文档文本内容
4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
4 大考点汇总
考点01 任意角的相关概念
考点02 扇形的弧长和面积问题
考点03 任意角的三角函数的定义
考点04 各象限角三角函数值的符号
题型专练
考点01 任意角的相关概念
1．下面四个命题中，正确的是（ ）
A．锐角一定是第一象限角
B．小于
的角一定是锐角
C．第二象限角是钝角
D．第一象限的角一定不是负角
【答案】A
【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A．
【详解】对于A，锐角是大于
小于
的角，是第一象限角，A 正确；
对于B，
，但
不是锐角，B 错误；
对于C，
是第二象限角，但
不是钝角，C 错误；
对于D，
是第一象限角，可以是负角，D 错误．
2．下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角都比第二象限角小
B．小于
的角是锐角
C．终边相同的角一定相等
D．终边在
轴非负半轴上的角的集合是
【答案】D
【详解】选项A.
是第一象限角，
是第二象限角，但是
，错误.
选项B.
，但它不是锐角，错误.
选项C.终边相同的角相差
的整数倍，不一定相等，错误.
选项D.终边在
轴非负半轴上的角，就是
加上
的整数倍，集合表示为
，正
确.
3．已知角
的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角
的集合为______.
【答案】
【分析】根据题意，可得出在
范围内，终边落在阴影内的角为
或
；结
合周期性进行化简，即可得出答案.
【详解】在
范围内，终边落在阴影内的角为
或
，
所以终边落在阴影所表示的范围内的角
的集合为
.
4．（1）若角
的终边与
角的终边相同，则在
内终边与
角的终边相同的角为______.
（2）如果
是第三象限的角，则角
的终边所在位置是__________，角
的终边所在位置是______.
【答案】
，
，
第二象限 第一、二象限及y 轴的非负半轴
【详解】（1）由题意得
，∴
.
令
，则
，
，
∴
，即在
内终边与
相同的角为
，
，
.
（2）由
是第三象限的角，得
，
，
∴
，∴角
的终边在第二象限.
由
，得
，
∴角
的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴.
5．（多选）以下表示第四象限角的集合．正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】确定第四象限在一个周期内的基础开区间（如270°到360°或
到 0°），再给两端加上360°的整
数倍以涵盖所有同终边的角即可求解.
【详解】A 选项仅仅表示了在
范围内的那一部分第四象限角，并没有包含所有终边相同的角，
缺少了周期
，表示不完整，故A 错误，
B 选项包含了轴线角，故B 错误，
C 选项以
为基础区间，加上周期
即表示所有第四象限角，故C 正确，
D 选项以
为基础区间，加上周期
即表示所有第四象限角，故D 正确.
6．若
，则
是（ ）
A．第二或第四象限角
B．第三象限角
C．第二象限角
D．第一或第三象限角
【答案】A
【分析】结合三角函数性质可得
范围，即可得
范围，即可得解.
【详解】由
，
，则
是第三象限角，
即
，
所以
，
当
，即
为偶数时，
，此时
是第二象限角；
当
，即
为奇数时，
，此时
是第四象限角；
综上
是第二或第四象限角.
7．设
是第三象限角，且
，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【分析】由
是第三象限角推断
是第二或第四象限角，结合
即可判断
所在象限.
【详解】因
是第三象限角，则
，
所以
，
当
时，
，即
是第二象限角；
当
时，
，即
是第四象限角.
又由
可知
，
所以
是第二象限角.
8．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】先将角度转化为弧度，
，
所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为
.
考点02 扇形的弧长和面积问题
9．已知扇形的圆心角为2 弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________．
【答案】
16
【详解】扇形的圆心角弧度数
，弧长
．
根据弧长公式
，解得扇形半径
．
代入扇形面积公式
，可得
．
10．如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧
，
的弧长分别是
和
，且
，则图中阴影
部分的面积是________
【答案】
【分析】设扇形的圆心角为
，小扇形半径为，根据弧长公式建立方程组求出半径和圆心角，再利用扇形
面积公式作差求解．
【详解】设扇形的圆心角为
，小扇形
的半径为，则大扇形
的半径为
．
依题意得 {
αr =2π
α(r +6)=6 π)， 两式相减得
，解得α = 2π
3 ．
将α = 2π
3 代入
，解得
，则
．
所以阴影部分的面积
．
11．扇形的圆心角是
，半径是
，则扇形的面积是_________
．
【答案】
/
【详解】扇形的面积为
．
12．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图
，图为其结构简化图设扇面
，
间的圆弧长为，
，
间的弦长为
，圆弧所对的圆心角为
，则，
和
所满足的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】如图，连接
，取
的中点为
，连接
，
由题意可得
，
，
，
设
，在
中，
，
又
，
所以由
可得
，
即
.
13．如下图，已知
是圆心角为
的扇形，
是扇形弧上的点，四边形
是扇形的内接矩形，其中
，
，则扇形
的面积为______．
【答案】
【分析】先根据正切函数的定义求出
，再根据勾股定理求出扇形
半径，进而根据扇形的面积公式求
解即可．
【详解】在矩形
中，有
，
，且
，
则在
中，
，所以
，解得
，
所以在
中，
，所以
，
即扇形
半径的平方为
，
所以扇形
的面积为
．
14．已知扇形的圆心角是
，半径为r，弧长为l.
(1)若
，
，求扇形的弧长l；
(2)若扇形
的周长为
，当扇形的圆心角
为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？
【答案】(1)
；
(2)圆心角
，面积
的最大值为
.
【分析】（1）利用弧长公式可得答案；
（2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案.
