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3.3 导数与函数的极值、最值
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
函数y＝f (x)在点x＝a 处的函数值f (a)比它在点x＝a 附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且
在点x＝a 附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则把a 叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数
y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
函数y＝f (x)在点x＝b 处的函数值f (b)比它在点x＝b 附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且
在点x＝b 附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则把b 叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数
y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【注意】1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是
单调函数．
2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点．
求可导函数f (x)极值的步骤
(1)定义域：求函数的定义域．
(2)求导：求函数的导数f ′(x)．
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0 全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点．
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列
在一个表格内．
(5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函
数f (x)取得极小值．
函数的最值
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小
值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值．
【注意】函数的极值与最值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．
(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．
(3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
考点一 函数图象与极值(点)的关系
考点二 求已知函数的极值(点)
考点三 根据极值(点)求参数
考点四 讨论极值（含参）
考点五 利用导数求函数的最值（不含参）
考点六 利用函数最值求参数
考点七 利用导数求函数的最值（含参）
考点八 函数单调性、极值与最值的综合应用
考点一 函数图象与极值(点)的关系
1．（25-26 高三上·北京·期中）如图是函数
的导函数
的图像，则下列说法错误的是（ ）
A．
在
处取极大值
B．
C．
在
上存在最小值
D．
在
上至多有3 个零点
2．（25-26 高三上·吉林·期中）若函数
的导函数
图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的解集为
B．函数
有2 个极值点
C．函数
的单调递增区间为
D．
是函数
的极小值点
3．（25-26 高三上·新疆喀什·期中）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．
为
的极大值
B．在区间
内，
有1 个极值点
C．在区间
内，
是增函数
D．
是
的一个零点
4．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在
上的函数
，其导函数
的大致图象如图所示，
①
；
②函数
在
处取得极小值，在
处取得极大值；
③函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值；
④函数
的最小值为
.
以上正确的序号是__________.
5．（25-26 高三上·广东珠海·阶段检测）（多选）函数
的导函数
的图象如图所示，以下命题错
误的是（ ）
A．
是函数
的极值点
B．
是函数
的极值点
C．
在区间
上单调递增
D．
是函数
的极值点
6．（25-26 高三上·广东湛江·期中）（多选）导函数
的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是
（ ）
A．
是导函数
的极小值点
B．
是导函数
的极小值
C．
是函数
的极大值
D．
是函数
的极小值点
考点二 求已知函数的极值(点)
7．（25-26 高三上·上海宝山·期中）（1）已知函数
．求
的极值；
8．（25-26 高三上·天津静海·期中）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
9．（25-26 高三上·上海闵行·期中）函数
的极值点为__________.
10．（2026·广西桂林·模拟预测）（多选）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
在
上单调递增
B．
的极小值为
C．
的图象关于原点对称
D．
有两个零点
11．（25-26 高三上·重庆渝北·期中）
，下列说法正确的是（ ）
A．0 是极大值点
B．
是极大值点
C．
是极小值点
D．
是极大值点
12．（25-26 高三上·山东济南·期中）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．当
时，
C．
有三个零点
D．函数
图象的对称中心为
考点三 根据极值(点)求参数
13．（2026·陕西渭南·三模）已知函数
的极小值为
，则实数
的值可能为（）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，且
时，
有极值，则
_____．
15．（25-26 高三上·广东汕头·期中）已知函数
在
处取得极大值，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
16．（25-26 高三上·重庆·期中）已知函数
既有极大值又有极小值，则实数
的取值范
围为______.
17．（25-26 高三上·四川成都·期中）若函数
有唯一极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（25-26 高三上·天津武清·期中）已知函数
在
处取得极大值0，则
________.
考点四 讨论极值（含参）
19．（2026·新疆·二模）已知函数
．
(1)若
，求函数
的极值；
20．（25-26 高三上·湖南长沙·期中）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
21．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
在区间
内极值点的个数．
22．（2026·吉林·二模）已知函数
，
．
(1)求
，
的单调区间；
(2)已知
，函数
，讨论
的极值点的个数；
23．（25-26 高三上·安徽安庆·期中）已知函数
(1)
时，求
在
处切线方程；
(2)讨论
的极值．
24．（25-26 高三上·江西萍乡·期中）已知函数
．
(1)证明：函数
在
上存在唯一零点；
(2)设函数
．
（i）讨论
的极值点的个数；
考点五 利用导数求函数的最值（不含参）
25．（江苏扬州市2026 届高三下学期五月质检数学试题）函数
在区间
上的最大值为
_________．
26．（25-26 高三上·天津静海·期中）函数
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．1
27．（25-26 高三上·广东汕头·期中）已知函数
.
(1)求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.
