文档文本内容
3.5 利用导数研究零点和证明类问题
6 大考点汇总
考点01 判断函数零点个数
考点02 已知零点个数求参数范围
考点03 证明函数有唯一或多个零点
考点04 利用导数证明不等式
考点05 利用导数研究函数图象及性质
考点06 隐零点的相关问题
题型专练
考点01 判断函数零点个数
1．函数
的零点的个数为 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，求出极值，然后判断函数零点的个数．
【详解】因为函数
，求导得
，
当
或
时，
，所以函数
在
和
上单调递增，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
由此可知函数的极大值为
，极小值为
，并且当
时，
，
因此函数
的零点个数为个，故B 正确.
2．已知函数
(1)当
时，解不等式：
；
(2)当
时，判断
的零点个数并证明；
【答案】(1)
(2)3 个；证明见解析
【分析】（1）先求得
的定义域为
，并证得
的图像关于
中心对称，再确定当
时
的符号，进而根据对称性得
的解集；
（2）先通过导数分析
的单调性，并根据零点存在性定理确定
在
上有唯一零点
，再根据
的图像关于
中心对称及
，即可得到f（x）的零点个数.
【详解】（1）由
得
，所以
的定义域为
，
又
，
所以函数
的图像关于
中心对称，且
.
因为
，
当
时，
，所以
.
故当
时，
，
即不等式
的解集为
.
（2）当
时，
.
因为
的图象关于
中心对称，
所以只需考虑
时，
的零点个数.
，
当
时，
.
令
当
时，
，
所以
在
上单调递减.
因为
，
所以存在唯一
，使得
.
所以当
时，
，即
在
上单调递增.
当
时，
，即
在
上单调递减.
所以
在
上没有零点，
又
，
所以存在唯一实数
使得
，即
在
上有唯一零点
，
由（1）知
.
所以
时，
有三个零点：
.
3．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的零点个数；
(3)若
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)当
或
时，1 个零点；当
或
时，2 个零点
(3)
【分析】（1）求导，可得
，
，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）令
，原题意转化为
与
的交点个数，利用导数判断
的图象，
即可得结果；
（3）整理可得
恒成立，结合反函数性质可得
，整理可得
，结合（2）中
结论运算求解.
【详解】（1）当
时，则
，
可得
，
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
.
（2）因为
，
令
，可得
，
令
，则转化为
与
的交点个数，
因为
，
当
时，
；当
时，
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，则
，
当
趋近于0 时，
趋近于
；当
趋近于
时，
趋近于0；
且
，可得：
当
或
，即
或
时，
与
有1 个交点；
当
，即
或
时，
与
有2 个交点；
综上所述：当
或
时，1 个零点；当
或
时，2 个零点.
（3）因为
恒成立，即
恒成立，
当
时，
，因为
不恒成立，所以不满足题意；
当
时，由
得
，即
恒成立，
等价于
恒成立，
因为曲线
与
关于直线
对称，所以
，
等价于
，可得
，
由（2）可得：
，则
；
综上可得：
的取值范围是
.
4．设函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间：
(3)当
时，求
零点的个数．
【答案】(1)
(2)当
时，
的单调递减区间是
，无增区间；
当
时，
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
(3)2 个零点.
【分析】（1）求出
导数，代入切点坐标，求出对应切点斜率，利用点斜式即可求出切线方程；
（2）求出
导数零点，分类讨论零点在不同区间时
的取值范围，由此求出单调区间；
（3）根据导数求出
的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出
零点的个数.
【详解】（1）若
，则
，则
，
因为
，所以曲线
在
处的切线方程为
；
（2）
，令
，解得
，
因为
，
所以，当
，即
时，在区间
，
，
单调递减；
当
时，在区间
，
，
单调递增，
在区间
，
，
单调递减；
综上所述：当
时，
的单调递减区间是
，无增区间；
当
时，
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
（3）由（2）可知，当
时，
在
单调递增，在
单调递减，
则
，
令
，则
，
因为
，所以
，此时
单调递减，则
，
所以
，
因为
，且
，所以
在
存在一个零点，
因为
，
所以
在
存在一个零点，
故当
时，
有2 个零点.
5．已知函数
.
