题）已知 ， 且满足 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】等式 ，等号两边同除以 ，
可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
构造函数 ，则 ，
显然，函数 在定义域 内是增函数，
所以 ，即 ．
而 ，而 ，
故 ，故 ，故D正确.
故选：AD．
【变式10-1】（2024·高三·浙江·开学考试）已知 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
函数 是正实数集的上的增函数，
因为 ，因此 ，显然 ，
因此选项A不正确；
当 时， ，
函数 是正实数集的上的增函数，因为 ，因此 ，显然 ，
因此选项B不正确；
因为 ，所以
由 ，
构造函数 ，显然该函数单调递增，
由 ，因此选项C不正确，选项D正确，
故选：D
【变式10-2】（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得
因 ，则有 即 （*）
设 ，则（*）即 ，因 在 上为增函数，故可得： .
故选：B.
【变式10-3】（多选题）（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足 ， ， ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为 ，
令函数 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，且 ，
可知当 时， ；当 时， ；
且 ，则有：
当 时， ，即 ，可得 ，故A正确；
当 时， ，即 ，可得 ，故B正确；又因为当 时， 在定义域内单调递减，可得 ；
当 时， 在定义域内单调递增，可得 ，
所以C正确，D错误．
故选：ABC.
【变式10-4】（2024·陕西西安·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式 ，
令函数 ，求导得 ，令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上递减，在 上递增，
，即 ，因此函数 在R上递增，
原不等式等价于 ，于是 ，
对于AB，取 ，有 ，AB错误；
对于CD， ，即 ，C错误，D正确.
故选：D
题型十一：帕德逼近估算法
【典例11-1】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得 ，
， ，综上， .
故选：B
【典例11-2】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，综上， ．
故选：B.
【变式11-1】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
，
综上， ．
故选：B
【变式11-2】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
，
.
综上， ．
故选：A
1．（2024·江西萍乡·二模）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】令 ，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
且 ，
则 ，即 .
故选：C.
2．（2024·宁夏银川·三模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造函数 ，则 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
因此可得 ，即 ，
所以 ，
又指数函数 为单调递增，可得 ，即 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
3．（2024·河南新乡·三模）设 ，其中 是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令函数 ，求导得 ，即函数 在 上单调递减，
而 ，又 ，因此 ，
所以 .
故选：B4．（2024·天津红桥·二模）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，而 ，
所以a，b，c的大小关系为 .
故选：C
5．已知 ， ， ， ，则在 ， ， ， ， ， 这6个数
中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，
， ，则 ，故 ，
又 ， ， ， ， ，故最小值是 ，
故选：C．
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，又 ， ，即 ；
， ，即 ， ；
， 可令 ，
， 在 上单调递增，
，即 ， ；
综上所述： .
故选：A.7．（2024·山西·模拟预测）已知实数 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，且 ， ，
令 ，则 ，
设 ，可得 ，所以 为R上单调递增函数，
因为 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 单调递减，所以 ，即 ，
即 ，所以 ，
再设 ，可得 ，
所以 在 上在单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
综上可得： .
故选：C.
8．（2024·湖北黄冈·二模）已知 分别满足下列关系： ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 可得
因 ，
又 ，故 ,即 ；因 ，则 由 ，
由函数 ， ，因 时， ，
即函数 在 上单调递减，则有 ，故得 ；
由 ，而 ，即 ，
综上，则有 .
故选：B.
9．（2024·青海西宁·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 .
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 ，故 .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递减，
则 ，即 .
故 .
故选：A.
10．（2024·安徽·三模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
即 ，
令 ，
则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
则有 ，即 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
则有 ，即 ，
故 .
故选：A.
11．（2024·河南南阳·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 得 .
由 得 ，
又 .
取 ，则 .
设 ，
则 ，
所以 在区间 内单调递增，
又 ，则 ，
即 ，所以 .
令 ，
则 ，
所以 在区间 内单调递增，
则 ，
故 ，则 ，即 ，所以 .
故选：A.
12．（多选题）已知 ， ， 则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】A选项，因为 ，所以 ，
令 ， ，
则 ，
因为 ，所以 恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，
则 ，故A错误；
B选项，由A选项可知，
，故B正确；
CD选项，由AB选项可知， ，C正确，D错误.
故选：BC
13．（多选题）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】已知 ，则 ，有 ，
由 ，得 ，则 ，即 ，
所以 ，A选项正确；
函数 ，有 ，
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
， ，即 ， 时等号成立，
已知 ，由 ，所以 ，B选项正确；已知 ，则 ， ，当且仅当 ，即 等号成立，
所以 ，有 ，得 ，C选项错误；
设 ，有 ，则 ， ，有 ，
设 ，有 ，
设 ，则 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ， 在 上恒成立，
得 在 上单调递增， ，即 ，D选项正确.
故选：ABD.
14．（多选题）已知函数 为自然对数的底数）， ，若
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意 ，即 ，
而 在定义域上递增，故 ，
所以 ，即 ，A对，C错；
由 ， ，故零点 ，
所以 ，B对；
由 ，则 ，
而 ，显然 ，则 ，故 ，
综上， ，D对.
