文档文本内容
3.6 利用导数研究恒(能)成立问题
考点一 分离参数法求参数范围
考点二 分类讨论法求参数范围
考点三 双变量恒(能)成立问题
考点四 导数中的极值偏移问题
考点一 分离参数法求参数范围
1．（25-26 高三上·湖南株洲·阶段检测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)分析
的单调性；
(3)当
时，
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)当
时，
的单调增区间为
；单调减区间为
；
当
时，
的单调减区间为
；单调增区间为
；
当
时，
的单调增区间为
，
当
时，
的单调增区间为
；单调减区间为
；
(3)
【分析】（1）求出
，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可；
（2）求出导函数，按照
和
分类讨论求解即可；
（3）参变分离，把恒成立问题转化为
恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解.
【详解】（1）当
时，得到
，则
，
，则
，
所以切线方程为
，即
.
（2）由题意得
，
可得
，
当
时，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增;
当
时，
的解为
，
①当
，即
时，
，则
在
上单调递增；
②当
，即
时，
在区间
上，
，在区间
上，
，
所以
的单调增区间为
；单调减区间为
；
③当
，即
时，
在区间
上，
，在区间
上，
，
故
的单调增区间为
；单调减区间为
.
（3）由题意得当
时，
恒成立，
等价于“当
时，
恒成立”.
即
在
上恒成立.
此时
，所以
恒成立.
设
，则
，
因为
，所以
，所以
在区间
上单调递增.
所以
，所以
.
综上所述，
的取值范围是
.
2．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数即可求出切线方程；
（2）根据导数分类讨论
的取值范围，得到函数
的单调性即可求解；或者分离参数，利用函数的单调性得到
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，得
，
，则
，
所以切线方程为：
，即
；
（2）解法一：
，
当
时，因为
，所以
，
，所以
，
则
在
上单调递增，
成立，符合题意；
当
时，
，
所以
在
上单调递增，所以
成立，符合题意；
当
时，在区间
上，
；在区间
，
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
所以在区间
上有
，不符合题意，
综上所述，
的取值范围是
．
解法二：当
时，
恒成立，等价于“当
时，
恒成立”，
即
在
上恒成立，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
恒成立，
设
，则
，
因为
，所以
，所以
在区间
上单调递增，
所以
，所以
，
综上所述，
的取值范围是
.
3．（2026·湖北武汉·二模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，
（ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（ⅱ）求函数
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)（ⅰ）
；（ⅱ）
在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)
.
【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程；
（ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间；
（2）首先确定
，再根据导数求函数的最小值，根据最小值
，结合极值点化简不等
式，求
和
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
.
（ⅰ）因
，
，所以切线方程为
.
（ⅱ）由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，不满足题意.
所以
，此时
.
显然
是
上的增函数，且
时，
，
时，
，
所以存在唯一正实数
使得
，即
.
此时
在
上单调递减，在
上单调递增.
由题意
.
将
代入上式整理得：
，解得：
.
此时
，代入后
.
化简得：
，解得：
.
令
，其中
.
则
，所以
是区间
上的增函数.
所以
，代入得到
的取值范围是
.
4．（24-25 高三上·北京·期中）函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是_____.
【答案】
【分析】将已知条件转化为恒成立问题，通过分离参数求最值得到
的取值范围.
【详解】因为
在
单调递增，
所以
在
恒成立，
所以
在
恒成立，令
，则
，
因为
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，即实数
的取值范围是
.
5．（2026 高三·全国·专题练习）若关于
的不等式
有解，其中
，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】关于
的不等式
有解，等价于
，令
，然
后对
求导，利用导数求得
的最小值即可.
【详解】关于
的不等式
有解，等价于
.
令
，则
.
令
，则
，
在
单调递增，
.
令
，得
.
增
极小值
减
，
，故
的最小值为
.
6．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
，
，其中
．
(1)若
是函数
的极值点，求实数
的值：
(2)当
时，讨论函数
的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点；
(3)若存在
（e 为自然对数的底），使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，求得
，结合题意，得到
，列出方程，即可求解；
（2）求得
，分
，
和
，三种讨论，得到函数
的单调性，结合极值点的定
义，即可求解；
（3）由
，得到
，令
，转化为存在
，使得
，求得
，得到
的单调性和最小值，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
，可得其定义域为
，且
，
因为
是函数
的极值点，可得
，即
，
可得
，解得
，所以实数
的值为
.
（2）解：由函数
，可得其定义域为
，
且
，
令
，即
，所以
，
因为
，解得
或
，
当
时，即
时，
，
在
上单调递增，无极值点；
当
时，即
时，
令
，可得
或
；令
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调递增，
所以
是函数
的极大值点，
是函数
的极小值点；
当
时，即
时，
令
，可得
或
；令
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调递增，
所以
是函数
的极大值点，
是函数
的极小值点；
综上可得，当即
时，
无极值点；
当
时，
是极大值点，
是极小值点；
当
时，
是极大值点，
是极小值点.
