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4.5 三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（k∈Z）
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
递增区间
[－π＋2kπ，2kπ]
递减区间
[2kπ，π＋2kπ]
无
对
称
性
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
无对称轴
零点
kπ
kπ＋
kπ
[常用结论]
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与
对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2．奇偶性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z).
考点一 三角函数图像（五点法）
考点二 三角函数的定义域
考点三 三角函数的值域(最值)
考点四 利用三角函数的值域(最值)求参数
考点五 三角函数的周期性以及求参数
考点六 三角函数的对称性以及求参数
考点七 三角函数的奇偶性以及求参数
考点八 三角函数的单调性以及求参数
考点九 三角函数中零点问题
考点十 三角函数综合应用
考点一 三角函数图像（五点法）
1．（25-26 高三上·江苏连云港·期末）（1）用“五点法”画出函数
在一个周期内
的简图；
（2）若函数
在区间
上的最大值为1，最小值为
，求
，
的值.
【答案】（1）答案见解析；（2）
或
．
【分析】（1）根据五点法作图，先列表，再描点，连线即可；
（2）求出
，再对
分
讨论即可.
【详解】（1）列表如下：
作图如下：
（2）
.
当
时，不符合题意，
当
时，
，
，符合题意；
当
时，
，
．符合题意．
综上，
或
．
2．（25-26 高三上·江苏南通·阶段检测）某同学用“五点法”画函数
在某一个周
期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
0
(1)求函数
的解析式及
在
上的单调增区间；
(2)将函数
图象上各点横坐标变为原来
倍，纵坐标不变，再将图像向左平移
个单位，得到函数
的图象．若关于
的方程
在
上有两个不同的解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
和
(2)
且
【分析】（1）首先求
，先求
的范围，再求函数在
上的单调增区间；
（2）利用图像变换规律得
，再利用函数
与
在
上有两个交点，即可求得．
【详解】（1）由条件可知
，解得：
，即
，
代入
可得
，
因为
，所以
，
即
，
当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，
即
在
和
上单调递增．
（2）函数
图象上各点横坐标变为原来
倍，纵坐标不变，再将图像向左平移
个单位，
得
，
因为
，所以
，
因为
在
上有两个不同的解，
所以函数
与
在
上有两个交点，
所以
且
，
解得
且
3．（25-26 高三上·北京延庆·期中）已知函数
，
.
0
3
0
0
(1)写出决定
在
上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表；
(2)若
，且
是函数
的一个零点，直线
是函数
的一条对称轴，求
的值；
(3)当
时，求直线
与
的交点个数.
【答案】(1) 个关键的点为：
，
，
，
，
.
完善题设中的表格如下：
0
3
0
0
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据五点法可得关键的个关键的点，从而可完善表格；
（2）利用整体法求出零点和对称轴可求
的值；
（3）先讨论函数在
上的单调性，再画出相应的函数图象，数形结合后可得交点个数.
【详解】（1）个关键的点为
，
，
，
，
.
完善题设中的表格如下：
0
3
0
0
（2）因为
是函数
的一个零点，且
，
所以
，解得
，
即
，又因为
，所以
.
又因为直线
是函数
的一条对称轴
所以
，解得
,
又因为
，所以
,所以
（3）因为
，所以
，
令
，则
，
因为
在
为增函数，故
在
上为增函数，
同理
在
上为减函数，故
在
的图象如下图所示：
由图可得当
或
时，有0 个交点；
当
或
时，有1 个交点；当
时，有1 个交点；
当
或
时，有2 个交点.
4．（25-26 高三上·河南南阳·期中）函数
．
(1)请用五点作图法画出函数
的图象（先填表，再画图）；
(2)若
有2 个根，求实数m 的取值范围；
(3)若
在
上的值域为
，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
或
(3)
【分析】（1）依次令
取
，可得
的值，描点并用光滑曲线连接即可；
（2）将
有2 个根，转化为
的图象与直线
有2 个交点，由图象可得实数m 的取值范围；
（3）令
，得
或
；令
，得
或
；结合图象及函数的单调性，可得
的最小值
及最大值，从而得到
的取值范围.
【详解】（1）函数
．
按五个关键点列表：
x
0
2
1
0
－1
0
1
3
0
1
0
3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：
（2）若
有2 个根，则
的图象与直线
有2 个交点，
由图可知，
或
．
即实数m 的取值范围
或
．
（3）在
，令
，得
或
；
令
，得
，即
，解得：
或
；
由图像可得：当
时，函数
单调递减；当
时，函数
单调递增.
若
在
上的值域为
，
则
（或
）最小；
当
时，
最大．所以u 的取值范围为
．
考点二 三角函数的定义域
5．（25-26 高三上·江西南昌·期中）函数
的定义域为______．
【答案】
【分析】要使函数有意义，则有
，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域．
【详解】要使原函数有意义，必须有
，即
，
解集为
，
取交集可得原函数的定义域为
.