(1)当
时，求
的最大值；
(2)判断函数
在
的零点个数，并说明理由
【答案】(1)
(2)1，理由见解析
【分析】（1）求导后可得函数单调性，即可得其最大值；
（2）令
，可得
，构造函数
，借助导数可研究其单调性，利
用单调性与零点存在性定理即可得解.
【详解】（1）由题意得，
，
，令
，解得
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的最大值为
.
（2）令
，则
，
，整理得
，
令
，则
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
又
，
，所以由零点存在性定理得，
在
上存在唯一零点，
当
时，
，
，两个不等式等号无法同时成立，
，此时函数无零点，
综上所述，
在
上存在唯一零点，
即函数
在
上的零点个数为.
6．已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，判断函数
的零点个数.
【答案】(1)当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
(2)当
时，函数
无零点，
当
或
时，函数
的零点个数为1，
当
时，函数
的零点个数为2．
【分析】（1）先确定
的定义域，再求出
的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可；
（2）对参数范围分类讨论并结合之前的结论得到单调性，再利用零点存在性定理或直接求解零点判断零点
个数即可.
【详解】（1）由题意得
的定义域为
，则
当
时，
时，
，
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，令
，可得
或
，令
，可得
，
故
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，令
可得
或
，令
可得
，
故
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述：
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
（2）当
时，
，
①当
时，由（1）知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
，而x 趋近正无穷时，
趋近正无穷，
故
在
上只有一个零点；
②当
时，
，
在
上单调递增，且连续不间断，
且
，故
在
上只有一个零点．
③当
时，令
，解得
，即
在
上只有一个零点，
④当
时，令
可得
，令
，可得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当x 趋近正无穷时，
趋近正无穷，当x 趋近0 时，
趋近正无穷，
若
，即
时，
在
上无零点．
若
，即
时，
在
上只有一个零点，
若
，即
时，
在
上有两个零点，
综上所述：
当
时，函数
无零点，
当
或
时，函数
的零点个数为1，
当
时，函数
的零点个数为2．
考点02 已知零点个数求参数范围
7．已知函数
有两个零点，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】将函数求导后，根据
的取值进行讨论，判断
的单调性，结合零点存在性定理即可逐一判断.
【详解】由条件得，
，
①若
，则
，则
在
上单调递增，
至多有一个零点，不合题意；
②若
，则
，由
得
或
；
得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
在
处有极大值，在
处有极小值，
因
，
而
，
(i).当
时，
，且当
时，
，
则
在
上只有1 个零点，在
上均有
，不合题意；
(ii).当
时，
，
，
，
，
则
在
上有1 个零点，在
上有1 个零点，在
上有1 个零点，不合题意；
(iii).当
时，
，
，
由
得
或
，由
得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，
所以
在
上有1 个零点，在
上只有1 个零点为1，符合题意.
综上，当
时， 若使函数
有两个零点，得
；
③若
，则
，由
得
或
；
得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
因
，则
时，
，
此时
在
上至多存在一个零点，不合题意.
综上所述，若使函数
有两个零点，则
.
8．已知函数
.若关于
的方程
在区间
内恰有两个不同实根，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
或2
【答案】D
【分析】根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值，再结合边界值应用实根的个数求解.
【详解】函数
，
，
当
单调递增，当
单调递减，当
单
调递增，
所以
的极大值为
，
的极小值为
，且
，
，
所以
的最大值为2，
的最小值为
，
所以若关于
的方程
在区间
内恰有两个不同实根，则
或
.
9．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个零点．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
，
．
【答案】(1)
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递减，在
上单调递
增.
(2)（i）
（ii）证明：由（i）知，若
存在两个零点，则
，
此时
有最小值
，只需证
即可，
因为
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
即当
时，存在
，使得
.
【分析】（1）先求导可得
，分别讨论
和
的情况，进而求解即可；
（2）（i）当
时由函数在
上单调则不符合题意；当
时，分析
时，都有
，存在两个零点只需
，可得
；
（ii）利用作差法证明极小值
，即可得证.
