文档文本内容
3.3 导数与函数的极值、最值
8 大考点汇总
考点01 函数图象与极值(点)的关系
考点02 求不含参函数极值或极值点
考点03 求不含参函数最值
考点04 根据极值(点)求参数
考点05 讨论含参函数的极值(点)或点的个数
考点06 利用导数求含参函数的最值
考点07 已知函数最值求参数
考点08 函数单调性、极值与最值的综合应用
题型专练
考点01 函数图象与极值(点)的关系
1．（多选）若函数
导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
是
的一个极大值点
B．
是
的一个零点
C．
不是
的一个极小值点
D．
是
的一个极大值点
【答案】ACD
【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断．
【详解】对于A 选项，由图可知，在
左右两侧，导函数左正右负，函数
左增右减，
是
的一个
极大值点，A 正确；
对于B 选项，由图可知，在
左右两侧，导函数左负右正，函数
左减右增，
是
的一个极小值点，
不是零点，B 错误；
对于C 选项，由图可知，在
左右两侧，导函数恒大于零，函数
单调递增，
不是
的一个极值点，
C 正确；
对于D 选项，由图可知，在
左右两侧，导函数左正右负，函数
左增右减，
是
的一个极大值点，
D 正确．
2．已知
为定义在
上的函数，其导函数
的图象如下图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．
是
的极小值点
B．
在区间
上单调递增
C．
是
在区间
上的最小值
D．曲线
在点
处的切线斜率大于零
【答案】D
【详解】由
的图象可知：当
时，
，当
时，
，
仅在
和
时，
，
故
在
单调递减，在
单调递增，
故
是函数
的极小值点，
不是函数
的极小值点，故A 错误，
由图象可知
在区间
上不单调，B 错误；
当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减，在
单调递增，
即
是
在区间
上的极小值也是最小值，C 错误，
由图可知：
，因此曲线
在点
处的切线斜率大于零，故D 正确.
3．已知函数
，其导函数
的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．函数
在
处取得最大值
C．函数
在
上单调递减
D．
在区间
内的函数值为负
【答案】C
【分析】根据图象可得
的符号，进而可判断
的单调性，结合
的单调性逐项分析判断.
【详解】由图象可得：当
或
时，
；当
或
时，
；
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
故A 错误，C 正确；
函数
在
处取得极大值，不一定是最大值，故B 错误；
根据题意只能得到
的符号，以及
的单调区间，无法判断
的符号，故D 错误.
4．（多选）如图是函数
的导函数
的图象，则（ ）
A．在
时，函数
取得极值
B．在
时，函数
取得极值
C．函数
在区间
上单调递增
D．
的图象在
处切线的斜率小于零
【答案】AC
【分析】根据导数图象和极值进行辨析即可.
【详解】对于A，根据图象可知，当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
.
所以在
时，函数
取得极小值，所以A 正确；
对于B，根据图象可知，当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递增，.
所以在
时，函数
没有极值，所以B 错误；
对于C，根据图象可知，
在
上大于等于0，所以函数
在区间
上单调递增，所以C
正确；
对于D，因为
，所以它的图象在
处切线的斜率大于零，D 错误.
5．已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．
为
的极大值
B．在区间
内，
有1 个极值点
C．在区间
内，
是增函数
D．
是
的一个零点
【答案】A
【分析】根据导数的正负，判断函数的单调性，再判断函数的极值点，即可判断选项.
【详解】A.如图，2 附近，左边的导数为正数，2 右边的导数为负数，所以2 附近是先增后减，
所以2 是
的极大值点，
是函数的极大值，故A 正确；
B. 在区间
内，
，
单调递减，所以
无极值点，故B 错误；
C.在区间
内，
，函数单调递减，
内，
，函数单调递增，故C 错误；
D.
附近，左边导数为正数，函数单调递增，右边导数为负数，函数单调递减，所以
是函数的极大值点，
不一定是零点，故D 错误.
6．（多选）已知
是
上连续可导函数，若函数
的图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．
有三个极值点
B．
在
单调递减
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负得出函数单调性，即可确定函数的极值
点的情况.