6．（25-26 高三上·上海普陀·阶段检测）函数
的定义域是________.
【答案】
【详解】由于
，解得：
，则
,
解得：
则函数
的定义域是
7．（25-26 高三上·北京房山·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助正切函数性质计算即可得.
【详解】由题意可得
，解得
，
故函数
的定义域为
.
8．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数
的定义域为__________．
【答案】
【分析】应用正切函数定义域计算求解.
【详解】因为
，所以
，
所以函数
的定义域为
9．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的定义域为________．
【答案】
【分析】由题意得
，结合余弦函数的图象性质求出在一个周期
上的解集，再推广到实数集的解
集即可.
【详解】函数
有意义，等价于
即
，
由余弦函数的性质，在一个周期
上，不等式
的解集为
，
则在实数集上不等式的解集为
，
即函数的定义域为
．
10．（25-26 高三上·北京·期中）函数
的定义域为______．
【答案】
【详解】由题意得
，即
，
解得
，
所以函数
的定义域为
.
考点三 三角函数的值域(最值)
11．（25-26 高二下·福建福州·阶段检测）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期及单调递增区间；
(2)若
，求函数
的值域．
【答案】(1)
，
，
(2)
【分析】（1）
的最小正周期
，令
，
，解不等式可求出函数
的单
调递增区间；
（2）由
，求出
，结合正弦函数的性质即可求出函数
的值域．
【详解】（1）
的最小正周期
，
令
，
，解得
，
，
故单调递增区间为
，
；
（2）由
，可得
，故
，
，故函数值域为
12．（25-26 高三上·广东清远·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
所以当
时
取到最大值
，当
时
取到最小值
，
所以
的值域为
．
13．（25-26 高三上·贵州遵义·期中）函数
在区间
上的最大值为__________.
【答案】3
【详解】
，
因为
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最大值，为3.
14．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于直线
对称
D．
在
上的值域为
【答案】BC
【分析】根据偶函数的定义判断A；根据余弦型函数的性质判断BCD.
【详解】对于A：
，显然
，所以
不是偶函数，A 错误.
对于B：
的最小正周期为
，B 正确.
对于C：当
时，
，
余弦函数在对称轴处取最值，所以
是
的对称轴，C 正确.
对于D：当
时，
，则
，
所以
在
上的值域为
，D 错误.
15．（2026·广西崇左·二模）（多选）已知函数
，下列命题正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
的图象关于点
对称
D．
在
，
上单调递减
【答案】ACD
【分析】根据正切函数的性质判断．
【详解】对AB，
的定义域为
，值域为
，A 正确，B 错误.
对C，
，所以
的图象关于点
对称，C 正确.
对D，当
时，
，函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，所以
在
上单调递减.当
时，
，函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，D 正确.
16．（25-26 高三上·全国·课堂例题）（1）函数
的定义域为________；
（2）函数
的值域为________．
【答案】
【分析】（1）根据正切型函数的定义进行求解即可；
（2）利用换元法，结合正切函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由
，
，得
，
，
即函数的定义域为
．
（2）令
，∵
，
∴由正切函数的单调性可知
，
∴原函数可化为
，
，
∵二次函数
的图象开口向上，对称轴为
，
∴当
时，
，
当
时，
，
∴原函数的值域为
．
故答案为：
；
考点四 利用三角函数的值域(最值)求参数
17．（25-26 高三上·河南南阳·期中）若函数
在
上有最大值没有最小值，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合正弦函数的图像性质，确定最大值存在、最小值不存在的条件.
【详解】因为
且
，设
，
所以
.
函数
在
上有最大值、无最小值，
等价于
在
上有最大值、无最小值.
正弦函数
的最大值为，在
（
）处取得；
最小值为
，在
（
）处取得.
存在最大值：区间
必须包含
，
即
，化简得：
.
无最小值：区间
不能包含
，
即
，化简得：
.
综上，
的取值范围是
.
18．（25-26 高三上·河南南阳·期中）关于x 的方程
在区间
有两解，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过换元法，将方程转化为一元二次方程，讨论方程解的个数对应
上的解的个数，从而确定a
的取值范围．
【详解】因为
，则
；
令
，则
可整理为：
；
故
在区间
有两解
等价于
在
上的解，对应
有两个不同的解；
当
或
时，一个t 对应
上的一个解，
当
且
时，一个t 对应
上的两个解；
分离参数：
，
令
，对称轴为
，
；
与
对称的点为
；
，
，
当
时，
与
有一个交点，
此时
，一个t 对应
上的两个解；
当
时，
，一个t 对应
上的一个解，不合题意；
当
时，
或
，对应
或
两个解，符合题意；
当
时，
与
有两个交点，即t 有两个值，
此时
，一个t 对应
上的两个解，
则
在区间
上，x 有4 个解，不合题意，舍去；
当
时，
，此时对应
上的两个解，符合题意；
综上，实数a 的取值范围为
．
19．（25-26 高三上·山西运城·期中）函数
在
上有最小值，没有最大值，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用换元法结合余弦函数值域计算求解参数.
