文档文本内容
拓展提升01 导数与不等式
题型01 不等式的证明
考向一 单变量不等式的证明
策略1 作差构造法
解题锦囊
（1）待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂
的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．
（2）利用作差构造法证明不等式的基本步骤
①作差或变形；
②构造新的函数g（x）；
③利用导数研究g（x）的单调性或最值；
④根据单调性及最值，得到所证不等式.
【典例1】（24-25 高二下·广东阳江·期中）已知函数
，其中
.
(1)若
，求
的极值；
(2)证明：
.
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）求
的导数，利用导数与函数极值的关系即可得解；
（2）利用
，结合放缩法将不等式转化为证明
恒成立，再构造函数
，利用导数即可得证.
【详解】（1）易知
的定义域为
，
则
，
若
，则
，
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得极大值，极大值为
，无极小值.
（2）因为
，所以
，
要证
，只需证
即可，
即证
即可，即证
即可，
令
，则
，
令
，解得
，令
，解得
或
，
所以
在
上单调递增，在
，
上单调递减，
所以
的最大值在
或
处取得，又
，
，
所以
，即
恒成立，
所以
.
【变式1】（2025 高二·全国·专题练习）当
时，证明：
.
【答案】证明见解析
【分析】利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.
【详解】证明：令
，
则
，
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，
即
，
所以当
时，
.
【变式2】（24-25 高三上·广东江门·阶段练习）设函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)证明：
：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
【详解】（1）
，则
.
在
处的切线方程为
，即
.
（2）令
.
令
，解得
.
；
.
在
上单调递减，在
上单调递增.
，即
.
【变式3】（24-25 高二上·山西·期末）已知函数
（为自然对数的
底数，
），函数
的极值点为0．
(1)求
的值；
(2)证明：对
【分析】（1）运用极值点的性质，借助导数可解；（2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式.
【详解】（1）由
，得
，
因为函数
的极值点为0，所以
，解得
．
若
，当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．所以
0 是函数
的极值点．
综上所述，
．
（2）令
，则
．
因为
，
在
上单调递增，
，
所以
，使得
．
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．所以
的极小值为
，也是
的最小值．
由
，得
，且
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，但
，所以等号不成立，即
．
所以
，即
．
【变式4】（2024·河北石家庄高三统考模拟）已知函数
，
.
(1)若函数
在
上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
，求证：
.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】（1）对
求导后，问题转化为
在[1,4]上恒成立，进而求得
的最小值即可求解；
（2）由
可得只需证明
，令
，求导后求得
；令
，求导后求得
，从而可得
，问题
得证.
【详解】（1）
，因为函数
在[1,4]上单调递增，
所以
在[1,4]上恒成立，
又
在[1,4]上单调递增，所以
，
所以
，解得
，所以
的取值范围是
.
（2）因为
，所以要证
，只需证
，
令
，则
.
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
所以
，
令
，则
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增.
所以
时，
取最小值, 则
,
所以
时，
，因此
.
所以
.
策略2 双函数构造法
解题锦囊
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间
量，达到证明的目标．
【典例2】（2024·银川一中高三模拟）已知
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，证明
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义可求解；
（2）将问题转化为证明
成立，再分别求
与
的最值即可证明.
【详解】（1）因为
，则
，
，
则
，
所以所求切线方程为
，即
.
（2）由题意，可知
，要证明
，
即证
，
令
，则
，
当
，当
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
令
，则
，因为
，
所以当
，当
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，
所以
恒成立，即
恒成立，
所以当
时，
.
【变式1】（2024·四川成都高三模拟）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
.
【答案】(1)函数
在
上单调递增 (2)证明见解析
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
记
，则
，
所以当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
所以
，
所以
，
所以函数
在
上单调递增；
（2）原不等式为
，即
，
即证
在
上恒成立，
设
，则
，
所以，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
，
令
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
，所以
，
且在
上有
，所以可得到
，即
，
所以在
时，有
成立.
【变式2】(2025 高三专题训练)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：ex＋xln x＋x2－2x>0.