【详解】（1）由题意得
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增；
②当
时，由
，得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
综上，
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）（i）由于
有两个零点
，
由（1）可知，当
时，
在
上单调递增，不符合题意；
当
时，
，
，
因为
时，
，
时，
，
，即
，
所以函数
存在两个零点，只需
，
由
，所以
，
令
，显然
在
上单调递增，
又
，所以由
可得
.
综上，当
时，
有两个零点
.
（ii）略.
10．函数
在
内存在2 个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】把极值点问题转化为导数的变号零点问题，分离参数，结合函数图象可得答案.
【详解】
，因为
在
内存在2 个极值点，
所以
在
内存在2 个变号零点，
即方程
在
内有两个不同的实数根，
即
在
内有两个不同的实数根，
令
，则直线
与
在
上有两个不同的公共点，
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，所以
有最大值
，
因为
，
所以直线
与
在
上有两个不同的公共点时，
.
11．已知函数
有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】法一：参变分离，构造函数，求导，得到函数单调性，数形结合得到
的取值范围；
法二：求导，分
和
两种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出
，并验证其满足
要求，得到答案
【详解】法一：由
得到：
；
令
，由题意得
与
有两个交点：
则
，其中
，
是单调递减的，并且
时，
；
因此函数
存在唯一零点，
；
当
时，
；
时，
；
；
得如下函数图像：
显然当
时，
与
有两个交点：
法二：由题意得
，显然
恒成立，
①当
时，
，故
恒成立，
故
在R 上单调递减，至多有一个零点，不符合题意：
②当
时，令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取到最小值．要使
有两个零点，需
，
解得
．
当
时，令
，则
，
故
，
又
在
上单调递减，所以
在区间
上存在唯一的零点．
接下来证明
，记
，
当
单调递增，所以
，故
，
令
，则
，
故
．而
在
上单调递增，
所以
在区间
上存在唯一的零点．
综上，a 的取值范围是
．
12．已知
．
(1)求
的最小值；
(2)若方程
有两个不等的实根，求
的取值范围．
【答案】(1)
的最小值为
(2)
的取值范围是
【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，进而求得最小值；
（2）先确定
是方程的一个根，将问题转化为
时
仅有一个实根，构造函数分析其单调性和值
域，确定参数范围即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
.
当
时，
，
单调递减； 当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得极小值，也是最小值，
.
故
的最小值为
.
（2）方程
整理为
，显然
是方程的一个实根.
要使方程有两个不等实根，只需
有且仅有一个非零实根，即
时
仅有一个实根.
令
，则
.
令
，则
，解得
.
①当
时，
，
单调递减，此时
，
且
时，
，
时，
，此时值域为
，
因此当
时，
在
有唯一解；
② 当
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，所以
在
处取最
小值
，
当
时，
，
因此当
时，
在
上有唯一解
；
当
时，
在
上无实数解；
当
时，
在
上有2 个解；
因此
，满足条件.
综上，
的取值范围是
.
考点03 证明函数有唯一或多个零点
13．已知函数
.
(1)讨论
单调性
(2)当
时，证明：函数
有且仅有一个零点；
【答案】(1)
时，
在
单调递减，
单调递增.
时，
在
单调递增，
单调递减，
单调递增.
时，
在
上单调递增.
时，
在
单调递增，
单调递减，
单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）先对函数求导并因式分解得
，以
、
、
、
分四
类，比较极值点
与
的大小，逐一确定每种情况下函数的单调增减区间.
（2）再分别对
、
、
三种正数情形，代入特殊点函数值、化简极值表达式、分析
时函数趋势，结合单调性判断零点数量，最终归纳得到
时函数有且仅有一个零点.
【详解】（1）函数
的定义域为
.
求导得
.
令
，得
或
，分情况讨论：
当
即
时，
恒成立.
时，
，
在
上单调递减.
时，
，
在
上单调递增.
当
且
即
且
时，方程
的解为
.
①若
，则
：
时，
，
在
上单调递增.
时，
，
在
上单调递减.
时，
，
在
上单调递增.
②若
，则
：
时，
，
在
上单调递增.
时，
，
在
上单调递减.
时，
，
在
上单调递增.
当
即
时，
，
恒成立，
在
上单调递增.
综上所述：
时，
在
单调递减，
单调递增.
时，
在
单调递增，
单调递减，
单调递增.
时，
在
上单调递增.
