文档文本内容
3.2 导数与函数的单调性
8 大考点汇总
考点01 函数与导函数图象之间的关系
考点02 利用导数求不含参函数的单调区间
考点03 利用函数在区间上单调性求参数
考点04 利用函数在区间上存在单调性求参数
考点05 利用函数在区间上不单调求参数
考点06 利用导数讨论函数的单调区间（单根型）
考点07 利用导数讨论函数的单调区间（双根型）
考点08 利用导数讨论函数的单调区间（△型）
题型专练
考点01 函数与导函数图象之间的关系
1．设函数
在定义域内可导，
的图象如图所示，则其导函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，由图知函数
减函数，则导函数
，排除A，B；
又因当
时，
的图象趋势依次为增、减、增，则
的值应依次为正、负、正，故D 项不符合，C
项符合．
2．若
是定义在区间
上的函数，其图象如图所示，设
的导函数为
，则
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据图象，直接写出
的单调区间，进而得出
在区间
上的符号，即可求解.
【详解】由图知函数的减区间为
，
，增区间为
，
和
分别是
的极小值点和极大值点，
所以当
时，
，当
时，
，
当
和
时，
，
又由图知
时，
，
时，
，
又
等价于
，所以
的解集为
.
3．（多选）已知三次函数
的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的解集为
【答案】ABC
【分析】根据导数的概念，判断选项A 的正误；根据函数单调性和导数值的关系，判断选项B 的正误；根据
函数图像，求出函数解析式，进而判断选项C 的正误；根据函数图像和函数导数的正负，判断选项D 的正误.
【详解】对于选项A，
，
由图可知
有极值点1，
，即
，所以A 正确；
设
，
由图可知
为奇函数，且
，解得
，
可知
，则
，
解得
，所以
，
则
，
由图可知
在
上单调递减，所以
，
对于选项B，
，所以
，选项B 正确；
对于选项C，
，所以选项C 正确；
对于选项D，可知
时，
，
当
时，
，
当
，可知
，得
，
或
，得
，所以D 错误.
4．函数
的图象如图所示，
为
的导函数，下列排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
的图象判断
的符号以及单调性，由此确定正确答案.
【详解】根据
的图象可知，
在区间
上单调递增，
且函数增长的速度逐渐减慢，切线斜率递减.
所以
，且
单调递减，
所以
.
5．设
是函数
的导函数，将
和
的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系逐一分析选项.
【详解】对于A：若
是
，
是
：
时
递减，对应
（
在x 轴下方）；
时
递增，对应
（
在x 轴上方），符合规律，A 正确；
对于B：若
是
，
是
：
较小时
，
递增；
较大时
，
递减，符合曲
线
先增后减的趋势，B 正确；
对于C：若
是
，曲线
是
：
恒正且递增，对应
始终递增，且斜率越来越大（越来越
陡），完全符合曲线
的趋势，C 正确；
对于D：两个曲线中，
全程在x 轴上方，
全程在
轴下方，两个曲线的单调性都是先增、再减、再增：
若
是原函数，原函数先增→再减→再增，要求导函数先正→再负→再正，而
全程为负，不符合；
若
是原函数，原函数同样需要导函数先正→再负→再正，而
全程为正，也不符合。 因此D 不可能，D
错误.
题目要求选不正确的，故答案为D.
6．已知函数
的图象如图所示（其中
是函数
的导函数），下面四个图象中
的
图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由导数与单调性的关系判断即可.
【详解】由函数
的图象可知：
当
时，
，
，此时
单调递增；
当
时，
，
，此时
单调递减；
当
时，
，
，此时
单调递减；
当
时，
，
，此时
单调递增．故C 满足．
考点02 利用导数求不含参函数的单调区间
7．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，函数
的定义域为
，则
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
的单调递增区间为
．
8．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得函数
的定义域为
，
则
，令
，解得
，
当
时，
，
所以函数
的单调递增区间是
，
9．函数
的单调递减区间是___________．
【答案】
、
【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得答案.
【详解】函数
的定义域为
，
，
由
可得
或
，故函数
的单调递减区间为
、
.
10．利用基本初等函数（不求导）求下列函数的单调区间：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)单调减区间为
，单调增区间为
(2)单调增区间为
，单调减区间为
【分析】（1）根据
的单调性求解
的单调性；
（2）根据
的单调性求解
的单调性.
【详解】（1）
，则
，
令
，则
，
由基本初等函数的单调性可知：
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
由复合函数的单调性可知：当
，即
时，
单调递减，
当
时，即
时，
单调递增，
所以
单调减区间为
，单调增区间为
.