【解析】(1)解 由题意可得 f′(x)＝ex＋2x－1，
则函数f′(x)在R 上单调递增，且f′(0)＝0.
由f′(x)>0，得x>0；
由f′(x)<0，得x<0.
则f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(0)＝0.
(2)证明 要证ex＋xln x＋x2－2x>0，
即证ex＋x2－x－1>－xln x＋x－1.
由(1)可知当x>0 时，f(x)>0 恒成立．
设g(x)＝－xln x＋x－1，x>0，
则g′(x)＝－ln x.
由g′(x)>0，得0<x<1；
由 g′(x)<0，得x>1.
则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而g(x)≤g(1)＝0，当且仅当x＝1 时，等号成立．
故f(x)>g(x)，即ex＋xln x＋x2－2x>0.
策略3 放缩法
解题锦囊
从参数范围切入主要由两种方法：（1）在给出了参数取值范围来证明不等式恒成立的题目中,把参数按
取值范围放缩为常数.例如:已知参数
,证明
恒成立,按去参数放缩可得
,只
需要证明
即可.
（2）根据参数的范围，可以去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.比如要证明
,如果能够得到
,则把
直接扔掉,若
成立,则不等式
恒成立.
【典例3】已知函数
,若
,证明:
.
【解析】证.明：由
得
,
根据
,可得
,故只需要证明
令
,则
,
当
时,
.
当
时,设
。
,则
.
故函数
在
上单调递增.
又
当
时,
.当
时,
.
函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
,即
.
故
.
【变式1】设函数
，证明：
【证明】要证
即证
记
，
由
得
，
时
，
递减；
时
，
递增；
所以
，即
于是
，
（利用
进行放缩）
两等号成立的条件不同
所以
故
成立.
【变式2】（2024·陕西榆林高三模拟）已知函数
，
.
(1)求函数
的极值；
(2)证明：当
时，
在
上恒成立.
【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)证明见解析
【分析】（1）求得
，令
，求得
，结合
，
得到函数
的单调性，进而求得极值；
（2）由
，根据题意，由
且
，放缩得到
，令
，求得
，得出函数
单调
性，结合单调性求得
，得出
，即可得证.
【详解】（1）解：由函数
，可得
定义域为
，
且
，
令
，可得
，所以
单调递增，
又因为
，
所以当
时，
，可得
，
单调递减；
当
时，
，可得
，
单调递增，
所以当
时，函数
取得极小值，极小值为
，无极大值.
（2）解：由
，
因为
且
，
可得
令
，
可得
，
因为
，即
或
，
又因为方程
的两根都是负数根（舍去），
所以
，可得
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，函数
取得极小值，同时也为
在
上的最小值，
即
，所以
，
所以
，所以
，
故当
时，
在
恒成立.
考向二 双变量不等式的证明
解题锦囊
（1）分离变量构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性
及最值，从而得到所证不等式．
（2）换元构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最
值，从而得到所证不等式；
（3）换元构造：将要求证的不等式等价变形，然后利用整体思想换元，再构造函数，结合函数的单
调性可证得.
【典例4】（24-25 高二上·江苏连云港·期末）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解；
（2）令
得
，令
，则
，
从而令
，则利用导数求出
最小值可得答案.
【详解】（1）当
时，
曲线
在
处切线的斜率为
，
又
切线方程为
，
即曲线
在
处的切线方程为
；
（2）若
有两个零点
，，
则
，
得
.
，令
，则
，
故
，
则
，
，
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
，则
在
上单调递增，
，
故
.
【变式1】（24-25 高二上·重庆·期末）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)若
有两个极值点
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数
的导数，再按
进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间.
（2）由（1）求出
的范围，再结合韦达定理将
用
表示，进而构造函数，利用导数推理得证.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
方程
中，
，
当
时，
恒成立，
，
在
上单调递增；
当
时，由
，解得
，
当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，
递减区间为
.
（2）由（1）知，
有两个极值点
，则
，
，
令函数
，求导得
，令
，
求导得
，函数
在
上单调递减，
，
函数
在
上单调递减，
，
所以
.
