文档文本内容
3.4 利用导数研究恒成立、能成立、双变量问题
5 大考点汇总
考点01 含参数函数的恒成立问题（参变分离法）
考点02 含参数函数的恒成立问题（分类讨论法）
考点03 利用导数研究能成立问题（存在性）
考点04 利用导数研究双变量问题
考点05 导数中的极值偏移问题
题型专练
考点01 含参数函数的恒成立问题（参变分离法）
1．已知函数
．
(1)求函数
的导函数；
(2)求
的极值；
(3)若对于任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)极小值为1，无极大值
(3)
【分析】（1）根据复合函数求导、导数四则运算求得正确答案.，
（2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值，
（3）将恒成立问题参数分离，构造函数
，即可求导求解最值．
【详解】（1）由
得
.
（2）令
，则
，故
在
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以当
时，
取极小值
，无极大值，
（3）由
得
，故
，
构造函数
，则
，令
，则
，
故当
时，
单调递增，
时，
单调递减，
故当
取极小值也是最小值，
，
所以
，即
2．若
在
上单调递增，则a 的最大值为_________.
【答案】
【分析】根据可导函数在
上单调递增的充要条件是导函数非负恒成立，将问题转化为求参数
小于等于构
造的新函数的最小值，进而求新函数的最小值即为
的最大值.
【详解】已知
在
上单调递增，故对任意
，都有
恒成立，
对
求导得
， 因此不等式
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立，
令
，只需满足
即可，又
，
当
时，
，
单调递减； 当
时，
，
单调递增；
因此
是
的极小值点，也是最小值点，
代入得
，即
的最大值为
.
3．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标用点斜式得切线方程；
（2）将恒成立问题转化为
的最小值大于
，通过导数分析单调性求
最小值，进而得到a 的取值
范围
【详解】（1）
，∴切点坐标为
.
，
则切线斜率
.
所以切线方程：
，即
.
（2）
恒成立等价于
对任意
恒成立，故
且
，
∴ 当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
故
在
处取极小值也是最小值，
.
因此
，解得
，
即a 的取值范围为
.
4．若
，
恒成立，则
的最大整数值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先确定
时的情况，当
时，参变分离可得
，构造函数
，求出
函数
的最小值即可.
【详解】当
时，
，不等式成立，
；
当
时，
恒成立，即
，
令
，则
，
令
，
，则
，
则
在
上单调递增，所以
，即
.
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
故
，所以
；
综上
，故
的最大整数值为
.
5．已知函数
.
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若对
，都有
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率，然后由点斜式可得；
（2）参变分离，利用导数求最值可得解.
【详解】（1）当
时，
，
，故
，
由
，得切线方程为
，即
；
（2）原条件等价于
对
恒成立，
令
，
，则
，
，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
计算得
，
，又
，
所以
，故
的取值范围为
.
6．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用函数在点
处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得
的值；
（2）当
时，
恒成立，等价于
，构造函数
，求最小值，即
可求实数
的取值范围；
【详解】（1）已知函数
，求导得
，
由题意，得
且
，
所以
，
．
（2）由（1）可知，
，
由
，得
，
又
，所以
，
设
，
，
又
，
，由
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，所以
，即实数
的取值范围为
．
考点02 含参数函数的恒成立问题（分类讨论法）
7．已知函数
，对于
，均有
，则实数
的取值范围是
_________．
【答案】a ≥
【分析】用导数及分类讨论研究函数在区间上的单调性，讨论
与区间
的位置关系求区间单调性，进而
求
的最小值，
【详解】由
且
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
即
在
上单调递减，
此时
，只需
，
所以
，显然不成立；
当
时，
时
，
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
若
，则
在
上单调递增，此时
，
只需
，
若
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
只需
，而
且
，故
，所以
不成立.
若
，则
在
上单调递减，此时
，
所以
不满足前提，
综上，
.