（3）解：由
，可得
，
整理得
，即
，
令
，则问题转化为
，
，
又由
，令
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
在
或
处取得最小值，
计算
，
因为
，所以
，
因为存在
，使得
，所以
，
所以实数
的取值范围为
考点二 分类讨论法求参数范围
7．（25-26 高三上·湖北恩施·阶段检测）已知
为常数，若存在
使不等式
成立，则
的
最小整数值为_____．
【答案】4
【详解】当
时，由
，得
，
即存在
使不等式
成立，
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，
所以函数
在
上单调递增，
又
，
，
则存在
，使得
，即
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
因此函数
在上
单调递减，在
上单调递增，
则
，于是
，
所以
的最小整数解为4.
8．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
，
．
(1)若存在x 使得
成立，求a 的取值范围；
(2)当
时，
在定义域内恒成立，求b 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用导数对
进行分类讨论，
时导数恒正，
单调递增，且
时
，
必然存在x 使得
成立；
时通过单调性分析得到极大值点，求出满足条件的
的范围；
时，最大
值为
，不满足条件，合并符合条件的a 的取值范围；
（2）利用（1）的结论转化不等式为
在
内恒成立，构造函数
并求导，按
分
情况讨论，进而合并符合条件的b 的取值范围．
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
时：若
，则
，故
恒成立，
在
上单调递增；
当
时，
，必然存在x 使得
成立，符合要求；
时：令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
在
处取得极大值，即为最大值，
，
要存在
使得
，需满足
，解得
；
当
时，
的最大值为
，
恒成立，不符合题意；
综上，a 的取值范围为
．
（2）由（1）可知
时，
的最大值
，
在
上恒成立，
在定义域内恒成立，等价于
在
内恒成立，
令
，则
，求导得
，
当
时，
，则
，故
，
在
上单调递增，
，满足
在
内恒成立，符合要求；
当
时，令
，解得
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
在
处取得最小值：
，
令
，求导得
，
故
在
上单调递减，
，即
，
存在
使得
，不符合要求；
综上，b 的取值范围为
．
9．（25-26 高三上·安徽池州·期中）已知关于
的不等式
有且仅有2 个整数解，则实数
的取值
范围为__________．
【答案】
【分析】先对原不等式整理变形，分
和
两类讨论参数
的符号，
时构造函数求导分析单调性，发
现趋向负无穷时有无穷多个整数解，舍去；
时同构构造函数
，求导借助辅助函数判定
在
单
调递增，算出
的函数值，结合不等式仅有两个整数解为1，2，进而锁定
的取值范围.
【详解】由题意得，
，不等式化简整理得
，即
．
当
时，
，且
.
令
，所以
.
令
，则
，所以
在
上单调递增.
所以
，即
，所以
在
上单调递减.
当
，此时不等式有无穷多个整数解，不符合题意；
当
时，
，且
.
令
，所以
.
记
，则
，所以
在
上单调递增.
所以
，即
，所以
在
上单调递增.
因为
，且不等式
有且仅有2 个整数解，则这2 个整数解为
.
所以
，即
.
10．（2026·重庆·三模）对
，
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】双变量不等式恒成立，先对一个变量求导分析求最值，再对另一个变量分析，即可得到参数范围.
【详解】原不等式对
，
恒成立，移项整理得：
我们先将
看成常量，把不等式看作关于
的函数，
令
，
，
求导得：
，
当
时，
因为
，
，所以
，
即
在
上单调递减，
又因为当
时，
，所以
不可能恒成立，即
被舍去；
当
时，
由
时，
，则
在
上单调递减，
由
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，
要对
，不等式
恒成立，
则
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
11．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有极小值，且
，求a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增
(3)
【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出
处的导数值即切线斜率，再
求出
对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.
（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域
，按参数
的正负分类讨论；
时判断导函数在定义域内
恒正，直接得出函数单调递增；
时以
为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递
增区间，最后汇总两种情况的单调结论.
（3）先借助第二问单调性确定
时函数在
处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由
恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数
；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点
，利用单调性分析出使不等式成立的
的取值区间.
【详解】（1）当
时，
，所以
所以切线方程为
即
，
（2）
，
若
，可得
时，
，所以
在
上单调递增；
若
时，当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）由（2）可知当
时，
有极小值，极小值为
，
此时极小值也是最小值，由
，可得
，
，
又
，所以
令
，求导得
，
所以
在
上单调递减，又
，
当
时，
，当
时，
，
所以
时，
，此时满足
，
所以a 的取值范围
12．（2026·安徽·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若
，
恒成立，求实数
．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
，极小值为
，无极大值
(2)
【分析】（1）求导根据导数的正负判断单调性与极值；
（2）由（1）及零点存在定理可得当
时，
恒成立；再通过导数
的正负判断
单调性，得
的极小值为
，继而按
、
、
及
分类分析判断
的
符号，最终得到答案.