【变式2】（24-25 高二上·湖南·期末）已知函数
，
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若对任意
，不等式
恒成立，求a 的值；
(3)若实数m，n 满足
，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，得到
，结合
，利用导数几何意义得到切线方程；
（2）求导，得到
的单调性，进而得到所以
，设
，求导，得到
的单调
性，
，故
，当且仅当
时等号成立，若满足
，必有
，求出
；
（3）变形后得到
，换元后化为
，由（2）知，当
时，
，当且
仅当
时取等号，故
，从而
成立，同理，要证明
，即证
明
，即
，令
，
，求导得到
的单调性，所以
，即
，整理得
，从而
成立.
【详解】（1）若
，则
，定义域为
，
，
则
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
要使
恒成立，需满足
.
设
，
则
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
故
，当且仅当
时等号成立，
若满足
，必有
，
故
.
（3）要证明
，
即证明
，
令
，由
，得
，不等式化为
.
由（2）知，当
时，
，当且仅当
时取等号，
所以
，整理得
，从而
成立；
同理，要证明
，即证明
，
即
.
令
，因为
，所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即
，整理得
，从而
成立.
综上，
.
【点睛】关键点点睛：第三问，对所证不等式进行变形，先证不等式左边，只需证明
，令
，不等式化为
，
，二元问题转化为单元问题，同理再
变形不等式右边，证明出结论
【变式3】（24-25 高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数
．
(1)函数
是否具有奇偶性?为什么?
(2)当
时，求
的单调区间；
(3)若
有两个不同极值点
，
，证明：
．
【答案】(1)函数
不具有奇偶性
(2)
的单调递增区间为
，单调递减区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可.
（2）根据导函数求单调区间即可.
（3）由题知
即
有两个不等的实根，令
，所以
有两个不等的正
数根
，可得
，且
，进而
，利用单调性可得
.
【详解】（1）
，而
，
显然
，且
，
所以
既不是奇函数，也不是偶函数，故函数
不具有奇偶性.
（2）
时，
，
，
故当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
（3）
，
因为
有两个不同极值点
，
，故
即
有两个不等的实根，
令
，所以
有两个不等的正数根
，
所以
，得
，且
，
所以
，
设
，
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
故
.
考向三 求和型不等式的证明
【典例5】（24-25 高二上·湖南长沙·期末）设函数
（
）.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，曲线
与直线
交于
，
两点，求证：
；
(3)证明：
（
，
）.
【答案】(1)
时，
单调递减；
时，
单调递增.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解；
（2）求导得
，进而代入化简将问题转化成
，构造函数
即可利用导数求解；
（3）利用（2）的结论取
，
，利用累加法即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.
（2）
，则
，
由题意，知
有两解
，
，不妨设
，
要证
，即证
，
①若
，则
；
②若
，由
知，
在
上单调递减，在
上单调递增，也有
，
综合①②知，
，
所以只需证
（*）.
又
，
∴两式相减，整理得
，
代入（*）式，得
，即
.
令
（
），即证
.
令
（
），则
，
∴
在
上为增函数，∴
，
∴
成立.
（3）由（2）知，
，
故
，
，取
，
所以
（
），
则
（
）
【变式1】（23-24 高二下·山东菏泽·期末）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
，
时，证明：
；
(3)证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，分类讨论
的值，得到
的单调性；
（2）当
时，结合(1)得到
，可将问题转化为为证明
，令
，结合导数研究单调性即可证明；
（3）由（2）知：
，令
，有
，
，
……，
，利用累加法即可证明.
【详解】（1）由
，
①当
时，
，因此在
上单调递增；
②当
时，由
，
所以当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
单调递减；
③当
时，
，因此
在
上单调递减.
（2）由（1）知，当
时，
在
上单调递减，
又
，所以
，即
，因此
，
因此要证明
即证明
，
只需证明
，
即证：
，
，即证
令
，
则
，
因此
在
上单调递增，
，则
，
即
，得证.
（3）由（2）知：
，令
，有
……
累加得
即得：
.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是由单调性得到
以及
，令
，结合累加法证明.