8．已知
，
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，使
成立，求参数
的取值范围．
【答案】(1)
的单调递减区间为
，
的单调递增区间为
，
(2)
【分析】（1）将a 的值代入，再对函数求导，对函数的导数进行研究即可；（2）先对函数进行求导，再对
a 进行讨论，在题目要求的范围内找到一个极小值小于题目要求即可.
【详解】（1）当
时，
，
所以
．由
，得
或
0；由
，得
.
所以
的单调递减区间为
，
的单调递增区间为
，
.
（2）由题意，得
，因为
，由
，解得
，
．
①当
时，因为
，所以
，所以
单调递增，即
．
，即
．
设
，
．
所以
，即
恒成立，即
，所以不等式
无解；
②当
时，当
变化时，
，
变化情况如下表：
0
+
0
-
0
+
极大值
极小值
且
，
，因为
，所以
，
因此
恒成立，
若
，使
，则
所以
所以
解得
．
综上所述，参数
的取值范围为
.
9．已知函数
．
(1)证明：当
，
时，
；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，确定函数单调性，求解最值即可求证；
（2）求导，分
，
，
三种讨论，研究其单调性即可求解最值.
【详解】（1）（1）当
时，
，
当
时，
，
则函数
在
单调递减，即
．
（2）
，
①当
时，
在
上单调递减，
即
，故原不等式不成立．
②当
时，因为
，所以
，
即
，显然原不等式成立．
③当
时，存在
，使得
，
当
在
单调递增，
当
在
单调递减，
即
，
由题意
，可知
，解得
，
综上所述：
．
10．已知函数
（为自然对数的底数，
）
(1)求
在
处的切线方程；
(2)求
的最小值；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.（
表示不超过实数
的最大
整数）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导求切点坐标，进而得到函数在该点的切线；
（2）求导分析函数单调性，得到函数最小值；
（3）针对取整函数分段讨论，利用各区间内
的最小值，将恒成立问题转化为求
的上界.
【详解】（1）
，
，
在
处的切线方程是
.
（2）由（1）知，
，
则在
上，
，
单减；在
上，
，
单增；
.
（3）当
，
，而
，此时恒成立；
当
，
时，而
，
，此时不成立；
当
，
时，
，此时恒成立 ；
时，
，此时恒成立.
下证：
时，
恒成立.
令
，
，
所以
在
上单调递增，
，
因为
所以
，即
，
综上
.
11．已知函数
，
．
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若
，
恒成立，求实数
．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
，极小值为
，无极大值
(2)
【分析】（1）求导根据导数的正负判断单调性与极值；
（2）由（1）及零点存在定理可得当
时，
恒成立；再通过导数
的正负判断
单调性，得
的极小值为
，继而按
、
、
及
分类分析判断
的符号，最终得到答案.
【详解】（1）依题意，函数
的定义域为
，导函数
，
令
，因为
，所以
是增函数
又
，
故当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
即
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
当
时，函数取极小值，且极小值为
．
（2）因为
，
，
，
所以由（1）及零点存在定理知，
，
，使
，
，即
，
．
故
且当
时，
，即
，即
，
从而
，
当
时，
，即
，即
，
从而
，
当
时，
，同理可得
，
故当
时，
恒成立．
又
，而
在
内单调递增，且
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以函数
的极小值为
，
若
，则
在
上恒成立，
当
时，
，
不成立，不符合题意，舍去；
若
，由零点存在定理知，
，
，使
，
且当
或
时，
，当
时，
，
若
，
则
，当
，
，不合题意，舍去；
若
，
则
，当
，
，不合题意，舍去．
综上所述，
．
12．已知函数
．
(1)若
在
处取得极值，求a 的值；
(2)若当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出原函数的导函数，由
，求解验证即可；
（2）分类讨论
的范围，根据导数求得最小值，结合题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）由题意得
．
因为
在
处取得极值，所以
，解得
．
经验证，当
时，
在
处取得极小值，符合题意，故
．
（2）由（1）知
．
①若
，则当
时，
，即
恒成立，
所以
在
上单调递增，
，
由
，得
，故
．
②若
，令
，得
或
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
所以
，
由
，可得
，解得
，故
．
综上，实数
的取值范围是
．
考点03 利用导数研究能成立问题（存在性）
13．已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是
_________．
【答案】
【分析】将问题化为
能成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得范围.