时，
在
单调递增，
单调递减，
单调递增.
（2）①当
时，
，由
，
及函数
单调递增，可得函数
有且仅有一个零点.
②当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
又由
，可得
.当
时，
，可得函数
有且仅有一个零点.
③当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
又由
又由
，当
时，
，可得函数
有且仅有一个零点，
综上所述，当
时，函数
有且仅有一个零点.
14．已知函数
．
(1)证明不等式：
；
(2)讨论
的单调性；
(3)设
，证明：
在定义域上有两个零点．
【答案】(1)证明见解析
(2)当
时，
在
单调递减，无增区间；当
时，
在
单调递减，在
单调
递增．
(3)证明见解析
【分析】（1）设
，利用导数可证故
恒成立即
；
（2）就
、
分类讨论导数的符号后可得函数的单调性；
（3）根据（2）中的单调性结合零点存在定理可证明
在定义域上有两个零点
【详解】（1）设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，故
恒成立即
.
（2）
，
，
①当
时，
在
上单调递减；
②当
时，令
，得
，
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递减；
综上所述，当
时，
在
上单调递减，无增区间；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（3）由（2）可得，当
时，
，
因为
均在
上为增函数，故
在
上为增函数，
故
，故
.
当
时，
即
，
结合（1）中不等式可得
，故
，
当
时，
，且
，
而
，
，故
，
由零点存在定理可得
在
上有两个零点．
15．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
在
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；
(3)当
时，证明：函数
有且仅有两个零点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求
在
处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程；
（2）将问题转化为
在
上有解问题，再求解即可；
（3）根据导数求得
单调性，结合零点存在性定理即可证明．
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以
，所以切线方程为
，即
．
（2）由题意得
，
若函数
存在单调递减区间，则
在
上有解，
所以
在
上有解，
因为函数
在
上单调递减，
所以
，故
．
（3）由题意得
，则
，
令
，则
，
令
可得，
（舍）或
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
又
，
，
，
所以存在
，使得
，即
，
所以当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
因为
时，
，
，
所以存在
，使得
，
又
，
所以存在
，使得
，
所以函数
有且仅有两个零点．
16．已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的定义域；
(3)证明：方程
有唯一解.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据导数几何意义可求得切线斜率
，结合切点坐标可得切线方程；
（2）令
，求导后可求得
的单调性和零点，由此可确定
的定义域；
（3）令
，求导后可确定
的正负，进而得到
单调性；通过分析
的图象可证
得结论.
【详解】（1）
，
，
又
，
在点
处的切线方程为：
，即
.
（2）令
，则
定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
有唯一零点
，
的定义域为
.
（3）由（1）知：
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
在
上恒成立，
在
，
上单调递减，
当
时，
，由（2）知：
，
；
当
时，
，由（2）知：
，
，
又
，
，
当
从正方向无限趋近于时，
；
当
时，
，
当
时，
，
，
，
即当
时，
；又
在
上单调递减，
与
有唯一交点，即方程
有唯一解.
【点睛】关键点点睛：本题第三问考查利用导数求解方程根的个数问题，解题关键是能够将问题转化为曲线
与平行于
轴的直线的交点个数问题，从而利用导数分析函数的单调性和图象，进而确定方程根的个数.
17．已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)证明：若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)
.
【分析】（1）求导后，根据
的正负可得单调区间；
（2）将问题转化为方程
有且仅有两个不等实根，构造函数
，结合导数知识可作出
的图象，进而得到
，结合单调性可得结果.
【详解】（1）当
时，
，则
定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
；
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）由题意知：
且
；
与
有且仅有两个交点，
方程
有且仅有两个不等实根，即方程
有且仅有两个不等实根，
即方程
有且仅有两个不等实根；
令
，则
定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
，当
时，
；当
时，
；
可得
大致图象如下图所示，
令
，则
，
有且仅有两个不同实数根的充要条件为
，
即
，
实数
的取值范围为
.
【点睛】关键点点睛：本题根据曲线与直线交点个数求解参数范围的关键是能够首先将问题转化为方程根的
个数问题，进而采用同构的逻辑，通过构造函数的方式进一步将问题转化为同一函数不同函数值大小关系的
比较问题.