【详解】（1）
，
∴扇形的弧长
；
（2）由已知得，
，所以
，因为
，所以
，
所以扇形的面积
，
，
所以当
时，面积
取得最大值
，
此时
，圆心角
.
15．已知扇形的圆心角是
，半径为R，弧长为l.
(1)若
，
，求扇形的弧长l；
(2)若
，
，求扇形的面积；
(3)若扇形的周长是
，当扇形的圆心角
为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可；
（2）根据扇形面积公式求解；
（3）由题意知
，可得
，然后结合二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）由已知得，
，
所以
．
所以当
时，S 取得最大值
，
此时
．
16．已知角
终边上一点
，
(1)求
、
的值；
(2)化简
并求值．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解；
（2）根据诱导公式，及两角差的余弦公式即可化简求值．
【详解】（1）由角
终边上一点
，则
，
．
（2）
．
考点03 任意角的三角函数的定义
17．若角
的终边上有一点
，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．
或1
D．
或
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【详解】由题意得：
，
所以
，解得
.
18．平面直角坐标系中，若角
的终边经过点
，角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【详解】由题设
，同理
，
所以
.
19．已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得
.
20．
为坐标原点，角θ 的终边经过点
，且
，则
的单位向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设点
到原点
的距离为，则
，
由任意角的正弦函数定义，得
，
又已知
，故
.
因为
，解得
，则得
，故向量
，
则
，故
的单位向量为
.
21．已知角
的终边经过点A，将OA 绕坐标原点
逆时针旋转
至OB，若点B 的坐标为
，则点
的
横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义设出
的坐标，通过旋转得到
的坐标，结合
列方程组求解.
【详解】由题知，
，可设
，
由题知，向量
绕点
逆时针旋转
得到
，
则
，展开得
，
解得
，则
的横坐标为
.
22．已知角
的顶点在原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边在第二象限且与单位圆交于点
，则
__________.
【答案】
【分析】分析可知
，根据同角三角函数关系运算求解即可，注意判断三角函数值的符号.
【详解】因为角
的终边与单位圆交于点
，则
，
因为角
为第二象限角，所以
.
23．已知角
的终边经过点
，且
，则m 的值为（ ）
A．4
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式及三角函数的定义列方程求解即可．
【详解】由角
的终边经过点
，
则
，
，
整理得
，
，
解得
或
（舍去），
所以m 的值为
．
24．已知角
，
的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，
、
，角
的终边与单位圆交点的
横坐标为
，角
的终边与单位圆交点的纵坐标是
，求：
(1)
的值；
(2)
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义求出
，利用同角三角函数关系求出答案；
（2）根据条件推得
，结合
的符号，得到
，求出
的值，最
后进行拆角
，利用差角的余弦公式计算即得.
【详解】（1）由题意，
，因
，则
；
（2）由
，
，可得
，
又
，则
，
又因
，则
，
故
，
于是
.
考点04 各象限角三角函数值的符号
25．点
在第三象限，则角
终边在第二象限.( )
【答案】正确
【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于点
在第三象限，
所以
，所以
在第二象限，
所以命题正确.
26．若角
的终边不在坐标轴上，且满足
，则角
为（ ）
A．第一象限角或第二象限角
B．第二象限角或第三象限角
C．第三象限角或第四象限角
D．第二象限角或第四象限角
【答案】B
【分析】由三角函数式的符号确定角的范围或象限.
【详解】当角
的终边不在坐标轴上时，
，
所以
，所以只需
，
又因为
，要使
，
所以只需
，所以角
的终边在第二象限或第三象限.
27．已知
，则角
的终边所在的象限为第（ ）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】B
【详解】由象限角的三角函数符号可知，
，角
的终边在第二或第四象限，
，角
的终边在第一或第二象限，
综上可知当
时，角
的终边所在的象限为第二象限.
28．已知平面直角坐标系中点
位于第三象限，则角
为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据给定条件可得
，进而确定角所在象限.
【详解】由点
位于第三象限，得
，
由
，得角
是第二、四象限角；由
，得角
终边在
轴下方，
所以角
为第四象限角.
29．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】应用同角三角函数关系结合三角函数的正负计算即可.
【详解】因为
所以
又因为
，所以
,
因为
，所以
，所以
.
故选：C.
30．（多选）已知角
的终边过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据三角函数定义求出
、
和
，结合二倍角公式直接计算判断A 和B，通过角的范围
可以判断角
的终边位于第一象限或第三象限，进而得到
或
进而判断C，通过
并
结合正切二倍角公式判断D.
【详解】因为角
的终边过点
，
所以
，
，
，
所以
，
，故A 和B 正确，
因为
，
所以
，即角
的终边位于第一象限或第三象限，
所以
，但
或
均满足题意，故C 错误，
由
，得
，
解得
（舍去）或
，故D 正确.
故选：ABD
31．若
，则
为（ ）
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角C．第二或第四象限角D．第三或第四
象限角
【答案】B
【详解】由题知
，
，
若
是第一象限角，则
，
，故
，不满足题意；
若
是第二象限角，则
，
，故
，满足题意；
若
是第三象限角，则
，
，故
，满足题意；
若
是第四象限角，则
，
，故
，不满足题意.
综上，
为第二或第三象限角.
故选:B.
32．（多选）角
为第三象限角的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据三角函数值在各象限的符号即可判断．
【详解】若
，则角
为第二、三象限角；
若
，则角
为第三、四象限角；
若
，则角
为第一、四象限角；
若
，则角
为第一、三象限角；
由题可知，满足角
为第三象限角的必要不充分条件是ABD．