（2）
，令
，
由基本初等函数的单调性可知：当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
由复合函数的单调性可知：当
，即
时，
单调递增，
当
时，即
时，
单调递减，
所以
单调增区间为
，单调减区间为
.
11．函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，则
，
令
，即
，且
，
，故
的单调递增区间为
．
12．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
【详解】（1）∵
，函数定义域为
，
∴
，即切点坐标为
.
，
∴ 切线斜率
.
由点斜式得切线方程为
，整理得
或
.
（2）由(1)得
，
∵ 对任意
，
恒成立，
∴
的符号由二次函数
的符号决定.
令
，即
，解得
，
.
∵ 二次函数
开口向上，
∴ 当
或
时，
，即
，
单调递增；
当
时，
，即
，
单调递减.
故
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
考点03 利用函数在区间上单调性求参数
13．已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】转化为
恒成立问题，然后参变分离，构造函数
，利用导数即可求解.
【详解】因为函数
在区间
上单调递增，
所以
在区间
上恒成立，
因为
，所以必有
，故转化为
在区间
上恒成立，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，即
，即
.
14．若函数
在区间
上存在减区间，则实数
的范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0 的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值
域求解参数范围.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
.
函数
在区间
上存在减区间，
等价于存在
，使得
成立，
即
在
上有解.
当
时，
，
故
，即实数
的取值范围是
.
15．若
在
上严格增，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出函数
的导数，由给定单调区间建立恒成立的不等式并分离参数求解.
【详解】函数
，求导得
，
由函数
在
上严格增，得
，
，
而
，当且仅当
时取等号，则
，
所以实数
的取值范围是
.
16．若
在R 上单调递增，则实数
的取值范围是________.
【答案】
【分析】利用函数单调性与导函数符号之间的关系求解.
【详解】若
在R 上单调递增，则
在R 上恒成立，
所以
，解得
.
所以实数
的取值范围是
.
17．若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】据题意可知将问题转化为
在
上恒成立，利用导函数求出函数
的最小值
即可得实数a 的取值范围.
【详解】由
可得
，
因为函数
在区间
上单调递增
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
令
，则
，
显然当
时，
，此时
在
上单调递减；
当
时，
，此时
在
上单调递增；
所以
在
时取得最小值，即
；
所以
，即实数a 的取值范围是
.
18．已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】利用
在
上恒成立，再转化为求函数的最值得出结论.
【详解】因为函数
在
上单调递增，所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立,
又
在
上单调递增，所以
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
考点04 利用函数在区间上存在单调性求参数
19．若函数
在区间
内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】可知
在区间
上有解，,等价于
在区间
上有解，结合存在性问题分析求
解即可.
【详解】由
，得
，
若
在区间
上存在单调递减区间，
则
在区间
上有解，
可得
在区间
上有解，
又因为
在区间
上单调递增，则
，
可得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D．
20．若函数
在定义域内存在单调递减区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对函数求导，结合已知
在
上有解，再根据二次函数的性质列不等式求参数范
围.
【详解】由题设
且
，
由函数
在定义域内存在单调递减区间，则
在
上有解，
令
，其开口向上，对称轴为
且
，则
，
所以
.
故选：A
21．若函数
在
上存在单调递减区间，则
的取值范围为_____.
【答案】
【分析】先求导得
，令
，
，只需
在
有解即可.
【详解】
，
令
，即
，只需
在
有解，
，
，即存在
，使
，
，
，
当
时，
，
当
时，只需
，即
.
综上所述，
.
故答案为：
22．若函数
在区间
内存在单调递减区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】可知
在区间
上有解，,等价于
在区间
上有解，结合存在性问题分析求
解即可.
【详解】因为
，
若
在区间
上存在单调递减区间，
则
在区间
上有解，可得
在区间
上有解，
又因为
在区间
上单调递增，则
，
可得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：A．
23．若函数
在
上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件得出存在
，使
成立，即存在
，使
成立，构造函数
，
，求出
的最值即可解决问题.
【详解】因为函数
在
上存在单调递减区间，
所以存在
，使
成立，即存在
，使
成立，
令
，因为
，所以
，
所以当
，即
时，
，所以
，
故选：B．
24．若函数
在
上存在单调递增区间，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数求导，化为
在区间
上有解，再应用参变分离或二次函数性质
研究不等式能成立，求参数范围.