18．已知函数
．
(1)若
是
的极值点，求
的值，并讨论
的单调性；
(2)当
时，证明
存在唯一的极小值点
，且
．
【答案】(1)
；
在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，根据极值点求出
值，进而确定函数的单调性.
（2）先判断函数的单调性和极值点，进而确定极值的范围.
【详解】（1）对函数求导得
，因为
是
的极值点，
所以
，解得
.
所以
，定义域为
.
当
时，
，此时
在
上单调递增；
当
时，
，此时
在
上单调递减；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，满足题设.
（2）当
时，
，求导得
.
令
，求导得
.
因为
，所以
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
且唯一，使得
.
即
且唯一，使得
，则
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
存在唯一的极小值点
，
又
，所以
.
且
，因此
.
考点04 利用导数证明不等式
19．已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程.
(2)证明：
无零点.
(3)若函数
，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出函数
的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）根据给定条件，构造函数
，再利用导数求出函数最大值即可.
（3）求出函数
，等价变形不等式，换元并构造函数，再利用导数求出最小值即可得证.
【详解】（1）函数
，求导得
，则
，而
，
所以所求的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，设
，求导得
，
由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
，即
，则
恒成立，
所以函数
无零点.
（3）依题意，函数
的定义域为
，
不等式
，由（2）得
，则
，
令
，则
，令函数
，求导得
，
由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，因此
，
则
，所以
.
20．已知函数
，
为
的导函数
(1)求
的单调增区间；
(2)记
，
.当
时，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，由
求解即可；
（2）令
，通过求导，确定最值即可证明.
【详解】（1）
.
令
，得
，
得
，
因此
单调递增区间为
.
（2）
，记
.
由题意知
，则
，
从而
.
当
时，
，
，则
，
因此，
在区间
上单调递减，
.
当
时，
.
21．已知函数
与函数
的图象在公共点处有相同的切线.
(1)当
时，求函数
与
在公共点处的切线方程；
(2)求
的最大值；
(3)证明：当
时，
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解；
（2）设公共点坐标
，通过导数几何意义列出等式得到
，进而构造函数
，
求导，确定单调性即可求解；
（3）由（2）将问题转换成
恒成立，再构造函数
，求
导确定最值即可.
【详解】（1）当
时，
，设
为
与
的一个公共点，
，
所以
，
则
，即切点
，
所以
与
在公共点处的切线方程为
.
（2）设
为
与
的一个公共点，
，
由②得
，所以
，即
，
将
代入①，
，
所以
，所以
.
令
，所以
，
当
时，
在区间
单调递减；
当
时，
在
单调递增，
当
时，
，
所以
，所以
且
，
所以当且仅当
时取“
”，所以
.
（3）由（2）知，
.
要证
时，
，即证
，
即证对
恒成立.
令
，得
，
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
单调递增，
当
时，
，
故函数在
时取最小值，
，
所以
，
所以对
恒成立.
故当
时，
成立.
22．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)证明：
，
．
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，然后代入方程计算即可；
（2）构造新函数
，求导，再对
分类讨论即可；
（3）化简原不等式，再根据（2）结论放缩，利用错位相减法求和.
【详解】（1）由
，可得
，
由题意可知
，则
，解得
，
.
（2）由（1）得
，
设
，则
，
当
时，
，
令
，解得
，所以
在
上单调递减，
令
，解得
，所以
在
上单调递增，
所以
，因此
符合题意；
当
时，
，因此不符合题意．
综上可得，m 的取值范围是
．
（3）要证
，
只需证
，即证
，
由（2）知，当
时，
，
所以
，因此
，
令
，则
，
可得
，
两式相减得
，
所以
，因此
，得证．
23．已知函数
.
(1)证明：当
时，
恒成立；
(2)证明：当
时，
恒成立；
(3)对任意的
且
，满足
，求
的取值范围.
【答案】(1)设
，因为
，
所以
在
上单调递减，所以当
时，
，
即当
时，
恒成立；
(2)设
，则
，
因为
时，
，
时，
，
故
在
上单调递减，
上单调递增，于是
，
所以
等号当且仅当
时成立，于是可得
，等号当且仅当
成立；
结合两不等式可得
，且等号不同时成立；
所以当
时，
恒成立；
(3)
【分析】（1）构造函数
，利用导数求最大值即可得证；
（2）构造函数
，利用导数可证明
，据此可得
，利用不等式传递性得
证；
（3）由所给不等式可知
在
单调递增，利用导数求参数取值范围即可.