【详解】由函数
的图象知，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以，
在
上单调递减，选项B 正确；
是
的极大值点，2 为函数
的极小值点，1 不是函数
的极值点，选项A 错误；
当
时，
，
在
上单调递减，
，选项C 正确；
当
时，
，
在
上单调递减，
，选项D 错误．
考点02 求不含参函数极值或极值点
7．已知函数
在
处的切线的斜率为1.
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的极值.
【答案】(1)
(2)极小值为1，无极大值
【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数确定函数
的单调性，再根据单调性求解即可.
【详解】（1）由题可知
，
因为
在
处切线的斜率为1，
所以
，
解得
（2）由（1）得
，因此
，
所以
，
令
，则
.
因为
，所以
，所以
，而
，
所以
在区间
上恒成立，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增.
又
，
所以当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，
所以
时，
取得极小值为
，
在
上无极大值.
综上所述，
在
上的极小值为1，无极大值.
8．（1）已知函数
．求
的极值；
（2）已知函数
在
上是严格减函数，则实数
的取值范围．
【答案】（1）极大值
，极小值
；（2）
【分析】（1）求得
，得出函数
的单调性，结合极值的定义，即可求解；
（2）求得
，根据题意，转化为
在
上恒成立，结合函数
的单调性，求得
，得到
，即可求解.
【详解】（1）由函数
，可得其定义域为
，且
，令
，即
，解得
或
．
当
时，
，
单调递增：
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
所以当
时，
取得极大值，极大值为
；
当
时，
取得极小值，极小值为
．
（2）由函数
，可得其定义域为
，且
，
因为
在
上是严格减函数，所以
在
上恒成立，且
不恒为0，
即
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
又因为
在
上为单调递减函数，
所以
，可得
，解得
，经验证：
时，
仅在
时取等号，符合题意，
所以实数
的取值范围是
．
9．已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)极小值为，无极大值；
(2)
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；当
时，
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增；当
时，
在区间
上单调递减；当
时，
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递
增.
【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解；
（2）求导，通过
，
，
，
讨论导数符号即可求解.
【详解】（1）当
时，
，所以
，
由
，得
，
0
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以函数
的极小值为
，无极大值；
（2）因为函数
，
所以
，
（ⅰ）当
时，若
，则
，
若
，则
，
若
，则
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
（ⅱ）当
时，由
，得
或
，
若
或
，则
，
若
，则
，
所以函数
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增，
（ⅲ）当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减，
（ⅳ）当
时，由
，得
或
，
若
或
，则
，
若
，则
，
所以函数
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增，
综上所述：当
时，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
和
上单调递减，
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递减；
当
时，函数
在区间
和
上单调递减，
在区间
上单调递增.
10．已知函数
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若方程
恰有一个实数解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
的极大值为
，
的极小值为
(2)
.
【分析】（1）对
进行求导，然后利用导数去求
的单调区间和极值.
（2）根据（1）大致作出
的图象，由图象确定
的取值范围.
【详解】（1）
，
.
令
，解得
或
.
递增
极大值
递减
极小值
递增
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
的极大值为
，
的极小值为
.
（2）由（1）可知
的极大值为
，
的极小值为
.
当
，
，作出
的大致图象如下：
要使
恰有一个实数解，则
的图象与
的图象有且仅有一个交点，
由图象可得
的取值范围为
.
11．请写出函数
的一个极值点_________．
【答案】（或
）
【详解】对函数
求导，根据乘积求导法则得：
，
令
，解得
或
.
当
时
，当
时
，故
是极大值点；
当
时
，当
时
，故
是极小值点.
综上，
和
均为函数的极值点，写出一个即可.
12．函数
在区间
上的极小值点个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【分析】求出函数的导数后判断其符号，从而可得极小值点的个数.
【详解】由函数
，可得
，
令
，即
，可得
或
，
因为
，可得
，
，0，
，
，
当
时，
，
，所以
，
单调递增；
当
时，
，
，所以
，
单调递减；
当
时，
，
，所以
，
单调递增；
当
时，
，
，所以
，
单调递增；
当
时，
，
，所以
，
单调递减；
当
时，
，
，所以
，
单调递增，
所以
在
,
，
，
上递增，
在
，
上递减，
所以
在区间
的极小值点为
，
，共有2 个.