【详解】函数
中，当
时，
，
函数
在
上有最小值，没有最大值，
得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
20．（25-26 高三上·北京朝阳·期中）已知函数
的图象在区间
上有且只有4 个最高
点，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】结合三角函数图象性质可列出与
有关不等式，结合
为整数计算即可得解.
【详解】当
时，
，
则有
，
，
解得
，
，
当
时，
，
，则不等式组无解；
当
时，有
，即
；
当
时，由
，
，则不等式组无解；
综上可得
.
21．（25-26 高三下·浙江杭州·阶段检测）已知函数
在闭区间
上的最大值为4，最小值为2，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的单调性分析
的最值位置，结合区间端点值，列出方程求出参数
，
，即可求出
.
【详解】解：由
在
上单调递增，则
单调递减，
所以
在同一单调区间上也单调递减，
由
在区间
上单调递减，则
，
所以
，
，
解得
，
，又
，所以
，因此
.
22．（25-26 高三上·山东·阶段检测）若命题“
，
”为真命题，则实数a 的取值范围为
______.
【答案】
【分析】由题设知：
，根据正切函数的性质求解最值，即可求得a 的取值范围.
【详解】因为命题“
，
”为真命题，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
考点五 三角函数的周期性以及求参数
23．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
的最小正周期为4，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【详解】由函数
的最小正周期为4，得
，解得
，
由
，得
，解得
，
所以
.
24．（2026·贵州毕节·三模）函数
，满足
，且
的最小值为
，
则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【详解】由正弦函数的性质可知：任意两个相邻零点之间的距离为半个周期，即：
，解得：
.
25．（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数
是（ ）
A．最小正周期为
的奇函数
B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简，然后周期公式和奇函数定义判断即可.
【详解】
,
定义域为
，定义域关于原点对称，
由周期公式可知
，
又
，
所以
为最小正周期为
的奇函数.
26．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
的最小正周期是
．则
在
上
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据最小正周期求出
，再根据余弦函数的单调性求解即可.
【详解】已知函数
的最小正周期是
，
则
，则函数
.
当
，
.
因为余弦函数
在
单调递减，因此函数在
时取最小值，
最小值为
，即
在区间
的最小值为
.
考点六 三角函数的对称性以及求参数
27．（2026·云南·三模）若函数
的相邻两对称中心的距离为
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【详解】因为
相邻两对称中心的距离为
，
则函数
的最小正周期
满足
，
又由
，解得
.
28．（2026·辽宁·三模）（多选）下列四个函数中，周期为
且在区间
上单调递减的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】对于A，函数
的周期为
，
当
时，
，在
上单调递减，A 正确；
对于B，当
时，
，函数
在
上单调递增，B 错误；
对于C，函数
的周期为
，
当
时，
，在
上单调递减，C 正确；
对于D，函数
的周期为
，D 错误.
29．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
，
．若
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数对称轴的公式，可得当
时满足
，结合题目给定的
的
取值范围，即可计算得到符合条件的
的值.
【详解】由于正弦函数
的对称轴为
，
已知
的图象关于
对称，
所以将
代入可得：
，
整理可得：
，又因为
，取
，
得
.
30．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数
，（
）的最小正周期为
，则它的一条对称轴是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据周期得到
的值，从而得到
对称轴方程，结合选项，代入
值验证即可求解．
【详解】由
的最小正周期为
，
，
则
，解得
，
所以
，
令
，
，解得
，
，
结合选项，取
，得
，即它的一条对称轴是
．
31．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
，则
的一个对称中心
的坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
函数
的最小正周期为
，
，
，
，令
，解得
，
令
，得
，故
的一个对称中心的坐标可以是
.
32．（25-26 高三上·江西赣州·期中）（多选）若函数
与函数
（
，
）图象的对称中心完全一致，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】易得函数
与
的周期相等，从而可求出
，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函
数的对称中心，进而可得出答案.
【详解】因为函数
的相邻对称中心的距离都是半个周期，
且函数
与函数
图象的对称中心完全一致，
所以函数
与
的周期相等，
函数
的周期
，即
，所以
，则
，
令
，故
，
令
，则
，
故
，解得
，
因为
，所以
或
．
33．（2026·云南曲靖·二模）若曲线
的一个对称中心为
，则
不可能是（ ）
A．2
B．5
C．8
D．12
【答案】D
【详解】
，
，
当
时，
，A 满足；
当
时，
，B 满足；
当
时，
，C 满足；
当
时，
，D 不满足．
34．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）已知点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正切型函数的对称性得出
，结合
可得出
的最小值.
【详解】因为点
是函数
的图象的一个对称中心，
则
，解得
，
因为
，故当
时，
取最小值
.
