第二章函数
第10 节 指、对、幂的大小比较方法
【考向预测】 近三年高考数学指对幂数值大小比较属于年年必考、高频热门考点，多
位于选择题中档或压轴位置，考查频次稳定且分值固定，常用作差作商法、中间值 0/1 搭桥
法、单调性法、构造函数法、放缩估算法五大核心方法，常融合指数、对数、幂函数三类式
子混合比大小，还常结合函数性质、不等式综合设题。预测 2027 年依旧保持必考态势，命
题会更侧重多类型混合比较、隐蔽中间值选取、构造新函数单调性比较及变式放缩，弱化直
白基础题型，强化数形结合、构造转化与估值推理，重点考查技巧灵活运用、快速估值能力
和抽象逻辑辨析能力。
【考点突破●明方向】
题型一 求同存异
例1 (1)设a＝0.60.3,b＝0.30.3,c＝0.30.6,则a,b,c 的大小关系为( )
A.b<a<c
B.b<c<a
C.a<b<c
D.c<b<a
(2)若a＝log37,b＝log940,c＝❑√4.05,则( )
A.c<a<b
B.b<c<a
C.a<b<c
D.b<a<c
【答案】(1)D (2)D
【解析】(1)因为指数函数y＝0.3x在R 上为单调递减函数,
所以0.30.3>0.30.6,即b>c,
又幂函数y＝x0.3在[0,＋∞)上为增函数,
所以0.60.3>0.30.3,即a>b,所以a>b>c.
(2)依题意,a＝log37＝log949,故a>b;
而a<log39＝2<c,
故b<a<c,故选D.
【名师点拨】求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数
或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相
同的形式.
【变式训练】1 (1)(2026·杭州段测)已知a＝40.6,b＝21.3,c＝❑√2,则( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.b>a>c
(2)(2026·北京海淀区调研)设a＝log32,b＝log96,c＝1
2,则( )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
D.b>a>c
【答案】(1)D (2)D
【解析】(1)a＝40.6＝21.2,b＝21.3,c＝2
1
2＝20.5,
由于y＝2x是增函数,故21.3>21.2>20.5,
即b>a>c.
(2)因为b＝log96＝log3
2(❑√6)2＝log3
❑√6,
且c＝1
2＝log3
❑√3,
又❑√3<2<❑√6,函数y＝log3x 在(0,＋∞)上单调递增,则log3
❑√3<log32<log3
❑√6,
所以c<a<b.
题型二 用特殊值作中间变量
例2 (1)设a＝20.7,b＝(
1
3)
0.7
,c＝log21
3,则a,b,c 的大小关系为( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.b<c<a
D.c<b<a
(2)(2026·苏州部分学校联考)已知a＝log32,b＝log43,c＝(
3
2)
3
4,则a,b,c 的大小关系为( )
A.a<b<c
B.b<a<c
C.a<c<b
D.c<b<a
【答案】(1)D (2)A
【解析】(1)由题意知,a＝20.7>20＝1,
b＝(
1
3)
0.7
＝3－0.7<30＝1,
又b>0,所以0<b<1,c＝log21
3<0,
所以c<b<a.
(2)易知0<a＝log32<log33＝1,0<b＝log43<log44＝1,c＝(
3
2)
3
4>(
3
2)
0
＝1,
因为3a＝3log32＝log38<log39＝2,3b＝3log43＝log427>log416＝2,
所以3a<3b,所以a<b,所以a<b<c.故选A.
【名师点拨】利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0,1
2,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有
时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如
log23,可知1＝log22<log23<log24＝2,进而可估计log23 是一个1~2 之间的小数,从而便于比较.
【变式训练】2 (1)(2026·河北邢襄联盟联考)若a＝0.30.4,b＝0.40.3,c＝2log83,则a,b,c 的大小关
系为( )
A.c<a<b
B.b<a<c
C.a<b<c
D.a<c<b
(2)设a＝log2π,b＝log1
2π,c＝π－2,则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>b>a
【答案】(1)C (2)C
【解析】(1)因为y＝0.3x在定义域上单调递减,
所以a＝0.30.4<0.30.3.
因为y＝x0.3在区间(0,＋∞)上单调递增,
所以0.30.3<0.40.3＝b<1,
故a<b<1.
又c＝2log83＝log89>1,所以c>b>a.故选C.
(2)依题意,a＝log2π>log22＝1,b＝log1
2π<log1
21＝0,0<c＝π－2<π0＝1,所以a>c>b.