考点03 求不含参函数最值
13．函数
在
上的最大值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数求解.
【详解】
，
时，
，
递增，
时，
，
递减，
所以
是
的极大值也是最大值.
14．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
，求
的最值．
【答案】(1)
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
(2)
，
【详解】（1）由题可得
，
，
因此当
时，
，当
时，
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）由（1）及及）
可知，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
所以
，
，
，
则
，所以
15．函数
在区间
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数求出函数
在区间
上的单调区间即可求解.
【详解】由题可得：
，令
，解得：
，
令
，解得：
，
令
，解得：
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，函数
取最小值，故函数
在区间
上的最小值为
16．已知函数
在
处取得极值0．
(1)求实数
，
的值：
(2)求函数
在区间
上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值20，最小值0
【分析】（1）利用极值点处函数值与导数值均为0 建立方程组求解参数.
（2）通过导数确定单调区间，比较区间内极值点与端点函数值得到最值.
【详解】（1）对函数求导，得
,
由函数在
处取得极值
，可得
,
联立整理得
,
解得
.
检验：将
代入，
，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
，
处导数由负变正，为极小值点，符合题意.
（2）由（1）得
，
.
令
，得极值点
，均落在区间
内.
因此，函数在
上的最大值为
，最小值为
.
17．已知函数
，且
为
的一个极值点.
(1)求a 的值；
(2)求
在
上的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)最小值是
，最大值是
【分析】（1）求导根据
得到
；
（2）计算函数的单调区间，得到最值.
【详解】（1）
的定义域为
，
，
因为
为
的一个极值点，
则
，即
，
解得
，经检验满足题意；
（2）由（1）得
，令
，
即
，
解得
或
，
1
3
4
0
极小值
故
在
上的最小值是
，最大值是
；
18．已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
在区间
上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递增区间为
．单调递减区间为
．
(2)最大值为3，最小值为
．
【分析】（1）直接求导，再令
和
，解出即可；
（2）求出端点值和极值，再比较大小即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
．
由
可得
或
，由
可得
．
所以函数
的单调递增区间为
．单调递减区间为
．
（2）函数
在区间端点和极值点处的取值：
．
极大值
．
极小值
．
，
比较以上函数值，可得函数
在区间
上的最大值为3，最小值为
．
考点04 根据极值(点)求参数
19．已知函数
有极小值，且极小值小于0，则实数
的取值范围为_________．
【答案】
【详解】可知
，
当
时，可知
，在
上恒成立，函数
在
上单调递增，无极小值；
当
时，令
，解得
，
所以
时，
，函数
在
上单调递减，
时，
，函数
在
上单调递增，
在
处取得极小值，极小值为
，
可得
，因为
，所以
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
20．已知函数
的极小值为
，则实数
的值可能为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对函数求导得
，找到临界点
和
，再按
、
、
三
种情况判断极小值点，代入极小值
求解
，验证后得到
.
【详解】
.
令
，得临界点
，
.
①当
时，
，
，函数单调递增，无极小值，舍去.
②当
时，
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.
故
为极小值点，代入
得：
.
由极小值为
，得
，解得
，即
，符合
.
③当
时，
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.
故
为极小值点，代入
得：
.
由极小值为
，得
，解得
，不在选项中，舍去.
21．已知函数
在
处有极小值，则实数
的值为（ ）
A．4 或12
B．12
C．4
D．4 或8
【答案】C
【分析】
，求得
或
，分别求得函数
的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求
解.
【详解】由函数
，可得
，
因为函数在
处取得极小值，可得
，解得
或
，
当
时，令
，解得
或
；
令
，解得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处有极小值，符合题意，
当
时，令
，可得
或
；令
，可得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处有极大值，不符合题意，舍去.
综上可得，
.
22．已知函数
在
处取得极值．
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
在区间
的最大值与最小值．
【答案】(1)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
(2)最大值为2，最小值为
【分析】（1）根据函数的极值点求出
，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案；
（2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案.
