文档文本内容
第二章
第7 课时 重力 弹力(双基落实课)
[命题者说] 重力和弹力是高中物理最常见、最基础的两个力。本课时的重点是弹力
的分析和判断、几种常见弹力的计算等。对本课时的学习，重在理解，熟练掌握各种接触
方式弹力的判断方法，会计算弹力的大小。
一、重力、弹力的分析与判断
1.重力
(1)定义：由于地球的吸引而使物体受到的力。
(2)大小：G＝mg，不一定等于地球对物体的引力。
(3)方向：竖直向下。
(4)重心：重力的等效作用点，重心的位置与物体的形状和质量分布都有关系，且不一
定在物体上。
2. 弹力
(1)定义：发生弹性形变的物体由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用，
这种力叫做弹力。
(2)条件：①两物体相互接触；②发生弹性形变。
(3)方向：弹力的方向总是与施力物体形变的方向相反。
3．弹力有无的判断
条件法
根据物体是否直接接触并发生弹性形变来判断是否存在弹力。此方法多用来判断
形变较明显的情况
假设法
对形变不明显的情况，可假设两个物体间弹力不存在，看物体能否保持原有的状
态，若运动状态不变，则此处不存在弹力，若运动状态改变，则此处一定有弹力
状态法
根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判断弹力是否存在
4．弹力方向的判断
(1)根据物体所受弹力方向与施力物体形变的方向相反判断。
(2)根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。
[小题练通]
1．判断正误
(1)自由下落的物体所受重力为零。(×)
(2)重力的方向一定指向地心。(×)
(3)直接接触的两个物体间必然有弹力存在。(×)
(4)只要物体发生形变就会产生弹力作用。(×)
2.如图所示，一小车的表面由一光滑水平面和光滑斜面连接而成，其上放一球，球与
水平面的接触点为a，与斜面的接触点为b。当小车和球一起在水平桌面上做直线运动时，
下列结论正确的是( )
A．球在a、b 两点处一定都受到支持力
B．球在a 点一定受到支持力，在b 点处一定不受支持力
C．球在a 点一定受到支持力，在b 点处不一定受到支持力
D．球在a 点处不一定受到支持力，在b 点处也不一定受到支持力
解析：选D 若球与小车一起做水平匀速运动，则球在b 处不受支持力作用；若球与
小车一起做水平向左匀加速运动，则球在a 处受到的支持力可能为零，选项D 正确。
3.小车上固定一根弹性直杆A，杆顶固定一个小球B(如图所示)，现让小车从固定的光
滑斜面上自由下滑，在下图的情况中杆发生了不同的形变，其中正确的是( )
解析：选C 小车在光滑斜面上自由下滑，则加速度a＝gsin θ(θ 为斜面
的
倾角)，由牛顿第二定律可知小球所受重力和杆的弹力的合力沿斜面向下，且小球的加速度
等于gsin θ，则杆的弹力方向垂直于斜面向上，杆不会发生弯曲，C 正确。
(1)弹力产生在直接接触的物体之间，但直接接触的物体之间不一定存在弹力。
(2)绳只能产生拉力，不能产生支持力，且绳的弹力方向一定沿着绳收缩的方向。
(3)杆既可以产生拉力，也可以产生支持力，弹力的方向可以沿着杆，也可以不沿杆。
二、胡克定律、弹力的计算
1.胡克定律
(1)内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F 跟弹簧伸长(或缩短)的长度x 成正比。
(2)表达式：F＝kx。k 是弹簧的劲度系数，单位为N/m；k 的大小由弹簧自身性质决定。
x 是弹簧长度的变化量，不是弹簧形变以后的长度。
2．弹力大小的计算
(1)根据胡克定律进行计算。
(2)根据力的平衡条件进行计算。
(3)根据牛顿第二定律进行计算。
[小题练通]
1．如图所示的装置中，弹簧的原长和劲度系数都相等，小球的质量均相同，弹簧和细
线的质量均不计，一切摩擦忽略不计。平衡时各弹簧的长度分别为L1、L2、L3，其大小关
系是( )
A．L1＝L2＝L3 B．L1＝L2＜L3
C．L1＝L3＞L2 D．L3＞L1＞L2
解析：选A 根据胡克定律和平衡条件分析可得：平衡时各弹簧的长度相等，选项A
正确。
2.一个长度为L 的轻弹簧，将其上端固定，下端挂一个质量为m 的小球时，弹
簧的总长度变为2L。现将两个这样的弹簧按如图所示方式连接，A、B 两小球的质
量均为m，则两小球平衡时，B 小球距悬点O 的距离为(不考虑小球的大小，且弹
簧都在弹性限度范围内)( )
A．3L
B．4L
C．5L
D．6L
解析：选C 由题意可知，kL＝mg，当用两个相同的弹簧按题图所示悬挂时，下面弹
簧弹力大小为mg，伸长量为L，而上面弹簧的弹力为2mg，由kx＝2mg 可知，上面弹簧伸
长量为x＝2L，故B 球到悬点O 的距离为L＋L＋L＋2L＝5L，C 正确。
3.两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b 串接在一起，a 弹簧的一端固定在墙上，
如图所示。开始时弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在b 弹簧的P 端向右拉动弹簧，
已知a 弹簧的伸长量为L，则( )
A．b 弹簧的伸长量也为L
B．b 弹簧的伸长量为
C．P 端向右移动的距离为2L
D．P 端向右移动的距离为L
解析：选B 根据两根弹簧中弹力相等可得b 弹簧的伸长量为，P 端向右移动的距离
为L＋L，选项B 正确。
弹簧中的对称性拉伸形变量与压缩形变量相等时，弹簧的弹力大小相等，具有的弹性
势能也相等。因此涉及弹簧的问题，需要注意分析是否存在多解。
三、轻绳、轻杆、轻弹簧模型
1.轻绳模型
(1)“活结”：跨过光滑滑轮(或杆、钉子)的轻绳，其两端张力大小相等。
(2)“死结”：如果几段轻绳系在一个结点上，那么这几段绳子的张力大小不一定相等。
2．轻杆模型
(1)“活杆”：即一端由铰链相连的轻质活动杆，它的弹力方向一定沿杆的方向。
(2)“死杆”：即轻质固定杆，它的弹力方向不一定沿杆的方向，需要结合平衡方程或
牛顿第二定律求得。
3. 轻弹簧模型
(1)轻弹簧既可伸长提供拉力，也可压缩提供推力，形变量确定后各处弹力大小相等。
(2)轻弹簧的弹力不能发生突变(突然消失除外)，而轻绳、轻杆的弹力可以发生突变。
[小题练通]
1.如图所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹
角
为37°，小球的重力为12 N，轻绳的拉力为10 N，水平轻弹簧的拉力
为
9 N，求轻杆对小球的作用力。
解析：以小球为研究对象，受力如图所示，小球受四个力的作用：
重
力、轻绳的拉力、轻弹簧的拉力、轻杆的作用力，其中轻杆的作用力的方
向
和大小不能确定，重力与弹簧拉力的合力大小为
F＝＝15 N
设F 与竖直方向夹角为α，sin α＝＝，则α＝37°
即方向与竖直方向成37°角斜向下，这个力与轻绳的拉力恰好在同一条直线上。根据
物体平衡的条件可知，轻杆对小球的作用力大小为5 N，方向与竖直方向成37°角斜向右上
方。
答案：5 N，方向与竖直方向成37°角斜向右上方
2.如图所示，轻绳AD 跨过固定在水平横梁BC 右端的定滑轮
挂
住一个质量为10 kg 的物体，∠ACB＝30°，g 取10 m/s2，求：
(1)轻绳AC 段的张力FAC的大小；
(2)横梁BC 对C 端的支持力的大小及方向。
解析：物体M 处于平衡状态，根据平衡条件可判断，与物体
相
连的轻绳拉力大小等于物体的重力，取C 点为研究对象，进行受
力
分析，如图所示。
(1)图中轻绳AD 跨过定滑轮拉住质量为M 的物体，物体处于平
衡状态，绳AC 段的拉力大小为：
FAC＝FCD＝Mg＝10×10 N＝100 N
(2)由几何关系得：FC＝FAC＝Mg＝100 N
方向和水平方向成30°角斜向右上方。
答案：(1)100 N
(2)100 N 方向与水平方向成30°角斜向右上方
(1)轻绳中的“活结”两侧实际是同一根绳子，“死结”两侧是两根不同的绳子。
(2)轻杆模型中，杆顶端所受的各力中，除杆的弹力外，其他力的合力如果沿着杆的方
向，则杆的弹力也必然沿杆，如果其他力的合力不沿着杆，则杆的弹力也不会沿着杆。
一、单项选择题
1．如图所示，两辆车以相同的速度做匀速运动，根据图中所给信息和所学知识你可以
得出的结论是( )
A．物体各部分都受重力作用，但可以认为物体各部分所受重力集中于一点
B．重力的方向总是垂直向下的
C．物体重心的位置只与物体的质量分布有关
D．力是使物体运动的原因
解析：选A 物体各部分都受重力作用，但可以认为物体各部分所受重力集中于一点，
这个点就是物体的重心，重力的方向总是和水平面垂直，是竖直向下而不是垂直向下，所
以A 正确，B 错误；从图中可以看出，汽车(包括货物)的形状和质量分布发生了变化，重
心的位置就发生了变化，故C 错误；力不是使物体运动的原因而是改变物体运动状态的原
因，所以D 错误。
2.在日常生活及各项体育运动中，有弹力出现的情况比较普遍，
如图所示的情况就是一个实例。当运动员踩压跳板使跳板弯曲到最
低点时，下列说法正确的是( )
A．跳板发生形变，运动员的脚没有发生形变
B．运动员受到的支持力，是运动员的脚发生形变而产生的
C．此时跳板对运动员的支持力和运动员的重力等大
D．此时跳板对运动员的支持力大于运动员的重力
解析：选D 发生相互作用的物体均要发生形变，故A 错误；发生形变的物体，为了
恢复原状，会对与它接触的物体产生弹力的作用，B 错误；在最低点，运动员虽然处于瞬
间静止状态，但接着运动员要加速上升，故此时跳板对运动员的支持力大于运动员的重力
C 错误，D 正确。
3．如图所示的四个图中，AB、BC 均为轻质杆，各图中杆的A、C 端都通过铰链与墙
连接，两杆都在B 处由铰链连接，且系统均处于静止状态。现用等长的轻绳来代替轻杆，
能保持平衡的是( )
A．图中的AB 杆可以用轻绳代替的有甲、乙、丙
B．图中的AB 杆可以用轻绳代替的有甲、丙、丁
C．图中的BC 杆可以用轻绳代替的有乙、丙、丁
D．图中的BC 杆可以用轻绳代替的有甲、乙、丁
解析：选B 如果杆端受拉力作用，可以用与之等长的轻绳代替，如果杆端受压力作
用，则不可用等长的轻绳代替，如题图中甲、丙、丁中的AB 杆均受拉力作用，而甲、乙、
丁中的BC 杆均受沿杆的压力作用，故A、C、D 均错误，B 正确。
4．一根轻质弹簧一端固定，用大小为F1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l1；改用
大小为F2的力拉弹簧，平衡时长度为l2。弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲
度系数为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 设弹簧的原长为l0，由胡克定律可得：F1＝k(l0－l1)，F2＝k(l2－l0)，联立
解得k＝，故C 正确。
5.如图所示，杆BC 的B 端用铰链固定在竖直墙上，另一端C 为一滑轮。
重物G 上系一绳经过滑轮固定于墙上A 点处，杆恰好平衡。若将绳的A 端
沿墙缓慢向下移(BC 杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则( )
A．绳的拉力增大，BC 杆受绳的压力增大
B．绳的拉力不变，BC 杆受绳的压力增大
C．绳的拉力不变，BC 杆受绳的压力减小
D．绳的拉力不变，BC 杆受绳的压力不变
解析：选B 选取绳子与滑轮的接触点为研究对象，对其受力分析，
如图所示。绳中的弹力大小相等，即FT1＝FT2＝G，C 点处于三力平衡
状态，将三个力的示意图平移可以组成闭合三角形，如图中虚线所示，
设AC 段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可知F＝
2Gsin，当绳的A 端沿墙缓慢向下移时，绳的拉力不变，θ 增大，F 也增大，根据牛顿第三
定律知，BC 杆受绳的压力增大，B 正确。
6.如图所示，A、B 两个物块的重力分别是GA＝3 N，GB＝4 N，弹簧的
重力不计，整个装置沿竖直方向处于静止状态，这时弹簧的弹力F＝2 N，
则天花板受到的拉力和地板受到的压力，有可能是( )
A．3 N 和4 N
B．5 N 和6 N
C．1 N 和2 N
D．5 N 和2 N
解析：选D 当弹簧由于被压缩而产生2 N 的弹力时，由受力平衡及牛顿第三定律知
识可得：天花板受到的拉力为 1 N，地板受到的压力为6 N；当弹簧由于被拉伸而产生2 N
的弹力时，可得天花板受到的拉力为5 N，地板受到的压力为2 N，D 正确。
7.如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上
面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，
直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 在这个过程中，压在下面弹簧上的压力由(m1＋m2)g 减小到m2g，即减少
了m1g，根据胡克定律可断定下面弹簧的长度增长了Δl＝。
8.如图所示，质量为m 的球置于斜面上，被一个竖直挡板挡住。现用一个力F 拉斜面，
使斜面在水平面上做加速度为a 的匀加速直线运动，忽略一切摩擦，以下说法中正确的是(
)
A．若加速度足够小，竖直挡板对球的弹力可能为零
B．若加速度足够大，斜面对球的弹力可能为零
C．斜面和挡板对球的弹力的合力等于ma
D．挡板对球的弹力不仅有，而且是一个定值
解析：选D 球在重力、斜面的支持力和挡板的弹力作用下做加速运动，
则球受到的合力水平向右，为ma，如图所示，设斜面倾角为θ，挡板对球
的弹力为F1，由正交分解法得：F1－FNsin θ＝ma，FNcos θ＝G，解之得F1
＝ma＋Gtan θ，可见，弹力为一定值，选项D 正确。
二、多项选择题
9．关于胡克定律，下列说法正确的是( )
A．由F＝kx 可知，在弹性限度内弹力F 的大小与弹簧形变量x 成正比
B．由k＝可知，劲度系数k 与弹力F 成正比，与弹簧的长度改变量成反比
C．弹簧的劲度系数k 是由弹簧本身的性质决定的，与弹力F 的大小和弹簧形变量x
的大小无关
D．弹簧的劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时弹力的大小
解析：选ACD 在弹性限度内，弹簧的弹力与形变量遵守胡克定律F＝kx，故A 正确；
弹簧的劲度系数是由弹簧本身的性质决定的，与弹力F 及x 无关，故C 正确，B 错误；由
胡克定律得k＝，可理解为弹簧每伸长(或缩短)单位长度时受到的弹力的值与k 相等，故D
正确。
10．如图所示，一倾角为45°的斜面固定于竖直墙上，为使一光滑的铁球静止，需加
一水平力F，且F 通过球心，下列说法正确的是( )
A．球一定受墙的弹力且水平向左
B．球可能受墙的弹力且水平向左
C．球一定受斜面的弹力且垂直斜面向上
D．球可能受斜面的弹力且垂直斜面向上
解析：选BC F 大小合适时，球可以静止在无墙的斜面上，F 增大时墙才会对球有水
平向左的弹力，故A 错误，B 正确；而斜面必须有斜向上的弹力才能使球不下落，故C 正
确，D 错误。
11.如图所示，某同学通过滑轮组将一重物吊起，该同学对绳的
竖直拉力为F1，对地面的压力为F2，不计滑轮与绳的重力及摩擦，
则在重物缓慢上升的过程中，下列说法正确的是( )
A．F1逐渐变小
B．F1逐渐变大
C．F2逐渐变小
D．F2先变大后变小
解析：选BC 由题图可知，滑轮两边绳的拉力均为F1, 设动滑轮两边绳的夹角为θ，
对动滑轮有2F1cos ＝mg，当重物上升时，变大，cos 变小，F1变大；对该同学，有F2′
＋F1＝Mg，而F1变大，Mg 不变，则F2′变小，即对地面的压力F2变小。综上可知，B、
C 正确。
12.两个中间有孔的质量为M 的小球用一轻弹簧相连，套在一水平光滑横杆上。两个小
球下面分别连一轻弹簧。两轻弹簧下端系在同一质量为m 的小球上，
如图所示。已知三根轻弹簧的劲度系数都为k，三根轻弹簧刚好构成
一等边三角形。则下列判断正确的是( )
A．水平横杆对质量为M 的小球的支持力为Mg＋mg
B．连接质量为m 小球的轻弹簧的弹力为
C．连接质量为m 小球的轻弹簧的伸长量为mg
D．套在水平光滑横杆上轻弹簧的形变量为mg
解析：选CD 水平横杆对质量为M 的小球的支持力为Mg＋，选项A 错误；设下面
两个弹簧的弹力均为F，则2Fsin 60°＝mg，解得F＝mg，结合胡克定律得kx＝mg，则x
＝mg，选项B 错误，选项C 正确；下面的一根弹簧对M 的水平分力为Fcos 60°＝mg，再
结合胡克定律得kx′＝mg，解得x′＝mg，选项D 正确。
13.如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，A、B 两个质量均为m 的
滑块用轻质弹簧相连，弹簧的劲度系数为k，水平力F 作用在滑块B 上，
此时弹簧长度为l，且在弹性限度内，则下列说法正确的是( )
A．弹簧原长为l＋ B．弹簧原长为l＋
C．力F 的大小为mg D．力F 的大小为mg
解析：选AD 对A 物体，据平衡条件得mgsin 30°＝kx，其中x＝l0－l，解得l0＝l
＋，A 正确，B 错误；对A、B 构成的整体，据平衡条件得Fcos 30°＝2mgsin 30°，解得F
＝mg，C 错误，D 正确。
14.如图所示，将一劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O′
处(O 为球心)，弹簧另一端与质量为m 的小球相连，小球静止于P 点。已知容器半径为
R，与水平面间的动摩擦因数为μ，OP 与水平方向的夹角为θ＝30°。下列说法正确的是(
)
A．容器相对于水平面有向左运动的趋势
B．容器对小球的作用力指向球心O
C．轻弹簧对小球的作用力大小为mg
D．弹簧原长为R＋
解析：选BD 容器和小球组成的系统与水平面间的摩擦力为零，没有相对水平面的
运动趋势，A 错误；容器对小球的弹力沿半径指向球心O，B 正确；由FNsin θ＋Fsin θ＝
mg，FNcos θ＝Fcos θ，可得：F＝FN＝mg，C 错误；由F＝kx 可得弹簧的压缩量x＝，弹
簧的原长L0＝LO′P＋x＝R＋，D 正确。
第8 课时 摩擦力(双基落实课)
[命题者说] 本课时主要包括摩擦力的分析和计算。高考常把摩擦力与其他知识结合
进行综合考查。对本课时的学习，重在理解，熟练掌握静摩擦力的判断方法，会计算各种
情况下静摩擦力和滑动摩擦力的大小。
一、摩擦力的有无及方向判断
1.两种摩擦力的对比
静摩擦力
滑动摩擦力
产生
条件
(1)接触面粗糙
(2)接触处有弹力
(3)两物体间有相对运动趋势(仍保持
相对静止)
(1)接触面粗糙
(2)接触处有弹力
(3)两物体间有相对运动
大小
(1)静摩擦力为被动力，与正压力无
关，大小范围为0 ＜
F ≤
F max
(2)最大静摩擦力Fmax 大小与正压力
大小有关
滑动摩擦力：F＝μFN，μ 为动摩擦
因数，取决于接触面材料及粗糙程
度，FN为正压力
方向
沿接触面与受力物体相对运动趋势的
方向相反
沿接触面与受力物体相对运动的方向
相反
2．理解摩擦力时的注意问题
(1)摩擦力的方向总是与物体间相对运动(或相对运动趋势)的方向相反，但不一定与物
体的运动方向相反。
(2)摩擦力总是阻碍物体间的相对运动(或相对运动趋势)，但不一定阻碍物体的运动。
即摩擦力可以是阻力使物体减速，也可以是动力使物体加速。
(3)受静摩擦力作用的物体不一定静止，但一定与施力物体保持相对静止。
[小题练通]
1．判断正误
(1)受滑动摩擦力作用的物体，可能处于静止状态。(√)
(2)运动的物体不可能受到静摩擦力的作用。(×)
(3)滑动摩擦力的方向一定与物体运动方向相反。(×)