考点七 三角函数的奇偶性以及求参数
35．（25-26 高二·全国·暑假作业）函数
是（ ）
A．最小正周期为
的偶函数
B．最小正周期为
的奇函数
C．最小正周期为
的偶函数
D．最小正周期为
的奇函数
【答案】B
【详解】因为函数
，所以该函数是最小正周期为
的奇函数．
36．（25-26 高三上·北京西城·期中）把函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图
象，若函数
为偶函数，则
的一个可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角函数图象变换求出
，再利用正弦函数的性质列式求解.
【详解】依题意，
，
由函数
为偶函数，得
，
解得
，当
时，
，A 是；
不存在整数
，使得
，BCD 不是.
37．（25-26 高三上·北京房山·期中）“
”是“函数
是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得.
【详解】若
，则
，
由
为奇函数，故
是奇函数，
故“
”是“函数
是奇函数”的充分条件；
若函数
是奇函数，则
，
故“
”不是“函数
是奇函数”的必要条件；
综上可得：“
”是“函数
是奇函数”的充分不必要条件.
38．（2026·北京海淀·三模）已知函数
，则
的最大值为______，将函数
图
象向右平移
个单位
得到函数
，若对任意
，都有
成立，则常数
的最小值为
______．
【答案】
/
【分析】先利用三角恒等变换化简函数
为余弦型函数标准形式，根据余弦函数的值域求解最大值；再根据三
角函数图象平移规则得到
的解析式，结合奇函数的性质推导参数
的取值，最终确定最小正值.
【详解】∵
，
由平方差公式及余弦二倍角公式可得：
，
∵
， ∴
的最大值为
.
将函数
的图象向右平移
个单位，可得：
，
∵ 对任意
，都有
，即
，
∴
是定义在
上的奇函数，
∴
， 即
，
又∵
， ∴ 当
时，
取得最小值
.
39．（25-26 高三上·上海·阶段检测）已知函数
，且
，则
________．
【答案】
【分析】构造函数
，判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性求解即可.
【详解】令
，
则
，所以
，
因为
，
所以
，
所以
.
40．（25-26 高三上·河北沧州·开学考试）将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小值是 _____________ ．
【答案】1
【详解】将
向左平移
个单位，
得：
，
又因为
为奇函数，所以
，
整理得：
，
又因为
，所以
.
考点八 三角函数的单调性以及求参数
41．（25-26 高三上·云南昆明·期中）已知函数
.
(1)求
的对称轴和
在
上的值域；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位长度，再向上平移1 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原
来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
的单调递增区间.
【答案】(1)对称轴
；
(2)
．
【分析】（1）先根据三角恒等变形化简可得
，再利用整体法求对称轴及值域；
（2）先由三角函数平移变换得到
，再整体代入求单调区间即可．
【详解】（1）由题意得
，
令
，
，则
，
所以对称轴为
，
因为
，所以
，所以
，
则
的对称轴为
，
在
上的值域
；
（2）
向右平移
个单位长度得到
，
再向上平移1 个单位长度得到
，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，得到
，
令
，
解得
，
所以
的单调递增区间为
．
42．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数
（
）在区间
上单调递增，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由正弦函数的周期性求出
的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出
的具体范围.
【详解】令
，因为
，所以
因为函数
在区间
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，且
，即
．
因为
，
所以函数
在
上单调递增，等价于
或
，
解不等式得
或
，所以
的取值范围是
．
43．（2026·河北保定·三模）已知函数
的最小正周期是
，
则下列
区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由最小正周期求
，根据
求
，再结合余弦函数的单调递增区间推导
的增区间，结合选项得
出结果.
【详解】由于函数最小正周期
，得
，
由
，且
，得
，因此
，
令
，解得：
，
当
时，一个递增区间为
，而
，
所以函数在
上单调递增.
44．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知常数
，若
，
，使得
成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式将不等式
转化为
，根据余弦函数的性质求出
的取值范围，
再分析区间覆盖条件，列不等式求解.
【详解】因为
，所以
可化为
．
由三角函数的定义解得
，
，即
，
．
该解集在数轴上表示如下：
若
，
，使得
成立，则只需
的长度大于等于相邻解集之间的长
度，
所以
，解得
．
又
，所以
的最小值为
．
45．（25-26 高三上·吉林长春·期中）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期是
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．函数
的值域是
D．函数
的单调递减区间是
【答案】BD
【分析】根据正切函数的性质，结合绝对值的特点，分别对函数
的周期、值域、对称轴和单调区间进行分析.
【详解】选项A：因为函数
，其周期与
相同，为
，
因为题中
，则周期
，故A 错误；
选项B：因为
的对称轴为
，
令
，则对称轴为
，
当
时，
，符合条件，故B 正确；
选项C：因为
，当
时，
，
故值域为
，不是
，故C 错误；
选项D：因为
的单调递减区间为
，
则令
，解得：
，
所以与选项D 的区间一致，故D 正确；
46．（2026·江苏南京·三模）已知函数
在
上单调，则
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】由正切函数
的单调递增区间为
，求得函数
的单调递增区间
为
；再根据函数
在
上单调，得
，从而得到不等式组，确定
的取值，结合
的条件，确定
的最大值.