【详解】（1）由
，得
由题意得
，即
，解得
，
故
，定义域为
，
，
令
得
或
，令
得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
易知
为极小值点，
符合题意，
所以
单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
（2）由（1）知，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以
，
．
又
，
，
故
在区间
上的最大值为2，最小值为
．
23．若
和
是函数
的两个极值点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用极值点的性质列出方程得到参数值求解即可.
【详解】由
，
因为
和
是
的极值点，所以
是方程
的两个实根.
由韦达定理得
，解得
，
此时
,
当
或
时，
,
时，
,
故
为
的极大值点，
为
的极小值点，
故
．
24．已知函数
在
时取得极大值，则
的极小值为__________．
【答案】0
【分析】对函数求导，根据极大值求出的值，然后求出极小值即可.
【详解】由
，
由
，有
，可得
或6．
当
时，
，
当
或
时，
;当
时，
,
可得函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
，
可得
是函数
的极小值点，不合题意；
当
时，
，
同理可得函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
，
可得
是函数
的极大值点，符合题意．
可得
的极小值为
．
考点05 讨论含参函数的极值(点)或点的个数
25．已知函数
有两个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数求导，把
有两个极值点问题转化为导数有两个正实根，从而利用判别式结合韦达定理
构造不等式组求解．
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
，导数
的符号由分子决定，令
，
函数
有两个极值点，等价于
在
上有两个实根，
则二次方程
需满足
，解得
，
的取值范围是
．
26．已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数
和
有两个交点，然后利用
导数求
的单调性，进而确定
图象，最后根据图象确定实数a 的取值范围即可.
【详解】因为
，所以
，
由已知函数f(x)有两个极值点可得有
两个解，
即
和
有两个交点，且
，
而当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
故
，而
时，
，
当
时，
；其大致图象如下：
若
和
有两个交点，只需
，故A 正确.
27．函数
，
．
(1)
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
有两个极值点，求
的取值范围．
【答案】(1)
．
(2)
【详解】（1）
时，
，
，
又
，
，所以
在
处的切线方程为
，
即
．
（2）
，
由题可知
在
有两个变号零点，
由
，得
，令
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
又
，
，
，
，所以
，
由
有两个极值点，则
，故
28．设函数
．
(1)讨论
的单调性并求其极值；
(2)若
在
内存在极值，求
的取值范围；
【答案】(1)
当
时，
在
单调递减，无极值；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，有极小值
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，无极值；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增；无极值.
(2)
【分析】（1）首先求使得函数有意义的
的取值范围，利用导函数，根据定义域和
的取值范围，讨论函
数的单调性，并求出函数的极值；
（2）结合（1）过程可得；
【详解】（1）要使
有意义，则
.
下面求解该不等式组的解集，即函数
的定义域.
设
，函数
图象开口向上，对称轴为
，
令
，即
，
，其中
，
①当
时，
，则
在
单调递增，
当
时，
，
故此时定义域为
；
②当
时，
，
也恒成立.
故定义域也为
；
③当
时，
，
此时不等式组为
，解得
，或
.
故定义域为
；
④当
时，
，方程
有两根，
，且
，
，
故函数
的定义域为
；
由
，
则
①当
时，
.
则
在
单调递减，无极值；
②当
时，
，
，
令
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
此时
有极小值
；
③当
时，
定义域为
，
，
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增；
在
处无定义，
无极值；
④当
时，
，
，
又
，
由
，且
，
所以
；
又
，
所以
，
且当
时，
，
在
单调递减；
时，
，
在
单调递增；
此时
无极值.
综上所述，当
时，
在
单调递减，无极值；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，有极小值
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，无极值；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增；无极值.
（2）由（1）可知，要使
在
内存在极值，则
.
所以
的取值范围为
.
29．已知函数
．
(1)
在定义域内单调递减，求
的范围；
(2)讨论函数
在定义域内的极值点的个数；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得
，由导函数恒小于0，可求
的范围；
（2）分类讨论有：当
时，函数没有极值点，当
时，函数有一个极值点；
【详解】（1）函数定义域为
，
，因为
在定义域内单调递减，
则
在
上恒成立，可得
，
函数
在
单调递减，
的取值范围为
；
（2）当
时，
在定义域内单调递减，
∴
在
上没有极值点；
当
时，
得
，
得
，
∴
在
上递减，在
上递增，
即
在
处有极小值．
∴当
时
在
上没有极值点，
当
时，
在
上有一个极值点．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
30．设函数
（
）.