【详解】要使得存在
满足
，
先将不等式进行等价变形为
，
两边同乘
得
，
整理为关于
的不等式
，即
，
令
，问题转化为存在
使得
，即
，
对
求导
，令
，则
，即
，
由
、
、
在
上单调递增，且
，
，
根据函数的单调性知
在
上单调递增，而
，
所以，当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
观察到
时，代入得
，恰与
等价，此时
，
故极值点
满足
，即
，故
，
因此，存在
使
成立，当且仅当
，则实数
的取值范围是
.
14．已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间、最大值；
(2)设函数
，若存在实数
，使得
，求m 的取值范围．
【答案】(1)函数
在
上单调递增，在
上单调递减，最大值为
；
(2)
【分析】（1）对函数求导，利用导数求出函数的单调区间及最大值；
（2）把存在性问题转化为求函数最小值问题，分情况讨论，利用导数求出函数的单调性及最小值，进而求
出m 的取值范围．
【详解】（1）当
时，函数为
，定义域为
，
求导得
，
当
时，
，
，故
，函数单调递增；
当
时，
，
，故
，函数单调递减；
函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
函数在
处取得极大值，即为最大值，
．
（2）已知
，存在实数
，使得
，
即不等式
在其定义域
上有解，
令
，则问题等价于
，
当
时，
，
，求导得
，
其中
，故
，
在
上单调递增，
；
当
时，
，故
，求导得
，
其中
，故
，
在
上单调递减，
，
综上可得，
，要存在实数
，使得
，只需满足
，
的取值范围为
．
15．若存在
使得方程
有解，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据的指数移项构造一个相同自变量，再根据相同函数类型建立自变量等式，最后分参构造函
数，求导分析函数区间内的值域，即可求解.
【详解】先移项
，
因为
，
所以
，
构造函数令
，
，所以
在定义域内单调递增，
所以对于任意一个函数值
，都有唯一一个
对应，
所以
，
令
，
，
令
，
当
，
，
在区间内单调递减，
当
，
，
在区间内单调递增，
最后求端点值确定函数值域，
，
，
，
因为
，
所以
，
条件为有解，即函数
与
有交点，所以
.
16．已知函数
．
(1)求
在
上的单调区间；
(2)存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)减区间
，增区间
；
(2)
．
【分析】（1）利用导数的正负判断单调性即可；
（2）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可．
【详解】（1）求导得：
，
当
时，
，当
时，
，
所以
的减区间是
，增区间是
；
（2）由
，可得
，
题意等价于
在
上有解．
设
，
，求导得
，
当
时，
，
递增，
，
所以存在
，即
，使得
成立；
当
时，
时，
，
在
上递增，
时，
，
在
上递减，
所以
，
由
得
，
所以存在
，即
，使得
成立，
综上，
．
17．已知函数
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若关于
的不等式
有解，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，参变分离，再求函数的最值即得；
（2）参变分离，构造新函数
，进而求导分析单调性求函数的极值结合条件即得.
【详解】（1）由题可知
在
上恒成立，所以
．
因为
，所以
，
则
，所以
的取值范围为
．
（2）由
有解，可得
有解．
令
，则
，
令
，可得
，令
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，故
的取值范围为
．
18．已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
是
上的单调递增函数，求
的值；
(3)若存在
，使得
成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程.
（2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0 恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定
的值.
（3）将
转化为关于
的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定
的取值范围.
【详解】（1）对函数求导得
，所以
.
因为
，所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
（2）对函数求导得
，因为函数
是
上的单调递增函数，
所以
在
上恒成立.
令
，则
.
当
时，
，所以
，
在
上单调递增.
又因为
，当
时，
，不满足
在
上恒成立，所以
.
