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3.6 利用导数研究恒(能)成立问题
考点一 分离参数法求参数范围
考点二 分类讨论法求参数范围
考点三 双变量恒(能)成立问题
考点四 导数中的极值偏移问题
考点一 分离参数法求参数范围
1．（25-26 高三上·湖南株洲·阶段检测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)分析
的单调性；
(3)当
时，
恒成立，求
的取值范围.
2．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
3．（2026·湖北武汉·二模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，
（ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（ⅱ）求函数
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围.
4．（24-25 高三上·北京·期中）函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是_____.
5．（2026 高三·全国·专题练习）若关于
的不等式
有解，其中
，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
，
，其中
．
(1)若
是函数
的极值点，求实数
的值：
(2)当
时，讨论函数
的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点；
(3)若存在
（e 为自然对数的底），使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
考点二 分类讨论法求参数范围
7．（25-26 高三上·湖北恩施·阶段检测）已知
为常数，若存在
使不等式
成立，则
的
最小整数值为_____．
8．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
，
．
(1)若存在x 使得
成立，求a 的取值范围；
(2)当
时，
在定义域内恒成立，求b 的取值范围．
9．（25-26 高三上·安徽池州·期中）已知关于
的不等式
有且仅有2 个整数解，则实数
的取值
范围为__________．
10．（2026·重庆·三模）对
，
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有极小值，且
，求a 的取值范围.
12．（2026·安徽·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若
，
恒成立，求实数
．
考点三 双变量恒(能)成立问题
13．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若函数
在
上是减函数，求实数m 的取值范围；
(2)若函数
在
上存在两个极值点
，
，且
，证明：
．
14．（25-26 高三上·湖北·期中）已知函数
．
(1)若函数
，求函数
的单调区间；
(2)若函数
有两个不同的零点，记两个零点分别为
，且
．
①求a 的取值范围；
②已知
，若不等式
恒成立，求
的取值范围．
15．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
（是自然对数的底数）．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，使得
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若函数
，且满足
，证明：
．
16．（2026·河南安阳·模拟预测）已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
；
(2)当
时，讨论
的极值点个数；
(3)若
有两个零点
，当
取最大值时，求
的值.
考点四 导数中的极值偏移问题
17．（2026·湖南·一模）已知函数
和
的定义域均为
，其中
.
(1)求
的极值.
(2)若
，使得
.
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
.
18．（25-26 高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
在定义域上单调递增，求实数
的取值范围；
(3)若
在
上存在两个极值点
，求
的取值范围.
19．（2026·山西晋中·二模）已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性．
(2)若函数
有两个不同的零点
．
①求实数
的取值范围；
②证明：
．
20．（2026·北京昌平·二模）已知函数
，
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(3)若
有两个不同的极值点
，求证：
.
21．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
．
(1)求
在
上的极值；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在实数
使得函数
在
上有两个不同的零点
，证明：
．
22．（25-26 高三上·河南许昌·期中）已知
，
，是自然对数的底数.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若关于
的方程
有两个不等实根，求
的取值范围；
(3)当
时，若满足
，求证：
.
23．（25-26 高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，存在不相等的
、
，满足
，证明：
；
(3)对任意的
，
恒成立，求a 的取值范围．
24．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，若
有两个不等实根
，
，求证：
．
1．（2026·河南·三模）已知关于
的不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．（2026·福建泉州·三模）当
时，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·重庆·期中）若
在
上单调递增，则实数
最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
有两个零点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·广东深圳·期末）已知函数
，则下列判断正确的是（ ）
A．
有两个极值点
B．若
恒成立，则
的取值范围是
C．若
有两个零点，则
的取值范围是
D．若
有两个零点
，则
6．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数
，若
使得
成立，则实数
的取值范围是_____________.
7．（25-26 高三上·福建福州·期中）已知函数
，
，若
，且
，则
的最大值为______.
8．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数
(1)求
的最小值；
(2)若
有两个零点
，证明：
9．（2026·河北保定·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数a 的值；
(3)已知
，当
时，函数
恰有两个不同的极值点
，证明：
．
10．（25-26 高三上·天津静海·期中）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)当
时，若函数
有
个不同的零点
，
．
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）证明：
11．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求函数
的最小值；
(3)当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
12．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若
，
（i）求
的极值点；
（ii）证明：当
时，
；
(2)若
，
，求
的取值范围．
13．（25-26 高三上·北京西城·期中）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值点；
(2)若不等式
对
恒成立，求a 的取值范围.
14．（25-26 高三上·河北保定·期中）已知函数
．
(1)若函数
为
的导函数，判断
在
上的零点个数；
(2)证明：当
时，
；
(3)设
，若存在
，对任意
，都有
成立，求实数
的取值范
围．
15．（2026·山东滨州·二模）已知函数
，
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若存在
，使
，求
的取值范围.
16．（2026·辽宁大连·三模）函数
，
，为自然对数的底数．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若存在实数x，满足
，求实数a 的取值范围；