（1）若
，
在
处的切线在坐标轴上的截距之和为
，求
的范围；
（2）讨论函数
的极值情况，并求出当函数
的极大值为0 时实数
的值.
【答案】（1）
；（2）答案见解析；
或
.
【分析】（1）求出
在
处导数值即切线斜率，得出斜线方程，可得
，
根据
在
上单调递增可求；
（2）讨论
，
和
三种情况根据导数的正负讨论单调性，即可判断极值情况.
【详解】（1）因为
，显然
，
所以
，
所以
，
，
所以
在
处的切线方程为
.
因为
，所以
.
在切线方程
中，令
，得
；令
，得
.
所以
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
，
所以
的范围为
.
（2）因为
，
所以
.
①当
时，
，
，
.
所以
的单调递减区间为
，无单调递增区间，所以
无极大值，无极小值；
②当
时，令
，则
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
此时
有极大值
，无极小值，
令
，得
，
；
③当
时，令
，则
，令
，则
，
此时
有极大值
，无极小值，
令
，得
，
.
综上，当
时，函数
无极大值，无极小值；当
时，
有极大值
，
无极小值；当
时，
有极大值
，无极小值.
当函数
的极大值为0 时，
或
.
【点睛】方法点睛：利用导数求极值的步骤：（1）求出函数导数；（2）判断导数的正负（若含有参数，需
考虑参数情况）；（3）根据导数正负得出单调性；（4）根据单调性得出极值.
考点06 利用导数求含参函数的最值
31．已知
是实数，函数
(1)若
，求
的值及曲线
在点
处的切线的方程；
(2)当
时，求
在区间
上的最小值．
【答案】(1)
，切线方程为
；
(2)
【分析】（1）求导，然后代入计算即可；
（2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可.
【详解】（1）
由
，代入得
此时
，
，切线斜率为，由点斜式得切线方程
整理得
（2）令
，得
或
，
当
，即
时，在区间
上，
，
单调递减，因此最小值为
当
，即
时，
，
，
单调递减；
时
，
单调递增，因此最小值在
处取得
综上，
32．若关于x 的方程
在区间
上有解，则实数a 的取值范围是________．
【答案】
【分析】先将方程有解问题转化为函数值域问题，接着对函数求导确定极值点，最后比较极值与区间端点函
数值得到函数在给定区间的值域，即
的取值范围.
【详解】由题意可得，原方程可变形为
，
所以方程在
上有解等价于
属于函数
在
上的值域，
对
求导得：
，
令
，则
或
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得极小值，极小值为
，
又因为
，
，
因此
在
上的最小值为
，最大值为，故
的取值范围是
.
33．已知函数
(1)函数
在
处取极值，求
的值：
(2)求函数
在区间
上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解；
（2）求导，结合导数的性质及
得出
，分情况讨论求出各区间内的
，进而求
出函数
在区间
上的最小值．
【详解】（1）
的定义域为
，求导得
，
已知
在
处取极值，则
，解得
．
当
时，
，
当
时，
，当
时,
，故
在
处极值，符合题意.
（2）函数的导数为
，
已知
，
，则
，
当
时，
在
上恒成立，
单调递减，
最小值为
；
当
时，
在
上恒成立，
单调递增，
最小值为
；
当
时，令
，解得
，则
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
最小值在极值点
处取得：
；
综上可得：
．
34．已知函数
（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求
在
上的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先确定
的定义域，再求出
的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可.
（2）先根据已知条件确定
在
的单调性，再对
的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下
的最小值.
【详解】（1）由题意可得：
的定义域是
，且
，
令
，则
或
,
①当
时，若
或
，则
，若
，则
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
②当
时，因为
，所以
在
上单调递增，
③当
时，若
或
，则
，若
，则
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当
时，由（1）可得：
在
上单调递减，
所以，①当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值，为
，
②当
时，
在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值，为
．
综上，
．
35．已知函数
，其中
．
(1)若
，求函数
的极值点和极值；
(2)求函数
在区间
上的最小值．
【答案】(1)函数
的极大值点为0，极小值点为2，极大值为
，极小值为
(2)
【分析】（1）求导，利用导数判断函数
的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值；
（2）分
和
两种情况讨论，利用导数判断函数
的单调性，即可得最小值.