【详解】由
，则
．
函数
在区间
上存在单调递增区间，只需
在区间
上有解，
即
在区间
上有解，
方法一：即
在区间
上有解，所以
．
令
，则
，
令
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
．
方法二：当
时，
在
恒成立，不符合；
当
时，
开口向上，只需
或
，所以
．
故选：D
考点05 利用函数在区间上不单调求参数
25．已知函数
在区间
上不单调，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出导函数
，利用导数讨论
的单调性，结合题意可得
运算求解即可.
【详解】由
，函数定义域为
，
当
时，函数
单调递增，不合题意；
当
时，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，
若函数
在区间
不单调，则
，解得
；
综上所述：实数
的取值范围是
.
故选：B.
26．函数
在区间
上不单调，则实数
的取值范围是_______．
【答案】
【分析】合理翻译条件，转化为导函数的变号零点的存在性问题，用导数判断单调性，进而确定导函数的变
号零点，得到不等式，求解参数范围即可.
【详解】易知
，令
，
，故
在
上单调递减，
令
，
，故
在
上单调递增，
若函数
在区间
上不单调，
则
在
存在变号零点，而
，
，
故
均为
的变号零点，
下面分情况讨论，当
时，解得
，
当
时，解得
，
综上实数
的取值范围是
.
故答案为：
27．函数
在
上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由“函数
在
上不单调”可等价转化为
在
上必有变号零点,
通过参变分离法，即可求得
，依题，只需判断选项是否为
得真子集即可.
【详解】依题意，
，因
在
上不单调，
故导函数
在
上必有变号零点.
令
，得
，再令
，则
，
由
，得
即
在
上单调递增，所以
，
故只需
，即
，
对于A，
是
的真子集,故 A 选项是一个充分不必要条件，
而其他选项中，
的范围都不是
的真子集，故都不正确.
故选:A．
28．已知函数
在区间
上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由于函数
在区间
上不单调，等价于函数
在区间
上存在极值点，对函数
求导，
对
分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间
内，可得关于
的不等式，即可求出结果．
【详解】由
.
①当
时，函数
单调递增，不合题意；
②当
时，函数
的极值点为
，
若函数
在区间
不单调，必有
，解得
；
综上所述：实数a 的取值范围为
.
故选：B.
29．已知
在
上不单调，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
求导，得到
，从而得到函数
的单调性，又因
为
在
上不单调，从而得到关于
的不等式.
【详解】由于
，可得
，
可得函数
的极值点为：
，
，
由
在
上不单调，
可得
或
，
解得
．
故选：D．
30．已知函数
在
上不单调，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先利用导数求函数在区间
上单调时的
的取值范围，再根据补集思想求不单调时的
的取值
范围.
【详解】由题意可知，
，
若函数
在
上单调，则
或
，
当
时，
恒成立，
当
，转化为
，或
，
设
，则
或
恒成立，
即
或
，
，
所以
，
所以函数
在
上不单调，则
.
故选：B
考点06 利用导数讨论函数的单调区间（单根型）
31．已知函数
（
且
）.
(1)当
时，求
的极小值点与极小值；
(2)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
是
的极小值点，极小值为
(2)当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
【分析】（1）通过导数求函数的极值点和极值；
（2）分类讨论，结合导数的正负研究函数的单调性；
【详解】（1）当
时，
，其定义域为
，
求导，得
，
令
，即
，
因为
，所以
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，极小值为
.
（2）
的定义域为
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上，
，所以
在
上单调递减，
在
上，
，所以
在
上单调递增，
综上所述，
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
32．已知函数
，其中
．
(1)若
，求
的极小值；
(2)令
，讨论函数
的单调性．
【答案】(1)
(2)当
时，
在
单增；当
时，
在
单调递减，在
上单调递增
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函
数的极小值；
（2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令
，求出
，再由
的正负可求得
的单调区间.
【详解】（1）当
时，
，
的定义域为
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，取得极小值
．
（2）
的定义域为
，
.
令
，则
，
当
时，
恒成立，所以
即
在
上单调递增．
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
即
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述：当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
单调递减，在
上单调递增.
33．已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)极小值为，无极大值；
(2)
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；当
时，
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增；当
时，
在区间
上单调递减；当
时，
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递
增.
【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解；
（2）求导，通过
，
，
，
讨论导数符号即可求解.
【详解】（1）当
时，
，所以
，
由
，得
，
0
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以函数
的极小值为
，无极大值；
（2）因为函数
，
所以
，
（ⅰ）当
时，若
，则
，
若
，则
，
若
，则
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
（ⅱ）当
时，由
，得
或
，
若
或
，则
，
若
，则
，
所以函数
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增，
（ⅲ）当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减，
（ⅳ）当
时，由
，得
或
，
若
或
，则
，
若
，则
，
所以函数
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增，
综上所述：当
时，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
和
上单调递减，
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递减；
当
时，函数
在区间
和
上单调递减，
在区间
上单调递增.