【变式2】（2023·四川自贡·统考三模）已知函数
（e 为自然对数底数）．
(1)判断
，
的单调性并说明理由；
(2)证明：对
，
．
【答案】(1)
在
上单调递增，理由见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）通过二次求导，即可求解；
（2）由（1）可得
，变形为
，令
得
，令
得
，从而可得
，利用裂项相消法，即可整理得证.
【详解】（1）
在
上单调递增.理由如下：
因为
，所以
，
令
，则
，
所以当
，
单调递增，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增.
（2）由（1）知
，
，令
，则
，
令
，则
而
所以
，
故对
，
.
题型02 不等式的恒成立与能成立问题
考向一 不等式的恒成立问题
【典例6】（24-25 高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想，可得答案；
（2）利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求得新函数的最大值，可得答案.
【详解】（1）由
，已知其定义域为
，
求导可得
，
当
时，
在
上恒成立，则
在
上单调递增；
当
时，令
，解得
，可得下表：
极大值
所以当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）要证
，只需证
，
令
，求导可得
，
令
，解得
，可得下表：
极大值
则
，所以
.
【变式1】（24-25 高二上·山西·期末）已知函数
在
上没有极值.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
对
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意将函数求导，将问题等价转化为不等式恒成立问题，整理不等式，构造新函数，利
用导数研究新函数的单调性，结合分类讨论，可得答案；
（2）由（1）可得函数
的单调性，化简不等式，整理不等式利用同构思想，构造新函数，利用导数
研究新函数单调性，进一步化简不等式，再利用对数运算分离参数，再构造新函数，利用导数研究新函数
的最值，可得答案.
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
在
上没有极值，且
，所以
在
上恒成立.
设
，则
.
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，要证
，只需证
对
恒成立，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，所以
；
当
时，要证
，只需证
对
恒成立，
因为
在
上单调递减，且
，所以
.
故
.
（2）由（1）知
在
上单调递增.
因为
，所以
，即
.
设
，则
，所以
在
上单调递增，
所以
等价于
.
因为
，所以
，
所以
，所以
恒成立.
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以
，即
，故
的取值范围为
.
【点睛】难点点睛：本题解题的难点在于第二问，解题的关键在于两点：1、利用函数单调性化简不等式，
在化简不等式时要注意括号里代数式的取值范围与函数单调区间的包含关系；2、整理不等式同构函数，
在同构函数时要注意整体思想的应用.
【变式2】（24-25 高二上·上海闵行·期末）已知函数
.
(1)曲线
在点
处的切线过点
，求
的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若不等式
恒成立，求整数
的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点
代入求值即可；
（2）利用导数分类讨论
、
两种情况下
的单调性即可；
（3）将原问题转化为不等式
在R 上恒成立问题，利用导数证明该不等式即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
，则
.
因为曲线
在点
处的切线为
过点
，
所以
，解得
.
（2）因为
，
当
时，
恒成立，则
在
上单调递增；
当
时，由
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（3）依题知，
恒成立，
即
恒成立，
化简为
.
设
，
则
，
当
时，
恒成立，故
在
上单调递增，
因为
，所以不符合题意；
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
恒成立，
整理得
.
设
，
则
恒成立，所以
在
上单调递增，
又
，且
，
故整数
的最大值为
.
【点睛】关键点点睛：解决本题第3 问的关键是将原问题转化为不等式
在R 上恒
成立问题.
【变式3】（24-25 高二上·陕西西安·期末）已知函数
（其中e 为自然对数的底数）．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
在
上的最值；
(3)设函数
，若对
，不等式
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)最小值为
，最大值为1；
(3)
.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数几何意义求出切线方程.
（2）利用导数求出函数在指定区间上的最值.
（3）由（2）的结论，将问题转化为
成立，再分离参数构造函数求出最大值即可得解.
【详解】（1）数
，求导得
，
则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，即
.
（2）由（1）知，当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以
.
（3）由（2）知，
，
，
由对
，不等式
恒成立，
得
，而函数
在
上单调递减，
当
时，
，因此
，
所以实数
的取值范围为
.