令
，即
，解得
.
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
所以
在
处取得最小值
.
因为
在
上恒成立，所以
，即
.
令
，对
求导，可得
.
令
，即
，解得
.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
所以
在
处取得最大值
.
因为
，且
，所以
，此时
.
（3）令
，所以原问题变为存在
，使得
成立，
对
求导得，
，令
.
求导得
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
.
此时不存在
，使得
成立，不符合题意；
当
时，令
，则
.
当
时，
；当
时，
；
当
，即
时，
在
上单调递增，所以
.
所以
在
上单调递增，所以
，即
.
此时不存在
，使得
成立，不符合题意；
当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，所以在区间
上
，
因此
在
上单调递减，
又
，故存在
，使得
，即
成立，
综上，所以
.
考点04 利用导数研究双变量问题
19．已知函数
，
，若
，使得
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．-1
C．-e
D．
【答案】A
【分析】转换
，
函数表达式，进而得到
，
之间的关系，即可求解.
【详解】因为
，故设
，
所以
，
因此如果
，则
，
而对于
，
，因此
在定义域上单调递增，
则应有
，且
，故
，
设
，所以
，
因此当
时，
，即
单调递增，
当
时，
，即
单调递减，
所以
，
则
的最大值为
20．已知函数
，若
使得
成立，则实数
的取值范
围是_____________.
【答案】
【分析】先求出
的最小值将原命题转化为
有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其极
小值，即可得出参数
的取值范围.
【详解】由题意得
，
则当
时，
，即
在
上单调递增，
则
；由
使得
成立，
则
在
上有解，即
在
上有解，
令
，因为
，则
，
故
在
上单调递减，则
，即实数
的取值范围是
．
21．已知
．
(1)证明：
的极值点
；
(2)设
的最小值为
，当
最大时，求
的值；
(3)设
的解集为
，若
，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导，研究其单调性，根据零点存在性定理判断；
（2）求出最小值，再消去参变量
，构造函数
，利用导函数求最大值即可；
（3）得出
等价于
，化简得
，再构造函数
得出
，再分
、
讨论.
【详解】（1）易知
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，即
单调递减，
当
时，
，
单调递增，即
单调递增，
因为
，
，所以存在
，使得
，
因为
，
时，
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
所以
是
的极小值点，且
；
（2）由（1）可知，
，且
，
消去
，整理得
，
设
，则
，
因为
，所以
，
则当
时，
，
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以
的最大值为
，
此时
，所以
，解得
；
（3）因为
，
的解集是
，所以
，且
，
由
，得
，
所以
等价于
，
由
，得
，
消去
，整理得
，
设
，则
，
所以
单调递减，
又
，所以
，当且仅当
，
因为
在
单调递减，且
，
若
，则
，故
，不符合；
若
，则
，故
，满足要求，
综上，
的取值范围是
．
22．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若当
时，
，求
的取值范围；
(3)若存在两个不同的正数
，使得
，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对函数求导并计算出在点
处的导数值，再由直线的点斜式方程可求得切线方程；
（2）由题意可知
在
时恒成立，构造函数
并求出其最小值，即可得
；
（3）方法一：根据题意可知函数
的图象与直线
至少有两个交点，对函数求导并对
进行分类讨论，即可求得其范围；
方法二：构造函数
并利用洛必达法则可求得当
时，
，可求得
的
取值范围是
.