34．已知函数
．
(1)当
时，曲线
的一条切线方程为
，求实数
的值；
(2)求函数
的单调区间；
【答案】(1)
(2)当
时，函数
无严格单调区间；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线斜率求切点，再根据切点满足
求
的值.
（2）求导，分
，
，
讨论导函数的符号，探究函数的单调性.
【详解】（1）当
时，
，
.
由
解得，
.
由
，
所以
，解得：
.
（2）由
，所以
.
若
，则
为常数函数，无严格单调区间；
若
，由
解得
；由
解得
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
若
，由
解得
；由
解得
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，函数
无严格单调区间；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
35．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减
(2)
【分析】（1）求导，分
和
两种情况讨论可得函数的单调性；
（2）结合（1）的单调性可得
，进而计算求解即可；
【详解】（1）
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，即
，解得
；
由
，即
，解得
，
所以，函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）由（1）知，当
时，
，与
矛盾，舍；
当
时，
的最大值为
，即
，解得
综上，实数
的取值范围是
36．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时，
在区间
上单调递增；当
时，
在区间
上单调递减，在区
间
上单调递增.
【分析】（1）利用导数与函数的单调性的关系，分
和
两种情况讨论，即可求解；
【详解】（1）易知
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，此时
在区间
上单调递增，
当
时，令
，得到
，当
时，
，当
时，
，
此时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
综上所述，当
时，
在区间
上单调递增，
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
考点07 利用导数讨论函数的单调区间（双根型）
37．已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递减，在
和
上单调递增；当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
和
上单调
递增；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
【分析】（1）将函数求导，根据导函数的表达式，将参数
分成
，
，
和
四种
情况，分别讨论函数的单调性即得；
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
，即
时，由
可得
，由
可得
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，若
，则
，
由
可得
或
，由
可得
，
即函数
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
若
，
，即函数
在
上单调递增；
若
，则
，
由
可得
或
，由
可得
，
即函数
在
上单调递减，在
和
上单调递增.
综上，当
时，函数
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
38．已知函数
，
(1)当
时，讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增
【分析】（1）对函数
求导，通过讨论
的范围，得到
和
，即可得到函数
的单
调区间；
【详解】（1）
的定义域为
，
，
，则由
得
，
．
（ⅰ）当
时，则
，当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
所以
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减．
（ⅱ）当
时，则
，此时
，所以
在
单调递减．
（ⅲ）当
时，则
，当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
所以
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减．
综上所述，
当
时，
在
和
上单调递减，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递减，
在
上单调递增．
39．已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论函数
的单调性．
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）根据条件，求出
的解，再由极值的定义即可求解；
（2）根据条件得到
，再对
分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解.
【详解】（1）当
时，
，易知
的定义域为
，
，又
恒成立，
当
时，
，当
时，
，
所以
是
的极小值点，极小值为
，无极大值.
（2）
的定义域为
，
,
当
时，
恒成立，当
时，
，当
时，
，
当
，由
，得到
或
，
若
时，
，
时，
，
时，
，
若
时，
，此时
恒成立，当且仅当
时取等号，
若
时，
，
时，
，
时，
，
综上所述，当
时，
的减区间为
，增区间为
，
当
时，
的减区间为
，增区间为
，
当
时，
的增区间为
，
当
时，
的减区间为
，增区间为
.
40．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得切线方程；
（2）求导，然后对
分类讨论即可；
【详解】（1）当
时，
，
则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）
的定义域为
．
若
，则当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
若
，则当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
若
，则
恒成立，所以
在
上单调递增．
若
，则当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
41．已知函数
.
(1)若
，求函数在
的最值；
(2)讨论
的单调性；
【答案】(1)最大值为
，最小值为
.
(2)当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
上
单调递增.
【分析】（1）将
代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间
上的符号，确定函数单
调性，根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值；
（2）对
求导，将导函数
整理为关于
的因式形式；参数
的取值会影响导数的符号，分
和
两种情况讨论
正负所在的区间，确定函数单调性；
【详解】（1）
，则
；
，即
在
内单调递减.
，
；
即函数在
时的最大值为
，最小值为
.
（2）
，则函数
的定义域为
.
.
当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，令
，即
，解得
.
若
，则
，即
在
上单调递增；
若
，则
，即
在
上单调递减；
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
42．已知
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时,
在
上单调递增；当
时,
在
上单调递增,在(
上单调
递减.