(4)接触处有摩擦力作用时一定有弹力作用。(√)
(5)接触处的摩擦力一定与弹力方向垂直。(√)
2.(多选)有一辆遥控电动玩具汽车，已知车内电动马达驱动后轮
转动。现玩具汽车的后轮、前轮分别放在平板小车甲、乙之上，如图
所示。按动遥控器上的“前进”“后退”键，汽车就能前进或后退，地面与甲、乙车之间
的摩擦力不计。以下叙述正确的是( )
A．按动遥控器上的“前进”键，甲车对后轮摩擦力向前，甲车相对地面向后退
B．按动遥控器上的“前进”键，乙车对前轮摩擦力向前，乙车相对地面向前进
C．按动遥控器上的“后退”键，甲车对后轮摩擦力向后，甲车相对地面向前进
D．按动遥控器上的“后退”键，乙车对前轮摩擦力向后，乙车相对地面向后退
解析：选AC 因为车内电动马达驱动后轮转动，汽车前进时，后轮受摩擦力向前，
前轮受摩擦力向后，汽车后退时，后轮受摩擦力向后，前轮受摩擦力向前，根据牛顿第三
定律知，A、C 两项正确。
3．(多选)如图甲、乙所示，倾角为θ 的斜面上放置一滑块M，在滑块M 上放置一个质
量为m 的物块，M 和m 相对静止，一起沿斜面匀速下滑，下列说法正确的是( )
A．图甲中物块m 受到摩擦力
B．图乙中物块m 受到摩擦力
C．图甲中物块m 受到水平向左的摩擦力
D．图乙中物块m 受到与斜面平行向上的摩擦力
解析：选BD 对题图甲：设物块m 受到摩擦力，则物块m 受到重力、支持力、摩擦
力，而重力、支持力平衡，若受到摩擦力作用，其方向与接触面相切，方向水平，则物块
m 受力将不平衡，与题中条件矛盾，故假设不成立，A、C 错误。对题图乙：设物块m 不
受摩擦力，由于m 匀速下滑，m 必受力平衡，若m 只受重力、支持力作用，由于支持力与
接触面垂直，故重力、支持力不可能平衡，则假设不成立，由受力分析知：m 受到与斜面
平行向上的摩擦力，B、D 正确。
判断静摩擦力的有无及方向的三种方法
(1)假设法
(2)运动状态法
此法关键是先确定物体的运动状态(如平衡或加速)，再利用平衡条件或牛顿第二定律
确定静摩擦力的方向。
(3)牛顿第三定律法
“力是物体间的相互作用”，先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据
牛顿第三定律确定另一物体受到的静摩擦力的方向。
二、摩擦力大小的计算
1.静摩擦力大小的计算
(1)物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动)，利用力的平衡条件来求解其大小。
(2)物体有加速度时，若只有摩擦力，则Ff＝ma，例如，匀速转动的圆盘上物块靠摩擦
力提供向心力产生向心加速度。若除摩擦力外，物体还受其他力，则F 合＝ma，先求合力
再求摩擦力。
(3)最大静摩擦力与接触面间的压力成正比，为了处理问题的方便，最大静摩擦力常常
按近似等于滑动摩擦力处理。
(4)物体实际受到的静摩擦力一般小于最大静摩擦力。
2．滑动摩擦力大小的计算
(1)滑动摩擦力的大小可以用公式F＝μFN计算。
(2)结合研究对象的运动状态(静止、匀速运动或变速运动)，利用平衡条件或牛顿运动
定律列方程求解。
[小题练通]
1.(多选)如图所示，用一水平力F 把A、B 两个物体挤压在竖直的墙上，
A、B 两物体均处于静止状态，下列判断正确的是( )
A．B 物体对A 物体的静摩擦力方向向下
B．F 增大时，A 和墙之间的摩擦力也增大
C．若B 的重力大于A 的重力，则B 受到的摩擦力大于墙对A 的摩擦力
D．不论A、B 的重力哪个大，B 受到的摩擦力一定小于墙对A 的摩擦力
解析：选AD 将A、B 视为整体，可以看出A 物体受到墙的摩擦力方向竖直向上。对
B 受力分析可知B 受到的摩擦力方向向上，由牛顿第三定律可知B 对A 的摩擦力方向向下，
A 正确；由于A、B 两物体受到的重力不变，根据平衡条件可知B 错误；A 和墙之间的摩
擦力与A、B 两物体的总重力等大、反向，故C 错误，D 正确。
2.如图所示，物体B 叠放在物体A 上，A、B 的质量均为m，且上、下表
面均与斜面平行，它们以共同速度沿倾角为θ 的固定斜面C 匀速下滑，则(
)
A．A、B 间没有静摩擦力
B．A 受到B 的静摩擦力方向沿斜面向上
C．A 受到斜面的滑动摩擦力大小为2mgsin θ
D．A 与B 间的动摩擦因数μ＝tan θ
解析：选C A、B 以共同速度沿倾角为θ 的固定斜面C 匀速下滑，A 受到斜面的滑动
摩擦力大小为2mgsin θ，A 对B 的摩擦力等于B 的重力沿斜面方向的分力，A 错误，C 正
确；由牛顿第三定律可知，A 受到B 的静摩擦力方向沿斜面向下，B 错误；A 与B 间的摩
擦力是静摩擦力，不能确定A、B 之间的动摩擦因数，D 错误。
3.(多选)如图所示，质量为m 的木块在质量为M 的长木板上，木块m
受到向右的拉力F 的作用而向右滑行，长木板处于静止状态，已知木块
与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数为μ2。下列说法正确的是( )
A．木板受到地面的摩擦力的大小一定是μ1mg
B．木板受到地面的摩擦力的大小一定是μ2(m＋M)g
C．当F>μ2(m＋M)g 时，木板便会开始运动
D．无论怎样改变F 的大小，木板都不可能运动
解析：选AD 由于木块在木板上运动，所以木块受到木板的滑动摩擦力的作用，其
大小为μ1mg，根据牛顿第三定律可得木块对木板的滑动摩擦力也为μ1mg。又由于木板处
于静止状态，木板在水平方向上受到木块的摩擦力μ1mg 和地面的静摩擦力的作用，二力平
衡，A 正确，B 错误；若增大F 的大小，只能使木块加速运动，但木块对木板的滑动摩擦
力大小不变，因而也就不可能使木板运动起来，C 错误，D 正确。
计算摩擦力时的三点注意
(1)首先分清摩擦力的性质，因为只有滑动摩擦力才有大小计算公式，静摩擦力通常只
能用平衡条件或牛顿定律来求解。
(2)公式F＝μFN中FN为两接触面间的正压力，与物体的重力没有必然联系，不一定等
于物体的重力。
(3)滑动摩擦力的大小与物体速度的大小无关，与接触面积的大小也无关。
三、摩擦力的三类突变
“静静”
突变
物体在摩擦力和其他力的作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的
合力发生变化时，如果物体仍然保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大
小和方向将发生突变
“动静”
突变
在摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑行时，物体将不受
摩擦力作用， 或滑动摩擦力“突变”成静摩擦力
“静动”
突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不
能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力
[小题练通]
1.(多选)木块A、B 分别重50 N 和60 N，它们与水平地面间的动摩
擦因数均为0.25，夹在A、B 之间的轻弹簧被压缩了2 cm，弹簧的劲度
系数为400 N/m，系统置于水平地面上静止不动，现用F＝1 N 的水平拉力作用在木块B 上，
如图所示，设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，则力F 作用后( )
A．木块A 所受摩擦力大小是8 N
B．木块A 所受摩擦力大小是11.5 N
C．木块B 所受摩擦力大小是9 N
D．木块B 所受摩擦力大小是7 N
解析：选AC 未加F 时，木块A 在水平方向上受弹簧的弹力F1及静摩擦力FA作用，
且FA＝F1＝kx＝8 N，木块B 在水平方向上受弹簧弹力F2和静摩擦力FB作用，且FB＝F2＝
kx＝8 N，在木块B 上施加F＝1 N 的向右的拉力后，由于F2＋F＜μGB，故木块B 所受摩
擦力仍为静摩擦力，其大小FB′＝F2＋F＝9 N，木块A 的受力情况不变，A、C 对。
2.如图所示，斜面固定在地面上，倾角为θ＝37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8)。质量为1 kg 的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够长，
该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.8)，则该滑块所受摩擦力Ff随时间变化的图
像是下图中的(取初速度v0的方向为正方向)(g＝10 m/s2)( )
解析：选B 滑块上升过程中受滑动摩擦力，由Ff＝μFN和FN＝mgcos θ 联立得Ff＝
6.4 N，方向沿斜面向下。当滑块的速度减为零后，由于重力的分力mgsin θ＜μmgcos θ，
滑块不动，滑块受到的摩擦力为静摩擦力，由平衡条件得Ff＝mgsin θ，代入可得Ff＝6
N，方向沿斜面向上，故选项B 正确。
3．(多选)在探究静摩擦力变化的规律及滑动摩擦力变化的规律的实验中，设计了如图
甲所示的演示装置，力传感器A 与计算机连接，可获得力随时间变化的规律，将力传感器
固定在光滑水平桌面上，测力端通过细绳与一滑块相连(调节传感器高度使细绳水平)，滑
块放在较长的小车上，小车一端连接一根轻绳并跨过光滑的轻定滑轮系一只空砂桶(调节滑
轮使桌面上部细绳水平)，整个装置处于静止状态。实验
开始时打开传感器同时缓慢向砂桶里倒入砂子，小车一旦运动起来，立即停止倒砂子，
若力传感器采集的图像如图乙所示，则结合该图像，下列说法正确的是( )
A．可求出空砂桶的重力
B．可求出滑块与小车之间的滑动摩擦力的大小
C．可求出滑块与小车之间的最大静摩擦力的大小
D．可判断第50 秒后小车做匀速直线运动(滑块仍在车上)
解析：选ABC t＝0 时刻，传感器显示拉力为2 N，则滑块受到的摩擦力为静摩擦力，
大小为2 N，由车与空砂桶受力平衡可知空砂桶的重力也等于2 N，A 对；t＝50 s 时摩擦力
达到最大值，即最大静摩擦力为3.5 N，同时小车开始运动，说明带有砂的砂桶重力等于
3.5 N，此时摩擦力立即变为滑动摩擦力，最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，故摩擦力突变
为3 N 的滑动摩擦力，B、C 对；此后由于砂和砂桶重力3.5 N 大于滑动摩擦力3 N，故第
50 s 后小车将加速运动，D 错。
用临界法分析摩擦力突变问题
(1)题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题。有时，
有些临界问题中并不含上述常见的“临界术语”，但审题时发现某个物理量在变化过程中
会发生突变，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。
(2)静摩擦力是被动力，其存在及大小、方向取决于物体间的相对运动的趋势，而且静
摩擦力存在最大值。存在静摩擦的连接系统，相对滑动与相对静止的临界条件是静摩擦力
达到最大值。
(3)研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和
运动性质的分界点。
一、单项选择题
1.某电视台每周都有棋类节目，铁质的棋盘竖直放置，每个棋子都
是一个小磁铁，能吸在棋盘上，不计棋子间的相互作用力，下列说法正
确的是( )
A．小棋子共受三个力作用
B．棋子对棋盘的压力大小等于重力
C．磁性越强的棋子所受的摩擦力越大
D．质量不同的棋子所受的摩擦力不同
解析：选D 小棋子受到重力、向下的摩擦力、棋盘的吸引力和棋盘的支持力作用，
选项A 错误；棋盘对棋子的摩擦力等于棋子的重力，故无论棋子的磁性多强，摩擦力是不
变的，质量不同的棋子所受的重力不同，故摩擦力不同，选项B、C 错误，D 正确。
2．物体A 的质量为1 kg，置于水平地面上，物体与地面的动摩擦因数为μ＝0.2，从t
＝0 开始物体以一定初速度v0向右滑行的同时，受到一个水平向左的恒力F＝1 N 的作用，
则能反映物体受到的摩擦力Ff随时间变化的图像的是图中的(取向右为正方向，g＝10 m/s2)
( )
解析：选A 开始时，滑动摩擦力方向与速度方向相反，即水平向左，大小为Ff＝
μmg＝2 N；当物体的速度减到零时，由于物体受到向左的恒力F＝1 N 的作用，所以物体
将受到向右的静摩擦力，大小等于1 N，选项A 正确。
3.如图所示，水平地面上堆放着原木。关于原木P 在支撑点M、N 处
受力的方向，下列说法正确的是( )
A．M 处受到的支持力竖直向上
B．N 处受到的支持力竖直向上
C．M 处受到的静摩擦力沿MN 方向
D．N 处受到的静摩擦力沿水平方向
解析：选A M 处支持力方向垂直于地面，因此竖直向上，A 项正确；N 处的支持力
方向垂直于原木P，因此B 项错误；M 处受到的静摩擦力方向平行于地面，C 项错误；N
处受到的静摩擦力方向平行于原木P，D 项错误。
4.如图所示，一斜面体静止在粗糙的水平地面上，一物体恰能在斜面
体上沿斜面匀速下滑，可以证明此时斜面体不受地面的摩擦力作用。若沿
平行于斜面的方向用力F 向下推此物体，使物体加速下滑，斜面体依然
和地面保持相对静止，则斜面体受地面的摩擦力( )
A．大小为零
B．方向水平向右
C．方向水平向左
D．大小和方向无法判断
解析：选A 由题知物体恰能在斜面体上沿斜面匀速下滑时，斜面体不受地面的摩擦
力作用，此时斜面体受到重力、地面的支持力、物体对斜面体的压力和沿斜面向下的滑动
摩擦力。若沿平行于斜面的方向用力F 向下推此物体，使物体加速下滑时，物体对斜面体
的压力没有变化，则对斜面体的滑动摩擦力也没有变化，所以斜面体的受力情况没有改变
则地面对斜面体仍没有摩擦力，即斜面体受地面的摩擦力为零。
5.如图所示，两个等大的水平力F 分别作用在物体B 和C 上，物体A、
B、C 都处于静止状态，各接触面与水平地面平行。A、C 间的摩擦力大小
为Ff1，B、C 间的摩擦力大小为Ff2，C 与地面间的摩擦力大小为Ff3，则( )
A．Ff1＝0，Ff2＝0，Ff3＝0
B．Ff1＝0，Ff2＝F，Ff3＝0
C．Ff1＝F，Ff2＝0，Ff3＝0
D．Ff1＝0，Ff2＝F，Ff3＝F
解析：选B 以ABC 整体为研究对象，分析整体在水平方向的受力易知，地面对C 的
摩擦力为零；以A 为研究对象，A 处于平衡状态，故C 与A 之间无摩擦力；以B 为研究对
象，易知C 与B 之间的摩擦力与F 平衡，即Ff2＝F。
6.如图，建筑工人用恒力F 推运料车在水平地面上匀速前进，F
与水平方向成30°角，运料车和材料所受的总重力为G，下列说法正
确的是( )
A．建筑工人受摩擦力方向水平向左
B．建筑工人受摩擦力大小为G
C．运料车受到地面的摩擦力水平向右
D．运料车对地面压力为＋G
解析：选D 运料车受推力F 作用向右运动，受到地面的摩擦力水平向左，而建筑工
人向右推车时受到地面水平向右的摩擦力，A、C 均错误；建筑工人受到的摩擦力大小为
Ff＝Fcos 30°＝F，B 错误；运料车对地面的压力为FN＝Fsin 30°＋G＝＋G，D 正确。
7.如图所示，物体A、B 置于水平地面上，与地面间的动摩擦因
数均为μ，物体A、B 用一跨过动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的
力向上提升滑轮，某时刻拉A 物体的绳子与水平面成53°，拉B 物体
的绳子与水平面成37°，此时A、B 两物体刚好处于平衡状态，则
A、B 两物体的质量之比为(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 设绳中张力为F，对A 应用平衡条件可得：Fcos 53°＝μ(mAg－Fsin
53°)，对B 应用平衡条件可得：Fcos 37°＝μ(mBg－Fsin 37°)，以上两式联立可解得：＝，
A 正确。
8．如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行。初速度大小为v2的小物块
从与传送带等高的光滑水平地面上的A 处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，
小物块在传送带上运动的v t 图像(以地面为参考系)如图乙所示。已知v2＞v1，则( )
A．t2时刻，小物块离A 处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D．0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
解析：选B 当小物块速度为零时，小物块离A 处的距离达到最大，为t1时刻，选项
A 错误；t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大，选项B 正确；0～t2时间内，小
物块受到的摩擦力方向一直向右，选项C 错误；0～t2时间内，小物块始终受到大小不变的
滑动摩擦力作用，t2～t3时间内，由于小物块与传送带速度相同，二者相对静止，小物块不
受摩擦力作用，选项D 错误。
二、多项选择题
9．如图甲所示，A、B 两个物体叠放在水平面上，B 的上下表面均水平，A 物体与一
拉力传感器相连接，连接力传感器和物体A 的细绳保持水平。从t＝0 时刻起，用一水平向
右的力F＝kt(k 为常数)作用在B 物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，
已知k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求( )
A．A、B 之间的最大静摩擦力
B．水平面与B 之间的滑动摩擦力
C．A、B 之间的动摩擦因数μAB
D．B 与水平面间的动摩擦因数μ
解析：选AB 当A 与B 之间有相对滑动后，力传感器才有示数，地面对B 的最大静
摩擦力为Ffm＝kt1，A、B 相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则FfAB＝kt2－Ffm＝k(t2
－t1)，A、B 正确；由于A、B 的质量未知，则μAB和μ 不能求出，C、D 错误。
10.如图所示，皮带运输机将物体匀速地送往高处，下列结论正确的是(
)
A．物体受到与运动方向相同的摩擦力作用
B．传送的速度越大，物体受到的摩擦力越大
C．物体所受的摩擦力与传送的速度无关
D．物体受到的静摩擦力为物体随皮带运输机上升的动力
解析：选ACD 物体随皮带运输机一起上升的过程中，物体具有相对于皮带下滑的趋
势，受到沿皮带向上的摩擦力作用，是使物体向上运动的动力，其大小等于物体重力沿皮
带向下的分力，与传送带的速度大小无关，故A、C、D 正确，B 错误。
11.如图所示，用水平力F 拉着一物体在水平地面上做匀速直线运动，
从t＝0 时刻起水平力F 的大小随时间均匀减小，到t1 时刻F 减小为零。
物体所受的摩擦力Ff随时间t 的变化图像可能是( )
解析：选AD 物体开始做匀速直线运动，说明物体所受水平向右的拉力F 与向左的
滑动摩擦力等大反向。当F 减小时，物体做减速运动。若F 减小为零之前物体始终运动，
则摩擦力始终为滑动摩擦力，大小不变，A 正确。若F 减小为零之前物体已停止运动，则
停止前摩擦力为滑动摩擦力，大小不变，停止后摩擦力为静摩擦力，大小随F 的减小而减
小，D 正确。
12.为了测定木块和竖直墙壁之间的动摩擦因数，某同学设计了一个
实验：用一根弹簧将木块压在墙上，同时在木块下方有一个拉力F2作用，
使木块恰好匀速向下运动(弹簧随木块一起向下运动)，如图所示。现分别
测出了弹簧的弹力F1、拉力F2和木块的重力G，则以下结论正确的是(
)
A．木块受到竖直向下的滑动摩擦力
B．木块所受的滑动摩擦力阻碍木块下滑
C．木块与墙壁之间的动摩擦因数为
D．木块与墙壁之间的动摩擦因数为
解析：选BD 木块相对于竖直墙壁下滑，受到竖直向上的滑动摩擦力，
