文档内容
专题 06 利用导函数研究能成立（有解）问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：单变量有解问题..................................................................................2
题型二：双变量不等式有解问题.......................................................................3
题型三：双变量等式有解问题..........................................................................5
三、专项训练...........................................................................................................6
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
③求最值.二、典型题型
题型一：单变量有解问题
1．（2023·四川乐山·统考二模）若存在 ，使不等式 成立，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的
内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ，若存在唯一
的整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛:用导数求参数的范围问题，将题目转化两个函数的交点问题求解是解题的关键.
4．（2023·云南·校联考三模）设函数 ，若存在唯一整数 ，使得 ，则 的
取值范围是 .
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，使得 ，求实数 的最小值．【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数解决含参函数单调区间问题，以及不等式能成立问题，难度
较难，解答本题的关键在于将不等式问题通过分离参数法，转化为最值问题，然后构造函数，利用导数判
断函数的单调性，解决问题.
6．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)如果存在 ，使得当 时，恒有 成立，求 的取值范围.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调
性、最值是解决问题的关键.
题型二：双变量不等式有解问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，对于存在的 ，存在
，使 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川南充·统考三模）已知函数 ， ， ， 使（ 为常数）成立，则常数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在 ， 使 能成立是其
一，其二需要构造函数 后分离参数转化为 在 上能
成立，再次构造函数 ，多次利用导数求其最大值.
3．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数 ，
对于 ，都 ，使 ，则 的取值范围为 .
4．（2023下·重庆·高二校联考期中）已知函数 ，若对任意 都存在
，使 成立，则实数 的取值范围是 .
5．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求实数 的取值范
围．6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ．当 时，若对 ， ，使 ，求实数 的取值范
围．
题型三：双变量等式有解问题
1．（2020·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ，若 ， ，使
得 ，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
3．（2023上·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数 ， ，若
成立，则n－m的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【点睛】关键点睛：令 确定 关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
4．（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）已知函数 和函数
，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的能成立问题的求解，解题关键是能够将能成立的条件转化为两个
函数最值之间大小关系的比较问题，从而利用导数、三角函数知识求得两函数的值域，根据最值大小关系
构造出不等式组.
5．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数
. ，使得 )，求
实数a的取值范围.三、专项训练
一、单选题
1．（2023下·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）若关于 的不等式 的解集中恰有
个整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数 ，若存在 ，使
，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·江苏南通·高二统考阶段练习）已知函数 ， ，（其中 为自然
对数的底数）.若存在实数 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022下·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期中）已知函数 ，若对任
意的 ，存在 使得 ，则实数a的取值范围是（ ）A． B．[ ，4]
C． D．
5．（2022下·全国·高三校联考开学考试）已知函数 ，若 ，
成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）= ，函数g（x）=asin（ x）﹣2a+2
（a＞0），若存在x，x∈[0，1]，使得f（x）=g（x）成立，则实数a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．[﹣ ，1] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，2]
7．（2021上·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）已知函数 ， ．若
，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；（4）若 ， ，有 成立，故 ；
（5）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
8．（2021下·全国·高三校联考专题练习）设函数 ， ，若在区
间 上存在 ，使得 成立，其中e为自然对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018下·四川攀枝花·高三统考阶段练习）已知函数 若对
,使得 成立,则实数 的最小值是
A． B． C．2 D．3
二、填空题
10．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数 ，
对于 ，都 ，使 ，则 的取值范围为 .
11．（2021下·四川凉山·高二统考期中）已知函数 ，函数 ，若对任意的
，存在 ，使得 ，则实数m的取值范围为 ．
12．（2023下·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）已知 ，
，若 ， ，使 成立，则实数 的取值范围是 ．
三、问答题
13．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数 ．(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求实数 的取值范
围．
14．（2023上·云南昆明·高三统考期中）已知 （其中e为自然对数的底数， ）
(1)求 的单调区间；
(2)若存在实数 ，使 能成立，求正数a的取值范围．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ．当 时，若对 ， ，使 ，求实数 的取值范
围．16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数m的最小值.