题型三 构造函数比较大小
例3 (2026·四川阶段检测)已知a－(
1
2)
a
＝0,b＝(
1
2)
❑√a
,c＝aa,则( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.b<a<c
D.c<b<a
【答案】C
【解析】令f(x)＝x－(
1
2)
x
,易知f(x)在R 上单调递增.
由f(1)>0,f(
1
2)<0,得∃x∈(
1
2 ,1),
使得f(x)＝0,
故a∈(
1
2 ,1).
因为b＝(
1
2)
❑√a
,a＝(
1
2)
a
,且a<❑√a,所以由指数函数y＝(
1
2)
x
在R 上单调递减,
可得a>b,又由指数函数y＝ax在R 上单调递减,可得aa>a1,所以c＝aa>a,故b<a<c.故选C.
【名师点拨】如果要比较大小的数或式子,或题目中所给的条件具有相同的结构特征,则可根
据这种结构特征构造函数,然后利用该函数的单调性或其他性质比较大小.
【变式训练】3 (2026·烟台质检)若2a＋log2a<22b＋log2b＋1,则( )
A.ln(2b－a＋1)<0
B.ln(2b－a＋1)>0
C.ln|a－2b|>0
D.ln|a－2b|<0
【答案】B
【解析】对已知不等式变形可得2a＋log2a<22b＋log22b,
令f(x)＝2x＋log2x,x>0.
易知函数y＝2x与y＝log2x 在(0,＋∞)上均为增函数.
所以函数f(x)＝2x＋log2x 在(0,＋∞)上为增函数,
2a＋log2a<22b＋log22b,即f(a)<f(2b),
故a<2b,
即2b－a>0,所以2b－a＋1>1,
则ln(2b－a＋1)>0,故A 错,B 正确.
无法确定|a－2b|与1 的大小,故无法确定ln|a－2b|与0 的大小,C,D 都错,故选B.
对数型糖水不等式
1.教材母题 (人教A 必修一P43T10)已知b 克糖水中含有a 克糖(b>a>0),再添加m 克糖(m>0)
(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.
本题得到的不等式称为糖水不等式:
(1)设b>a>0,m>0,则有a
b<a＋m
b＋m.
(2)糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有a
b>
a＋m
b＋m.
2.对数型糖水不等式
(1)设n∈N*,且n>1,则有log(n＋1)n<log(n＋2)(n＋1);
(2)设a>b>1,m>0,则有logab<log(a＋m)(b＋m);
(3)上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>log(b＋m)(a＋m).
典例 已知a＝3log83,b＝－1
2log 1
316,c＝log45,则a,b,c 的大小关系为( )
A.a>b>c
B.c>a>b
C.a>c>b
D.c>b>a
【答案】A
【解析】法一 a＝3log83＝log827＝log2
333＝log23,
b＝－1
2log 1
316＝1
2log316＝log34.
对任意x>y>0,m>0,
x
y －x＋m
y ＋m ＝x( y ＋m)−y( x＋m)
y( y ＋m)
＝( x−y)m
y( y ＋m)>0,即x
y > x＋m
y ＋m.
所以a＝log23＝lg3
lg2>
lg3＋lg 3
2
lg2＋lg 3
2
＝
lg 9
2
lg3
＝log39
2>log34,即a>b,
b＝log34＝lg 4
lg3 >
lg 4＋lg 4
3
lg3＋lg 4
3
＝
lg 16
3
lg 4 ＝log416
3 >log45,即b>c,所以a>b>c.
法二 a＝3log83＝log827＝log2
333＝log23,
b＝－1
2log 1
316＝1
2log316＝log34,c＝log45,
利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45,即a>b>c.
【限时训练】
（30 分钟）
一、单选题
1.已知a＝20.3,b＝30.2,c＝log0.20.3,则( )
A.b>c>a
B.c>b>a
C.a>b>c
D.b>a>c
【答案】D
【解析】依题意,b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1,c＝log0.20.3<log0.20.2＝1,所以b>a>c.
2.已知a＝0.7
3
4,b＝log83
4,c＝4
3
4,则( )
A.b<a<c
B.a<c<b
C.b<c<a
D.a<b<c
【答案】A
【解析】由于y＝0.7x是R 上的减函数,
则0<0.7
3
4<0.70＝1,所以0<a<1,
由于y＝log8x 是(0,＋∞)上的增函数,
则log83
4<log81＝0,所以b<0,
由于y＝4x是R 上的增函数,
则4
3
4>40＝1,所以c>1,
所以b<a<c.