【详解】（1）当
时，
，
所以
，又
，
所以所求的切线方程为
（2）由题意，当
时，
，即
．
设函数
，则
，
令
，解得
，当
时，
单调递减，当
时，
单调
递增．
所以当
时，
取得最小值，
，
所以
，
即
的取值范围是
．
（3）方法一：
依题意
，因为
，所以
，
整理可得
，即
，所以
；
即函数
的图象与直线
至少有两个交点．
，
设函数
，则
，
易知
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，且
，
若
，则
单调递减，
至多有1 个零点，不符合题意；
若
，即
，则函数
存在两个零点，记为
，且
，
其中
，
所以
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
的极小值为
，极大值为
．
再比较
与
的大小：
．
设
，则
，
所以
单调递减，
，即
，从而
．
因为
，且
，
所以
，且
，
所以
，且
，
所以
的图象与直线
在区间
内各有一个交点，因此
符合题意．
综上，
的取值范围是
．
方法二：
由题意得
，因为
，所以
．
不妨设
，则
，两边取对数得
，
所以
，
所以
．
设
，则
，
．
设
，则
（根据不等式
），
故
单调递增，
，所以
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，又当
时，
，所以
，
故
的取值范围是
．
23．函数
的两个极值点
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得
，然后令
代入后表示出
，代入目标
式转化为关于的函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题知，函数
的定义域为
，
，
因为
有两个极值点
，所以
，
，则
，①
令
，因为
，所以
，
将
代入①整理可得
，
，
所以
，
令
，则
，
设
，则
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
故选：D
24．已知函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
(2)（ⅰ）当
时，证明：
；
（ⅱ）当
时，设
，且
.求证：
.
【答案】(1)当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
(2)设
，
则
，
因为
在
上单调递增，
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
，当且仅当
时取等，
所以
，即
，当且仅当
，
时取等；
（ⅱ）法一：由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
，
由（2）可知，
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
所以
法二：
由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
；（同法一）
设
，
，易知
在
上单调递增，
所以当
时，
，即
，
上式整理得
，即
设
，
，所以
在
上单调递减，
所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，即
，
所以
所以
（同法一）
法三：
由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
；（同法一）
设
，
，
所以
，所以
在
上单调递增，
显然
，所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，即
，
根据基本不等式，
，所以
，
所以
，
所以
法四：
由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
；（同法一）
因为
，所以
根据基本不等式，
，
设
，所以
，整理得
，
设
，
所以
，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，所以
为增函数，
因为
，所以当且仅当
时，
，
所以
，
根据基本不等式，
，所以
，
所以
所以
（同法三）
【分析】（1）根据导数分
和
两类讨论函数的单调性；
（2）（i）构造
，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明；
（ⅱ）法一：利用函数的单调性，先证
得
，结合（2）的不等式放缩得到
，结合
推出
，得
得证；
法二：构造
，根据单调性得到
，进而得到
的单调
性，后同法一；
法三：构造
，根据单调性得
，根据基本不等式得
，进而证明结论；
法四：同法一得到
，设
，构造
，
利用导数判断单调性，得到
，后同法三进行证明.
【详解】（1）
，
①当
时，
，
在
单调递增，
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
（2）略
考点05 导数中的极值偏移问题
25．已知函数
有两个不同的零点
，且满足
，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】由
是两个零点，可解得
，接着构造函数证
，即
，根据函数单调性即可证明.
【详解】由题意知
，
由
得
从而
，
，
即
．
又
，令
,
，
，
所以
在
单调递增，则
，
因为当
时，
，所以
，
所以
，即
，
所以
．
令
，
，易知其单调递增，
又
，
所以
，即
，
所以
，即
．
26．已知
是函数
的两个零点，且
，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】分
和
两种情况讨论，把函数的两个零点问题转化为曲线
与直线
有两个交点的
问题，
求导得到
的单调性，进而得到
，且
，从而把要证
，
转化为证明
，再通过构造函数进行证明．
【详解】
当
时，
，
0 不是
的零点；
当
，问题可以转化为曲线
与直线
有两个交点，
曲线
求导得
，当
时，
；当
时，
；当
时，
，
在
和
上单调递减，在
上单调递增，且
时，
，
当
时，
，当
时，
，如下图所示，
，且
，
，则有
，
要证
，即证
，即证
．
令
，
，
，不等式转化为
，即证明
，
设
，求导得
，
令
，求导得
，
，
，
单调递增，
，
单调递增，
．
原不等式成立，即
，命题得证．
27．（多选）已知函数
，
为常数，若函数
有两个零点
、
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由已知得出
，化简变形后可判断A 选项的正误；取
可判断B 选项的正误；利用构
造函数法证明CD 选项中的不等式，可判断CD 选项的正误.