【详解】由正切函数
的单调递增区间为
；
令
，解得
；
函数
的单调递增区间为
.
由
(
)在
上单调，得
；
，解得
；
，
，解得
；
，
；
，得
；
的最大值为
.
考点九 三角函数中零点问题
47．（2026·北京丰台·二模）已知函数
，
，若
的最大值为
，则（ ）
A．
，
有2 个零点
B．
，
有3 个零点
C．
，
有2 个零点
D．
，
有3 个零点
【答案】C
【分析】整理可得
，换元令
，结合二次函数性质可得
，令
求得
，进而分析
得零点.
【详解】因为
，
，
令
，可得
的图象开口向下，对称轴
，
当
，即
时，则
的最大值为
，解得
；
当
，即
时，则
的最大值为
，解得
（舍去）；
综上所述：
，则
，
令
，解得
或
（舍去），
又因为
在
有2 个解，
所以
有2 个零点.
48．（2026·河南驻马店·三模）（多选）已知函数
的图象过点
和点
，则（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．直线
为
图象的一条对称轴
C．将
的图象向左平移
个单位长度可得函数
的图象
D．
在区间
上仅有两个零点
【答案】BC
【详解】代入点
得
，代入
得
，又因为
，所以
，函数解析
式为
.
选项A，
，
，因此不单调递减.
选项B，
，
，为对称轴.
选项C，向左平移
得
成立.
选项D，
，
，因为函数
在
上只有1 个零点，因此
只有1 个零
点.
49．（2026·湖南长沙·一模）已知函数
其中实数
.
(1)若
的最小正周期为
，求
在
处的切线方程；
(2)若
在区间
上恰有三个极值点、两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简得到
，结合最小正周期求出
；根据导数的几何意义
求解即可.
（2）根据题意列不等式组求解即可.
【详解】（1）
.
因为
的最小正周期为
，所以
，解得
.
所以
.
则
，所以切点为
.
又
，则
，
所以切线方程为
，即
.
（2）由（1）知，
，
，
，则
，
因为
在区间
上恰有三个极值点，所以
，且
，
即
，解得
.
又若
在区间
上恰有两个零点，则
，且
，
即
，解得
.
综上，
.
故
的取值范围为
.
50．（2026·山东临沂·二模）若
为函数
的一个零点，且
的最小正周期
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据余弦函数的零点性质求出
的表达式，再结合周期公式和周期的取值范围确定
的值．
【详解】已知
为函数
的一个零点，
根据余弦函数的性质，若
是
的零点，则
，即
，
．
所以
，则
．
所以
．
对于余弦函数
，其最小正周期
，
已知
的最小正周期
，则
．
解不等式
，得
，即
；
解不等式
，得
，因为
，所以
．
综上，
．
因为
，
，且
，当
时，
，
满足
．因此
的值为
．
51．（25-26 高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数
，若
在
上恰有三个
零点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
，代入即可求值；
【详解】令
，即
，解得
或
，
当
时，可得
，
所以
，
所以
，
所以
，
52．（25-26 高三上·安徽阜阳·期末）（多选）已知函数
，下列叙述正确的有（ ）
A．函数
是偶函数
B．函数
在区间
上单调递增
C．函数
在区间
上有
个零点
D．
的最大值为
【答案】AD
【分析】由偶函数的定义判断A；当
时，化简得
，由三角函数的性质判断B；求出函数在
上零点个数，判断C；求出函数在
上的最大值，可判断D.
【详解】对于A，因为函数的定义域为
，
又
，
所以函数
是偶函数，故A 正确；
对于B，当
时，
，
所以函数在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为函数
是偶函数，且
，
故只需研究函数在
上的零点个数即可，
当
时，
，
令
，得
，所以函数在
上只有一个零点，
同理函数在
上也只有一个零点，所以函数在
上有3 个零点，故C 错误；
对于D，因为当
时，
，
此时函数的最大值为3，
又因为函数为偶函数，图象关于
轴对称，所以当
时，函数的最大值为3，
综上，函数的最大值为3，故D 正确.
53．（25-26 高三上·广东汕尾·期中）已知函数
，
(1)求函数
的最小正周期；
(2)求函数
的单调递减区间和对称中心；
(3)若
时，函数
有三个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
，对称中心为
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，即可得到解析式，从而利用正弦型函数最小正周期公式求解即可；
（2）利用正弦函数的单调区间，结合整体法可求得到结果；
（3）将函数零点转化为函数图像交点，数形结合即可求解.
【详解】（1）
.
∴函数
的最小正周期
.
（2）令
，
解得
，
的单调递减区间为
，
令
，解得
，
∴函数
的对称中心为
.
（3）
，令
.