【详解】（1）依题意，函数
的定义域为
，导函数
，
令
，因为
，所以
是增函数
又
，
故当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
即
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
当
时，函数取极小值，且极小值为
．
（2）因为
，
，
，
所以由（1）及零点存在定理知，
，
，使
，
，即
，
．
故
且当
时，
，即
，即
，
从而
，
当
时，
，即
，即
，
从而
，
当
时，
，同理可得
，
故当
时，
恒成立．
又
，而
在
内单调递增，且
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以函数
的极小值为
，
若
，则
在
上恒成立，
当
时，
，
不成立，不符合题意，舍去；
若
，由零点存在定理知，
，
，使
，
且当
或
时，
，当
时，
，
若
，
则
，当
，
，不合题意，舍去；
若
，
则
，当
，
，不合题意，舍去．
综上所述，
．
考点三 双变量恒(能)成立问题
13．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若函数
在
上是减函数，求实数m 的取值范围；
(2)若函数
在
上存在两个极值点
，
，且
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）把问题转化为
在定义域
上恒成立，即
，然后利用导数求出
的最大值即可；
（2）由
，令
，问题转化为
在
上恒成立，
构造函数
，只需利用导数证明
在
上单调递增即可.
【详解】（1）∵
在
上是减函数，
∴
在定义域
上恒成立，
∴
，设
，则
，
由
，得
，由
，得
，
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
．∴
．
故实数m 的取值范围是
．
（2）由（1）知
，
∵函数
在
上存在两个极值点
，
，且
，
则由
，
两式相加、相减分别可得
与
，
∴
，∴
，
设
，则
，要证
，
只需证
，只需证
，只需证
，
构造函数
，则
，
∴
在
上单调递增，
∴
，即
，∴
．
14．（25-26 高三上·湖北·期中）已知函数
．
(1)若函数
，求函数
的单调区间；
(2)若函数
有两个不同的零点，记两个零点分别为
，且
．
①求a 的取值范围；
②已知
，若不等式
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
(2)①
；②
．
【分析】（1）先化简
，求导得
，按
与
分类，根据导数的正负
判断单调区间；
（2）①
有两个零点等价于
，求
的单调性与最大值，结合图象得
；
②由零点条件将不等式转化为
，代入
，换元
，
构造函数，求导分析单调
性得
．
【详解】（1）由题意得
的定义域为
，
，
当
时，
，则
在区间
内单调递增；
当
时，由
，得
，
（舍去），
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减．
所以当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）①依题意，函数
的定义域为
，
所以函数
有两个不同的零点，
可得方程
在
有两个不同根，
得到函数
与函数
的图象在
上有两个不同交点，
又
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，所以
．
又
有且只有一个零点是1，且在
时，
，在
时，
，
如图，
的图象如下：
可见，要想函数
与函数
在图象
上有两个不同交点，只需
．
②由①可知
分别为方程
的两个根，即
，
，
所以原式等价于
．
因为
，
，所以原式等价于
．
又由
，
作差得，
，即
，
所以原式等价于
．
因为
，原式恒成立，即
恒成立，
令
，
，则不等式
在
上恒成立．
令
，则
．
当
时，可见
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，
在
恒成立，符合题意；
当
时，可见当
时，
；当
时，
，
所以
在
时单调递增，在
时单调递减．
又
，所以
在
上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式
恒成立，只须
，又
，所以
．
15．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
（是自然对数的底数）．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，使得
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若函数
，且满足
，证明：
．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导代入得到斜率，再求出切点坐标，最后写出点斜式方程即可；
（2）分
和
讨论即可；
（3）分
和
讨论即可.
【详解】（1）∵
，切点为
，
∵
，
则曲线
在
处的切线方程为
.
（2）
，
等价于
，
则
使得
成立，只需
，
，当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
在
上有最小值，
，
即
对
恒成立，
令
，即
，
，
，
①当
时，
，所以
单调递增，
在
，不符合题意，
②当
时，由
，得
，则函数
在
上单调递增，
由
，得
，则函数
在
上单调递减，
故
的最大值为
，解得
．
（3）因为
，令
，
由（2）知
在
上单调递减，在
上单调递增，
，则
，
①当
时，所以
，又
，
故
，
函数
在
上单调递减，
又
，则
，
要证明
，只需证明
，只需证明
，
即
，
令函数
，求导得
，
又
，不妨设
，则
，
由
在
上单调递减，得
，
当
时，
，
即
，
因此
，
令函数
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
由
，得
，即
，因此
；
②当
时，可知
有两个极值点
，且
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
为极值点，得
，即
，
则
，
又
，
则
．
对任意
，由
，得
，则
，
因此
，即
．
综上可知
．
16．（2026·河南安阳·模拟预测）已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
；
(2)当
时，讨论
的极值点个数；
(3)若
有两个零点
，当
取最大值时，求
的值.
【答案】(1)
(2)当
时，
的极值点个数为；当
时，
的极值点个数为
；当
时，
的极值点个
数为
；
(3)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）求导后，分
、
与
讨论函数单调性，并根据单调性结合极值点定义计算即可得；
（3）令
，可得关于的方程
有两根，设为
、
，则有
，
，借助比值换元及作差运算可得
，计算可得
取最大值时，
也
取得最大值，即可构造函数，求出使得
取最大值时的
的值.