【详解】（1）若
，则
的定义域为
，且
，
令
，解得
或
；令
，解得
；
可知函数
在
内单调递增，在
内单调递减，
所以函数
的极大值点为0，极小值点为2，极大值为
，极小值为
.
（2）因为函数
的定义域为
，且
，
，
令
，解得
或
，
若
，则
，
可知函数
在
内单调递增，所以函数
在
内的最小值为
；
若
，则
，
当
时，
；当
时，
；
可知函数
在
内单调递减，在
内单调递增，
所以函数
在
内的最小值为
；
且当
时，
，符合上式，所以函数
在区间
上的最小值为
.
36．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，当
时，求函数
的最大值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率
，根据切点坐标可得结果；
（2）求导后，根据
正负可得函数单调性，进而确定最大值为
.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，
，
在点
处的切线方程为：
，即
.
（2）
，
的定义域为
，
，
，
，
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
.
考点07 已知函数最值求参数
37．已知函数
的最大值为1，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【详解】法1：（1）当
时，由
，解得
，
故函数
定义域为
.
①当
时，
，
当
，则
，故不存在最大值，不合题意；
②当
时，此时
，
，
故最大值不为，不合题意；
③当
时，
，
当
，则
，故不存在最大值，不合题意；
（2）当
时，则
，则函数
定义域为
.
且由
最大值为可知，
，
即
对任意
恒成立，且等号能取到.
设
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
故
，当且仅当
时，
，
由
对任意
恒成立，可知
，
又当
时，恒有
，取不到等号，所以有
，
故选：B.
法2：
，
由选项知
，则定义域为
，
故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为
，
由
，
则由
，可得
①，
且
，即
②，
联立①②解得
.
验证：当
时，
，
则
，
设
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
，且
，
且当
，
；当
，
；
作出函数
的大致图象，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
则
，满足题意，故
.
法3：由选项知
，则定义域为
，
由
，解得
.
同法2 验证可得，故
满足题意，由选项唯一可得..
法4：由选项知
，则定义域为
，
由
，解得
.
验证：当
时，由不等式
可得
，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
满足题意，由选项唯一可得.
38．已知函数
在
上的最小值为0，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得
在
上恒成立，且能取等号，即
，令
，
再利用导数得到
，解方程即可．
【详解】由题意得
在
上恒成立，且能取等，
即
在
上恒成立，且能取等，
令
，则
的最小值为0，
因为
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
，解得
．
39．已知函数
的最小值为0，则
___________．
【答案】
/
【详解】易知函数
的定义域为
，且
,
当
时，
恒成立，此时
在
上单调递减，不存在最小值，不合题意；
当
时，令
可得
,
又
时，
，
时，
，
所以此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
在
处取得极小值，也是最小值，即
，
即
，解得
，符合题意；
综上可知
.
40．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
内的最大值为2，求
的值.
【答案】(1)当
时，
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，则
在
上单调递减，在
和
上单调递增.
(2)
【分析】（1）先求得函数
的导函数
，讨论
的零点的大小关系，利用
的正负可得到
的单调性；
（2）由（1）分析
在
上的单调性，进而求得其最大值，构造新函数，分析新函数的单调性及零点，
即可求得实数
的值.
【详解】（1）函数
的定义域为
.
则
，
令
，解得
或
.
若
，即
，则
当
或
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
若
，即
，则
恒成立，
所以
在区间
上单调递增；
当
，即
，则
当
或
时，
；当
时，
.
所以
在区间
上单调递减，在
和
上单调递增.
综上所述，若
，则
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
若
，则
在
上单调递增；
若
，则
在
上单调递减，在
和
上单调递增.
（2）由（1）知，当
时，
在
上单调递增，则
，解得
，
与
矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
.
令
，则
恒成立，
所以
在
上单调递减.
又
，故
.
综上所述，
41．函数
在
上存在最大值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定
的范围.