∵函数
有三个零点，
有三个解，即
的函数图象与
有三个交点，
与
有三个交点，
图象如图所示：
在
单调递增在
､
单调递减在
､
单调递增，
当
时，
时
，
当
时，
时
，
的取值范围为
54．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
．
(1)求函数的最小正周期、对称轴和零点；
(2)若
，
，求
的值；
(3)若关于x 的方程
在
上有两个不同的解
、
，求实数m 的取值范围及
的值．
【答案】(1)
，对称轴
，零点
或
．
(2)
(3)
且
，
或
【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式及辅助角公式化简函数为
，再利用正弦型函数的性
质求最小正周期、对称轴和零点；
（2）利用已知条件求出
，进而根据
求出
，最后利用余弦的和角公式计算求解；
（3）把零点问题转化为
与直线
的交点问题，作出
的大致图象，结合图象及正弦型函数的对称
性求实数m 的取值范围及
的值．
【详解】（1）
，
函数的最小正周期为
，
令
，解得对称轴为
，
令
，即
，则
或
，
解得
或
．
（2）
，解得
，
，
，则
位于第四象限，
，
，
．
（3）方程
在
上有两个不同的解
、
，等价于
与
在
有两个不同交点，
，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
最大值为
，最小值为
，且
，
作出函数大致图象如下：
由图象可知，
且
时，直线与
有两个交点，
解得
且
，
当
，即
时，两交点关于对称轴
对称，
则
；
当
，即
时，两交点关于对称轴
对称，
则
．
考点十 三角函数综合应用
55．（25-26 高三上·江西南昌·期中）（多选）已知函数
的最小正周期为
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于点
对称
D．
在
上的最小值为
【答案】AC
【详解】对于A，因为
的最小正周期为
，
所以
，解得
，故A 正确.
对于B，因为
，所以
，故B 错误.
对于C，因为
，故C 正确.
对于D，因为
，所以
，所以
，故D 错误.
56．（25-26 高三上·云南·阶段检测）（多选）已知
，其中相邻的两个极值点的
距离为
，且
经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
时，
的值域为
D．
时，
与
的交点数为
个
【答案】AB
【分析】根据极值点的距离可得
，再根据函数过点
，代入解析式可得
，即可得函数解析式，再根据自
变量范围可得函数值域，做出函数图像，可得交点个数.
【详解】A 选项：由已知相邻两个极值点的距离为
，可得
，
又
，可得
，A 选项正确；
B 选项：由函数
经过点
，则
，即
，
又
，可得
，B 选项正确；
C 选项：
，当
时，
，
则
，所以
，C 选项错误；
D 选项：因为函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，
如图所示：由图可知，两函数图象有
个交点，D 选项错误；
故选：AB.
57．（25-26 高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知函数
的图象过点
和
，则（ ）
A．
B．当
时，
的值域
C．
的最小值为
D．函数
有三个零点
【答案】AD
【分析】先根据点在函数上求出
判断A,应用正弦函数图象性质求值域判断B,根据两点间距离求最值判断C,数形
结合判断交点个数即是零点个数判断D.
【详解】因为函数
的图象过点
可得
,即得
,所以
，
A 选项正确；
函数
，
可得
，所以
,B 选项错误；
函数
的图象过点
可得
,
,
当
,C 选项错误；
函数
的零点个数可以转化为
的交点个数，
如图两个函数有三个交点可得函数
有三个零点，D 选项正确.
故选：AD.
58．（25-26 高二上·广东汕头·期末）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，其中
，
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
在
上单调递减
D．
在
上有6 个零点
【答案】ABD
【分析】先求出
的解析式，再利用余弦函数的性质分析函数的最小正周期，对应值，单调区间及零点情况．
【详解】
间距为
，结合图象可知
，故
，
，
，
，代入点
得
，
，
，取
，得
，
，
选项A：
最小正周期为
，故A 正确；
选项B：
，
，
，故B 正确；
选项C：
的单调递减区间为
，解得
，
当
时，递减区间为
，
包含递增区间
，不满足单调递减，故C 错误；
选项D：
的零点满足
，解得
，
在
内，
时共6 个零点
，故D 正确．
故选：ABD．
59．（25-26 高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期．
(2)若关于
的方程
在
上有两个不同的实根，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解．
（2）确定函数
在
上的单调性及对应函数值变化情况，再利用直线
与函数
的
上的
图象有两个交点求出范围．
【详解】（1）函数
，
所以函数
的最小正周期为
；
（2）当
时，
，
由
，得
，由
，得
，
因此函数
在
上单调递减，函数值从
递减到
；
函数
在
上单调递增，函数值从
增大到
，
由方程
在
上有两个不同的实根，
得
在
上有两个不同的实根，
即直线
与函数
的
上的图象有两个不同交点，
因此
，
所以实数m 的取值范围是
．
60．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知函数
，
，函数
图象的两条
相邻对称轴间的距离为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
在区间
上单调递增，求实数m 的最大值；
(3)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
．
【分析】(1)根据已知
可求出
的值，相邻两条对称轴之间的距离为
，根据
计算
的值；
(2)利用整体代换的思想，将
看作整体，通过
，得到整体的范围，根据正弦函数单调区间计算m
的最大值；
(3)通过x 的取值范围计算
的取值范围，利用换元法，根据二次函数图象性质求参数取值范围．
【详解】（1）解：由
，得
，由
，则
，
因为函数
图象的两条相邻对称轴间的距离为
，
所以函数的最小正周期满足
，可得
,
因为
，则
＝2，所以
．
（2）令
，因为
，所以
．
要使函数
在区间
上单调递增，只需
，
解得：
，所以实数m 的最大值为
．
（3）∵
，∴
，∴
，
令
，则由题可知
恒成立，
令
，
，对称轴为
，开口向上，
所以
，
解得：
，综上可知，
的取值范围是
．
1．（2026·福建福州·模拟预测）当函数
取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据辅助角公式，
，其中
，
，
当
，
时，
取得最小值，
，
所以
.