阻碍木块下滑，A 错误，B 正确。分析木块受力如图所示。由平衡条件可得：
FN＝F1
Ff＝G＋F2，又Ff＝μFN
以上三式联立可解得：μ＝，故C 错误，D 正确。
13.如图所示，将两相同的木块a、b 置于粗糙的水平地面上，中间
用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁。开始时a、b 均静止，弹簧处
于伸长状态，两细绳均有拉力，a 所受摩擦力Ffa≠0，b 所受摩擦力Ffb＝0。现将右侧细绳
剪断，则剪断瞬间( )
A．Ffa大小不变 B．Ffa方向改变
C．Ffb仍然为零 D．Ffb方向向右
解析：选AD 剪断右侧细绳的瞬间，右侧细绳上拉力突变为零，而弹簧对两木块的
拉力没有发生突变，与原来一样，所以b 相对地面有向左运动的趋势，受到静摩擦力Ffb方
向向右，C 错误，D 正确。剪断右侧细绳的瞬间，木块a 受到的各力都没有发生变化，A
正确，B 错误。
14。如图所示，一只猫在桌边猛地将桌布从鱼缸下拉出，鱼缸最
终没有滑出桌面。若鱼缸、桌布、桌面两两之间的动摩擦因数均相等，
则在上述过程中( )
A．桌布对鱼缸摩擦力的方向向左
B．鱼缸在桌布上的滑动时间和在桌面上的相等
C．若猫增大拉力，鱼缸受到的摩擦力将增大
D．若猫减小拉力，鱼缸有可能滑出桌面
解析：选BD 鱼缸相对于桌布向左运动，故应受到向右的摩擦力，选项A 错误；由
于鱼缸与桌布、桌面之间的动摩擦因数相等，鱼缸在桌布上运动和在桌面上运动时加速度
的大小相等，根据v＝at，鱼缸在桌布上和在桌面上的滑动时间相等，选项B 正确；若猫
增大拉力，鱼缸与桌布之间的摩擦力仍然为滑动摩擦力，大小不变，选项C 错误；若猫减
小拉力，鱼缸可能随桌布一起运动而滑出桌面，选项D 正确。
第9 课时 力的合成与分解(重点突破课)
[必备知识]
1．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的几个力。
2．合力与分力
(1)定义：如果一个力的作用效果跟几个力共同作用的效果相同，这个力就叫那几个力
的合力，那几个力就叫这个力的分力。
(2)相互关系：等效替代关系。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)合成法则
①平行四边形定则；②三角形定则。
4．力的分解
(1)概念：求一个力的分力的过程。
(2)分解法则
①平行四边形定则；②三角形定则。
(3)分解角度
①按照力的作用效果分解；②正交分解。
5．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向的量，相加时遵从平行四边形定则。
(2)标量：只有大小没有方向的量，求和时按算术法则相加。
[小题热身]
1．判断正误
(1)两个力的合力一定大于任一个分力。(×)
(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。(×)
(3)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)
(4)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)
(5)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(×)
2．(多选)作用在同一点上的两个力，大小分别是5 N 和4 N，则它们的合力大小可能
是( )
A．0
B．5 N
C．3 N
D．10 N
解析：选BC 根据|F1－F2|≤F≤F1＋F2得，合力的大小范围为1 N≤F≤9 N，B、C
正确。
3．如图所示，用相同的弹簧秤将同一个重物m，分别按甲、乙、丙三种方式悬挂起来，
读数分别是F1、F2、F3、F4，已知θ＝30°，则有( )
A．F4最大
B．F3＝F2
C．F2最大
D．F1比其他各读数都小
解析：选C 对甲图：F2cos θ＝mg，F1＝F2sin θ，可解得，F2＝mg，F1＝mg，对乙
图：2F3cos θ＝mg，可解得，F3＝mg，对丙图：F4＝mg，故可知，F2最大，F1和F3大小
相等，且最小，只有C 正确。
提能点(一) 力的合成
1.合力的大小范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F 合≤F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力同向时合力最大，为F1＋F2＋F3；
②最小值：如果|F1－F2|≤F3≤F1＋F2，则合力的最小值为零，否则合力的最小值为最
大的一个力减去另外两个较小的力的和的绝对值。
2．合力与分力大小关系的3 个重要结论
(1)两个分力一定时，夹角θ 越大，合力越小。
(2)合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大。
(3)合力可以大于分力、等于分力，也可以小于分力。
3．共点力合成的方法
(1)作图法。
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，为
解题的常用方法。
[典例] 如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫
使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千
斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是( )
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
[解析] 分解千斤顶受到的压力，得到此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，A 错
误；由牛顿第三定律可知，千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N，B 错误；若继续摇
动把手，两臂间的夹角减小，而合力不变，故两分力减小，即两臂受到的压力减小，C 错
误，D 正确。
[答案] D
三种特殊情况的共点力合成
类 型
作 图
合力的计算
互相垂直
F＝
tan θ＝
两力等大，
夹角为θ
F＝2F1cos
F 与F1夹角为
两力等大，
夹角为120°
合力与分力等大
[集训冲关]
1.一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边
长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
解析：选B 用作图法先求出F1和F2的合力，其大小为2F3，方向与F3同向，然后再
用F1和F2的合力与F3合成，可得出三个力的合力大小为3F3，方向沿F3方向，B 正确。
2.如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自
由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。
若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射
弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(在弹性限度内)，则发射过程中裹片
对弹丸的最大作用力为( )
A．kL
B．2kL
C.kL
D.kL
解析：选D 根据胡克定律知，每根橡皮条的弹力F＝k(2L－L)＝kL。设此时
两根橡皮条的夹角为θ，根据几何关系知，sin＝，根据平行四边形定则知，弹丸被
发射过程中所受的最大弹力F 弹＝2Fcos ＝ kL，故D 正确。
提能点(二) 力的分解
方法1 按照力的作用效果分解
[例1] 压榨机的结构示意图如图所示，其中B 点为固定铰链，若在A 铰链处
作用一垂直于壁的力F，则由于力F 的作用，使滑块C 压紧物体D，设C 与D 光
滑接触，杆的重力及滑块C 的重力不计，l＝0.5 m，b＝0.05 m。求物体D 所受压
力的大小是F 的多少倍？
[解析] 按力F 的作用效果沿AC、AB 方向分解为F1、F2，如图甲所示，则
F1＝F2＝，
由几何知识得tan θ＝＝10。
按力F1 的作用效果沿水平向左和竖直向下分解为FN′、FN，如图乙所示，则FN＝
F1sin θ，
联立以上各式解得FN＝5F，
所以物体D 所受压力的大小是F 的5 倍。
[答案] 5 倍
方法2 正交分解
(1)建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力
为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐
标轴建立坐标系。
(2)分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x 轴、y
轴上。
x 轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y 轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x 轴夹角为θ，则tan θ＝。
[例2] (多选)如图所示，质量为m 的木块在推力F 作用下，
在水平地面上做匀速运动，已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑
动摩擦力为( )
A．μmg
B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ)
D．Fcos θ
[解析] 对木块进行受力分析如图所示，将F 进行正交分解，由于木块
做匀速直线运动，所以在x 轴和y 轴均受力平衡，即Fcos θ ＝Ff，FN＝mg
＋Fsin θ，又由于Ff＝μFN，故Ff＝μ(mg＋Fsin θ)，B、D 正确。
[答案] BD
[通法归纳]
关于力的分解的两点说明
(1)在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方法是按力的作用效果进行分解，其
他的分解方法都是为解题方便而设的。
(2)力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用时处理问题的一种方法，分解的
目的是更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。
[集训冲关]
1.如图所示是由某种材料制成的固定在水平地面上半圆柱体的截面图，O 点
为圆心，半圆柱体表面是光滑的。质量为m 的小物块(视为质点)在与竖直方向成
θ 角的斜向上的拉力F 作用下静止在A 处，半径OA 与竖直方向的夹角也为θ，
且A、O、F 均在同一竖直截面内，则小物块对半圆柱体表面的压力为( )
A.
B．mgcos θ
C.
D.
解析：选D 质量为m 的小物块受3 个力的作用：重力mg、支持力FN、拉力F，根
据几何关系可知FN＝F＝，根据牛顿第三定律可得FN′＝FN＝，D 正确。
2.如图所示，作用在滑块B 上的推力F＝100 N，若α＝30°，装置重
力和摩擦力均不计，则工件上受到的压力为( )
A．100 N
B．100 N
C．50 N
D．200 N
解析：选B 对B 进行受力分析，如图甲所示，
得F2＝＝2F；对上部分进行受力分析，如图乙所示，其中F2′＝F2，得FN＝F2′·cos
30°＝100 N，故B 正确。
3.如图，墙上有两个钉子a 和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两
者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a 点，另一端跨过光滑
钉子b 悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a 端的c 点有一固定绳圈。若绳圈
上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac 段正好水平，则重物和钩码的质量比
为( )
A.
B．2
C.
D.
解析：选C 对于结点c，受三个拉力的作用，如图所示，
其中F1＝m2g，F2＝m1g，平衡时，F2、F3的合力F 大小等于F1，即F＝
m2g。由图可知，＝cos α，而cos α＝＝，所以＝，即＝，故C 正确。
提能点(三) 对称法解决非共面力问题
[典例] 如图所示的四脚支架经常使用在架设高压线路、通信的基站塔台
等领域。现有一质量为m 的四脚支架置于水平地面上，其四根铁质支架等长，
与竖直方向均成θ 角，重力加速度为g，则每根支架对地面的作用大小为( )
A.
B.
C.mgtan θ
D.mg
[解析] 由结构的对称性可知，四根支架的作用力大小相同，与竖直方向的夹角均为
θ，根据牛顿第三定律及力的合成与分解知识可得：4Fcos θ＝mg，解得：F＝，B 正确。
[答案] B
高考对非共面力的考查只是涉及空间对称的层次，即像本题中的支架的四个脚地位是
完全等同的，对支撑支架所起的作用是一样的，各承担的重量，因此可以转化为共点力问
题。
[集训冲关]
1.如图所示是悬绳对称且长度可调的自制降落伞。用该伞挂上重为G 的
物体进行两次落体实验，悬绳的长度l1<l2，匀速下降时每根悬绳的拉力大小分别为F1、
F2，则( )
A．F1<F2
B．F1>F2
C．F1＝F2<G
D．F1＝F2>G
解析：选B 物体受重力和悬绳拉力作用处于平衡状态，由对称性可知，每条悬绳拉
力的竖直分力为，设绳与竖直方向的夹角为θ，则有cos θ＝，解得F＝，由于无法确定
ncos θ 是否大于1，故无法确定拉力F 与重力G 的大小关系，C、D 错误；悬绳较长时，
夹角θ 较小，故拉力较小，即F1>F2，A 错误，B 正确。
2.(多选)如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端
都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同。
下列说法正确的有( )
A．三条绳中的张力都相等
B．杆对地面的压力大于自身重力
C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D．绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力
解析：选BC 杆静止在水平地面上，则杆受到重力、三条绳子的拉力和地面对它的
支持力。根据平衡条件，可知三条绳的拉力的合力竖直向下，且绳子对杆的拉力在水平方
向的合力为零。杆对地面的压力大小等于杆的重力与三条绳的拉力的合力之和，选项B、
C 正确。由于三条绳长度不同，即三条绳与竖直方向的夹角不同，所以三条绳上的张力不
相等，选项A 错误。绳子拉力的合力与杆的重力方向相同，因此两者不是一对平衡力，选
项D 错误。
一、单项选择题
1.如图所示，体操吊环运动有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环
(图甲)，然后身体下移，双臂缓慢张开到图乙位置，则在此过程中，吊环
的两根绳的拉力FT(两个拉力大小相等)及它们的合力F 的大小变化情况为
( )
A．FT减小，F 不变 B．FT增大，F 不变
C．FT增大，F 减小
D．FT增大，F 增大
解析：选B 吊环两绳拉力的合力与运动员重力相等，即两绳拉力的合力F 不变。在
合力不变的情况下，两分力之间夹角越大，分力就越大，由甲图到乙图的过程是两分力间
夹角增大的过程，所以FT增大，选项B 正确。
2.如图所示，F1、F2为有一定夹角的两个力，L 为过O 点的一条直线，
当L 取什么方向时，F1、F2在L 上分力之和为最大？( )
A．F1、F2合力的方向 B．F1、F2中较大力的方向
C．F1、F2中较小力的方向 D．以上说法都不正确
解析：选A 要想使F1、F2在L 上分力之和最大，也就是F1、F2的合力在L 上的分力
最大，则L 的方向应该沿F1、F2的合力方向。
3．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F 的大小，下列说法中正确
的是( )
A．F 大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F 至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
解析：选C 合力不一定大于分力，B 错；三个共点力的合力的最小值能否为零，取
决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的
合力的最小值不一定为零，A 错；当三个力的大小分别为3a、6a、8a，其中任何一个力都
在其余两个力的合力范围内，故C 正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a 时，不满足上
述情况，故D 错。
4.风洞是进行空气动力学实验的一种重要设备。一次检验飞机性能的风洞
实验示意图如图所示，AB 代表飞机模型的截面，OL 是拉住飞机模型的绳。
已知飞机模型重为G，当飞机模型静止在空中时，绳恰好水平，此时飞机模型
截面与水平面的夹角为θ，则作用于飞机模型上的风力大小为( )
A.
B．Gcos θ
C.
D．Gsin θ
解析：选A 作用于飞机模型上的风力F 垂直于AB 向上，风力F 的竖直分力等于飞
机模型的重力，即Fcos θ＝G，解得F＝，A 正确。
5.如图所示，一半圆形降落伞边缘用24 根伞绳中心对称分布，下端悬挂一
名飞行员，每根绳与中轴线的夹角为30°，飞行员及飞行员身上装备的总质量为
80 kg，降落伞的质量为40 kg。当匀速降落时，不计飞行员所受空气作用力，每
根悬绳的拉力是(g 取10 m/s2)( )
A．50 N
B. N
C. N
D. N
解析：选C 把绳的拉力正交分解为竖直向上和水平方向，竖直分力为Fy＝Fcos 30°
＝F，以飞行员为研究对象，由平衡条件知，24Fy＝mg，解得：F＝ N，故C 正确。
6.质量为m 的物体用轻绳AB 悬挂于天花板上。用水平向左的力F 缓慢拉动
绳的中点O，如图所示。用T 表示绳 OA 段拉力的大小，在O 点向左移动的过
程中( )
A．F 逐渐变大，T 逐渐变大
B．F 逐渐变大，T 逐渐变小
C．F 逐渐变小，T 逐渐变大
D．F 逐渐变小，T 逐渐变小
解析：选A 以O 点为研究对象，受力如图所示，当用水平向左的
力缓慢拉动O 点时，则绳OA 与竖直方向的夹角变大，由共点力的平衡条
件知F 逐渐变大，T 逐渐变大，选项A 正确。
7.如图所示，将三个完全相同的光滑球用不可伸长的细线悬挂于O 点
并
处于静止状态。已知球半径为R，重为G，线长均为R。则每条细线上的
张
力大小为( )
A．2G
B.G
C.G
D.G
解析：选B 本题中O 点与各球心的连线构成一个边长为2R 的正四面体，如图甲所示
(A、B、C 为各球球心)，O′为△ABC 的中心，设∠OAO′＝θ，根据图乙由几何关系知
O′A＝R，由勾股定理得OO′＝＝ R，对A 处球受力分析有：Fsin θ＝G，又sin θ＝，
解得F＝G，故只有B 项正确。
8.如图，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细
线穿过两轻环，其两端各系一质量为m 的小球。在a 和b 之间的细线上悬
挂一小物块。平衡时，a、b 间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩
擦。小物块的质量为( )
A.