【详解】（1）
，
则有
，解得
；
（2）当
时，
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
，故
在
上单调递减，
此时
无极值点；
当
时，
恒成立，故
在
上单调递减，
又
，当
时，
，
故存在
，使得
，
当
时，
，
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
此时
有唯一极值点
；
当
时，若
，
，若
，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
令
，则
在
上单调递减，又
，
故当
时，
，故
在
上单调递减，
此时
无极值点；
当
时，
，又
，
当
时，
，
故存在
、
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
故此时
存在两个极值点
、
；
综上所述：当
时，
的极值点个数为；
当
时，
的极值点个数为
；
当
时，
的极值点个数为
；
（3）若
，则
，令
，
即
，令
，则
，
令
，则
，
若
，则
，即
单调递增，不可能有两个零点，不符；
若
，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
由题意可得
有两个零点，则
，
即有
，又
时，
，
时，
，
故此时
有两个零点，设为
、
，且
，则
，
，
有
，
，
作差得
，
令
，则
，则
，
即
，则
，
由
，可得
，
则
，即
，
又
，故
，
令
，则
，故
单调递减，
则
，故
，则
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，故
单调递增，
则
，
即对任意
，
恒成立，
且越大，
越小，即
越大，
由
，则
也会越大，
因此的最大值与
的最大值可同时取到，
即当
取最大值时，
也取得最大值，
令
，
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
时，
取得最大值，
即
取最大值时，
的值为.
考点四 导数中的极值偏移问题
17．（2026·湖南·一模）已知函数
和
的定义域均为
，其中
.
(1)求
的极值.
(2)若
，使得
.
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
.
【答案】(1)当
时，函数
无极值；当
时，函数
的极小值是
，无极大值.
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数，分
和
两种情况讨论
的单调性，从而得到其极值；
（2）（i）当
时，由
得
，构造函数
，利用导数分析其单调性，可得
的取值范围，从而得到
的取值范围；（ii）利用
的几何意义，得
，对不等式进行放缩，
并构造函数
，
，利用导数分析其单调性，并得到其最小值，从而证得
.
【详解】（1）
，
.
当
时，
，函数
在
上单调递增，既无极大值也无极小值；
当
时，令
，得
.
若
，
，函数
单调递减；若
，
，函数
单调递增.
所以函数
在
处取得极小值，极小值是
，无极大值.
综上所述，当
时，函数
无极值；
当
时，函数
的极小值是
，无极大值.
（2）（i）当
时，由
得
，即
，
令
，则
.
当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增.
因
时，
，
所以
且
，即
或
，
所以
的取值范围是
.
（ii）设方程
的正实数根为
，则
，
即点
为直线
上一点，
表示点
到原点的距离，
显然，该距离不小于原点到直线
的距离，
即
，即
，
不妨设
，
，则
，
所以函数
在
上单调递减，则
，即
.
又
，则
，
设
，
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
.
18．（25-26 高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
在定义域上单调递增，求实数
的取值范围；
(3)若
在
上存在两个极值点
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）把问题转化为
恒成立，即
恒成立，利用基本不等式即可求解；
（3）根据极值点的定义及韦达定理得到
，并求出
的范围，令
并求出的范围，最后把
转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
所以
，
所以
，又
，
所以函数
在
处的切线方程为
，即
.
（2）
的定义域是
，
函数
在定义域上单调递增，则
对
恒成立，
即
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
时，
恒成立，即
在
上单调递增.
（3）
在
上有两个极值点
，
则
，即
在
上有两个不等实数根
，
解得
，且
，
此时
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
又由
，由
可知
，即
。
联立解得
，所以
。
且
所以
的取值范围是
.
19．（2026·山西晋中·二模）已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性．
(2)若函数
有两个不同的零点
．
①求实数
的取值范围；
②证明：
．
【答案】(1)若
在
内单调递减，在
内单调递增;
若
在
内单调递增，在
内单调递减;
若
在
内单调递增;
若
在
内单调递增，在
内单调递减.
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）先确定函数定义域为
，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数
为
分类依据，先讨论
时导函数符号，再讨论
时比较导函数两个零点
与1 的大小，分三种情况判断导函数
正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏.
（2）①先化简
解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数
.求导研究
的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，
列出不等式求解出
的取值范围.
②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设
，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数
，求导判断单调性，由端点值
推
出
，逆向还原即可证得结论.
【详解】（1）由题意可知:
的定义域为
，且
，
若
，则
，
当
，则
;当
，则
;
可知
在
内单调递减，在
内单调递增;
若
，令
，解得
或
，
当
，即
时，令
，解得
或
;令
，解得
;
可知
在
内单调递增，在
内单调递减;
当
，即
时，则
，
可知
在
内单调递增;
当
，即
时，令
，解得
或
;令
，解得
;
可知
在
内单调递增，在
内单调递减;
综上所述:若
在
内单调递减，在
内单调递增;
若
在
内单调递增，在
内单调递减;
若
在
内单调递增;
若
在
内单调递增，在
内单调递减.