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性；
【详解】（1）函数
的定义域为
，
.
①当
时，因为
，所以
，则
恒成立，所以
在
上单调递增；
②当
时，令
，解得
(
舍去).
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
综上所述：
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
考点08 利用导数讨论函数的单调区间（△型）
43．已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线斜率为0，求实数
的值，并证明此时
无极值点；
(2)讨论
的单调性；
【答案】(1)
，证明见解析
(2)当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
单调递增，在
单调递减．
【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用
处导数值等于0 列方程求
，再分析导数符
号变化，证明导数无变号零点，得
无极值点；
（2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断
单调性；
【详解】（1）对函数求导：
，
因为
恒成立，故
的符号由分子
决定.
曲线在
处切线斜率为
，代入得：
，解得
.
此时
，故
恒成立，仅
处
，
因此
在
上单调递减，无极值点.
（2）对二次函数
，判别式
，分情况讨论：
①当
时，
，
恒成立，故
，
在
上单调递减；
②当
时，
的两根为
，
，
则当
或
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增.
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
单调递增，在
单调递减．
44．已知函数
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)当
时，
在
单调递增，在
单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上
单调递减；
当
时，
在
上单调递减.
【分析】（1）求导后分析分子
的符号，分
、
、
三种情况，讨论函数单调性；
【详解】（1）
，
当
时，
.
在
单调递增，在
单调递减.
当
且
的判别式
，
即
时
对
恒成立，
在
上单调递减.
当
时，由
得：
，
解得：
.
由
可得：
或
，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
45．已知正项数列
中，
，
．
(1)证明：
；
(2)已知
．
（i）讨论函数
的单调性；
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
【分析】（1）构造函数并利用导数确定单调性，进而证明不等式.
（2）（i）求出函数
的导数
，按
分类讨论
的符号即可；
【详解】（1）设函数
，求导得
函数
在
上单调递减，
，则当
时，
恒成立，
由
，得
，而
，因此
，数列
单调递减，
所以
（2）（i）函数
的定义域为
，求导得
，
设函数
，
，
当
，即
时，
，
，函数
在
上单调递增；
当
，即
时，
有两个不相等实根
，
，
函数
对称轴
，
，
，则
，
当
或
时，
，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，
，函数
在
上单调递减，
所以当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，
在
上单调递减.
46．已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）代入参数
，求函数导数得到切线斜率，结合切点坐标，利用点斜式求解切线方程.
（2）对函数求导并整理为分式形式，结合判别式与二次函数根的分布，分三类讨论导函数符号，以此确定
函数单调区间.
【详解】（1）当
时，
，又
，故曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）函数
的定义域为
当
，即
时，
，函数
在
单调递减
当
，即
时，
若
，令
，得
，
于是函数
在
和
单调递减，在
单调递增；
若
，令
，得
（舍）.
函数
在
上单调递增，在
单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递减
当
时，
在
和
上单调递减，
在
上单调递增.
当
时，
在
上单调递增，在
单调递减．
47．已知函数
.
(1)求函数
的单调性；
【答案】(1)当
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，在
上单调递增
【分析】（1）由题意得
，求导，分
，
，
和
四种
情况讨论求得函数
的单调区间；
【详解】（1）由已知，
当
时，令
的图象开口向下，且
，
所以
时，
，即
，则
在
上单调递增，
时，
，即
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
，
所以
时，
，则
在
上单调递增，
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
的图象开口向上，且
，
或
时，
，即
，
则
在
上单调递增，
时，
，即
，
则
在
上单调递减.
当
时，
的图象开口向上，且
且不恒为0，
此时
，即
，则
在
上单调递增；
综上所述：当
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，在
上单调递增；
48．已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
【答案】(1)
(2)若
，
在
上单调递增；若
，
在
上单调递减，
上单调递增；若
，
在
和
上单调递增，
上单调递减.
【分析】（1）利用导数求得
在
处的斜率，从而求得切线方程；
（2）对函数
求导可得，
，通过讨论
的
实数根的情况，分析导函数的正负，从而判断函数
的单调性；
【详解】（1）若
，
所以
，
故切线方程为
.
（2）
令
，其判别式
，
①当
，即
时，
恒成立
，故
，
所以
在
上单调递增.
②当
，即
时：
的两根为
，
若
，则
，
，
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
若
，则
，
所以当
和
时，
；
当
时，
.
所以
在
和
上单调递增，
上单调递减.
综上所述，若
，
在
上单调递增；
若
，
在
上单调递减，
上单调递增；
若
，
在
和
上单调递增，
上单调递减.