【详解】
，
令
，得
或
.
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
单调递增.
因此，
是极大值点，
是极小值点.
要使
上存在最大值，需
，
又因为
，且
，
若
，函数在
递增，会超过
，因此需
.
综上：
.
42．已知函数
在
上有最大值，则a 的取值范围是______．
【答案】
【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值
两个条件，列出不等式组求解即可.
【详解】先对原函数求导得
，令
得
或
；
当
，
，当
，
，当
，
.
可得
在
和
上单调递减，在
上单调递增，有极大值
．
因为函数
在
上有最大值，需要满足
，
再由函数在开区间有最大值可得
且
.
根据已知函数的单调性，可得当
时，
恒成立.
故
，
求解
可得
，
求解
即
，解得
.
综上得到
.
考点08 函数单调性、极值与最值的综合应用
43．已知函数
，
，若
，
，有
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】转化条件得
，则
，令
，利用导数求得
的最大值可得解.
【详解】由题意，
，
，
，
即
，则
，
，
令
，
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
作函数
的草图如下，
由图可知，当
时，
有唯一解，
故
，且
，
，
∴
，
设
，
，则
，令
，解得
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
故
，即
的最大值为
.
44．已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
在
上单调递增，可得
在
上恒成立，得到
，令
，则
只需
（
），利用导数求出
的单调性，利用单调性得到
，从而得到
的取值
范围.
【详解】
，
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上恒成立，
即：
，即
，
因为
时
，所以
，
令
，则只需
（
），
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
在
处取得唯一极大值，也是区间
上的最大值，
且
，则
.
则实数
的取值范围是
.
45．
（
）的两个极值点
，
满足
，则
的取值范围为___
【答案】
【分析】根据函数极值点的定义可得出
，可得出
，令
，则
，可得出
，
，可得出
，构造函数
，利用
导数求出函数
的值域即可.
【详解】由
，得
，
由
，得
，
因为函数
有两个极值点
、
，
则
，可得
①，
设
，则
且
，代入①得
，
，
所以
，
设
，则
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
从而
，所以
在
单调递增，
又
，
令
且
，则
，
所以
在
上单调递减，则
，
即
，故
时
，
综上，
时，
，且
，
所以
.
46．已知
，设函数
，若对任意
恒成立，则
的所有可能取值构成的集
合为__________．
【答案】
【分析】根据题意转化已知条件为
，对任意
恒成立，设
，求导并利用导数分
析函数单调性求出最大值，把问题转化为
，分析知当且仅当
时取等，进而求解．
【详解】对任意
，
，
，故
，
已知
，
，上式即
，
设
，
令
，解得
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
为
的一个极大值点，
，
由题意，
对任意
恒成立，
，
由上述分析可知
，当且仅当
时取等，
的所有可能取值构成的集合为
．
47．已知函数
．
(1)讨论
在其定义域上的单调性；
(2)当
时，若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)所以
在
和
上单调递减；
(2)
【分析】（1）利用二次求导判断
的单调性得出
，即
即可；
（2）把问题转化为
在
上恒成立，分
和
两种情况讨论，
时符合
题意，
时导出矛盾即可求解.
【详解】（1）
的定义域为
，
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，则有
，所以
在
和
上单调递减；
（2）当
时，
等价于
，
即
，令
，
则
，
①若
，则
，
在
上单调递减，所以
，满足题意；
②若
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，
令
，
，
是减函数，又
，所以
，与条件矛盾，舍去.
综上所述，
的取值范围是
．
48．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若对任意的
，都有
，求m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义结合已知条件求出切线方程；
（2）求导，分
和
两种情况讨论，利用导数分析函数单调性，结合已知条件得出m 的取值范围．
【详解】（1）函数
求导得
，
又
，
，
曲线
在
处的切线方程为：
，即
，
所求的切线方程为
．
（2）由
，求导得
，
①当
时，由
，得
，
，所以
，则
恒成立，
此时
在
上单调递增，故
，
当
时，对任意的
，都有
；
②当
时，令
，解得
，
则有在
上，
，
单调递减，
在
上，
，
单调递增，
则
，不满足题意；
综上，
的取值范围为
．