（2）①
有两个不同的零点
，
即
有两个不同实根
，
若
，则
，只有一个实数根，不符合题意，
故
，得
，
令
，
令
，得
，
当
时，
，可知
在
上单调递增，
当
时，
，可知
在
上单调递减，
当
时，
取得最大值
，且
时
，
，
当
时
，可得
可得不等式：
.
先解
，即
，解得
或
.
再解
，移项通分得
，
等价于
，即
.
因为
，故不等式等价于
，
解得
，
结合
或
，取交集得
.
所以实数
的取值范围为
.
②当
时，
有两个不同的零点
.
两根满足
，
两式相加得:
，两式相减得:
，
上述两式相除得
，
不妨设
，要证:
，只需证:
，
即证
，
设
，令
，
则
，
可知函数
在
上单调递增，且
.
可得
，即
，所以
.
20．（2026·北京昌平·二模）已知函数
，
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(3)若
有两个不同的极值点
，求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可；
（2）根据题意，将问题转化为
在
上恒成立，再构造函数
，研究函数最小值即可求得答
案；
（3）设
，结合题意得
，即可将问题转化为证明：对任意
，
，再构
造函数
证明即可.
【详解】（1）解：因为
，所以
.
所以
.
因为曲线
在点
处的切线与直线
垂直，
所以
，解得
.
所以
.
（2）解：
.
因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立.
设
，则
.
令
，解得
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
又
.
所以
的最小值为
，
所以
的取值范围为
.
（3）证明：由（2）可知当
时，函数
有两个不同的极值点
，
不妨设
.
所以
是方程
的两个解. 即
，
.
所以
.
设
，则
.
所以
，即
，所以
.
所以
.
所以
.
所以要证
，只需证：对任意
，
，
设
，则
，
令
，则
.
因为当
时，
，所以
在
上单调递增.
因为
，所以
.
所以
在
上单调递增.
所以
.
所以
，即
成立.
所以
.
21．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
．
(1)求
在
上的极值；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在实数
使得函数
在
上有两个不同的零点
，证明：
．
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，分析单调性，确定极值．
（2）分类讨论
不同取值下需满足的条件，最后取并集.
（3）利用函数对称性，将
转化为证明
，构造函数，求导分析单调性和极值，最终证得
．
【详解】（1）
，
令
，所以
，解得
，
当
时，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
的极小值为
，无极大值．
（2）
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
①当
时，由
，得
，因此
，满足题意.
②当
时，令
，
则
，
令
，则
．
由
，得
，
，
因此
，则
在
上单调递增，
若
，则
，
则
在
上单调递增，
所以
，满足题意；
若
，则
，
，
因此
在
上存在唯一的零点
，
且
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，不满足题意.
综上，实数
的取值范围为
．
（3）当
时，
即
，
不妨设
，由（1）可知
，
要证明
，即证
，
因为
，且
在
上单调递增，所以只需要证
，
又因为
，
所以只需要证
，即证
，
即证
，
两边同时除以
，得
，
化简为
，
因为
，所以只需证
，
即证
，
令
，
则
，
令
，
则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
，
即
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
．
故
，即
，
所以
．
【点睛】规律总结 极值点偏移问题的解法：
（1）（对称化构造法）构造辅助函数：对结论
型，构造函数
；对结论
型，构造函数
，通过研究
的单调性证得不等式．
（2）（比值代换法）通过代数变形将所证的双变量不等式通过
代换化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明．
22．（25-26 高三上·河南许昌·期中）已知
，
，是自然对数的底数.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若关于
的方程
有两个不等实根，求
的取值范围；
(3)当
时，若满足
，求证：
.
【答案】(1)当
时，函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间；当
时，函数
的单调递
减区间为
，单调递增区间为
.
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后分
和
讨论可得；
（2）分离参数后构造函数，转化问题为直线
与
的图象有两个交点，利用导数分析单调性和最值可
得；
（3）类似极值点平移问题，先由单调性得到
，构造函数
，
，求导分析单调
性后可得.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，恒有
，则函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
，由
，得
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以当
时，函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间；当
时，函数
的单调递减区间
为
，单调递增区间为
；
（2）方程
，即
，当
时，方程不成立，则
；
令
，依题意，方程
有两个不等实根，即直线
与
的图象有两个交点，
求导得
，当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
而当
时，
，当
时，
，且当
时，
取得极小值
，
作出函数，
的大致图象，如图，
观察图象，当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
所以
的取值范围为
；
（3）当
时，
，求导得
，
由（1）知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
由
，且
，得
，
令函数
，
，
求导得
，
则函数
在
上单调递增，有
，于是
，
而
，因此
，即
，
又
，
，
函数
在
上单调递增，所以
，
所以
.
23．（25-26 高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，存在不相等的
、
，满足
，证明：
；
(3)对任意的
，
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
单调递减，在
单调递增.
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对
进行求导，然后分
和
两种情况确定
的单调性；
（2）当
时，由（1）可知
在
上单调递增，转化为证明
，然后利用极值点偏移证明；
（3）将问题转化为
来求解.
【详解】（1）
的定义域为
，
.
（i）当
时，
，此时
在
上单调递增.
