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3.4 利用导数研究恒成立、能成立、双变量问题
5 大考点汇总
考点01 含参数函数的恒成立问题（参变分离法）
考点02 含参数函数的恒成立问题（分类讨论法）
考点03 利用导数研究能成立问题（存在性）
考点04 利用导数研究双变量问题
考点05 导数中的极值偏移问题
题型专练
考点01 含参数函数的恒成立问题（参变分离法）
1．已知函数
．
(1)求函数
的导函数；
(2)求
的极值；
(3)若对于任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
2．若
在
上单调递增，则a 的最大值为_________.
3．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
4．若
，
恒成立，则
的最大整数值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
.
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若对
，都有
恒成立，求
的取值范围.
6．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
考点02 含参数函数的恒成立问题（分类讨论法）
7．已知函数
，对于
，均有
，则实数
的取值范围是
_________．
8．已知
，
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，使
成立，求参数
的取值范围．
9．已知函数
．
(1)证明：当
，
时，
；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
10．已知函数
（为自然对数的底数，
）
(1)求
在
处的切线方程；
(2)求
的最小值；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.（
表示不超过实数
的最大
整数）
11．已知函数
，
．
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若
，
恒成立，求实数
．
12．已知函数
．
(1)若
在
处取得极值，求a 的值；
(2)若当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围．
考点03 利用导数研究能成立问题（存在性）
13．已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是
_________．
14．已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间、最大值；
(2)设函数
，若存在实数
，使得
，求m 的取值范围．
15．若存在
使得方程
有解，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．已知函数
．
(1)求
在
上的单调区间；
(2)存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；
17．已知函数
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若关于
的不等式
有解，求
的取值范围．
18．已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
是
上的单调递增函数，求
的值；
(3)若存在
，使得
成立，求
的取值范围.
考点04 利用导数研究双变量问题
19．已知函数
，
，若
，使得
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．-1
C．-e
D．
20．已知函数
，若
使得
成立，则实数
的取值范
围是_____________.
21．已知
．
(1)证明：
的极值点
；
(2)设
的最小值为
，当
最大时，求
的值；
(3)设
的解集为
，若
，求
的取值范围．
22．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若当
时，
，求
的取值范围；
(3)若存在两个不同的正数
，使得
，且
，求
的取值范围．
23．函数
的两个极值点
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
(2)（ⅰ）当
时，证明：
；
（ⅱ）当
时，设
，且
.求证：
.
考点05 导数中的极值偏移问题
25．已知函数
有两个不同的零点
，且满足
，求证：
．
26．已知
是函数
的两个零点，且
，求证：
．
27．（多选）已知函数
，
为常数，若函数
有两个零点
、
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
28．已知函数
．
(1)若函数
和
的图象都与平行于
轴的同一条直线相切，求
的值；
(2)若函数
有两个零点
，证明：
．
29．已知函数
（a 为常数）.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数
，
满足
，求证：
.
(3)若
有两个零点
，
，证明：
.
30．已知函数
（
）．
(1)试讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
，
（
），求证：
．