B.m
C．m
D．2m
解析：选C 如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等，且轻环
受细线的作用力的合力方向指向圆心。由于a、b 间距等于圆弧半径，则
∠aOb＝60°，进一步分析知，细线与aO、bO 间的夹角皆为30°。取悬挂
的小物块研究，悬挂小物块的细线张角为120°，由平衡条件知，小物块
的质量与小球的质量相等，即为m。故选项C 正确。
二、多项选择题
9．一物体同时受到同一平面内的三个共点力的作用，下列几组力的合力可能为零的是
( )
A．5 N,8 N,9 N
B．5 N,2 N,3 N
C．2 N,7 N,10 N
D．1 N,10 N,10 N
解析：选ABD 每一组力中F1、F2、F3任意确定，当总满足第三个力F3的大小介于|
F1－F2|与F1＋F2之间时，则合力可能为零，A、B、D 正确。
10．一个大人拉着载有两个小孩的小车(其拉杆可自由转动)沿水平地面匀速前进，则
对小孩和车的下列说法正确的是( )
A．拉力的水平分力等于小孩和车所受的合力
B．拉力与摩擦力的合力大小等于车和小孩重力大小
C．拉力与摩擦力的合力方向竖直向上
D．小孩和车所受的合力为零
解析：选CD 小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件，
拉力的水平分力等于小孩和车所受的摩擦力，故选项A 错误；小孩和车整体受重力、支持
力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件，拉力、摩擦力的合力与重力、支持力的合力平
衡，重力、支持力的合力竖直向下，故拉力与摩擦力的合力方向竖直向上，故选项B 错误，
C 正确；小孩和车做匀速直线运动，故所受的合力为零，故选项D 正确。
11．已知力F，且它的一个分力F1跟F 成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为
F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A.F
B.F
C.F
D.F
解析：选AC 根据题意作出矢量三角形，如图所示，因为F>，从图上可以看出，F1
有两个解，由直角三角形OAD 可知：FOA＝ ＝F。由直角三角形ABD 得：
FBA＝ ＝F。由图的对称性可知：FAC＝FBA＝F，则分力F1＝F－F＝F，
F1′＝F＋F＝F。
12．如图所示，A、B 都是重物，A 被绕过小滑轮P 的细线所悬挂，B 放在粗糙的水平
桌面上；小滑轮P 被一根斜短线系于天花板上的O 点；O′是三根细线的结点，bO′水平
拉着B 物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩
擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态，g＝10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP 的张力
是20 N，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A 的质量为2 kg
C．桌面对B 物体的摩擦力为10 N
D．OP 与竖直方向的夹角为60°
解析：选ABC O′a 与aA 两细线拉力的合力与斜线OP 的张力大小相等。由几何知
识可知FO′a＝FaA＝20 N，且OP 与竖直方向夹角为30°，D 错误；重物A 的重力GA＝FaA，
所以mA＝2 kg，B 正确；桌面对B 的摩擦力Ff＝FO′b＝FO′acos 30°＝10 N，C 正确；弹
簧的弹力F 弹＝FO′asin 30°＝10 N，A 正确。
13．如图所示，两相同物块分别放置在对接的两固定斜面上，物块处在同一水平面内，
之间用细绳连接，在绳的中点加一竖直向上的拉力F，使两物块处于静止状态，此时绳与
斜面间的夹角小于90°。当增大拉力F 后，系统仍处于静止状态，下列说法正确的是(
)
A．绳受到的拉力变大
B．物块与斜面间的摩擦力变小
C．物块对斜面的压力变小
D．物块受到的合力不变
解析：选ACD F 增大，由于绳的夹角不变，故绳上的拉力增大，A 正确；对物块进
行受力分析，沿斜面方向：绳的拉力的分量与物块重力的分量之和等于静摩擦力；垂直斜
面方向：物块重力的分量等于斜面对物块的支持力与绳的拉力的分量之和。由于绳上的拉
力增大，故静摩擦力变大，支持力变小，B 错误，C 正确；物块仍处于平衡状态，所受合
力仍为0，故D 正确。
14.如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平
轴O、O1、O2转动，在O 点悬挂一重物M，将两相同木块m 紧压在竖直挡
板上，此时整个系统保持静止。Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表
示木块与挡板间正压力的大小。若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且
O1、O2始终等高，则( )
A．Ff变小
B．Ff不变
C．FN变小
D．FN变大
解析：选BD 系统处于平衡状态，以整体为研究对象，在竖直方向：2Ff＝(2m＋
M)g，Ff＝g，与两板间距离无关，B 正确；以点O 为研究对象，受力如图，且F＝F′，
根据平衡条件有：
2Fcos＝Mg
所以F＝
挡板间的距离稍许增大后，硬杆OO1、OO2之间的夹角θ 变大，F 变大，则FN＝Fsin
变大，即木块与挡板间正压力变大，D 正确。
第10 课时 共点力的平衡(重点突破课)
[必备知识]
1．受力分析
(1)定义：把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画
出受力示意图的过程。
(2)受力分析的一般顺序
先分析场力(重力、电场力、磁场力)，再分析接触力(弹力、摩擦力)，最后分析其他力。
2．共点力的平衡
(1)平衡状态：物体处于静止状态或匀速直线运动状态，即加速度a＝0。
(2)平衡条件：F 合＝0 或。
(3)平衡条件的推论
二力
平衡
如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反
三力
平衡
如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合
力大小相等，方向相反；并且这三个力的矢量可以形成一个矢量三角形
多力
平衡
如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合
力大小相等，方向相反
[小题热身]
1．判断正误
(1)物体沿光滑斜面下滑时，物体受到重力、支持力和下滑力的作用。(×)
(2)对物体进行受力分析时不用区分外力与内力，两者都要同时分析。(×)
(3)处于平衡状态的物体加速度一定等于零。(√)
(4)速度等于零的物体一定处于平衡状态。(×)
2.(多选)如图所示，物体M 在竖直向上的拉力F 作用下静止在一固
定的粗糙斜面上，则物体M 受力的个数可能为( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解析：选AC 物体静止在斜面上可能只受拉力F 和重力mg 作用，此时F＝mg；也可
能受拉力F、重力mg、支持力FN、摩擦力Ff四个力作用，故A、C 正确。
3.如图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾
斜角θ。若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为(
)
A．G
B．Gsin θ
C．Gcos θ
D．Gtan θ
解析：选A 人静躺在椅子上，处于平衡状态，因此，椅子各部分对他的作用力的合
力与人的重力G 等大反向，A 正确。
提能点(一) 物体的受力分析
1.受力分析的基本方法
整体法
隔离法
选用
原则
研究系统外的物体对系统整体的作用力
或者系统整体的加速度
研究系统内部各物体之间的相互作用力
注意
问题
受力分析时不考虑系统内各物体之间的
相互作用力
一般情况下先隔离受力较少的物体
2．受力分析的4 个步骤
[典例] 如图所示，两梯形木块A、B 叠放在水平地面上，A、B 之间的接
触面倾斜。A 的左侧靠在光滑的竖直墙面上，关于两木块的受力，下列说法正
确的是( )
A．A、B 之间一定存在摩擦力作用
B．木块A 可能受三个力作用
C．木块A 一定受四个力作用
D．木块B 受到地面的摩擦力一定向右
[解析] 如果A 受到重力、墙面对它的弹力和B 对它的支持力，这三个力恰好平衡，
则A、B 之间没有摩擦力，故A、C 错误，B 正确；以A、B 整体为研究对象，同理可得D
错误。
[答案] B
受力分析的4 个易错点
(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆。
(2)每一个力都应找出其施力物体，不能无中生有。
(3)合力和分力不能重复考虑。
(4)对整体进行受力分析时，组成整体的几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中
出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力变成外力，要在受力分析图中画出。
[集训冲关]
1.(多选)如图所示，固定斜面上有一光滑小球，与一竖直轻弹簧P 和一
平行斜面的轻弹簧Q 连接着，小球处于静止状态，则关于小球所受力的个
数可能的是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选BCD 设小球质量为m，若FP＝mg，则小球只受拉力FP和重力mg 两个力
作用；若FP<mg，则小球受拉力FP、重力mg、支持力FN和弹簧Q 的弹力FQ四个力作用；
若FP＝0，则小球要保持静止，应受FN、FQ和mg 三个力作用，故小球受力个数不可能为
1。
2.如图所示，A、B 两物体紧靠着放在粗糙水平面上，A、B 间接触面光滑。
在水平推力F 作用下两物体一起加速运动，物体A 恰好不离开地面，则物体A
的受力个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选A 由于物体A 恰好不离开地面，因此A 不受地面的支持力和摩擦力，而只
受重力、F 和B 对A 垂直斜面向上的支持力，故正确答案为A。
提能点(二) 平衡条件的应用
解决平衡问题的四种常用方法
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力
大小相等，方向相反
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分
力和其他两个力满足平衡条件
正交
分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直
的两组，每组力都满足平衡条件
力的三
角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依
次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知
识求解未知力
[典例] 如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心。一质
量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止于P 点。设滑块所受支持力为
FN，OP 与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是( )
A．F＝
B．F＝mgtan θ
C．FN＝
D．FN＝mgtan θ
[解析] 法一：合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知：＝tan θ，＝sin θ，
解得F＝，FN＝。
法二：分解法
将重力按产生的效果分解，如图乙所示，
F＝G2＝，FN＝G1＝。
法三：正交分解法
将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，
mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，
联立解得：F＝，FN＝。
法四：力的三角形法
如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝，FN＝，故A
正确。
[答案] A
处理平衡问题的3 个技巧
(1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。
(2)物体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法。
(3)建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。
[集训冲关]
1．如图所示，放在斜面上的物体受到垂直于斜面向上的力F 作用始终保
持静止，当力F 逐渐减小后，下列说法正确的是( )
A．物体受到的摩擦力保持不变
B．物体受到的摩擦力逐渐增大
C．物体受到的合力减小
D．物体对斜面的压力逐渐减小
解析：选A 对物体受力分析可知，物体受重力、摩擦力、拉力F
及斜面对物体的支持力FN的作用，将这些力正交分解，根据力的平衡
可知：F＋FN＝Gcos θ，Ff＝Gsin θ，当拉力F 减小时，FN会增大，而
G 是不变的，θ 也是不变的，故摩擦力Ff也是不变的，物体受到的合力
为0，所以选项A 正确，B、C、D 错误。
2.两个可视为质点的小球A 和B，质量均为m，用长度相同的两根
细线分别悬挂在天花板上的同一点O。现用相同长度的另一根细线连接
A、B 两个小球，然后用一水平方向的力F 作用在小球A 上，此时3 根
细线均处于伸直状态，且OB 细线恰好处于竖直方向，如图所示。如果
两小球均处于静止状态，则力F 的大小为( )
A.mg
B．mg
C.mg
D．0
解析：选A 以小球B 为研究对象，B 受重力和OB 绳的拉力，因小球B
处于静止状态，则AB 绳的拉力为零。再以小球A 为研究对象，进行受力分析，
如图所示，根据力的矢量运算法则可得F＝mg，A 正确。
提能点(三) 整体法与隔离法解决多体平衡问题
[典例] 如图所示，挡板垂直于斜面固定在斜面上，一滑块m 放在
斜面上，其上表面呈弧形且左端最薄，一球M 搁在挡板与弧形滑块上，
一切摩擦均不计，用平行于斜面的拉力F 拉住弧形滑块，使球与滑块
均静止。现将滑块平行于斜面向上拉过一较小的距离，球仍搁在挡板与
滑块上且处于静止状态，则与原来相比( )
A．滑块对球的弹力增大 B．挡板对球的弹力减小
C．斜面对滑块的弹力增大 D．拉力F 不变
[解析] 对球进行受力分析，如图(a)，球只受三个力的作用，挡板对球的力F1，方向
不变，作出力的矢量图，滑块上移时，F2与竖直方向夹角减小，最小时F2垂直于F1，可以
知道挡板弹力F1和滑块对球的作用力F2都减小，故A 错误，B 正确；再对滑块和球一起受
力分析，如图(b)，其中FN＝Gcos θ 不变，F＋F1不变，F1减小，可以知道斜面对滑块的
支持力不变，拉力F 增大，故C、D 错误。
[答案] B
整体法和隔离法的使用技巧
(1)当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，
宜用整体法。
(2)在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法。
(3)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交
替使用整体法和隔离法。
[集训冲关]
1．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面上固定有竖直光滑挡板P，质量相
同的横截面为直角三角形的两物块A、B 叠放在斜面与挡板之间，且A 与B 间
的接触面水平，则A 对B 的压力与B 对斜面的压力之比应为( )
A．2∶1
B.∶2
C.∶1
D.∶4
解析：选D 设A、B 的质量都为m，A 处于静止状态，对A 进行受力分析可知，B 对
A 的支持力等于A 的重力，结合牛顿第三定律可知，A 对B 的压力FN＝mg，把AB 看成一
个整体，对整体受力分析可知：整体受到重力2mg，斜面的支持力FN1，挡板的压力FN2，
根据平衡条件得：cos 30°＝，解得FN1＝mg，所以B 对斜面的压力FN1′＝mg，则＝。故
选D。
2.在竖直放置的平底圆筒内，放置两个半径相同的刚性球a 和b，
球a 质量大于球b。放置的方式有如图甲和乙两种。不计圆筒内壁和球
面之间的摩擦，对有关接触面的弹力，下列说法正确的是( )
A．图甲圆筒底受到的压力大于图乙圆筒底受到的压力
B．图甲中球a 对圆筒侧面的压力小于图乙中球b 对侧面的压力
C．图甲中球a 对圆筒侧面的压力大于图乙中球b 对侧面的压力
D．图甲中球a 对圆筒侧面的压力等于图乙中球b 对侧面的压力
解析：选B 以ab 整体为研究对象受力分析，受重力、圆筒底支持力
和两侧的支持力，根据平衡条件，图甲圆筒底受到的压力等于图乙圆筒底受
到的压力，故A 错误；根据平衡条件，两侧的两个支持力是相等的；再以
上面球为研究对象受力分析，根据平衡条件运用合成法，如图所示，由几何
知识可知：FN 桶＝mgtan θ，故侧壁的弹力与上面球的重力成正比，由于球a 质量大于球
b，故乙图中两侧的弹力较大，故B 正确，C、D 错误。
提能点(四) 物体平衡中的临界极值问题
1.临界问题
(1)定义：由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理
状态时，发生转折的状态叫临界状态，解题的关键是确定“恰好出现”或“恰好不出现”
的条件。
(2)解题方法：解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后
根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2．极值问题
(1)定义：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
(2)解题方法：解决这类问题的常用方法是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，
在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。另外，图解法也是常用
的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进
行动态分析，确定最大值或最小值。
[典例] 如图所示，质量为m 的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为
30°时物体恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F 水平向右的恒力，
物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角
增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小。
[解析] (1)物体沿斜面匀速下滑时，
对物体受力分析，由平衡条件得
mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝。
(2)设斜面倾角为α 时，受力情况如图所示，由平衡条件得
Fcos α＝mgsin α＋Ff
FN＝mgcos α＋Fsin α
Ff＝μFN
解得F＝
当cos α－μsin α＝0，即tan α＝时，F→∞，即“不论水平恒力F 多大，都不能使物
体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°。
[答案] (1) (2)60°
临界与极值问题的分析技巧
(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，
找出平衡中的临界点和极值点。
(2)临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个
物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
[集训冲关]
1.如图所示，三根长度均为L 的轻绳分别连接于C、D 两点，
A、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C 点上悬挂一个质
量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值
为( )
A．mg
B.mg
C.mg
D.mg
解析：选C 由题图可知，要想CD 水平，各绳均应绷紧，则
AC 与水平方向的夹角为60°；结点C 受力平衡，受力分析如图所
示，则CD 绳的拉力FT＝mgtan 30°＝
mg；D 点受绳子拉力大小等于FT，方向向左；要使CD 水平，
D
点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D 点的拉力可分解为沿BD 绳的F1及另一
分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD 垂直时，F2最小，而F2的大小即为施加在D 点
的力的大小，故最小力F＝FTsin 60°＝mg，故C 正确。
2.拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图所示)。设拖把头的质量