【详解】（1）略
（2）略
（3）不妨设
，原命题等价于对任意的
，
；
也就是
在
单调递增，
而
在
恒成立，所以
在
恒成立，
所以
，即
的取值范围是
.
24．函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
，
时，
（ⅰ）求
的值域；
（ⅱ）证明：
．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；
（ⅱ）
，
，
，偶函数，
，
，
，偶函数，
由奇偶性知只要证明
时
即可．
即证当
时，
，
当
时，由（ⅰ）
，
考虑
，
，
，
单调递增，此时
，
于是
，即
，
故只要证
在
时成立即可．
设
，
，
设
，则
，
由（ⅰ）函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，故
，
故
在
上单调递减，即
单调递减，又
，
单调递减，
，故
，
综上
．
【分析】（1）由导数的几何意义确定切线斜率，即可求解；
（2）（ⅰ）令
，确定
为偶函数，求导确定其在
上的值域即可求解；（ⅱ）由
的单调性，得到
，进而证明
在
时成立即可．
【详解】（1）
，
，
又
，
故曲线
在
处的切线方程为
．
（2）（ⅰ）设
，由于其是偶函数，故只需考虑其在
时的情况．
，设
，
，
单调递增，于是
，故
在
上单调递增，
而
，
，
可知
在
上单调递增，
结合偶函数的性质可得
在
上的值域为
．
（ⅱ）略
考点05 利用导数研究函数图象及性质
25．已知关于
的方程
至多有两个不同实数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将问题转化为
与
至多有两个交点，令
，利用导数法研究函数性质，
利用数形结合即可求解.
【详解】方程
至多有两个不同实数解，记
，
则
与
至多有两个交点，
由
可得
，
令
，解得
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
所以
是函数的极大值点，极大值为
，
是函数的极小值点，极小值为
，
作出函数
图象，如图，
由图可知，
与
至多有两个交点时，
或
，
所以实数
的取值范围是
.
26．已知不等式
恰有2 个非负整数解，求实数k 的取值范围 ___________________
【答案】
【分析】转化为
，构造函数
，利用导数研究单调性可作出大致图象，数形结合即
可得解.
【详解】原不等式
等价于
，
设
，
，所以
，得
．
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
取极大值，又
，
且
时，
，因此
与
的图象如下，
直线
恒过点
.
当
时，显然不满足条件；
当
时，只需要满足
，解得
，
所以实数k 的取值范围为
.
故答案为：
.
27．已知函数
．
(1)求
的极值，并画出函数
的大致图象；
(2)求出方程
（
）解的个数；
(3)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)极小值
，无极大值，作图见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）对
求导，令
，结合导数符号判断
极值，并结合
的单调性、极值、最
值等性质画出函数图象；
（2）利用数形结合易得
的解的个数；
（3）构造函数
，将原不等式转化为
恒成立的问题，令
，结合
导数求出
在
的最小值，即得到
的取值范围．
【详解】（1）由题意
，由
，得
；由
，得
，
所以函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
故
在
处取得极小值
，无极大值；
由
的单调性及
，
，
，
当
时，函数
的图象在
轴下方，随着
的减小，
的图象无限接近
轴，
所以
的大致图象如下．
（2）由（1）中函数图象可得，
当
时，方程
的解个数为0 个；
当
或
时，方程
的解个数为1 个；
当
时，方程
的解个数为2 个．
（3）由
，可得
，
即
，进一步变形为
，
令
，则
，
显然
在
上单调递增，所以
恒成立，
即
恒成立，令
，
，
，令
，得
，
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增；
所以
，则
，
即实数
的取值范围是
．
28．（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
有极大值
B．当
时，
C．
，
恒成立
D．当
有且仅有两个零点时，
【答案】ABD
【分析】求导，根据导函数的符号确定函数的单调区间，再分析函数的极值，可判断A 的真假；求导，判断
函数在
上的单调性，可判断B 的真假；举特例，可判断C 的真假；利用分离参数法，把问题转化成方
程
有两解的问题，再设
，利用导数分析函数的单调性，求出极值，画出草图，
数形结合，可求
的值，可判断D 的真假.