（ii）当
时，令
，得
.
当
时，
；当
时，
.
在
单调递减，在
单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增.
（2）当
时，由（1）可得，
在
上单调递减，在
上单调递增.
不妨设
，要证
，即证
，即证
.
，即证
.
令
，
在
上单调递增，
，
.
，
，
，证毕.
（3）
，
.
分离参数
可得：
，对
都成立，即求右侧函数最小值.
令
，则
.
令
，则
，
在
上单调递增，又
，
，
故存在唯一的
，使得
，
.
令
，
，
在
上单调递增，
，
，
.
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增.
，
.
24．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，若
有两个不等实根
，
，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】先设
，将
变为
，将问题转化为
有两个不相等实
根，利用导数求出
的单调性，进而找到
，再将问题转化为
，再令
将问题转化为证明不等式
，构造函数借助导数证明即可.
【详解】设
，
，则
，
则
有两不等实根
，
（不妨设
），
要证
，只要
即可；又
，
令
，解得
，
所以
时，
，
单调递增；
时
，
单调递减；
所以
，
方程
要有两个不等实根，则
，即
，且
，
下面证明
，由
，两式作差得
（①），
作和得
（②），
由①②两式化简可得
，
若要证明
，只需证明
，
只需证明
，只需证明
，
令
，即证明
，
只需证明
，
令
，
令
，解得
，故
，
单调递减，
所以
，故不等式
成立，从而原不等式成立.
所以
得证，所以
，所以
．
1．（2026·河南·三模）已知关于
的不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为对任意的
，
，因为
，令
，
，则问
题转化为对任意的
，
恒成立，构造函数
，
，求导，利用导数分析
的单调性，求出
最大值即可求解．
【详解】
对任意的
恒成立，即对任意的
，
恒成立，
，
令
，
，
，则对任意的
，
恒成立，
令
，
，
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，所以
，所以
的最小值为
.
2．（2026·福建泉州·三模）当
时，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用换元法，把问题转化为
，
，对分
与
讨论；从而存
在
满足条件的充要条件是：
；接着再对
作分类讨论，得到满足条件的
.
【详解】因为当
时，
，得
，
令
，且
，则
，即
，
所以
，
当
，
，恒成立；
当
，
，得
， 所以
；
当
，
，得
， 所以
；
所以，存在
满足条件的充要条件是：
，
令
，
，则转化为
，
，
当
，
，则
在
单调递减，
，矛盾；
当
，令
，得
,
当
，即
，此时
，则
在
单调递增，
，满足条件；
当
，即
，此时
在
单调递减，在
单调递增，
，
，所以
，
所以
，
，因为
，
所以
，满足条件；
当
，即
，此时
在
单调递减，在
单调递增，
，
，但
，
与
矛盾；
当
，即
，则
，则
在
单调递减，
，矛盾；
综上所述，
3．（25-26 高三上·重庆·期中）若
在
上单调递增，则实数
最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】分析可知
，
恒成立，可知对任意的
，
，参变
量分离得
，构造函数
，其中
，利用导数求出函数
的最小值，即可得出实数
的最大值.
【详解】因为
，则
，
由题意可知对任意的
，
恒成立，
因为
，故只需对任意的
，
，
参变量分离可得
，构造函数
，其中
，
则
，
令
，其中
，则
，
故函数
在
上为增函数，所以
，即当
时，
，
由
可得
，由
可得
.
所以函数
在
上递减，在
上递增，
所以
，故
的最大值为
.
4．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
有两个零点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可得
有两个根
，根据
的解析式，分别求出
的表达式，再根据导数求
的取值范围.
【详解】由题意可知，当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，
综上，对
，有
，
由
有两个零点
，即方程
有两个根
，
即方程
有两个根
，不妨设
，
易知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
令
，因为
，所以
，
所以
，则
，
令
，
，令
，解得
，令
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时
．
所以函数
的值域为
，
即
的取值范围是
．
5．（25-26 高三上·广东深圳·期末）已知函数
，则下列判断正确的是（ ）
A．
有两个极值点
B．若
恒成立，则
的取值范围是
C．若
有两个零点，则
的取值范围是
D．若
有两个零点
，则
【答案】C
【分析】对
求导，由极值点的定义可判断A；将
转化为
，求出
的取值范围可判断B；要
使
有两个零点，则
即可判断C；利用分析法，转化要证明条件为
，再利用导数即可得证，可判断D.
【详解】对于A，函数
的定义域为
，
，
因为
，
，令
，解得：
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值点，故
有1 个极值点，故A 错误；
对于B，若
恒成立，则
，
由A 选项知，
，解得：
，故B 错误；
对于C，当
趋近正无穷，
趋近正无穷，当
趋近
，
趋近正无穷，
所以由A 选项知要使
有两个零点，则
，
则
，故C 正确；
对于D，
在
和
各有一个零点
，
所以
，
为判断D 选项的真伪，下面证明
，
要证
，即证
，
因为
，即证
，
又因为
，故只需证
，
即证
即证
，
下面证明
时，
，
设
，
则
，
，
设
，
所以
，而
，
所以
，所以
，
所以
在
单调递增，
即
，所以
，
令
，
，
所以
在
单调递减，
即
，所以
；
综上，
，所以
.故D 错误.