2．（25-26 高三上·全国·单元测试）在
内，函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题直接求函数定义域即可.
【详解】由题意得
，解得
，所以
，
即在
内，函数
的定义域为
．
故选：C.
3．（25-26 高三上·陕西汉中·阶段检测）将函数
的图象向左平移
个单位后，所得到的图象
对应的函数为偶函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位后得到函数
.
因为
是偶函数，则
.
整理得
，
因为
，取
时，得到最小正数
.
因此
的最小值为
.
4．（25-26 高三上·广东河源·阶段检测）已知函数
在区间
上单调递减，则
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】先求出正弦型函数的单调递减区间，再根据题给区间是减区间的子集建立不等式组，求解得到
的取值
范围后确定最大值.
【详解】正弦函数
的单调递减区间为
.
令
，则
的单调递减区间满足：
，
解不等式得：
.
由于
在
上单调递减，故
，
，
同时区间长度
，得
.
当
时，则
，解得
，即
.
当
时，无解；
当
时，对应减区间不符合题设区间要求，
因此
的最大值为
.
5．（25-26 高三上·广东汕尾·期中）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义，即对于函数
，若满足
，则
为奇函数，对每个选项逐一进行
分析判断.
【详解】选项A：设
，定义域为
，关于原点对称，
，
是偶函数，A 错误.
选项B：设
，定义域为
，关于原点对称，
，
且
，
为非奇非偶函数， B 错误.
选项C：设
，定义域为
，关于原点对称，
，
是偶函数， C 错误.
选项D：设
，定义域为
，关于原点对称，
，
是奇函数， D 正确.
6．（2026·广西河池·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的最小正周期是
.
7．（25-26 高三上·山东潍坊·期中）已知函数
的图象关于直线
对称，若将函数
的图像向左或向右平移
个单位长度后，得到函数
的图象关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移可得
表达式，即可根据偶函数的性质求解．
【详解】由题意
，则
，
则由
可得
，当将
的图象向左平移
个单位，
可得
，
由于
的图象关于
轴对称，故
为偶函数，所以
，
故
，由于
，所以
的最小值
，
当将
的图象向右平移
个单位，可得
，
由于
的图象关于
轴对称，故
为偶函数，
所以
，故
，
由于
，所以
时，
的最小值
.
综上
的最小值
.
8．（2026·重庆渝中·三模）已知点
为函数
的一个对称中心，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正切函数的对称中心，通过整体结构一致，即可求解.
【详解】对于正切函数
，其对称中心满足
，
因为
是
的对称中心，
因此将
代入得：
，
整理得
，
因为
，要求
的最小值，则取最小的正整数
，
代入得：
， 因此
的最小值为
.
9．（25-26 高三上·云南昆明·期中）（多选）若函数
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的定义域为
C．
图象的对称中心的坐标为
D．
的单调递增区间为
【答案】BC
【详解】对于A，由
，所以
，
所以
的最小正周期为
，故A 错误；
对于B，由
，
，解得
，
，
所以
的定义域为
，故B 正确；
对于C，令
，
，解得
，
，
所以
图象的对称中心的坐标为
，故C 正确；
对于D，令
，
，得
，
，
所以
的单调递增区间为
，故D 错误.
10．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的最大值为2
C．函数
关于
对称
D．函数
在区间
上单调递增
【答案】ABD
【分析】化简得函数
，即可得周期和最值，将
代入函数
判断C；由于
，根据余弦函数的单调性判断D.
【详解】函数
，
所以函数
的最小正周期为
，最大值为
，A、B 正确；
当
时，
，
不是最值，C 错误；
当
时，
，
因为余弦函数在
上单调递增，D 正确.