为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力
加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖
杆与竖直方向的夹角为θ。
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力
的比值为λ。已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使
拖把从静止开始运动，求这一临界角的正切值tan θ0。
解析：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F 的力推拖把，将推拖把的力沿
竖直和水平方向分解，如图所示，由平衡条件得
Fcos θ＋mg－FN＝0 ①
Fsin θ－Ff＝0 ②
式中FN和Ff分别为地板对拖把的正压力和摩擦力，则
Ff＝μFN③
联立①②③式得F＝。④
(2)使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力等于拖把与地板间的最大静摩擦
力，设为Ffm，则依题意有
＝λ ⑤
若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应满足Fcos θ＋mg＝
FN⑥
Fsin θ≤Ffm⑦
联立⑤⑥⑦式得F(sin θ－λcos θ)≤λmg ⑧
因为λmg 总是大于零，要使得F 为任意值时上式总是成立，只要满足
sin θ－λcos θ≤0 ⑨
即有tan θ≤λ ⑩
上式取等号即为临界状态，则tan θ0＝λ。
答案：(1) (2)λ
一、单项选择题
1.如图所示，木板B 放在粗糙的水平面上，木块A 放在B 的上面，A 的右端通过一不
可伸长的轻绳固定在竖直墙上，用水平恒力F 向左拉动B，使其以速度v 做匀速运动，此
时绳水平且拉力大小为FT，下面说法正确的是( )
A．若木板B 以2v 匀速运动，则拉力仍为F
B．绳上拉力FT与水平恒力F 大小相等
C．木块A 受到的是静摩擦力，大小等于FT
D．木板B 受到一个静摩擦力和一个滑动摩擦力，合力大小等于F
解析：选A 以B 为研究对象分析受力，当其匀速运动时，受力平衡，受力情况与速
度大小无关，A 正确；以A、B 整体为研究对象分析受力可知F＝FT＋Ff 地，故绳子拉力小
于水平恒力，B 错误；木块A 与B 之间发生相对滑动，所以A 所受摩擦力为滑动摩擦力，
C 错误；木板B 受到两个滑动摩擦力，木板B 所受合力为零，D 错误。
2．如图所示，在倾斜的滑杆上套一个质量为m 的圆环，圆环通过轻绳拉着一个质量
为M 的物体，在圆环沿滑杆向下滑动的过程中，悬挂物体的轻绳始终处于竖直方向，则(
)
A．环只受三个力作用
B．环一定受四个力作用
C．物体做匀加速运动
D．悬绳对物体的拉力小于物体的重力
解析：选B 分析物体M 可知，其受到两个力的作用，重力和轻绳对其的拉力，因为
悬挂物体的轻绳始终处于竖直方向，故二力平衡，物体做匀速运动，C、D 错误；再对环
进行受力分析可知，环受到重力、轻绳对环的拉力、滑杆对环的支持力和摩擦力，A 错误，
B 正确。
3.如图所示，质量为m 的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为
k 的轻弹簧一端系在小球上，另一端固定在P 点，小球静止时，弹簧与竖直方
向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 对小球受力分析可知小球受力平衡，由题意可知弹簧弹力与竖直方向夹
角为30°，竖直方向上弹簧弹力与斜面支持力的合力与重力平衡，根据几何关系可知：
2kxcos 30°＝mg，解得x＝，故选项C 正确。
4.如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的
内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和
m2的小球。当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O 点的连线与水平线的
夹角为α＝90°，质量为m2的小球位于水平地面上，设此时质量为m2的小球对地
面压力大小为FN，细线的拉力大小为FT，则( )
A．FN＝(m2－m1)g
B．FN＝m2g
C．FT＝m1g
D．FT＝g
解析：选B 分析小球m1的受力情况，由物体的平衡条件可得，绳的拉力FT＝0，故
C、D 均错误；分析m2受力，由平衡条件可得：FN＝m2g，故A 错误、B 正确。
5.如图所示，用平行于斜面体A 的轻弹簧将物块P 拴接在挡板B 上，在
物块P 上施加沿斜面向上的推力F，整个系统处于静止状态。下列说法正确
的是( )
A．物块P 与斜面之间一定存在摩擦力
B．弹簧的弹力一定沿斜面向下
C．地面对斜面体A 的摩擦力水平向左
D．若增大推力，则弹簧弹力一定减小
解析：选C 对物块P 受力分析可知，若推力F 与弹簧弹力的合力与物块重力沿斜面
向下的分力平衡，则物块P 与斜面之间无摩擦力，A 错误；弹簧处于拉伸或压缩状态物块
P 均可能保持静止，B 错误；由整体法可知地面对斜面体A 的静摩擦力平衡了推力F 沿水
平方向向右的分力，C 正确；增大推力F，若物块P 仍保持静止，则弹簧的弹力不变，D
错误。
6．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 是球心，碗
的内表面光滑，一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，
当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°，则碗对两
小球m1、m2的弹力大小之比是( )
A．1∶2
B.∶1
C．1∶
D.∶2
解析：选B m1、m2组成的系统处于平衡状态，对m1、m2整体受力分析
如图所示，FN1、FN2 分别为碗对m1 和m2 的弹力，水平方向上合力为零，
FN1sin 30°＝FN2sin 60°，则 FN1∶ FN2＝∶1，B 正确。
二、多项选择题
7．如图所示，物体B 靠在水平天花板上，在竖直向上的力F 作用下，
A、B 保持静止，则关于A 与B 受力的个数判断正确的是( )
A．A 可能受3 个力
B．B 可能受2 个力
C．A 一定受4 个力
D．B 可能受4 个力
解析：选CD 以A 为研究对象，A 受到外力F、重力、B 的压力和B 的静摩擦力4 个
力的作用，A 错误，C 正确；以B 为研究对象，若A 对B 的支持力和摩擦力的合力等于B
的重力，则B 受力平衡，天花板对B 没有压力，此时B 受到三个力的作用，若A 对B 的支
持力和摩擦力的合力大于B 的重力，则天花板对B 有压力，此时B 受到四个力的作用，故
B 错误，D 正确。
8.如图所示，质量为m 的小物体(可视为质点)静止地放在半径为R 的
半球体上，小物体与半球体间的动摩擦因数为μ，物体与球心的连线与水
平地面的夹角为θ，整个装置静止。则下列说法正确的是( )
A．地面对半球体的摩擦力方向水平向左
B．小物体对半球体的压力大小为mgcos θ
C．半球体受到小物体的作用力大小为mg
D．θ 角(为锐角)变大时，地面对半球体的支持力不变
解析：选CD 以小物体和半球体整体作为研究对象，受到重力和地面对半
球体的支持力，地面对半球体没有摩擦力，由平衡条件得：地面对半球体的支持
力FN＝(M＋m)g，不变，故A 错误，D 正确；以小物体为研究对象，作出受力
图如图，则半球体对小物体的支持力FN＝mgsin θ，由牛顿第三定律得：小特体
对半球体的压力大小为mgsin θ，故B 错误；半球体受到小物体的压力和静摩擦
力的合力等于小物体的重力，故C 正确。
9.如图所示，甲、乙两物体用压缩的轻质弹簧连接静置于倾角为θ 的粗糙斜面体上，
斜面体始终保持静止，则下列判断正确的是( )
A．物体甲一定受到4 个力的作用
B．物体甲所受的摩擦力方向一定沿斜面向下
C．物体乙所受的摩擦力不可能为零
D．水平面对斜面体无摩擦力作用
解析：选CD 若压缩的弹簧对物体甲向上的弹力大小恰好等于m 甲gsin θ，则甲只受
三个力作用，A、B 错误；因弹簧对乙有沿斜面向下的弹力，乙的重力也有沿斜面向下的
分力，故乙一定具有向下运动的趋势，乙一定受沿斜面向上的摩擦力作用，C 正确；取甲、
乙和斜面体为一整体分析受力，由水平方向合力为零可得，水平面对斜面体无摩擦力作用
D 正确。
10.如图是简易测水平风速的装置，轻质塑料球用细线悬于竖直杆顶端
O，当水平风吹来时，球在水平风力F 的作用下飘起来。F 与风速v 成正比，
当v＝3 m/s 时，测得球平衡时细线与竖直方向的夹角θ＝45°，则( )
A．当风速v＝3 m/s 时，F 的大小恰好等于球的重力
B．当风速v＝6 m/s 时，θ＝90°
C．水平风力F 越大，球平衡时，细线所受拉力越小
D．换用半径相等，但质量较大的球，则当θ＝45°时，v 大于3 m/s
解析：选AD 对小球受力分析，小球受重力、风力和拉力处于平衡，当细线与竖直
方向的夹角θ＝45°时，根据平行四边形定则知，风力F＝mg，故A 正确。当风速为6
m/s，则风力为原来的2 倍，即为2mg，根据平行四边形定则知，tan θ＝＝2，θ≠90°，故
B 错误。拉力FT＝，水平风力越大，平衡时，细线与竖直方向的夹角θ 越大，则细线的拉
力越大，故C 错误。换用半径相等，但质量较大的球，知重力变大，当θ＝45°时，风力F
＝mg，可知风力增大，所以v 大于3 m/s，故D 正确。
三、计算题
11．如图所示，质量M＝2 kg 的木块A 套在水平杆上，并用轻绳将木块A 与质量m＝
kg 的小球B 相连。今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉着球带动木块一起向右匀
速运动，运动中M、m 相对位置保持不变，取g＝10 m/s2。求：
(1)运动过程中轻绳与水平方向夹角θ；
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ。
解析：(1)设轻绳对B 的拉力为FT，小球受力如图甲所示，由平衡条件可得
Fcos 30°－FTcos θ＝0 ①
Fsin 30°＋FTsin θ－mg＝0 ②
解得10cos 30°＝FTcos θ ③
10sin 30°＋FTsin θ＝10 ④
由③④解得FT＝10 N
θ＝30°。
(2)以木块和小球组成的整体为研究对象，受力如图乙所示，由平衡条件得
Fcos 30°－Ff＝0
FN＋Fsin 30°－(M＋m)g＝0
又Ff＝μFN
解得μ＝。
答案：(1)30° (2)
12.物体A 的质量为 2 kg，两根轻细绳b 和c 的一端连接于竖直墙上，
另一端系于物体A 上，在物体A 上另施加一个方向与水平线成θ 角的拉力
F，相关几何关系如图所示，θ＝60°。若要使两绳都能伸直，求拉力F 的取
值范围。(g 取10 m/s2)
解析：c 绳刚好伸直时，拉力F 最小，物体A 受力如图甲所示。
由平衡条件得
Fminsin θ＋Fbsin θ－mg＝0 ①
Fmincos θ－Fbcos θ＝0 ②
解得Fmin＝＝ N。
b 绳刚好伸直时，拉力F 最大，物体A 受力如图乙所示。
由平衡条件得Fmaxsin θ－mg＝0
解得Fmax＝＝ N
故拉力F 的取值范围是
N≤F≤ N。
答案： N≤F≤ N
第11 课时 共点力的动态平衡问题(题型研究课)
[命题者说] 共点力的动态平衡问题是高考的热点，主要考查平衡条件的应用；高考
中既有单独考查，也有和其他知识的综合考查；复习本课时时，要注意理解并掌握分析动
态平衡问题的几种常用方法。
物体的状态发生缓慢地变化，在这一变化过程中物体始终处于一系列的平衡状态，这
种平衡称为动态平衡。解决此类问题的基本思路是化“动”为“静”，“静”中求“动”
具体有以下三种方法：解析法、图解法和相似三角形法。
[方法一：解析法]
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得
到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
[典例] 如图所示，与水平方向成θ 角的推力F 作用在物块上，随着
θ 逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于
物块受到的外力，下列判断正确的是( )
A．推力F 先增大后减小
B．推力F 一直减小
C．物块受到的摩擦力先减小后增大
D．物块受到的摩擦力一直不变
[解析] 对物块受力分析，建立如图所示的坐标系。由平衡条件得，
Fcos θ－Ff＝0，FN－(mg＋Fsin θ)＝0，又Ff＝μFN，联立可得F＝，可
见，当θ 减小时，F 一直减小，B 正确；摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsin
θ)，可知，当θ、F 减小时，Ff一直减小 。
[答案] B
解析法分析动态平衡问题的关键
抓住不变量，确定自变量，依据不变量与自变量的关系(通常为三角函数关系)来确定
其他量的变化规律。
[集训冲关]
1.如图所示，A、B 为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B 改变
绳的长度，使光滑挂钩下的重物C 缓慢竖直下降。关于此过程中绳上拉力
大小的变化，下列说法中正确的是( )
A．不变
B．逐渐减小
C．逐渐增大
D．可能不变，也可能增大
解析：选B 当光滑挂钩下的重物C 缓慢下降时，设绳AC 和BC 与竖直方向的夹角为
α，绳的拉力为F，绳AC 和BC 在水平方向上的分力均为Fx＝Fsin α，大小相等，方向相
反，是一对平衡力。绳AC 和BC 在竖直方向的分力都为Fy＝Fcos α，两绳的合力与重力
是一对平衡力，所以2Fy＝2Fcos α＝mg，即F＝，重物C 缓慢下降时，α 角逐渐减小，所
以两绳的拉力F 都不断减小，选项B 正确。
2.如图所示为建筑工地一个小型起重机起吊重物的示意图。一根轻绳跨
过光滑的动滑轮，轻绳的一端系在位置A 处，动滑轮的下端挂上重物，轻
绳的另一端挂在起重机的吊钩C 处，起吊重物前，重物处于静止状态。起
吊重物过程是这样的：先让吊钩从位置C 竖直向上缓慢地移动到位置B，然
后再让吊钩从位置B 水平向右缓慢地移动到D，最后把重物卸在某一个位置。
则关于轻绳上的拉力大小变化情况，下列说法正确的是( )
A．吊钩从C 向B 移动过程中，轻绳上的拉力不变
B．吊钩从B 向D 移动过程中，轻绳上的拉力变小
C．吊钩从C 向B 移动过程中，轻绳上的拉力变大
D．吊钩从B 向D 移动过程中，轻绳上的拉力不变
解析：选A 由C 到B 时，两绳夹角不变，故绳子拉力不变，由B 到D 时，两绳夹角
增大，2FTcos＝mg，绳子拉力增大。
3.如图所示，质量为M 的木块A 套在粗糙水平杆上，并用轻绳将木块A
与质量为m 的小球B 相连。现用水平力F 将小球B 缓慢拉起，在此过程中木
块A 始终静止不动。假设杆对A 的支持力为FN，杆对A 的摩擦力为Ff，绳中
张力为FT，则此过程中( )
A．F 增大 B．Ff不变
C．FT减小 D．FN减小
解析：选A 先以B 为研究对象，小球受到重力、水平力F 和
轻绳的拉力FT，如图甲所示，由平衡条件得：FT＝，F＝mgtan θ，
θ 增大，FT增大，F 增大。再以整体为研究对象，受力分析图如图乙
所示，根据平衡条件得：Ff＝F，则Ff逐渐增大。FN＝(M＋m)g，即
FN保持不变，故选A 项。
[方法二：图解法]
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照
以下流程解题。
―――――――→――――――――→
[典例] 如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ 的光滑斜面上，当
细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将( )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
[解析] 因为G、FN、FT三力共点平衡，故三个力可以构成一个矢量
三角形，如图所示，G 的大小和方向始终不变，FN 的方向不变，大小可
变，FT 的大小、方向都在变，在绳向上偏移的过程中，可以作出一系列
矢量三角形，显而易见在FT变化到与FN垂直前，FT是逐渐变小的，然后
FT又逐渐变大。故正确答案为D。
[答案] D
用力的矢量三角形分析力的最小值问题
(1)若已知F 合的方向、大小及一个分力F1的方向，则另一分力F2的最小值的条件为
F1⊥F2。
(2)若已知F 合的方向及一个分力F1的大小、方向，则另一分力F2的最小值的条件为
F2⊥F 合。
[集训冲关]
1.如图所示，用OA、OB 两根轻绳将物体悬于两竖直墙之间，开始时OB
绳水平。现保持O 点位置不变，改变OB 绳长使绳末端由B 点缓慢上移至B′
点，此时OB′与OA 之间的夹角θ<90°。设此过程中OA、OB 的拉力分别为
FOA、FOB，下列说法正确的是( )
A．FOA逐渐增大
B．FOA逐渐减小
C．FOB逐渐增大
D．FOB逐渐减小
解析：选B 以结点O 为研究对象，受力如图所示，根据平衡条件知，
两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出轻绳OB 在两个
位置时力的合成图如图，由图看出，FOA 逐渐减小，FOB 先减小后增大，
当θ＝90°时，FOB最小，选项B 正确。
2．在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A 与竖直墙面间放
一光滑圆球B，
整个装置处于静止状态。现对B 施加一竖直向下的力F，F 的作用线通过球心，设墙
对B 的作用力为F1，B 对A 的作用力为F2，地面对A 的摩擦力为F3。若F 缓慢增大而整
个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中( )
A．F1保持不变，F3缓慢增大
B．F1缓慢增大，F3保持不变
C．F2缓慢增大，F3缓慢增大
D．F2缓慢增大，F3保持不变
解析：选C 球B 受力情况如图所示，墙对球B 的作用力及A 对球B 的
作用力的合力与F 及重力的合力大小相等，方向相反，故当F 增大时，B 对A
的压力增大，即F2增大，同理可知，墙对B 的作用力F1增大；对整体分析，
整体竖直方向受重力、支持力及压力F，水平方向受墙的作用力F1和地面对A
的摩擦力为F3而处于平衡，由平衡条件得，当F 增大时，地面对A 的摩擦力F3增大，故
选项C 正确。
3.(多选)如图所示，一辆小车静止在水平地面上，车内固定着一个
倾角为60°的光滑斜面OA，光滑挡板OB 可绕转轴O 在竖直平面内转
动，现将一质量为m 的圆球放在斜面与挡板之间，挡板与水平面的夹
角θ＝60°，下列说法正确的是( )
A．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，则球对斜面的压力逐渐增大
B．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，则球对挡板的压力逐渐减小
C．若保持挡板不动，则球对斜面的压力大小为mg
D．若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，则球对挡板的压力可能为
零
解析：选CD 若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，根据
图像可知，FB 先减小后增大，FA 逐渐减小，根据牛顿第三定律可知，
球对挡板的压力先减小后增大，球对斜面的压力逐渐减小，故选项A、
B 错误；球处于静止状态，受力平衡，对球进行受力分析，FA、FB以及G 构成的三角形为
等边三角形，根据几何关系可知，FA＝FB＝mg，故选项C 正确；若保持挡板不动，使小车
水平向右做匀加速直线运动，当FA和重力G 的合力正好提供加速度时，球对挡板的压力为
零，故选项D 正确。
[方法三：相似三角形法]
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空
间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应
边成比例进行计算。
[典例]如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为
m 的小球套在圆环上。一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉
动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F 和轨道对小球
的弹力FN的大小变化情况是( )
A．F 不变，FN增大
B．F 不变，FN减小
C．F 减小，FN不变
D．F 增大，FN减小
[解析] 小球沿圆环缓慢上移可看作静止，对小球进行受力分析，作出受力示意图如
图所示，由图可知△OAB∽△GFA 即：＝＝，当A 点上移时，半径不变，AB 长度减小，故
F 减小，FN不变，故C 正确。
[答案] C
物体受三个力平衡时，这三个力通过平移可以组成封闭的三角形，这个三角形是矢量
三角形，如果通过画辅助线可以得到一个几何三角形，并且这两个三角形相似，则可以用
相似三角形法解答这类平衡问题。
[集训冲关]
1.(多选)如图所示，质量均为m 的小球A、B 用劲度系数为k1的轻弹簧相连，
B 球用长为L 的细绳悬于O 点，A 球固定在O 点正下方，当小球B 平衡时，绳子