故选：C.
6．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数
，若
使得
成立，则实数
的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】先求出
的最小值将原命题转化为
有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其极小值，
即可得出参数
的取值范围.
【详解】由题意得
，
则当
时，
，即
在
上单调递增，
则
；由
使得
成立，
则
在
上有解，即
在
上有解，
令
，因为
，则
，
故
在
上单调递减，则
，即实数
的取值范围是
．
7．（25-26 高三上·福建福州·期中）已知函数
，
，若
，且
，则
的最大值为______.
【答案】
【分析】根据
的单调性及特殊值，求得
，再由
，找到
和
满足的等量关
系
，再以此化简得到
，构造函数
，利用导数求最值即可.
【详解】
，
时，
，
单调递增，
又
，
，所以
，
又
，所以
，
由
，有
，即
，
又
，
，
在
上单调递增，所以
，
即
，所以
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，即
，即
，
所以
的最大值为
.
8．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数
(1)求
的最小值；
(2)若
有两个零点
，证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，最后求函数的最值；
（2）首先根据方程构造函数，再根据函数有两个零点，利用同构，以及构造函数
，由函数的单调性得到
，再构造函数
根据函数的单调性，继续构造函数
，根据
的单调性和端点值，证明不等式
【详解】（1）由题意知函数
的定义域为
则令
得
；令
，得
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
（2）证明：不妨设
，则由(1)知
，
设
，由
得
即
因为函数
在R 上单调递增，
所以
构造函数
则
令
，得
，令
，得
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
构造函数
则
所以
在区间
上单调递增，
所以当
时，
，即当
时，
所以
又
在区间
上单调递减，
所以
，即
.
9．（2026·河北保定·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数a 的值；
(3)已知
，当
时，函数
恰有两个不同的极值点
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对
求导，分类讨论
，
，
三种情况，判断导数的正负进而得出单调性；
（2）结合（1）的单调性，由
恒成立，得出函数
的最大值，列出不等式，再构造函数求解；
（3）由题，设
，则
是方程
的两个不同的实数根，构造函数，由导数分别得出
和
即可证明．
【详解】（1）
，
①当
时，
，则
在
上单调递减，
②当
时，令
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
③当
时，令
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）①当
时，
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
，不合题意；
②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
单调递增，
又
，
时，
，
时，
，
所以当
时，
，满足题意；
③当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，不合题意；
综上所述，
．
（3）
，则
，
令
，
设
，则
是方程
的两个不同的实数根，
则
，令
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
，
，
由于
，且
的极小值
，当
时
，当
时
，
因为直线
与曲线
恰有两个交点，
所以在
区间内，由于
且
递减，要使
，必有
，
在
区间内，由于
且
递增，必有
，
所以
，
设
，则
，
令
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
的最小值为
，
所以
，即
，
因为
是方程
的根，所以
，代入不等式得：
，
由于
，则
，
下面证明
，那么就有
，
由
，令
，
，
则
，
因为
，
，
，所以
，
所以
在
上单调递增，又
，
因此当
，
，即
，
由于
且
在
上单调递增，且
，
所以必有
，
所以
．
10．（25-26 高三上·天津静海·期中）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)当
时，若函数
有
个不同的零点
，
．
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）证明：
【答案】(1)
.
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间；
（2）（ⅰ）转化为函数
与
有两个交点的问题；
（ⅱ）由函数的两个零点可得
，再利用构造函数的方法证明即可.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，切线方程为
，即
.
（2）（ⅰ）当
时，若函数
有
个不同的零点
，
，
∴
恰有
个正实根
，
，即方程
恰有
个正实根
，
，
令
，则
与
有两个不同交点，
∴
，
∴当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，又
，
当
从
的右侧无限趋近于
时，
趋近于
；
当
无限趋近于
时，
的增速远大于
的增速，则
趋近于
，
则
图象如下图所示，
∴当
时，
与
有两个不同交点，
∴实数a 的取值范围为
．
（ⅱ）由（ⅰ）知：
，
，
∴
，
，
∴
，则
，
不妨设
，
要证
，则需证
，
∵
，∴
，∴
，则只需证
，
令
，则只需证
时，
恒成立，
令
，
∴
，
∴
在
上单调递增，∴
，
∴当
时，
恒成立，
∴原不等式
得证．
【点睛】方法归纳：研究
时函数的零点个数，可通过分离参数将问题转化为
，通过研究函数
的单调性、极值与值域，结合函数图象与直线
的交点个数确定参数范围；证明双变量不等式
，属于
极值点偏移问题，可通过将两个零点满足的等式变形，统一为单变量
，构造辅助函数，利用导数研究辅助函
数的单调性与最值完成证明.
易错归纳：求解过程中易忽略定义域
的限制，导致参数范围求解错误；求导运算失误，造成函数单调性、极
值点判断错误；极值点偏移证明中变量替换不严谨，辅助函数构造或单调性分析出错，导致证明逻辑断裂.