3.(2026·黑龙江六校联合体模拟)下列不等关系中a<b 的充分条件是( )
A.log0.3a<log0.3b
B.a＝(－1.4)3,b＝(－1.5)3
C.a＝1.70.3,
3√b＝0.9
D.log64a＝－2
3,b5＝8
【答案】D
【解析】由log0.3a<log0.3b,可得a>b>0,
故不是a<b 的充分条件,A 错误;
由a＝(－1.4)3＝－1.43,b＝(－1.5)3＝－1.53,1.43<1.53,
可得a>b,故不是a<b 的充分条件,B 错误;
因为a＝1.70.3>1.70＝1,
又由
3√b＝0.9,可得b＝0.93<1,所以a>b,故不是a<b 的充分条件,C 错误;
由log64a＝－2
3,可得a＝64
−2
3 ＝4
3×(−2
3)＝1
16,由b5＝8,可得b＝8
1
5>1,
所以a<b,故是a<b 的充分条件,D 正确.故选D.
4.(2026·铜仁质监)已知0<m<n<1,x＝lognm,y＝mn,z＝nm,则( )
A.x<y<z
B.y<x<z
C.z<y<x
D.y<z<x
【答案】D
【解析】因为0<m<n<1,所以x＝lognm>lognn＝1,0<y＝mn<m0＝1,0<z＝nm<n0＝1,
易知函数f(x)＝mx(0<m<1)单调递减,
则y＝mn<mm,函数g(x)＝xm(0<m<1)单调递增,则mm<nm＝z,
所以y<z,因此y<z<x.故选D.
5.已知实数a,b 满足2a＋2a<2b＋2b,则a,b 的大小关系为( )
A.a>b
B.a＝b
C.a<b
D.不能确定
【答案】C
【解析】设f(x)＝2x＋2x,x∈R,
则f(a)<f(b),因为函数y＝2x 和y＝2x在R 上都为增函数,
所以函数f(x)在R 上为增函数,所以a<b.
6.(2026·白银模拟)若a＝log53,b＝log5018,c＝lg 6,则( )
A.b<c<a
B.a<c<b
C.c<a<b
D.a<b<c
【答案】D
【解析】a＝log53＝
lo g23
lo g25 ＝2lo g23
2lo g25<
2lo g23＋1
2lo g25＋1 ＝lo g218
lo g250＝log5018＝b,
c＝
lo g26
lo g210 ＝lo g23＋1
lo g25＋1 ＝2lo g23＋2
2lo g25＋2>
2lo g23＋1
2lo g25＋1 ＝lo g218
lo g250＝log5018＝b,
所以a<b<c.
7.(2025·赣州三模)已知a＝log23＋log32,b＝log45＋log54,则下列结论正确的是( )
A.a>b>2
B.a>2>b
C.b>a>2
D.2>a>b
【答案】A
【解析】设f(x)＝x＋1
x ,x>0,
由对勾函数单调性,f(x)在(0,1)上递减,
在(1,＋∞)上递增,f(x)min＝f(1)＝2,
且a＝log23＋log32＝log23＋
1
lo g23＝f(log23),
b＝log45＋log54＝log45＋
1
lo g45＝f(log45),
因为log23>log2
❑√5＝log45>1,
所以f(log23)>f(log45)>f(1),即a>b>2.
8.(2026·武汉质检)若b>1,a∈R,且1
e
a＋2ln b＝a＋1
b,则( )
A.2a<b
B.a>2b
C.ea<b2
D.ea>b2
【答案】C
【解析】由1
e
a＋2ln b＝a＋1
b,
得1
e
a－a＝1
b－2ln b,
即e－a－a＝1
b＋2ln1
b,
即e－a－a＝1
b＋ln 1
b
2,
因为b>1,所以1
b＋ln 1
b
2> 1
b
2＋ln 1
b
2,
从而e－a－a> 1
b
2＋ln 1
b
2.
法一 令f(x)＝ex＋x,上述不等式可化为f(－a)>f(ln 1
b
2),
易知f(x)在R 上单调递增,
所以－a>ln 1
b
2,即－a>－ln b2,a<ln b2,
所以ea<b2.故选C.
法二 令g(x)＝x＋ln x,不等式e－a－a> 1
b
2＋ln 1
b
2可化为g(e－a)>g(
1
b
2),
易知g(x)在定义域内单调递增,所以e－a> 1
b
2,所以ea<b2.