所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1；现把A、B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数
为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受
的拉力为T2，弹簧的弹力为F2，则下列关于T1与T2、F1与F2大小之间的关系，正确的是(
)
A．T1>T2
B．T1＝T2
C．F1<F2
D．F1＝F2
解析：选BC 以小球B 为研究对象，分析受力情况，如图所示。由平衡
条件可知，弹簧的弹力F 和绳子的拉力T 的合力F 合与重力mg 大小相等，方
向相反，即F 合＝mg，作出力的合成如图，由三角形相似得：＝＝。当弹簧劲
度
系数变大时，弹簧的压缩量减小，故长度AB 增加，而OB、OA 的长度不
变，故T1＝T2，F2>F1；故A、D 错误，B、C 正确。
2.如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，杆的
A 端用铰链固定，光滑轻小滑轮在A 点正上方，B 端吊一重物G，现将绳的
一端拴在杆的B 端，用拉力F 作用在绳的另一端将B 端缓慢上拉，在AB 杆
达到竖直前(均未断)，关于绳子的拉力F 和杆受的弹力FN的变化，判断正
确的是( )
A．F 变大
B．F 变小
C．FN变大
D．FN变小
解析：选B 设物体的重力为G。以B 点为研究对象，分析受力情况，
作出受力分析图，如图所示：
作出力FN 与F 的合力F2 ，根据平衡条件得知，F2 ＝F1 ＝G 。由
△F2FNB∽△OBA 得＝，解得FN＝G，式中，AB、AO、G 不变，则FN保持不
变，C、D 错误；由△F2FNB∽△OBA 得＝，OB 减小，则F 一直减小，A 错误，B 正确。
一、单项选择题
1.如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设球对墙面的压力大小为
FN1，球对木板的压力大小为FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板
从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
解析：选B 法一(解析法)：如图甲所示，因为FN1＝FN1′＝，FN2＝FN2′＝，随θ 逐
渐增大到90°，tan θ、sin θ 都增大，FN1、FN2都逐渐减小，所以选项B 正确。
法二(图解法)：如图乙所示，把mg 按它的两个效果进行分解如图所示。在木板缓慢转
动时，FN1的方向不变，mg、FN1、FN2应构成一个闭合的三角形。FN2始终垂直于木板，随
木板的转动而转动，由图可知，在木板转动时，FN2变小，FN1也变小，选项B 正确。
2.有一个直角支架AOB，AO 水平放置，表面粗糙，OB 竖直向下，表
面光滑。AO 上面套有小环P，OB 上面套有小环Q，两环质量均为m，两环
间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡(如图所示)。
现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状
态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力FN和细绳上的拉力FT的变化情况是(
)
A．FN不变，FT变大
B．FN不变，FT变小
C．FN变大，FT变大
D．FN变大，FT变小
解析：选B 以P、Q 两个环为整体，对其受力分析可知，竖直方向上FN＝2mg，与P
环位置无关；以Q 环为研究对象并受力分析，设∠ABO＝θ，分解拉力FT，FTcos θ＝mg，
FT＝，θ 角由于P 环左移而减小时，拉力FT减小，B 正确。
3.如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成
一简易秋千。某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点
不变。木板静止时，F1 表示木板所受合力的大小，F2 表示单根轻绳对木
板拉力的大小，则维修后( )
A．F1不变，F2变大
B．F1不变，F2变小
C．F1变大，F2变大
D．F1变小，F2变小
解析：选A 如果维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持两轻绳等长且悬挂点不变，
根据物体的平衡条件可知，木板静止时，木板受到的合外力始终为零，因此木板所受合力
的大小F1始终不变，由力的平行四边形定则可知，当两绳的合力大小不变，在剪短轻绳后，
由于悬点不变，使两绳之间的夹角变大，而合力不变，所以两绳上的分力F2变大，由此可
知该题答案为A，选项B、C、D 皆不正确。
4.半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板
MN。在半圆柱体P 和MN 之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置
处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图。现使MN 保持竖直并且缓
慢地向右平移，在Q 滑落到地面之前，发现P 始终保持静止。则在此过程中，下列说法中
正确的是( )
A．MN 对Q 的弹力逐渐减小
B．地面对P 的摩擦力逐渐增大
C．P、Q 间的弹力先减小后增大
D．Q 所受的合力逐渐增大
解析：选B Q 的受力情况如图甲所示，F1表示P 对Q 的弹力，
F2 表示MN 对Q 的弹力，F2 的方向水平向左保持水平，F1 的方向顺
时针旋转，由平行四边形的边长变化可知：F1 与F2 都逐渐增大，
A、C 错误；由于挡板MN 缓慢移动，Q 处于平衡状态，所受合力为
0，D 错误；对P、Q 整体受力分析，如图乙所示，由平衡条件得，Ff＝F2＝mgtan θ，由
于θ 不断增大，故Ff不断增大，B 正确。
5.固定在水平面上的光滑半球半径为R，球心O 的正上方C 处固定一个光滑定滑轮(大
小可忽略)，细线一端拴一小球(可视为质点)置于半球面上A 点，另一端绕过定
滑轮，如图所示，现将小球缓慢地从A 点拉向B 点，则此过程中小球对半球的
压力大小FN、细线的拉力大小FT的变化情况是( )
A．FN不变，FT不变
B．FN不变，FT变大
C．FN不变，FT变小
D．FN变大，FT变小
解析：选C 小球受力如图所示，根据平衡条件知，小球所受支持力FN′
和细线拉力FT的合力F 与重力是一对平衡力，即F＝G，根据几何关系知，力
三角形FAFN′与几何三角形COA 相似，设滑轮到半球顶点B 的距离为h，线长
AC 为L，则有＝＝，由于小球从A 点移向B 点的过程中，G、R、h 均不变，L
减小，故FN′大小不变(FN＝FN′)，FT减小，C 正确。
二、多项选择题
6.如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O 点；另一细绳跨过
滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F 向右上方拉
b，整个系统处于静止状态。若F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块b 仍始终保持静
止，则( )
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b 所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
解析：选BD 因为物块b 始终保持静止，所以绳OO′的张力不变，连接a 和b 的绳
的张力也不变，选项A、C 错误；拉力F 大小变化，F 的水平分量和竖直分量都发生变化，
由共点力的平衡条件知，物块b 受到的支持力和摩擦力在一定范围内变化，选项B、D 正
确。
7.如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于
斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜面
平行。现给小滑块施加一竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过
程中小球始终未脱离斜面，则有( )
A．轻绳对小球的拉力逐渐增大
B．小球对斜劈的压力先减小后增大
C．竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小
D．对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大
解析：选AD 设斜面倾角为θ，斜面对小球的支持力为FN1，绳
对小球的拉力为FT，小球的重力大小为G1，小滑块的重力大小为
G2，竖直杆对小滑块的弹力大小为FN2。由于小滑块沿杆缓慢上升，
所以小球沿斜面缓慢向上运动，小球处于动态平衡状态，受到的合力
为零，作小球受力矢量三角形如图甲所示，绳对小球的拉力FT逐渐增大，所以选项A 正确；
斜面对小球的弹力FN1逐渐减小，故小球对斜面的压力逐渐减小，选项B 错误；将小球和
小滑块看成一个整体，对其进行受力分析如图乙所示，则由力的平衡条件可得：FN2＝
FN1sin θ，F＝G1＋G2－FN1cos θ，因FN1逐渐减小，所以FN2逐渐减小，F 逐渐增大，故选
项C 错误，D 正确。
8.如图所示，半径相同、质量相同且分布均匀的两个圆柱体
a、b 靠在一起，表面光滑，重力均为G，其中b 的下一半刚好固
定在水平面MN 的下方，上边露出另一半，a 静止在平面上，现过
a 的轴心施以水平作用力F，可缓慢地将a 拉离水平面MN 一直滑
到b 的顶端，对该过程进行分析，应有( )
A．拉力F 先增大后减小，最大值是G
B．开始时拉力F 最大为G，以后逐渐减小为0
C．a、b 间压力由0 逐渐增大，最大为G
D．a、b 间的压力开始最大为2G，而后逐渐减小到G
解析：选BD 根据几何关系可知：sin θ＝，θ＝30°，对a 受力分
析，如图所示，应用平衡条件，F＝＝G，之后a 缓慢移动过程中，两
轴心连线与竖直方向的夹角越来越小，由图可知：FN 一直变小，F 也
一直变小，可得拉力从最大值Fm＝G 逐渐减小为0，选项A 错误、B 正
确；a、b 间的压力开始时最大为FN＝＝2G，而后逐渐减小到G，选项C 错误、D 正确。
第12 课时 探究弹力和弹簧伸长的关系(实验提能课)
一、实验目的
1．探究弹力和弹簧伸长量的关系。
2．学会利用图像法处理实验数据，探究物理规律。
二、实验原理
1．如图所示，弹簧在下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重
力大小相等。
2．用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示
弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应
的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与弹簧伸长量间
的关系。
三、实验器材
铁架台、毫米刻度尺、弹簧、钩码(若干)、三角板、铅笔、重垂线、坐标纸等。
四、实验步骤
1．根据实验原理图，将铁架台放在桌面上(固定好)，将弹簧的一端固定于铁架台的横
梁上，在靠近弹簧处将刻度尺(最小分度为1 mm)固定于铁架台上，并用重垂线检查刻度尺
是否竖直。
2．记下弹簧下端不挂钩码时所对应的刻度l0，即弹簧的原长。
3．在弹簧下端挂上钩码，待钩码静止时测出弹簧的长度l，求出弹簧的伸长x 和所受
的外力F(等于所挂钩码的重力)。
4．改变所挂钩码的数量，重复上述实验，要尽量多测几组数据，将所测数据填写在表
格中。
记录表：弹簧原长l0＝________cm。
次数
内容
1
2
3
4
5
6
拉力F/N
弹簧总长/cm
弹簧伸长/cm
五、数据处理
1．以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x 为横坐标，用描
点法作图，连接各点得出弹力F 随弹簧伸长量x 变化的图线。
2．以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式，并解释函数表达式中常
数的物理意义。
六、误差分析
1．系统误差
钩码标值不准确和弹簧自身重力的影响造成系统误差。
2．偶然误差
(1)弹簧长度的测量造成偶然误差，为了减小这种误差，要尽量多测几组数据。
(2)作图时的不规范造成偶然误差，为了减小这种误差，画图时要用细铅笔作图，所描
各点尽量均匀分布在直线的两侧。
七、注意事项
1．所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度，要注意观察，适可
而止。
2．每次所挂钩码的质量差适当大一些，从而使坐标点的间距尽可能大，这样作出的图
线准确度更高一些。
3．测弹簧长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于稳定状态时测量，以免增大误差。
4．描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使各点均匀分布
在直线的两侧。
5．记录实验数据时要注意弹力、弹簧的原长l0、总长l 及弹簧伸长量的对应关系及单
位。
6．坐标轴的标度要适中。
考点(一) 实验原理与操作
[例1] 如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个质量均为m 的钩码探究在弹性限度内弹簧
弹力与弹簧伸长量的关系。
(1)为完成实验，还需要的实验器材有：__________________________________。
(2)实验中需要测量的物理量有：________________________________________
________________________________________________________________________。
(3)图乙是弹簧弹力F 与弹簧伸长量x 的Fx 图线，由此可求出弹簧的劲度系数为
________ N/m。图线不过原点是由于________________________________________。
(4)为完成该实验，设计实验步骤如下：
A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的
曲线连接起来；
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0；
C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把
刻度尺；
D．依次在弹簧下端挂上1 个、2 个、3 个、4 个、…钩码，并分别记下钩码静止时弹
簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码；
E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与伸长量的关系式。首先尝试写成一次函数，
如果不行，则考虑二次函数；
F．解释函数表达式中常数的物理意义；
G．整理仪器。
请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：_______________________________。
[解析] (1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和伸长量；
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与对应的伸
长量(或与弹簧对应的长度)；
(3)取图像中(0.5,0)和(3.5,6)两个点，代入F＝kx 可得k＝200 N/m，由于弹簧自重的原
因，使得弹簧不加外力时就有形变量。
(4)根据完成实验的合理性可知先后顺序为CBDAEFG。
[答案] (1)刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长
度) (3)200 弹簧自重 (4)CBDAEFG
实验过程需要哪些实验器材，是由实验原理和实验操作决定的，因此，理解并掌握实
验原理，弄清楚实验步骤，是选择实验器材的关键。
考点(二) 数据处理与误差分析
[例2] 某实验小组在探究弹力与弹簧伸长量的关系时，先把弹簧平放在桌面上，用刻
度尺测出弹簧的原长L0＝4.6 cm，再把弹簧竖直悬挂起来，在下端挂钩码，每增加一个钩
码均记下对应的弹簧长度x，数据记录如下表所示。
钩码个数
1
2
3
4
5
弹力F/N
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
弹簧长度x/cm
7.0
9.0
11.0
13.0
15.0
(1)根据表中数据在图中作出Fx 图线。
(2)由此图线可得，该弹簧劲度系数k＝________N/m。
(3)图线与x 轴的交点坐标大于L0的原因是__________________________________
________________________________________________________________________。
[解析] (1)如图所示。
(2)根据胡克定律F＝kx 可得k＝＝50 N/m。
(3)图线与x 轴的交点坐标为弹簧竖直悬挂且没挂钩码时的长度，因受自身重力影响，
大于其平放在桌面上时测量出的原长L0。
[答案] (1)见解析图 (2)50 (3)弹簧自身重力的影响
在Fx 图像中，若x 表示弹簧的长度，则图线不过坐标原点，图线与横轴的交点坐标表
示弹簧的原长，图线的斜率仍表示弹簧的劲度系数。
实验原理的创新
将弹簧水平放置或穿过一根水平光滑的直杆，在水平方向做
实验。消除了弹簧自重的影响。
实验器材的改进
将弹簧水平放置，且一端固定在传感器上，传感器与电脑相
连，对弹簧施加变化的作用力(拉力或推力)时，电脑上得到弹
簧弹力和弹簧形变量的关系图像，分析图像得出结论。
[例3]某同学利用弹簧测力计、小车、砝码、钩码、木块和带有定滑轮的长木板等器材
探究滑动摩擦力Ff与正压力FN之间的关系，实验装置如图所示。该同学主要的实验步骤
如下：
a．将一端带有定滑轮的长木板放在水平桌面上，在细绳一端挂适量的钩码，使其能够
带动小车向右运动
b．多次改变木块上砝码的个数，并记录多组数据
c．进行数据处理，得出实验结论
请回答下列问题：
(1)实验中应测量木块和木块上砝码的总重力，并记录_________________________
________________________________________________________________________。
(2)若用图像法处理实验数据，以滑动摩擦力Ff为横轴，正压力FN为纵轴，建立直角
坐标系，通过描点，得到一条倾斜的直线，该直线的斜率所表示的物理意义(可用文字描
述)为
________________________________________________________________________。
(3)通过实验得出的结论是__________________________________________________
________________________________________________________________________。
[解析] (1)实验中应测量木块和木块上砝码的总重力，为小车受到的正压力FN；记录
弹簧测力计的示数，该示数等于小车所受的滑动摩擦力Ff。
(2)由Ff＝μFN可知，FN Ff图线的斜率所表示的物理意义为动摩擦因数的倒数。
(3)通过实验得出的结论是：在误差允许的范围内，滑动摩擦力Ff与正压力FN成正比。
[答案] (1)弹簧测力计的示数 (2)动摩擦因数的倒数 (3)在误差允许的范围内，滑动
摩擦力Ff与正压力FN成正比
(1)与动摩擦因数有关的创新型实验是高考命题的一大热点。
(2)解答创新型的实验题目时，应把相应常规实验和已学知识结合起来灵活分析(如本题
就是“探究弹力和弹簧伸长的关系”综合了牛顿第三定律、滑动摩擦力公式Ff＝μFN等)。
[创新演练]
(多选)如图甲所示，一弹簧一端固定在传感器上，传感器与电脑相连。当对弹簧施加
变化的作用力(拉力或压力)时，在电脑上得到了弹簧形变量与弹簧产生的弹力的关系图像，
如图乙所示。则下列判断正确的是( )
A．弹簧产生的弹力和弹簧的长度成正比
B．弹力增加量与对应的弹簧长度的形变量成正比
C．该弹簧的劲度系数是200 N/m
D．该弹簧受到反向压力时，劲度系数不变
解析：选BCD 由题图乙知，Fx 是一个过原点的直线，k＝＝ N/m＝200 N/m，弹簧
的劲度系数与弹簧所受力的方向无关，A 错误，B、C、D 正确。
1.一个实验小组在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，使用两
条不同的轻质弹簧a 和b，得到弹力F 与弹簧长度l 的图像如图所示。下列
表述正确的是( )
A．a 的原长比b 的长
B．a 的劲度系数比b 的大
C．a 的劲度系数比b 的小
D．测得的弹力与弹簧的长度成正比
解析：选B 图像的横轴截距表示弹簧的原长，A 错误；图像的斜率表示弹簧的劲度
系数，B 正确，C 错误；图像不过原点，D 错误。
2．(多选)在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，以下说法正确的是( )
A．弹簧被拉伸时，不能超出它的弹性限度
B．用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态