故选：ABD
15．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）若正实数 满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为 ， 为单调递增函数，故 ，
由于 ，故 ，或 ，
当 时， ，此时 ；
，故 ；
， ；
当 时， ，此时 ， ，故 ；
， ；
对于ABC，A正确，BC均错误；
对于D， ，两边取自然对数， ，
因为不管 ，还是 ，均有 ，
所以 ，故只需证 即可，
设 （ 且 ），则 ，
令 （ 且 ），则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，所以 在 且 上恒成立，
故 （ 且 ）单调递减，
因为 ，所以 ，结论得证，D正确．
故选：AD．
16．（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知 ， ， ，下面结论正确
的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】A选项， 变形得到 ，
因为 ，所以 ，故 ，
解得 ，当且仅当 时，等号成立，A错误；
B选项，因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，同理可得 ，
由 可得 ，故 ，
，所以 ，
故 ，解得 ，
又 ，即 ，所以 ，即 ，解得 ，
解得 ，综上， ，同理可得 ，
所以 ，故B正确；
C选项，因为 ，所以 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，
，C正确；
D选项，由B可知， ，
设 ， ，则 ，
故当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，解得 ，
，
故选：BCD
17．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，所以，则
，
，
所以 ，
即 恒为递增函数，
则 ，即 ，所以 ，
综上： ，
故选：A.
18．（2024·高三·四川成都·期末）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ，
令 ， ，则 ，令 ， ，
则 ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，故 在 上恒成立，
将 中 换为 可得， ，
即 ，故 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
由复合函数单调性可知 在 上单调递增，
故 ，即 .
故选：D
19．（2024·全国·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ．
取 ，则 ， ， ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，所以 ．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
故选：A
20．已知 ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ， ， ，
构造函数 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 时取得极大值，也是最大值，
若 ，不妨设 ，
设 ， ，则 ，
，
当 时， ，故 在 上单调递增，
故 ，即 ，
又 ，故 ，
因为 ，所以 ，而 在 上单调递减，
故 ，则 ，
由于 ，令 ，
而 ，
而 在 上单调递减，
，即 ，
，而 ，故 ，即 ，
综上， .
故选：C
21．已知三个互不相等的正数 满足 ，（其中 是一
个无理数），则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以
所以根据幂函数的性质可得 ，
因为 都是正数，
，
，
因为 是递增函数，又因为 ，
作出 和 的图像，如图可得，当 时，两函数值相等； 时， 图像一直在 的上方，所以
故 ，
故选：B
22．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
综上， ，
故选：D
23．（多选题）已知 ， ， ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
，有 ，故 ，
又 ， ，
故 ，故有 ，
故 ，即C正确， ，即 ，故D错误，
下证： 恒成立.
即证： ，即证 ，
设 ，
则 ，
因为 ， ，故 ，
故 在 上为减函数，故 ，
即 在 成立，
故 恒成立.
因为 ，则 ，若 ，则 ；
若 ，则 ，
而 故 即 ，故A错误；
令 ，有 ，
则 ，
当 时， ，当 ， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
有 ，又 ，故 ，
令 ，
则 ，
由 ，故 ，即 ，
故 在 上单调递增，又 ，故 恒成立，
即 ，由 ，即有 ，
又 ，即有 ，有 ， ，
又 在 上单调递减，故 ，即 ，故B正确.
故选：BC.
24．（多选题）（2024·湖南长沙·二模）下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由
，则有 ，A正确；
假定 ，有 ，令 ，求导得， 在 上单调递增，
则 ，即当 时， ， ， ，
令 ，求导得， 在 上单调递减，
则 ，即当 时， ， ， ，
，
因 成立，则 成立，所以 成立，B不正
确；
假定 ，有 ，
令 ，，则 在 上单调递增，
而 ，则 ，所以 成立，C不正确；
令 ，求导得，，
曲线 在 处切线方程为 ，
令 ，求导得，即 在 上单调递减，
而 ，则 ，即 ，D正
确.
故选：AD
25．（多选题）（2024·山东聊城·一模）若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A：原式等价于 ，对于选项C：
，对于选项D：变形为 ，构造函数 ，通过求导判断其在上的单调性即可判断；
对于选项B：利用换底公式： ，
等价于 ，利用基本不等式 ，再结合放缩法即可判断；令 ，
则 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减，
对于选项A：因为 ，所以 ，
即原不等式等价于 ，因为 ，所以 ，从而可得
，故选项A正确；
对于选项C： ，
由于函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，取 ，则 ，故选项C错误；
对于选项D： ，与选项A相同，故选项D正
确.
对于选项B： ，因为 ，
所以等价于 ，因为 ，
因为 ，
所以不等式 成立，故选项B正确；
故选：ABD
26．（多选题）（2024·江苏南通·三模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD【解析】对A，由图可知： 与 交点 ，
与 的交点 ，
根据指数函数与对数函数为一对反函数知： ， 关于 对称，
故 ， ，故A正确；
对B，由A知 ，故B错误；
对C，由 知 ，则 ，设 ， ，
则 ，则当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
则 ，则 恒成立，即 ，当 时取等；
令 ，则有 ，因为 ，则 ，即 ，故C错误；
对D，设 ， ，则 ，
则当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
则 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，当 时取等，
令 ，则 ，即 ，因为 ，则 ，则 ，
故 ，故D正确.
故选：AD.
27．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 ，
则（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由已知，得 ．
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
等式两边同时除以 ，得 ，即 ．
同理，令 ，有 ．
所以 是方程 的两个根．
设 ，则易知 在区间 上单调递减，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．故 ，且 ，所以 ．
又 ，所以 ．
故选：BC．
28．（多选题）已知 ， ， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABD
【解析】对于A，函数 均为R上的增函数，
且 时，两函数值相等，均为1， 时，两函数值相等，均为9，
作出函数 的图象如图：由图可知当 时， ，即 ，A正确；
对于B， 时， ，
由于 ，故 ，故 ，B正确；
对于C，作出函数 的图象如图，
由图象可知当 时， ，即 ，C错误；
对于D， ，则 ， ， ，
由于 ，故 ，即 ，D正确，
故选：ABD