11．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求函数
的最小值；
(3)当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增
(2)1
(3)
【分析】（1）求导后分
和
两种情况讨论即可；
（2）利用导数求得
的单调性，进而得出最小值；
（3）参数分离得
对任意
恒成立，令
，
，利用导数讨论
的
单调性，求出
的最小值即可解决.
【详解】（1）由题可知
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，若
，
，若
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，
，
，因为当
时，
和
单调递增，所以函数
单调递增，
又
，所以当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以函数
的最小值为
.
（3）当
时，不等式
恒成立，
即
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立，
设
，
，
，
令
，
，
，
所以
在
上单调递增.
由于
，
，
由零点存在定理，存在
，使得
，即
，
所以当
时，
，
，当
时，
，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
因为
，所以
，
令
，
，
，即
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，所以
，
所以
，即实数
的取值范围为
.
12．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若
，
（i）求
的极值点；
（ii）证明：当
时，
；
(2)若
，
，求
的取值范围．
【答案】(1)（i）极小值点为2，无极大值点；（ii）证明见解析.
(2)
．
【分析】（1）（i）对函数进行求导，根据极值点的概念，进行判断即可；
（ii）构造函数
，求导判断其单调性，求得最大值，即可证明；
（2）构造函数
，求导判断其单调性，求得最小值，得不等式
，解不等
式即可.
【详解】（1）（i）当
时，
，定义域为
，
则
，
令
，解得
，
当
变化时，
与
的变化如下表所示：
2
－
0
＋
减
极小值
增
所以
的极小值点为2，无极大值点；
（ii）令
，
则
，
当
时，
，所以
为减函数，
所以
，
从而当
时，
，即
．
（2）令
，
则
．
因为
，所以
，
从而当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
的最小值为
因为
，所以
，即
，从而
，
故
的取值范围为
．
13．（25-26 高三上·北京西城·期中）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值点；
(2)若不等式
对
恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)极小值点为
，极大值点为0
(2)
【分析】（1）对
求导，得到
，令
，得到
或
，进而得到函数
的单调性，再求解极值点即可；
（2）根据条件，将问题转化成
，构造函数
，利用导数与函数单调性间的关系，求出
的最大值，即可求解.
【详解】（1）由题意得
，
当
时，令
，得
或
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
则函数
的极小值点为
，极大值点为0.
（2）由
，得到
，
因为
，所以
，则
，
令
，则
，
当
时，
，即
在区间
上单调递增，
当
时，
，即
在区间
上单调递减，所以
，
得到
，所以
，故
的取值范围为
．
14．（25-26 高三上·河北保定·期中）已知函数
．
(1)若函数
为
的导函数，判断
在
上的零点个数；
(2)证明：当
时，
；
(3)设
，若存在
，对任意
，都有
成立，求实数
的取值范
围．
【答案】(1)0 个
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对函数求导得
，再应用导数研究其区间单调性和最值，即可得；
（2）构造
，利用导数证明
在
上恒成立，即可证；
（3）问题化为
，
上，
，应用导数求它们的区间最大值，即可求.
【详解】（1）由题设
，令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，故
在
上的零点个数为0；
（2）令
且
，则
，
令
，则
，且在
上单调递增，
结合（1）知
时，
，
在
上单调递减，
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
所以
使
，
综上，
时，
，
在
上单调递减，
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
所以
时，
，得证；
（3）由题设，在
，
上，
，
由（1）知，在
上
，则
在
上单调递增，故最大值为
，
由
，则
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
综上，
，即
.
15．（2026·山东滨州·二模）已知函数
，
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若存在
，使
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导，根据导数求得函数
，结合题意可得
成立，令
，求导，根据导数计算即可求解.
【详解】（1）若
，则
，
，
则
，
，
所以过点
的切线方程为
，即
；
（2）函数
的定义域为
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
当
时，函数
有最小值，即
，
若存在
，使
，则
成立，
即
，即
，
令
，
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以当
时，函数
有最小值，即
，
所以
在区间
恒成立，
所以函数
在区间
上单调递增，
因为
，
所以当
时，
成立，故
的取值范围为
.
16．（2026·辽宁大连·三模）函数
，
，为自然对数的底数．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若存在实数x，满足
，求实数a 的取值范围；
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
.
(2)
【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性，进而求解单调区间；
（2）利用极限思想和构造函数，结合导数分类讨论
，进而确定
的极小值点，再建立
关于极小值点的二次不等式求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
令
，则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
又
，因此：
时，
，
时，
.
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）由
可知，
①当
时 若
，由于
，
当
时，
，而
. 故存在
使得
.
若
，
，取
，
，满足题意.
②：当
时，令
，则
，
时，
，
故
在
递增，且
最小值为
，
由
，方程
在
上有唯一实根
，
使得
，则
为
的最小值点.
根据题意需满足
：
，
代入
：
，
则
，整理得
，
解得：
或
.
由
，得：当
时，
.
当
时，
.
综上所述，
的取值范围是
.