28．（25-26 高三·全国·一轮复习）设函数
，若函数
在
处与直线
相切．
(1)求实数
，
的值；
(2)求函数
在
上的最大值．
29．（25-26 高三上·广西河池·期中）已知函数为
．
(1)求
；
(2)求
的单调区间；
(3)求
在区间
上的最值．
30．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最大值为______.
考点六 利用函数最值求参数
31．（25-26 高三下·湖南张家界·阶段检测）已知函数
，若
在区间
上的最小值为
，则实数
的取值范围是______.
32．（25-26 高三上·北京·期中）若函数
在
上有最小值，则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
33．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）已知函数
在区间
上的最小值为0，则实数
的值为
_________
34．（25-26 高三上·四川资阳·期中）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
在区间
上的最小值为1，求
的值．
35．（25-26 高三上·安徽合肥·期中）若函数
在区间
上有最大值，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（2026·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在最小值，且最小值小于2，求
的取值范围.
考点七 利用导数求函数的最值（含参）
37．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，讨论函数
在区间
上的单调性及最小值．
38．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）已知函数
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
．
（ⅰ）求
在
上的最大值和最小值；
39．（25-26 高三上·贵州黔南·阶段检测）已知函数
（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求
在
上的最小值．
40．（25-26 高三上·重庆·期中）已知函数
，
，
，若
，
，
使得
成立，则实数
的取值范围是___________.
41．（25-26 高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数
(1)函数
在
处取极值，求
的值：
(2)求函数
在区间
上的最小值．
42．（25-26 高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，令
求函数
在区间
上的最大值；
43．（2026·陕西安康·三模）已知函数
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
．
（i）求
在
上的最大值和最小值；
44．（25-26 高三上·江苏·月考）（多选）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
有最小值
B．若
，则
的极小值为0
C．若
，则
D．若
，则
的最大值大于
考点八 函数单调性、极值与最值的综合应用
45．（25-26 高三·全国·一轮复习）如图，直线
与曲线
交于
、
两点，其中
是切点，记
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
只有一个极值点
B．
有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C．
的极小值点小于极大值点，且极小值为
D．
的极小值点大于极大值点，且极大值为2
46．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，使
成立，求参数
的取值范围．
47．（2026·陕西渭南·三模）已知函数
．
(1)当
时，曲线
的一条切线方程为
，求实数
的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若对任意
，
恒成立，求实数
的最小值．
48．（25-26 高三上·天津东丽·期中）已知函数
，其中
.
(1)若
是
的极值点，求
的值；
(2)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
49．（25-26 高三上·广东江门·期中）当
，满足
，则实数a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
50．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数
．
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)若
，不等式
有唯一的负整数解，求实数
的取值范围．
51．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
，
，其中
．
(1)若
是函数
的极值点，求实数
的值：
(2)当
时，讨论函数
的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点；
(3)若存在
（e 为自然对数的底），使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
52．（25-26 高三上·山东济南·期中）已知函数
有两个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则
在
内有（ ）
A．3 个驻点
B．4 个极值点
C．1 个极小值点
D．1 个极大值点
2．（25-26 高三上·贵州黔南·阶段检测）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3．（25-26 高三上·河北邯郸·期中）函数
的极值点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·期中）若函数
在
处取得极值，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·广东汕头·期中）若函数
在区间
有两个不同的极值点，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·安徽安庆·阶段检测）已知函数
，
，若对任意的
，
存在
，使得
成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·山东东营·二模）已知函数
，若
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·四川成都·月考）已知函数
在
处取得最小值1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若函数
有两个极值点，设这两个极值点为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·四川成都·三模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
有最大值
B．若函数
图象的对称中心为
，则
C．函数
在
上一定存在减区间
D．函数
可能有2 个零点
11．（25-26 高三上·广东汕尾·期中）（多选）函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
在
单调递减，在
单调递增
B．若
，则
C．若
，则
存在一个极值点
D．若
，则
恒成立
12．（25-26 高三上·河北唐山·期中）已知函数
在
处取得极值，则实数a 的取值为
_____．
13．（25-26 高三上·天津南开·月考）如图是
的导函数的图象，则正确的判断是
（1）
在
上单调递增
（2）
是
的极小值点
（3）
在
上单调递减，在
上单调递增
（4）
是
的极小值点
以上正确的序号为______.
14．（25-26 高三上·福建莆田·阶段检测）若对任意的
，恒有
，则实数
的取值范围
为________.
15．（25-26 高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，且
，使得
，求实数
的取值范围．
16．（25-26 高三上·河北石家庄·期中）已知函数
，
．
(1)求
的极值点；
(2)若
在区间
内单调递减，求
的取值范围；
(3)若
，比较
与1 的大小．（其中
）
17．（25-26 高三上·云南昭通·期中）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)当
时，求
的最小值；
(3)证明：当
时，
有唯一零点.
18．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值；
(2)函数
的导函数为
，求函数
在区间
上的最小值.