C．用直尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量
D．用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与伸长量，得出拉力与伸长量之比相等
解析：选AB 实验中应以所研究的一根弹簧为实验对象，在弹性限度内通过增减钩
码的数目来改变对弹簧的拉力，以探究弹力和弹簧伸长量的关系，并且拉力和重力平衡，
所以选A、B。
3．某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验，他先把弹簧平放在桌面上使其
自然伸长，用直尺测出弹簧的原长L0，再把弹簧竖直悬挂起来，挂上钩码后测出弹簧伸长
后的长度L，把L－L0作为弹簧的伸长量x，这样操作，由于弹簧自身重力的影响，最后画
出的图线可能是下列选项中的( )
解析：选C 由于考虑弹簧自身重力的影响，当不挂钩码时，弹簧的伸长量x>0，所
以选C。
4．某同学在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，安装好实验装置，让刻度尺零刻度与
弹簧上端平齐，在弹簧下端挂1 个钩码，静止时弹簧长度为l1，如图1 所示，图2 是此时固
定在弹簧挂钩上的指针在刻度尺(最小分度是1 毫米)上位置的放大图，示数l1＝
________cm。在弹簧下端分别挂2 个、3 个、4 个、5 个相同钩码，静止时弹簧长度分别是
l2、l3、l4、l5。已知每个钩码质量是50 g，挂2 个钩码时，弹簧弹力F2＝________N(当地重
力加速度g＝9.8 m/s2)。要得到弹簧伸长量x，还需要测量的是______。作出Fx 曲线，得
到弹力与弹簧伸长量的关系。
解析：由题图2 知l1＝25.85 cm。挂两个钩码时，弹簧弹力F＝0.98 N。要测弹簧伸长
量，还需要测量弹簧的原长。
答案：25.85 0.98 弹簧原长
5．某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验。
(1)图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为7.73 cm；图乙是在弹
簧下端悬挂钩码后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量Δl 为________ cm；
(2)本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项
中规范的做法是________；(填选项前的字母)
A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
(3)图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量Δl 与弹力F 的关系图线，图线的AB 段明显偏离
直线OA，造成这种现象的主要原因是________________________________________。
解析：(1)弹簧伸长后的总长度为14.66 cm，则伸长量Δl＝14.66 cm－7.73 cm＝6.93
cm。
(2)逐一增挂钩码，便于有规律地描点作图，也可避免因随意增加钩码过多超过弹簧的
弹性限度而损坏弹簧。
(3)AB 段明显偏离OA，伸长量Δl 不再与弹力F 成正比，是超出弹簧的弹性限度造成
的。
答案：(1)6.93 (2)A
(3)弹簧受到的拉力超过了其弹性限度
6.为了探究弹力和弹簧伸长的关系，某同学选了甲、乙两根规格不
同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图所示图像。
(1)从图像上看，该同学没能完全按照实验要求做，从而使图像上
端成为曲线，图像上端成为曲线是因为_______________________________________。
(2)这两根弹簧的劲度系数分别为________ N/m 和______ N/m；若要制作一个精确程度
较高的弹簧测力计，应选弹簧________(选填“甲”或“乙”)。
(3)从上述数据和图线中分析，请对这个研究课题提出一个有价值的建议。
建议：___________________________________________________。
解析：(1)在弹性限度内弹簧的弹力与形变量成正比，超过弹簧的弹性限度，则此规律
不成立，所以所给的图像上端成为曲线，是因为形变量超过弹簧的弹性限度。
(2)甲、乙两根弹簧的劲度系数分别为：
k 甲＝＝ N/m≈66.7 N/m，
k 乙＝＝ N/m＝200 N/m。
要制作一个精确程度较高的弹簧测力计，应选用在一定的外力作用时形变量大的弹簧，
故选弹簧甲。
(3)建议：实验中钩码不能挂太多，以保证弹簧的形变量在弹性限度内。
答案：(1)形变量超过弹簧的弹性限度 (2)66.7 200 甲
(3)见解析
7．某同学在“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验中，测得图中弹簧OC 的劲度系数
为500 N/m。如图1 所示，用弹簧OC 和弹簧秤a、b 做“探究求合力的方法”实验，在保
持弹簧伸长1.00 cm 不变的条件下：
(1)若弹簧秤a、b 间夹角为90°，弹簧秤a 的读数是________N(图2 中所示)，则弹簧秤
b 的读数可能为________N。
(2)若弹簧秤a、b 间夹角大于90°，保持弹簧秤a 与弹簧OC 的夹角不变，减小弹簧秤b
与弹簧OC 的夹角，则弹簧秤a 的读数________、弹簧秤b 的读数________(填“变大”
“变小”或“不变”)。
解析：(1) 根据胡克定律，弹簧OC 伸长1.00 cm 时弹簧的弹力Fc ＝kΔx ＝
500×1.00×10－2 N＝5.00 N；由题图可知弹簧秤a 的读数Fa＝3.00 N，根据勾股定理，Fa
2
＋Fb
2＝Fc
2，解得Fb＝4.00 N。
(2)改变弹簧秤b 与OC 的夹角时，由于保持弹簧伸长1.00 cm 不变，
因而Fa与Fb的合力F 保持不变，根据平行四边形定则，Fa、Fb合成的
平行四边形如图所示(▱OAC′B)，当弹簧秤b 与OC 的夹角变小时，其
力的合成的平行四边形为▱OA′C′B′，由图可知a、b 两弹簧秤的示
数都将变大。
答案：(1)3.00(3.00～3.02) 4.00(3.90～4.10)(有效数字不作要求) (2)变大 变大
8.某实验小组探究弹簧的劲度系数k 与其长度(圈数)的关系。实验装置
如图(a)所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7 个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、
P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60 圈处；通过旁边竖
直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0 刻度。设弹簧下端未挂重
物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg 的砝码时，各指针的位置
记为x。测量结果及部分计算结果如下表所示(n 为弹簧的圈数，取重力加速
度为9.80 m/s2)。已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为
11.88 cm。
P1
P2
P3
P4
P5
P6
x0(cm)
2.04
4.06
6.06
8.05
10.03
12.01
x(cm)
2.64
5.26
7.81
10.30
12.93
15.41
n
10
20
30
40
50
60
k(N/m)
163
①
56.0
43.6
33.8
28.8
(m/N)
0.006 1
②
0.017 9
0.022 9
0029 6
0.034 7
(1)将表中数据补充完整：①________，②________。
(2)以n 为横坐标，为纵坐标，在图(b)给出的坐标纸上画出n 图像。
(b)
(3)图(b)中画出的直线可近似认为通过原点。若从实验中所用的弹簧截取圈数为n 的一
段弹簧，该弹簧的劲度系数k 与其圈数n 的关系的表达式为k＝________N/m；该弹簧的劲
度系数k 与其自由长度l0(单位为m)的关系的表达式为k＝________N/m。
解析：(1)根据胡克定律有mg＝k(x－x0)，
解得k＝＝ N/m≈81.7 N/m，≈0.012 2。
(2) n 图像如图所示。
(3)根据图像可知，k 与n 的关系表达式为k＝，k 与l0的关系表达式为k＝。
答案：(1)①81.7 ②0.012 2
(2) n 图像见解析图
(3)
第13 课时 验证力的平行四边形定则(实验提能课)
一、实验目的
1．验证互成角度的两个共点力合成时的平行四边形定则。
2．学会用作图法处理实验数据和得出实验结论。
二、实验原理
等效思想：使一个力F′的作用效果和两个力F1和F2的作用效果相同，都是使同一条
一端固定的橡皮条伸长到同一点O，即伸长量相同，所以F′为F1和F2的合力，作出力
F′的图示，再根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F 的图示，比较F、F′在实验
误差允许的范围内是否大小相等、方向相同。
三、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两个)、橡皮条、细绳套(两个)、三角板、刻度尺、图钉、
铅笔。
四、实验步骤
1．仪器安装
(1)如实验原理图所示，用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上。
(2)用图钉把橡皮条的一端固定在A 点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套。
2．测量与记录
(1)用两个弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条与绳的结点伸
长到某一位置O，记录两弹簧测力计的读数F1、F2，用铅笔描下O 点的位置及此时两细绳
的方向。
(2)只用一个弹簧测力计通过细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O，记下弹簧测力
计的读数F′和细绳套的方向。
(3)改变两弹簧测力计拉力的大小和方向，再重做两次实验。
五、数据处理
1．用铅笔和刻度尺从结点O 沿两条细绳方向画直线，按选定的标度作出这两个弹簧
测力计的拉力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形，过O 点画平行
四边形的对角线，此对角线即为合力F 的图示。
2．用刻度尺从O 点按同样的标度沿记录的方向作出实验步骤中只用一个弹簧测力计
的拉力F′的图示。
3．比较F 与F′是否完全重合或几乎完全重合，从而验证平行四边形定则。
六、误差分析
1．读数误差
减小读数误差的方法：弹簧测力计数据在条件允许的情况下，尽量大一些。读数时眼
睛一定要平视，要按有效数字的读数规则正确地读数和记录。
2．作图误差
减小作图误差的方法：作图时两力的对边一定要平行，两个分力F1、F2间的夹角越大，
用平行四边形作出的合力F 的误差ΔF 就越大，所以实验中不要把F1、F2间的夹角取得太
大。
七、注意事项
1．位置不变
在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要相同。
2．角度合适
用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太小，也不宜太大，
以60°～100°之间为宜。
3．尽量减少误差
(1)在合力不超出量程及在橡皮条弹性限度内，形变应尽量大一些。
(2)细绳套应适当长一些，便于确定力的方向。
4．统一标度
在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示
稍大一些。
考点(一) 实验原理与操作
[例1] 某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A 为固定
橡皮条的图钉，O 为橡皮条与细绳的结点，OB 与OC 为细绳。图乙是在白纸上根据实验结
果画出的图。
(1)如果没有操作失误，图乙中的F 与F′两力中，方向一定沿AO 方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法
B．等效替代法
C．控制变量法
D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A 点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细
绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到
达某一位置O。记录下O 点的位置，读出两个弹簧测力计的示数F1和F2；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用
平行四边形定则求出合力F；
E．只用一个弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数
F′，记下细绳的方向，按同一标度作出F′的图示；
F．比较F′和F 的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中：①有重要遗漏的步骤的序号是________和________；
②遗漏的内容分别是_________________________________________________
和_____________________。
[解析] (1)由一个弹簧测力计拉橡皮条至O 点的拉力一定沿AO 方向；而根据平行四
边形定则作出的合力，由于误差的存在，不一定沿AO 方向，故一定沿AO 方向的是F′。
(2)一个力的作用效果与两个力的作用效果相同，它们的作用效果可以等效替代，B 正
确。
(3)①根据“验证力的平行四边形定则”实验的操作步骤可知，有重要遗漏的步骤的序
号是C、E。
②在C 中未记下两条细绳的方向，E 中未说明是否把橡皮条的结点拉到同一位置O。
[答案] (1)F ′ (2)B (3)①C E ②C 中应加上“记下两条细绳的方向” E 中应
说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O”
实验分“探究型实验”和“验证型实验”两种，比如可以两分力为邻边，以合力为对
角线画出四边形，分析此四边形是否是平行四边形，即可验证平行四边形定则。
考点(二) 数据处理与误差分析
[例2] 将橡皮筋的一端固定在A 点，另一端拴上两根细绳，每根细绳分别连着一个量
程为5 N、最小刻度为0.1 N 的弹簧测力计，沿着两个不同的方向拉弹簧测力计，当橡皮筋
的活动端拉到O 点时，两根细绳相互垂直，如图甲所示。这时弹簧测力计的读数可从图中
读出。
(1)由图甲可读得两个相互垂直的拉力的大小分别为________ N 和________ N。
(2)在如图乙所示的方格纸上按作图法的要求画出这两个力及它们的合力。
(3)图丙中a、b 两图是两位同学得到的实验结果，其中哪一个图符合实际？若合力测
量值F′是准确的，则F 与F′有误差的原因可能有哪些？
[解析] (1)弹簧测力计的最小刻度为0.1 N，读数时应估读一位，所
以读数分别为2.50 N 和4.00 N。
(2)取一个小方格的边长表示0.50 N，作出两个力及它们的合力如图
所示。
(3)F′是用一个测力计拉橡皮筋所得到的，其方向一定在橡皮筋所在直线上，所以b
图符合实际。产生误差的原因主要是弹簧测力计读数偏差，确定分力方向不够准确等。
[答案] (1)2.50 4.00(或4.00 2.50) (2)见解析图 (3)b 图 误差原因见解析
实验题目也要尊重客观事实，比如本题第(3)问，F 是利用平行四边形定则作图得到的
合力，F′是使用一个弹簧测力计时的测量值，F 的大小和方向有一定的误差，但是F′的
方向一定沿着细绳。
实验原理
的迁移
利用三力平衡的结论，一个力与另外两个力的合力等大反向，验
证这个力与另外两个力的关系。
实验器材
的替换
[例3]某同学通过下述实验验证力的平行四边形定则。
实验步骤：
①将弹簧秤固定在贴有白纸的竖直木板上，使其轴线沿竖直方向。
②如图甲所示，将环形橡皮筋一端挂在弹簧秤的秤钩上，另一端用
圆珠笔尖竖直向下拉，直到弹簧秤示数为某一设定值时，将橡皮筋两端
的位置标记为O1、O2，记录弹簧秤的示数F，测量并记录O1、O2间的距离(即橡皮筋的长
度l)。每次将弹簧秤示数改变0.50 N，测出所对应的l，部分数据如下表所示：
F/N
0
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
l/cm
l0
10.97
12.02
13.00
13.98
15.05
③找出②中F＝2.50 N 时橡皮筋两端的位置，重新标记为O、O′，橡皮筋的拉力记为
FO O′。
④在秤钩上涂抹少许润滑油，将橡皮筋搭在秤钩上，如图乙所示。用两
圆珠笔尖成适当角度同时拉橡皮筋的两端，使秤钩的下端达到O 点，将两
笔尖的位置标记为A、B，橡皮筋OA 段的拉力记为FOA，OB 段的拉力记为
FOB。
完成下列作图和填空：
(1)利用表中数据在坐标纸上画出Fl 图线，根据图线求得l0＝________cm。
(2)测得OA＝6.00 cm，OB＝7.60 cm，则FOA的大小为________N。
(3)根据给出的标度，在下图中作出FOA和FOB的合力F′的图示。
(4)通过比较F′与________的大小和方向，即可得出实验结论。
[解析] (1)在坐标系中描点，用平滑的曲线(直线)将各点连接起来，不在直线上的点均
匀分布在直线的两侧。如图甲所示，由图线可知与横轴的交点l0＝10.0 cm。
(2)橡皮筋的长度l＝OA＋OB＝13.60 cm，由图甲可得F＝1.80 N，所以FOA＝FOB＝F
＝1.80 N。
(3)利用给出的标度作出FOA和FOB的图示，然后以FOA和FOB为邻边的平行四边形，对
角线即为合力F′，如图乙。
(4)FO O′的作用效果和FOA、FOB两个力的作用效果相同，F′是FOA、FOB两个力的合
力，所以只要比较F′和FO O′的大小和方向，即可得出实验结论。
[答案] (1)见解析图甲 10.0(9.8、9.9、10.1 均正确)
(2)1.80(1.70～1.90 均正确)
(3)见解析图乙
(4)FO O′
本题综合了“探究弹力和弹簧伸长的关系”“验证力的平行四边形定则”两个实验，
难度较大，解决这类创新实验题目就要锻炼灵活迁移和连贯应用的思维能力。
[创新演练]
有同学利用如图所示的装置来验证力的平行四边形定则：在竖直木板上铺有
白纸，固定两个光滑的滑轮A 和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量相等，
当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力F1、F2和F3，回答下列
问题：
(1)(多选)改变钩码个数，实验能完成的是( )
A．钩码的个数N1＝N2＝2，N3＝4
B．钩码的个数N1＝N3＝3，N2＝4
C．钩码的个数N1＝N2＝N3＝4
D．钩码的个数N1＝3，N2＝4，N3＝5
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是( )
A．标记结点O 的位置，并记录OA、OB、OC 三段绳子的方向
B．量出OA、OB、OC 三段绳子的长度
C．用量角器量出三段绳子之间的夹角
D．用天平测出钩码的质量
(3)在作图时，你认为下图中________是正确的。(填“甲”或“乙”)
解析：(1)实验中的分力与合力的关系必须满足：|F1－F2|＜F3＜F1＋F2，因此B、C、
D 选项是可以的。
(2)A
(3)甲 实验中F3是竖直向下的。
答案：(1)BCD (2)A (3)甲
1．(多选)在探究求合力的方法时，先将橡皮条的一端固定在水平木板上，另一端系上
带有绳套的两根细绳，实验时，需要两次拉伸橡皮条，一次是通过两细绳用两个弹簧测力
计互成角度地拉橡皮条，另一次是用一个弹簧测力计通过细绳拉橡皮条。
同学们在操作过程中有如下议论，其中对减小实验误差有益的说法是( )
A．两细绳必须等长
B．弹簧测力计、细绳、橡皮条都应与木板平行
C．拉橡皮条的细绳要适当长些，标记同一细绳方向的两点要适当远些
D．用两弹簧测力计同时拉细绳时两弹簧测力计示数之差应尽可能大
解析：选BC 通过两细绳用两个弹簧测力计互成角度地拉橡皮条时，并非要求两细
绳等长，故A 错误；测量力的实验要求尽量准确，为了减小实验中因摩擦造成的误差，操
作中要求弹簧测力计、细绳、橡皮条都应与木板平行，故B 正确；为了更加准确地记录力
的方向，拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些，故C 正确；用弹簧测
力计同时拉细绳时，拉力不能太大，也不能太小，故D 错误。
2.某同学在家中用三根相同的橡皮筋(遵循胡克定律)来探究求合力的方法，如
图所示，三根橡皮筋在O 点相互连接，拉长后三个端点用图钉固定在A、B、C 三
点。在实验中，可以通过刻度尺测量橡皮筋的长度来得到橡皮筋的拉力大小，并通
过OA、OB、OC 的方向确定三个拉力的方向，从而探究求其中任意两个拉力的合
力的方法。在实验过程中，下列说法正确的是( )
A．只需要测量橡皮筋的长度，不需要测出橡皮筋的原长
B．为减小误差，应选择劲度系数尽量大的橡皮筋