【详解】对于选项A，当
时，
．则
.
令
．解得
．则当
时．
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在有
取得极大值，A 正确．
对于选项B，
，当
，
时，
，
故
在
单调递增，则
，B 正确．
对于选项C，若
，当
时，
，C 错误．
对于选项D，令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，当
时，
恒成立．
画出
的大致图象，如下：
可知当
有两个零点时，
，D 正确．
故选：ABD
29．若关于
的不等式
有且只有两个整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，利用导数法研究函数
的单调性，再结合特殊点及一次函数的性质画
出函数
的大致图象，根据图象列不等式组求解即可.
【详解】设
，
则不等式
即
有且只有两个整数解.
因为
，且
，
所以当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减.
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
当
无限趋向于负无穷大时，
无限趋向于负无穷大，
当
无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于0.
因为函数
在
上单调递增，
，
，
，
则
，
函数
的大致图象如图
由图可知，要使
有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1，
所以
解得
.又
，所以
.
故选：C.
30．过点
有n 条直线与函数
的图像相切.
(1)若
，求n 的值并求切线的方程；
(2)当n 取最大值时，求m 的取值范围.
【答案】(1)
，切线方程为
；
(2)n 取最大值3 时，m 的取值范围为
.
【分析】（1）
在
上，
为切点时，利用导数几何意义得到切线方程，
不是切点
时，设出切点为
，表达出切线方程，
代入切线方程，得到
，令
，
，求导得到其单调性，并得到函数无零点，从而得到
，切线方程为
；
（2）设切点为
，表达出切线方程，将
代入切线得到
，令
，
求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到n 取最大值3 时，m 的取值范围为
.
【详解】（1）
时，
在
上，
，
若
为切点，则
，
故切线方程为
，即
，
若
不是切点，设切点为
，
则
，
故切线方程为
，
又
在切线方程上，
故
，整理得
，
令
，
，
则
，
令
得
或
，令
得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
又
时，
，故
恒成立，
故
，
，无零点，
综上，
，切线方程为
（2）设切点为
，
，
在
处的切线方程为
，
将
代入切线方程中得
，
整理得
，令
，
则
，
列表如下：
1
-
0
+
0
-
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
由
得
，解得
或
，
画出
的图象，如下：
由图可知，当
时，直线
与
图象有3 个交点，为最大值，
故n 取最大值3 时，m 的取值范围为
.
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点
求斜率
,即求该点处的导数
；
(2) 已知斜率
求切点
即解方程
；
(3) 已知切线过某点
(不是切点) 求切点, 设出切点
利用
求解.
考点06 隐零点的相关问题
31．已知函数
(1)求
的单调区间；
(2)不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
．
(2)
【分析】（1）求出函数
的导数，再由导数值的正负情况研究函数的单调性作答.
（2）将给定不等式等价转化
，构造函数
和
，
分类探讨其单调性及最值作答.
【详解】（1）解：由函数
的定义域为
，且
，
若
，令
，解得
，当
时，
；当
时，
，
若
，令
，解得
或
，
①若
时，即
时，
当
时，
；当
时，
；
②若
时，即
时，
当
或
，
；当
时，
；
③若
时，即
时，可得
，且仅
；
④若
时，即
时，
当
或
，
；当
时，
；
综上所述，当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
．
（2）解：由
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，
当
时，
在
内存在唯一的零点
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递增，
所以
，
，
因为
，所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以实数
的取值范围为
．
32．已知函数
．
(1)若
，试求
在
上的最大值；
(2)若对于任意的
，
恒成立，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
的最小值为
．
【分析】（1）当
时，求得函数
的导数，结合导函数的符号，求得函数的单调区间，进而计算求
得最大值；
（2）求得函数
的导数，令
，则
在
上单调递增，求得函数的最大值，转化为
求得
，即可求解.
【详解】（1）当
时，函数
，可得
，
令
，解得
，
当
时，
；当
时，
；
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
.