【变式4】（24-25 高二上·江苏南京·期末）设函数
，
.
(1)当
（为自然对数的底数）时，求
的极小值；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用极小值点的定义求解即可；
（2）原不等式可转化为对任意
，
恒成立，令
，则
在
上单调递减，利用导数求
的取值范围即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得极小值，极小值为
.
（2）因为对任意
，
恒成立，
即对任意
，
恒成立，
所以
在
上单调递减，
令
，则
，
所以
在
上恒成立，
又因为
的对称轴为
，
所以
恒成立只需
，解得
，
所以
的取值范围为
.
考向二 不等式的能成立问题
【典例7】（24-25 高三上·天津西青·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若
，不等式
在
上存在实数解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析；
(3)
.
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间；
（3）问题化为
在
上存在实数解，利用导数求右侧表达式在
上最小值，即可
得范围.
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以
，
，故在
处切线方程为
，
所以
.
（2）由题设
，且
，
当
时，
，即
的递增区间为
，无递减区间；
当
时，
有
，
有
，
此时
的递增区间为
，递减区间为
.
（3）原条件等价于
在
上存在实数解.
所以
在
上存在实数解，
令
，则
，
在
上
，得
，故
在
上单调递增，
所以
的最小值为
，故
时不等式
在
上存在实数解.
【变式1】（23-24 高二下·四川眉山·期末）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若存在
，使
，求
的取值范围．
【答案】(1)在
上单调递增，在
上单调递减
(2)
【分析】（1）对
求导，得到
，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；
（2）对
进行讨论，分
，
和
，当
，利用函数值的符号即可求解；当
和
，设
，利用导数与函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）易知函数定义域为
，因为
，
令
，得
令
，得
，令
，得
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
（2）由
，得
，
因为
，所以
，
，
当
时，
，符合题意；
设
，
当
时，则
，所以
在
上单调递增，
所以
，不符合题意；
当
时，令
，得
，
令
，得
，所以
，
则存在
，使
，满足题意，
综上，
的取值范围是
.
【变式2】24-25 高三上·贵州·阶段练习）函数
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若存在
，使得
成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得；
（2）求出函数的导函数，令
，
，利用导数说明函数的单调性，从而得
到
的单调性，求出
，即可得解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
则
，又
，
所以
在
处的切线方程为
；
（2）因为
，
，
令
，
，则
，
因为
在
上单调递增，
，
，
所以
，使得
，
当
，
，
单调递减，
当
，
，
单调递增，
，
，
所以
，使得
，
当
，
，
单调递减，
当
，
，
单调递增，
又
，
，所以
，
所以
，即
的取值范围为
．
【变式3】（2024 高二上·全国·专题练习）已知函数
.
(1)求函数
在
上的最大值和最小值；
(2)若不等式
有解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)最大值为
，最小值为
.
(2)
.
【分析】（1）对函数求导，根据单调性即可求得最值；
（2）代入函数，参变分离，即可得到新的函数，
，构造函数求最值即可.
【详解】（1）易得
，
令
，则
或
（舍去）.
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得极大值，也是最大值，最大值为
.
又
，
，
，
所以当
时，
取得最小值，最小值为
.
故
在
上的最大值为
，最小值为
.
（2）易知
的定义域为
，
故不等式
可化为
.
记
，则原不等式有解可转化为
，
易得
，令
，则
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
.
于是
，解得
.
所以实数a 的取值范围为
.
【变式4】（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
.
(1)求
的单调区间;
(2)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性；
（2）根据题意可得
，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解.
【详解】（1）由
，
，
得
.
令
，解得
.
当
时，
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
当
时，
恒成立，
在
上单调递增.
当
时，
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
综上所述，当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
；
当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
（2）因为对任意
，均存在
，使得
，
所以
，
当
时，
取得最大值，最大值为0.
由（1）得，当
时，
在
]上单调递增，
即当
时，
取得最大值
，
所以
，解得
，即
.
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
取得最大值
.
设
，
则
，
单调递增，
所以
成立，所以
无解.
综上所述，
的取值范围为