11．（25-26 高三下·甘肃武威·阶段检测）（多选）下列函数中，最小正周期为
，且在
上单调递增的为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】选项A：
的最小正周期为
，
单调递增区间为
，满足在
上单调递增，故A 正确；
选项B：
，定义域为
且
，
没有意义，最小正周期
不是
，故B 错误；
选项C：
的最小正周期为
，
在
单调递减，
则
在
单调递减，故
在
单调递增，故C 正确；
选项D：
，最小正周期为
，
在
时，
，函数
在区间内先增后减，故D 错误．
12．（2026·江西九江·模拟预测）（多选）已知函数f (x)= A sin (ωx +φ)( A >0, ω>0)，则下列条件中是“
为奇函数”的充要条件的有（ ）
A．
B．
的图象关于原点对称
C．
，使得
D．
【答案】ABD
【详解】
为奇函数，则
，都有
，所以C 错误；
即
，化简得
对
恒成立，
所以
，即
，
反之，当
时，
，
当
是偶数时，
为奇函数，
当
是奇数时，
为奇函数，
所以
为奇函数，A 正确；
奇函数的图像关于原点对称，B 正确；
因为
，所以
为奇函数
，
若
，则
，由A 选项可知，则
为奇函数，D 正确.
13．（2026·全国一卷·高考真题）已知
（
，
）是偶函数，
在区间
单
调递增．则
__________，
__________．
【答案】
【分析】根据单调性和周期性可得
.解法一：根据偶函数可得
，并代入结合单调性检验即可；解
法二：根据题意可得
，即可得
，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知
在
处取到极小值，可得
，进而可得结果.
【详解】设函数
的最小正周期为
，由题意可知
，
因为函数
在
内单调递增，则
，即
，
可得
，解得
，
且
，
，则
，
解法一：因为函数
为偶函数，
则
，
，且
，
则
，
，
若
，则
，
即
或
，不符合题意，
若
，则
，
即
或
，符合题意；
且
或
；
综上所述：
，
.
解法二：因为
，
若函数
为偶函数，则
，即
，
且
，则
，
若
，则
，
，
即
或
在
内恒成立，
可知函数
在
内单调递减，不符合题意，
若
，则
，
，
即
或
在
内恒成立，
可知函数
在
内单调递增，符合题意，
且
或
；
综上所述：
，
.
解法三：因为函数
为偶函数，且函数
在
内单调递增，
可知
在
处取到极小值，则
，
，且
，
则
，
，则
，
即
或
，符合题意；
且
或
.
14．（25-26 高三上·河北·期中）若函数
在区间
上单调，且
，则
的取
值范围为________．
【答案】
【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解.
【详解】令
，解得：
，所以
，
则
，即：
，由题意得：
，
因为
，所以
，
所以
，即
的取值范围为
.
15．（25-26 高三上·上海·期中）已知
，若
，则
__________．
【答案】
【分析】设
，由奇函数的性质即可求解．
【详解】设
，定义域为
，
因为
，
所以
为奇函数，又
，
所以
，
所以
．
16．（25-26 高三上·天津·期末）已知函数
.
(1)求
的定义域、值域；
(2)求
的最小正周期，奇偶性和单调区间.
【答案】(1)定义域为
；值域为
.
(2)最小正周期
；函数
为非奇非偶函数；函数
的递增区间为
，没有递减区
间.
【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数
的定义域、值域、
最小正周期、奇偶性和单调区间.
【详解】（1）令
，则
，
∴
的定义域为
.
∵函数
的值域为
，
∴
的值域为
.
（2）∵函数
中
，∴函数
的最小正周期
.
令
，则
，
即函数
关于点
中心对称，
∴函数
为非奇非偶函数.
令
，∴
，
且函数
中
，
.
∴函数
的递增区间为
，没有递减区间.
17．（2026·天津·高考真题）已知
．
(1)求最小正周期；
(2)若
，求
的最大值和最小值；
(3)若
，
，求
．
【答案】(1)
(2)最大值为
，最小值为
(3)
【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；
（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；
（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.
【详解】（1）
；
（2）若
，则
，
由正弦函数性质可知，当
，即
时，函数
有最小值，即
，
当
，即
时，函数
有最大值，即
.
所以函数
的最大值为
，最小值为
；
（3）若
，
，所以
，
则
，
，
则
.
18．（2026·北京·三模）已知函数
（
）．
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)已知
在区间
上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在且唯一确定，求
的最小正周期.
条件①：
；
条件②：点
在
的图象上；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
，单调递增区间
，
；
(2)选①，最小正周期
；
选③，最小正周期
．
【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，先对函数解析式进行化简，根据所给条件，利用整体代换的思想求
解函数的单调递增区间；
（2）通过题干所给条件先求出参数的取值范围，再根据所选择的条件计算出参数的具体取值，再利用周期公式计
算最小正周期．
【详解】（1）
；
因为
，则
；
；
令
，解得
；
故
的单调递增区间为
，
；
（2）由（1）知，
，
令
，
；
解得
；当
时，
；
已知
在区间
上单调递增，故
，解得
；
选①
因为
，即
，
解得
，因为
，则
，
故
，解得
；
，
的最小正周期
；
选②
因为点
在
的图象上，
则
，即
，
，解得
，
综上，
，
；
，
；
此时
不唯一，故不符合题意；
选③
因为
，则对称轴为
，
则
，解得
，
因为
，故
，
；
，
的最小正周期
．