（2）由题意，函数
，可得
，
因为任意的
，
恒成立，
又由
，所以
，则
，
令
，则
在
上单调递增，
因为当
时，
，所以
，
因为
，所以
，使得
，
且当
时，
，则
；
当
时，
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
由
，可得
，
因为
恒成立，可得
，即
，
结合
，得
，所以
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
，
故实数
的最小值为
.
33．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)试讨论函数
的单调性；
(3)当
时，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
【答案】(1)
(2)当
时，
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
(3)
【分析】（1）代入
得到具体函数后，确定定义域，求导找到极值点，根据导数正负判断单调性，进而
求得最小值；
（2）先求
的导函数，对参数
分类讨论，根据导函数在定义域
上的符号变化，判断
的单调
性；
（3）将不等式变形分离参数
，把恒成立问题转化为
小于新函数最小值的问题，通过求导得到新函数最
小值的范围，进而得到整数
的最大值.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
，
令
得
，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
的最小值为
；
（2）
定义域为
，
，
若
，则
恒成立，所以
恒成立，故
在
上单调递减；
若
，令
得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
综上，当
时，
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（3）
即
，
整理得
，
因
，即
，两边除以
得
，
令
，则
，
令
，则
，
在
单调递增，
因为
，
，故存在唯一零点
，满足
，
当
时，
，则
，
单调递减；
当
时，
，则
，
单调递增；
因此
的最小值为
，
因为
，所以
，因为
，且
，所以
的最大值为
.
34．若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过将不等式问题转化为函数问题，结合导数即可求解函数最值，进而得到
的范围.
【详解】由
得
因为
，所以
令
则问题转化为求
在
上的最小值．
求导得
令
，
因为
，所以
与
同号．
又
，所以
在
上单调递增．
当
时，
；又
，所以存在唯一的
，使得
．
再看方程
，
函数
，
，则
，
则
在
上单调递增，且当
时，
，
当
时，
，所以该方程有唯一正根．
设这个正根为
，则
，
于是
且
，说明这个
正是
的唯一根．
因此，当
时，
，从而
；
当
时，
，从而
．
所以
在
处取得最小值．
由
，得
，又
，
所以
所以
．
要使
对任意
恒成立，必须且只需
．
当
时，取
，原不等式等号成立，不满足严格大于
．
故
的取值范围为
．
35．已知函数
，
(1)
在区间
有唯一零点，求实数
的取值范围；
(2)当
时，若对任意
，不等式
恒成立，求
的最大整数值.（注：
）
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据函数导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论，判定函数单调性，进而得出在区
间
有唯一零点时的情况，列出方程，根据方程的解，判定参数的范围；
（2）根据不等式构造函数，再由函数导数判定函数单调性，进而根据函数值的正负，判定不等式解的情况，
求出结果.
【详解】（1）由题意可得
，可得
，
，
当
时，可知
在
上单调递增，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增，则
，
此时在区间
没有零点，不符合题意；
当
时，
，存在实数
，使
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
因为
，所以
时，
，
当
在区间
有唯一零点时，有
，即
，
因为
，所以当
时，
恒成立；
当
时，可知在
上
，
，
所以在
上函数
恒成立，不符合题意；
综上所述，当
在区间
有唯一零点时，实数
的取值范围为
.
（2）当
时，可得
，
对任意
，不等式
恒成立，等价于
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
因为
，所以存在实数
，使
，
所以在
时，
，即
，函数
在
上单调递减，
在
时，
，即
，函数
在
上单调递增，
可知
，
，
，
所以存在
，使得
，当
时
，当
时
，
所以
的最大整数值为.
36．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
的单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）当
时，利用导数求单调区间即可；
（2）易知
时不符合题意，
时，利用导数结合隐零点问题求解．
【详解】（1）当
时，
，
．
由
得
，由
得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）当
时，
，不满足题意．
所以
，此时
，显然
是
上的增函数，
且
时
，
时
，
所以存在唯一正实数
使得
，即
．
此时
在
上单调递减，在
上单调递增．
由题意
．
将
代入上式整理得：
，解得：
．
此时
，代入后
．
化简得：
，解得：
．
令
，其中
．则
，
所以
是区间
上的增函数．
所以
，代入得到a 的取值范围是
．