二、多选题
9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是( )
A.ba<ca
B.logba>logca
C.cba<bca
D.blogca>clogba
【答案】BC
【解析】对于A,∵0<a<1,幂函数y＝xa在(0,＋∞)上单调递增,且b>c>1,∴ba>ca,故A 错误;
对于B,∵0<a<1,∴函数y＝logax 在(0,＋∞)上单调递减,
又∵b>c>1,∴logab<logac<loga1＝0,
∴0>
1
lo gab>
1
lo gac ,
即0>logba>logca,故B 正确;
对于C,∵0<a<1,则a－1<0,
∵函数y＝xa－1在(0,＋∞)上单调递减,
且b>c>1,∴ba－1<ca－1,∴cba<bca,故C 正确;
对于D,由选项B 可知0>logba>logca,
∴0<－logba<－logca,
∵b>c>1,∴c(－logba)<b(－logca),
∴blogca<clogba,故D 错误.
10.(2026·宜昌模拟)若3x＋5－y<3y＋5－x,则下列关系正确的是( )
A.x<y
B.x3<y3
C.ln x>ln y
D.2－x>(
1
2)
y
【答案】ABD
【解析】对于A,因为3x＋5－y<3y＋5－x,
所以3x－5－x<3y－5－y,
令f(x)＝3x－5－x,易得f(x)为增函数,
又f(x)<f(y),故x<y,故A 正确;
对于B,因为x<y,函数y＝x3在定义域R 上单调递增,则x3<y3,故B 正确;
对于C,令x＝－2,y＝－1,则满足x<y,
但ln x,ln y 无意义,故C 错误;
对于D,因为x<y,故2－x＝(
1
2)
x
>(
1
2)
y
,故D 正确.
11.设a＝ln 4,b＝lg 4,c＝20.6,则( )
A.b>a
B.c>a
C.a－b>ab
D.a＋b>ab
【答案】BD
【解析】因为a＝ln 4>ln e＝1,b＝lg 4<lg 10＝1,所以b<a,故A 错误;
因为42<e3,所以ln 42<ln e3,
即ln 4<3
2,
又(
3
2)
5
＝243
32 ,(20.6)5＝(2
3
5)5＝8＝256
32 ,
所以3
2<20.6,则ln 4<20.6,即a<c,故B 正确;
因为a－b－ab＝ln 4－lg 4－ln 4·lg 4＝lg 4
lg e－lg 4－(lg 4)
2
lg e ＝lg 4[1−lg(4 e)]
lg e
,
而lg(4e)>1,lg 4>0,lg e>0,
所以a－b－ab<0,即a－b<ab,故C 错误;
由a＋b－ab＝lg 4
lg e＋lg 4－lg 4
lg e·lg 4
＝lg 4·lg 5e
2
lg e
>0,
所以a＋b>ab,故D 正确.
三、填空题
12.已知a＝log20.5,b＝20.5,c＝sin 2,则a,b,c 的大小关系为 .
【答案】a<c<b
【解析】因为函数y＝log2x 是增函数,
且0.5<1,则a＝log20.5<log21＝0,
因为函数y＝2x是增函数,且0.5>0,
则b＝20.5>20＝1,
因为正弦函数y＝sin x 在区间[
π
2 , 3 π
2 ]上单调递减,且π
2 <2<π,
所以0＝sin π<c＝sin 2<sin π
2 ＝1,
所以a<c<b.
13.(2025·石家庄调研)已知a＝log34,b＝log45,c＝log56,则a,b,c 的大小关系是 (用
“>”连接).
【答案】a>b>c
【解析】法一 由a＝log34＝ln 4
ln3 ,
b＝log45＝ln5
ln 4 ,c＝log56＝ln 6
ln5,
所以a－b＝l n
24−ln3ln5
ln3ln 4
,
而ln 3 ln 5<(ln3＋ln5)
2
4
＝l n
215
4
<l n
216
4
＝ln24,
故a－b>0,故a>b,
同理可得b>c,则a>b>c.
法二 由对数型糖水不等式得log34>log45>log56,即a>b>c.
14.已知a＝log54,b＝log43,c＝(
6
5)
5
6,则三个数a,b,c 的大小关系为 .
【答案】c>a>b
【解析】由对数型糖水不等式得log43<log54<log55＝1,而(
6
5)
5
6>(
6
5)
0
＝1,故c>a>b.