【详解】由
可得
，可知直线
与函数
在
上的图象有两个交点，
，当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，则
，
且当
时，
，如下图所示：
当
时，直线
与函数
在
上的图象有两个交点.
对于A 选项，由已知可得
，消去
可得
，A 对；
对于B 选项，设
，取
，则
，所以，
，故
，B 错；
对于C 选项，设
，因为
，则
，
所以，
，
，
则
，
构造函数
，其中
，则
，
所以，函数
在
上单调递增，故
，C 对；
对于D 选项，
，
构造函数
，其中
，则
，
所以，函数
在
上单调递减，则
，D 对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
28．已知函数
．
(1)若函数
和
的图象都与平行于
轴的同一条直线相切，求
的值；
(2)若函数
有两个零点
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）求导得到
与
的单调性，进而分别可得两函数斜率为0 的切线方程，根据题意得到
方程，求出
的值；
（2）令
可得
，由函数单调性可得
，结合（1）可得
，不妨设
，构造差函数，解决极值点偏移问题.
【详解】（1）由题意：函数
的定义域为
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
由
可得，
图象与直线
相切．
，当
时，
，当
时，
，
故
在
上为增函数，在
上为减函数，
，
即
图象与直线
相切．
两函数图象均与平行于
轴的同一条直线相切，则
，即
．
（2）
，令
，
由
，得
，
函数
在
上为减函数，故
，即
即
，不妨设
，
要证
，只需证
，
只需证
，即证
，
因为
，
只需证
，即
，
令
，
则
，
在
上单调递增，
，
原题得证．
【点睛】方法点睛：
极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若函数较为复杂，可先结合函数特征变形，比如本题中设
进行变形，得到
再利用导函数进行求解.
29．已知函数
（a 为常数）.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数
，
满足
，求证：
.
(3)若
有两个零点
，
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用对数均值不等式
（
，
，
）即可得证.
（3）由题意得
，要证
，只需证：
，利用换元，令
，
只需证：
，由对数均值不等式即得.
【详解】（1）由
，得函数的定义域为
，
又
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，得
；令
，得
；
所以，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）由
，得
，
故欲证
，只需证：
，即证
，
又
，
，
，
不妨设
，
，等价于
，令
（
），
等价于
（
），
，所以
在
单调递增，而
，
所以，当
时，
恒成立.
所以
，
所以
.
（3）函数
有两个零点
，
，所以
，
，
不妨设
，
，
即
，要证：
，
需证：
只需证：
，只需证：
，
只需证：
，只需证：
，
令
，只需证：
，
令
，
，
所以
在
上单调递减，所以
，即
，
故
.
也可由对数均值不等式
（
），即
，
令
（
），则
，即
，
所以
.
30．已知函数
（
）．
(1)试讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
，
（
），求证：
．
【答案】(1)当
时，
在区间
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据
的不同取值范围，对
的符号进行讨论即可；
（2）由已知及（1）中单调性，可知
，
且
，故只需证明
，再借助不等式性质和
放缩，即可证出
.
【详解】（1）由已知，
的定义域为
，
，
①当
时，
，
恒成立，
∴此时
在区间
上单调递增；
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
综上所述，当
时，
在区间
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
（2）若函数
有两个零点
，
（
），
则由（1）知，
，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
且
，
，
，
当
时，
，当
时，
，（*）
∵
，∴
，∴
，
又∵
，∴
，
∴只需证明
，即有
.
下面证明
，
设
，
，
设
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，
在区间
单调递减，
当
时，
，
在区间
单调递增，
∴
，
在区间
上单调递增，
又∵
，∴
，
即
，
∴由（*）知，
，∴
，即
.
又∵
，
，
∴
，原命题得证.
【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过
和
，确认只需证
，再通
过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出
，最后使用不等式
性质和放缩得到
.