C．以OB、OC 为两邻边作平行四边形，其对角线必与OA 在一条直线上且长度与OA
相等
D．多次实验中即使O 点不固定，也可以探究求合力的方法
解析：选D 胡克定律F＝kx 中x 为形变量，需要先测出橡皮筋的原长，所以A 错；
为了减小误差，橡皮筋的伸长量应该大些，故应选择劲度系数稍小的橡皮筋，故B 错误；
由于橡皮筋的弹力与它的长度不成正比，所以OB、OC 弹力的合力方向与以OB、OC 为两
邻边做平行四边形的对角线不重合，故C 错误；即使O 点位置不同，依然满足任意两个橡
皮筋弹力的合力与第三个橡皮筋弹力等大反向的特点，所以即使O 点不固定，也可以探究
求合力的方法，故D 正确。
3.在“验证力的平行四边形定则”实验中，某同学用图钉把白纸固定
在水平放置的木板上，将橡皮条的一端固定在板上一点，两个细绳套系在
橡皮条的另一端。用两个弹簧测力计分别拉住两个细绳套，互成角度地施
加拉力，使橡皮条伸长，结点到达纸面上某一位置，如图所示。请将以下
的实验操作和处理补充完整：
①用铅笔描下结点位置，记为O；
②记录两个弹簧测力计的示数F1和F2，沿每条细绳(套)的方向用铅笔分别描出几个点，
用刻度尺把相应的点连成线；
③只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮条的结点仍拉到位置O，记录测力计的示
数F3，________________________________________________________________________
________________________________________________________________________；
④按照力的图示要求，作出拉力F1、F2、F3；
⑤根据力的平行四边形定则作出F1和F2的合力F；
⑥比较________的一致程度，若有较大差异，对其原因进行分析，并作出相应的改进
后再次进行实验。
解析：③用铅笔描出绳上的几个点，用刻度尺把这些点连成直线(画拉力的方向)，目
的是画出同两分力产生相同效果的这个力的方向。
⑥F 与F3作比较，即比较用平行四边形作出的合力和产生相同效果的实际的力是否相
同，即可验证力的平行四边形定则的正确性。
答案：③沿此时细绳(套)的方向用铅笔描出几个点，用刻度尺把这些点连成直线 ⑥F
与F3
4.某同学尝试用橡皮筋等器材验证力的平行四边形定则，他找到两条相同
的橡皮筋(遵循胡克定律)和若干小重物，以及刻度尺、三角板、铅笔、细绳、
白纸、钉子，设计了如下实验：将两条橡皮筋的一端与细绳连接，结点为O，
细绳下挂一重物，两橡皮筋的另一端也都连有细绳。实验时，先将一条橡皮筋
的另一端的细绳固定在墙上的钉子A 上，另一条橡皮筋任其下垂，如图甲所
示；再将另一条橡皮筋的另一端的细绳固定在墙上的钉子B 上，如图乙所示。
(1)为完成实验，下述操作中必需的是________。
A．两橡皮筋的另一端连接的细绳a、b 长度要相同
B．要测量橡皮筋的原长
C．要测量图甲和图乙中橡皮筋的长度
D．要记录图甲中结点O 的位置及过结点O 的竖直方向
E．要记录图乙中结点O′的位置及过结点O′的竖直方向
(2)对该实验“两条相同的橡皮筋”的要求的理解正确的是________。
A．橡皮筋的材料和原长相同即可
B．橡皮筋的材料和粗细相同即可
C．橡皮筋的材料、原长和粗细均要相同
解析：(1)首先应明白该实验的实验原理，即用橡皮筋的伸长量来表示弹力的大小，所
以实验中一定要测橡皮筋的长度，而没必要关心细绳a、b 的长度，选项B 和C 中的操作
是需要的，为了确保力的合成的等效性，需要记录题图乙中结点O′的位置及过结点O′
的竖直方向，选项E 中的操作是必需的。
(2)为了能用橡皮筋的伸长量表示弹力大小，满足F＝kx，应让k 值相同，即橡皮筋的
材料、粗细、原长均要相同，选项C 正确。
答案：(1)BCE (2)C
5．李明同学在做“验证力的平行四边形定则”实验时，利用坐标纸记下了橡皮筋的结
点位置O 点以及两个弹簧测力计拉力的大小，如图甲所示。
(1)试在图甲中作出无实验误差情况下F1和F2的合力图示，并用F 表示此力。
(2)有关此实验，下列叙述正确的是________。
A．两弹簧测力计的拉力可以同时比橡皮筋的拉力大
B．橡皮筋的拉力是合力，两弹簧测力计的拉力是分力
C．两次拉橡皮筋时，需将橡皮筋结点拉到同一位置O。这样做的目的是保证两次弹
簧测力计拉力的效果相同
D．若只增大某一个弹簧测力计的拉力的大小而要保证橡皮筋结点位置不变，只需要
调整另一个弹簧测力计的拉力的大小即可
(3)图乙是李明和张华两位同学在做以上实验时得到的结果，其中比较符合实验事实的
是________做的实验？(力F′是用一个弹簧测力计拉时的图示)
解析：(1)用平行四边形定则作图，即以F1、F2为两邻边作平行四边形，对角线就表示
合力F。(标上箭头表明方向)
(2)两分力可以同时大于合力，故A 正确；结点受三个力作用处于平衡状态，其中两弹
簧测力计的拉力的合力与第三个力——橡皮筋的拉力等大反向，是一对平衡力，而橡皮筋
的拉力不是合力，故B 错；只有保证结点在同一位置才能说明作用效果相同，故C 对；若
两个分力的大小变化而方向都不变，则合力必定变化，故D 错。
(3)作图法得到的F 必为平行四边形的对角线，单个弹簧测力计的拉力F′一定与橡皮
筋共线，故张华的实验比较符合实验事实。
答案：(1)如图所示
(2)AC (3)张华
6.某同学在做验证互成角度的两个力合成的平行四边形定则实验
时，把橡皮条的一端用图钉固定于P 点，同时用两个弹簧测力计将
橡皮条的另一端拉到位置O，这时两弹簧测力计的示数分别为FA＝
3.5 N、FB＝4.0 N，其位置记录如图所示。倘若橡皮条的活动端仅用
一个弹簧测力计拉着，也把它拉到O 点位置，弹簧测力计的示数为FC＝6.0 N，其位置如
图所示。
(1)用5 mm 表示1 N，在图中作出力FA、FB和FC的图示。
(2)根据平行四边形定则在图中作出FA和FB的合力F，F 的大小为______N。
(3)实验的结果是否能验证平行四边形定则：______(选填“能”或“不能”)。
解析：(1)FA、FB和FC的图示如图甲所示。
(2)根据平行四边形定则作出FA和FB的合力F，如图乙所示，量出其长度，对应5 mm
表示1 N 可得F＝5.8 N。
(3)利用平行四边形定则得出的合力与弹簧测力计的示数FC＝6.0 N，在实验误差允许
的范围内相等，故实验的结果能验证平行四边形定则。
答案：(1)见解析图 (2)见解析图 5.8(5.7～6.1 均可) (3)能
7．一同学用电子秤、水壶、细线、墙钉和贴在墙上的白纸等物品，在家中验证力的平
行四边形定则。
(1)如图甲，在电子秤的下端悬挂一装满水的水壶，记下水壶______时电子秤的示数
F；
(2)如图乙，将三细线L1、L2、L3的一端打结，另一端分别拴在电子秤的挂钩、墙钉A
和水壶杯带上。水平拉开细线L1，在白纸上记下结点O 的位置、__________和电子秤的示
数F1；
(3)如图丙，将另一颗墙钉B 钉在与O 同一水平位置上，并将L1拴在其上。手握电子
秤沿着(2)中L2的方向拉开细线L2，使______________和三根细线的方向与(2)中重合，记
录电子秤的示数F2；
(4)在白纸上按一定标度作出电子秤拉力F、F1、F2的图示，根据平行四边形定则作出
F1、F2的合力F′的图示，若________________，则平行四边形定则得到验证。
解析：(1)要测量装满水的水壶的重力，则记下水壶静止时电子秤的示数F；
(2)要画出平行四边形，则需要记录分力的大小和方向，所以在白纸上记下结点O 的位
置的同时也要记录三细线的方向以及电子秤的示数F1；
(3)已经记录了一个分力的大小，还要记录另一个分力的大小，则结点O 点位置不能变
化，力的方向也都不能变化，所
以应使结点O 的位置和三根细线的方向与(2)中重合，记录电子秤的示数F2；
(4)根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若F 和F′在误差范围内重合，
则平行四边形定则得到验证。
答案：(1)静止 (2)三细线的方向 (3)结点O 的位置
(4)F 和F′在误差范围内重合
8.如图所示，某实验小组的同学利用DIS 实验装置研究支架上力的
分解。A、B 为两个相同的双向力传感器，该型号传感器在受到拉力时
读数为正，受到压力时读数为负。A 连接质量不计的细绳，可沿固定的
板做圆弧形移动。B 固定不动，通过光滑铰链连接长0.3 m 的杆。将细
绳连接在杆右端O 点构成支架。保持杆在水平方向，按如下步骤操作：
①测量绳子与水平杆的夹角∠AOB＝θ
②对两个传感器进行调零
③用另一根绳在O 点悬挂一个钩码，记录两传感器的读数
④取下钩码，移动传感器A 改变θ 角
重复上述实验步骤，得到表格。
F1/N
1.001
0.580
…
1.002
…
F2/N
－0.868
－0.291
…
0.865
…
θ
30°
60°
…
150°
…
(1)根据表格数据，A 传感器对应的是力________(选填“F1”或“F2”)，钩码质量为
________ kg(保留一位有效数字)。
(2)本实验中多次对传感器进行调零，对此操作说明正确的是( )
A．因为事先忘记调零
B．何时调零对实验结果没有影响
C．为了消除横杆自身重力对结果的影响
D．可以完全消除实验的误差
解析：(1)A 传感器中的力均为正值，故A 传感器对应的是表中力F1，平衡时，mg＝
F1sin θ，当θ＝30°时，F1＝1.001 N，可求得m≈0.05 kg。
(2)在挂钩码之前，对传感器进行调零，目的是为了消除横杆自身重力对结果的影响，
故C 正确。
答案：(1)F1 0.05 (2)C
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，第1～5 题只有一项符合题目要求，第6～8
题有多项符合题目要求)
1．已知物体在4 N、6 N、8 N 三个共点力的作用下处于平衡状态，若撤去其中8 N 的
力，那么其余两个力的合力大小为( )
A．4 N
B．6 N
C．8 N
D．10 N
解析：选C 物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，若撤去其中一个力，那么其
余两个力的合力与撤去的力等大反向。
2.如图所示，质量均为m 的物体A、B 通过一劲度系数为k 的弹簧相连，开
始时B 放在地面上，A、B 均处于静止状态，现通过细绳将A 向上拉起，当B 刚
要离开地面时，A 上升距离为L，假设弹簧一直在弹性限度内，则( )
A．L＝
B．L<
C．L＝
D．L>
解析：选A 拉A 之前，A 静止时，mg＝kx1，弹簧的压缩量为x1，当B 刚要离开地面
时，弹簧的伸长量为x2，mg＝kx2，所以A 上升的距离为L＝x1＋x2＝，故A 正确。
3.如图，一质量为m 的正方体物块置于风洞内的水平面上，其一面与风
速垂直，当风速为v0时刚好能推动该物块。已知风对物块的推力F∝Sv2，
其中v 为风速，S 为物块迎风面积。当风速变为2v0时，刚好能推动用同一材料做成的另一
正方体物块，则该物块的质量为( )
A．4m
B．8m
C．32m
D．64m
解析：选D 根据题意知F＝kSv2，其中k 为常量，根据水平方向二力平衡有μmg＝
kSv2，设物块的密度为ρ，正方体物块的边长为L，则m＝ρL3，S＝L2，得μmg＝kv2，即
m∝v6，根据比值法，当风速为2v0时，该物块的质量为64m，选项D 正确。
4.如图所示，顶角为直角、质量为M 的斜面体ABC 放在粗糙的水
平面上，∠A＝30°，斜面体与水平面间的动摩擦因数为μ。现沿垂直于
BC 方向对斜面体施加力F，斜面体仍保持静止状态，则关于斜面体受
到地面对它的支持力FN和摩擦力Ff的大小，正确的是(已知重力加速度为g)( )
A．FN＝Mg，Ff＝F
B．FN＝Mg＋F，Ff＝μMg
C．FN＝Mg＋F，Ff＝F
D．FN＝Mg＋F，Ff＝F
解析：选C 对斜面体受力分析如图所示，斜面体保持静止，
则：
Ff＝Fcos 30°＝F
FN＝Mg＋Fsin 30°＝Mg＋F，故C 正确。
5.如图所示，在高度不同的两水平台阶上放有质量分别为
m1、m2 的两物体，物体间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向夹角为θ。在
m1左端施加水平拉力F，使m1、m2均处于静止状态，已知m1表面光滑，
重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．弹簧弹力的大小为
B．地面对m2的摩擦力大小为F
C．地面对m2的支持力可能为零
D．m1与m2一定相等
解析：选B 对整体受力分析可知，整体受重力、支持力、拉力，要使整体处于平衡，
则水平方向一定有向右的摩擦力作用在m2上，且大小与F 相同，故B 正确；因m2与地面
间有摩擦力，则一定有支持力，故C 错误；对m1受力分析可知，弹力水平方向的分力应等
于F，故弹力为，因竖直方向上的受力不明确，无法确定两物体的质量关
系，也无法求出弹簧弹力与重力的关系，故A、D 错误。
6.如图所示，质量均为m 的两木块a 与b 叠放在水平面上，a 受到斜
向上与水平方向成θ 角的力作用，b 受到斜向下与水平方向成θ 角的力作
用，两力大小均为F，两木块保持静止状态，则( )
A．a、b 之间一定存在静摩擦力
B．b 与地之间一定存在静摩擦力
C．b 对a 的支持力一定小于mg
D．地对b 的支持力一定大于2mg
解析：选AC 对a 受力分析，可知a 受重力、支持力、拉力而处于平衡，由于F 有水
平方向的分力，故a 有向右运动的趋势，故a 应受到b 向左的摩擦力，故A 正确；对整体
受力分析可知，整体受重力、支持力、两个拉力，将拉力沿水平和竖直方向分解可知，其
水平分量相等，故整体在水平方向受力平衡，故地面对b 没有摩擦力，B 错误；F 向上的
分量使a 受到的支持力小于重力，故C 正确；竖直方向，两分力相互抵消，故ab 受地面的
支持力等于2mg，故D 错误。
7.如图所示，物体A、B 用细绳与弹簧连接后跨过滑轮。A 静止在倾角为45°的粗糙斜
面上，B 悬挂着。已知mA＝3mB，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角由45°减小到30°，B 不会
碰到地面，则( )
A．弹簧的弹力不变
B．物体A 对斜面的压力将减小
C．物体A 受到的静摩擦力将减小
D．弹簧的弹力及A 受到的静摩擦力都不变
解析：选AC 对物体A 受力分析如图所示，设此时FfA沿斜面向上，由
平衡条件可得：mAgsin 45°＝F＋FfA，可得FfA＝mBg，当斜面倾角为30°时，
可得FfA′＝mBg＝mBg。可见，物体A 受到的静摩擦力方向沿斜面向上，且变
小，物体A 不会相对斜面滑动，弹簧的弹力始终等于物体B 的重力，故选项
A、C 正确，D 错误；物体A 对斜面的压力的大小由FN＝mAgcos 45°变为FN′＝mAgcos
30°，压力变大，选项B 错误。
8.如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b，两物体间用一根细线连接，在细
线的中点加一与斜面垂直的拉力F，使两物体均处于静止状态。则下列说
法正确的是( )
A．a、b 两物体的受力个数一定相同
B．a、b 两物体对斜面的压力相同
C．a、b 两物体受到的摩擦力大小可能不相等
D．当逐渐增大拉力F 时，物体b 先开始滑动
解析：选BC 对a、b 进行受力分析，如图所示。物体b 处于静
止状态，当细线沿斜面向上的分量与重力沿斜面向下的分量相等时，
摩擦力为零，所以b 可能只受3 个力作用，而物体a 必定受到摩擦力
作用，肯定受4 个力作用，选项A 错误；a、b 两个物体，垂直于斜
面方向受力都平衡，则有：FN＋Tsin θ＝mgcos α，解得：FN＝mgcos α－Tsin θ，则a、b
两物体对斜面的压力相同，选项B 正确；因为b 的摩擦力可以为零，而a 的摩擦力一定不
为零，故选项C 正确；对a 物体沿斜面方向有：Tcos θ＋mgsin α＝fa，对b 物体沿斜面方
向有：Tcos θ－mgsin α＝fb，又因为正压力相等，所以最大静摩擦力相等，则a 先达到最
大静摩擦力，先滑动，故选项D 错误。
二、实验题
9．如图所示，某同学在家中尝试验证平行四边形定则，他找到三条相同
的橡皮筋(遵循胡克定律)和若干小重物，以及刻度尺、三角板、铅笔、细绳、
白纸、钉子，设计了如下实验：将两条橡皮筋的一端分别挂在墙上的两个钉子
A、B 上，另一端与第三条橡皮筋连接，结点为O，将第三条橡皮筋的另一端
通过细绳挂一重物。
(1)为完成该实验，下述操作中不需要的是________。
A．测量细绳的长度
B．测量橡皮筋的原长
C．测量悬挂重物后橡皮筋的长度
D．记录悬挂重物后结点O 的位置
(2) 钉子位置固定，欲利用现有器材，改变条件再次验证，可采用的方法是
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)用橡皮筋验证平行四边形定则需要测量的是三条橡皮筋的伸长量及其拉伸的
方向，与细绳的长度无关，故选项中A 不需要，B 和C 是需要的；为了确保力的合成的等
效性，悬挂重物后结点O 的位置必须相同，所以D 也是必需的。
(2)因为钉子的位置已固定，为了继续进行实验，可改变重物的质量再次进行验证。
答案：(1)A (2)更换不同的小重物
10.在“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验中，某实验小组
将不同数量的钩码分别挂在竖直弹簧下端进行测量，根据实验所测
数据，利用描点法作出了所挂钩码的重力G 与弹簧总长L 的关系
图线，如图所示。根据图线回答下列问题(弹簧的重力不计)。
(1)弹簧的原长为________。
(2)弹簧的劲度系数为________。
(3)分析图线，总结出弹簧弹力F 与弹簧长度L 之间的关系式为________________。
解析：(1)由题图知，当不挂钩码时，弹簧长10 cm，即弹簧原长为10 cm。
(2)弹簧的劲度系数等于图线的斜率，即
k＝ N/m＝1 000 N/m。
(3)由数学函数关系可得弹簧弹力F 与弹簧长度L 之间的关系式为F＝1 000(L－0.10)。
答案：(1)10 cm (2)1 000 N/m (3)F＝1 000(L－0.10)
11．在做“验证力的平行四边形定则”实验时：
(1)除已有的器材：方木板、白纸、弹簧测力计、细绳套、刻度尺、图钉和铅笔外，还
必须有________和__________________________________________________。
(2)要使每次合力与分力产生相同的效果，必须( )
A．每次把橡皮条拉到同样的位置
B．每次把橡皮条拉直
C．每次准确读出弹簧测力计的示数
D．每次记准细绳的方向
(3)某同学的实验结果如图所示，其中A 为固定橡皮条的图钉，O 为橡
皮条与绳套结点的位置。图中________是力F1 与F2 的合力的理论值，
________是力F1与F2的合力的实际值。
解析：(1)做探究共点力合成的规律实验：我们是让两个力拉橡皮条和一个力拉橡皮条
产生的作用效果相同，测出两个力的大小和方向以及一个力的大小和方向，用力的图示画
出这三个力，用平行四边形做出两个力的合力的理论值，和那一个力进行比较。所以我们
需要的实验器材有：方木板(固定白纸)，白纸(记录方向画图)、刻度尺(选标度)、绳套(弹簧
测力计拉橡皮条)、弹簧测力计(测力的大小)、图钉(固定白纸)、三角板(画平行四边形)、橡
皮条(让力产生相同的作用效果的)。故还必须有的器材是橡皮条和三角板。
(2)要使每次合力与分力产生相同的效果，每次将橡皮条拉到同样的位置，即用一个力
与用两个力的作用效果相同，测出两个力的大小和方向以及一个力的大小和方向，没有必
要把橡皮条拉到最大长度，故B、C、D 错误，A 正确。
(3)用平行四边形画出来的是理论值，和橡皮条同线的那个是实际值，所以F 是理论值，
F′是实际值，该实验的实验目的就是比较F1、F2合力的理论值和实际值是否相等。
答案：(1)橡皮条 三角板 (2)A (3)F F′
12．某同学在研究性学习中，利用所学的知识解决了如下问题：一轻弹簧一端固定于
某一深度h＝0.25 m、且开口向右的小筒中(没有外力作用时弹簧的另一端位于筒内)，如图
甲所示，如果本实验的长度测量工具只能测量出距筒口右端弹簧的长度l，现要测出弹簧的
原长l0和弹簧的劲度系数，该同学通过改变挂钩码的个数来改变l，作出Fl 变化的图线如
图乙所示。
(1)由此图线可得出的结论是_______________________________________________
________________________________________________________________________；
(2)弹簧的劲度系数为________N/m，弹簧的原长l0＝________m；
(3) 该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，优点在于：
________________________________________________________________________。
缺点在于：______________________________________________________。
解析：(1)在弹性限度内，弹力和弹簧的伸长量成正比。
(2)根据胡克定律有：
F＝k(h＋l－l0)＝kl＋k(h－l0)①
由此可知，图像的斜率大小表示劲度系数大小，故k＝100 N/m，h＝0.25 m，当l＝0
时，F＝10 N，将数据代入方程①可解得l0＝0.15 m。
答案：(1)在弹性限度内弹力与弹簧的伸长量成正比
(2)100 0.15 (3)避免弹簧自身重力对实验的影响
弹簧与筒及绳子与滑轮间存在的摩擦会造成实验误差
