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第二章 相互作用
第8 课时 专题强化：动态平衡和临界、极值问题
目录
第二章 相互作用..................................................................................................................................................... 1
第8 课时 专题强化：动态平衡和临界、极值问题...............................................................................................1
考点一 动态平衡问题............................................................................................................................................... 1
考点二 平衡中的临界、极值问题........................................................................................................................... 4
【考情分析●明考向】
近三年高考考 情 分 析
知识点
年份
涉及试卷及题号
动态平衡和
临界、极值
问题
2025
浙江6 月选考T2、浙江1 月选考T2、江苏卷T1、四川卷T1、
黑吉辽蒙卷T1
2024
浙江1 月选考T2、浙江6 月选考T3、江西卷T3
2023
浙江6 月选考T4、浙江1 月选考T3
试
题
情
境
生活实践类
生活中的摩擦力的应用，索桥、千斤顶、刀、木楔的工作原理
学习探究类
探究弹簧弹力与形变量的关系，探究两个互成角度的力的合成规
律，共点力平衡条件及应用，平衡中的临界问题
2027 年高考
预测
2027 年高考对动态平衡和临界、极值问题的考查，仍会以中高难度选择题为主，
常结合生活实践与探究情境，重点考查动态平衡的矢量分析、临界条件判断与极值
求解，强调受力分析和数学方法的综合应用。
目标要求 1.会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。
【核心梳理●明考点】
考点一 动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。
常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
一个力(F1)恒定，另一个力(F2)方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。
若F1与F2垂直，三力构成直角三角形，如图甲所示，θ 增大时，F2、F3都增大。
若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min=F1sin θ，如图乙所示。
2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三
力构成的矢量三角形与△ACO 相似，则对应边比值相等。基本矢量图，如图所示。基本关系式：
mg
H = F N
R+r = FT
L 。
3.“一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变”的动态平衡问
题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心
角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。
【名师点拨】分析动态平衡问题的流程
受力分析
画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形
考点二 平衡中的临界、极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或
“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好伸直，拉力F=0。
(3)刚好离开接触面，支持力FN=0。
2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而
找出平衡的临界点和极值点。
(2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法
求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，
确定最大值与最小值。
【名师点拨】在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也
可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力
F 作用下做匀速直线运动，改变θ 大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支
持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α 满足tan α= Ff
F N
=μ，则Fmin=mgsin α，此时
θ=α。
【经典示例】
1．（2025·贵州·高考真题）一不可伸长的轻绳跨过同一水平线上的定滑轮，中间两定滑轮的间距为
，在
绳中央固定有一轻质吊环，绳两端分别挂有质量均为
的配重物，配重物静止在地面上且绳恰好伸直。如
图，某同学在健身时把吊环竖直向下缓慢拉
的距离后保持静止，已知重力加速度大小为
，不计摩擦及
滑轮大小，则静止时该同学对吊环的拉力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·浙江·高考真题）如图所示，钢架雪车运动员在具有阻力的倾斜赛道上滑行，则（ ）
A．运动员在转弯时加速度为0
B．运动员和钢架雪车整体机械能守恒
C．钢架雪车所受重力和赛道对钢架雪车的支持力是一对平衡力
D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力
3．（2026·浙江·高考真题）如图所示，一盏重为G 的艺术灯用细绳悬挂，左右两侧细绳与水平方向夹角分
别为45°和60°，细绳拉力分别为
和
。A 和B 是左侧细绳两端点，C 和D 分别是天花板和灯上的点，
CD 与AB 平行，则（ ）
A．
大于
B．
和
都小于G
C．用细绳连接C 和B 后撤去AB 绳，可使灯位置不变
D．用细绳连接C 和D 后撤去AB 绳，可使灯位置不变
4．（2025·天津·高考真题）一种名为“飞椅”的游乐设施如图所示，该设施中钢绳一端系着座椅，另一端
系在悬臂边缘。绕竖直轴转动的悬臂带动座椅在水平面内做匀速圆周运动，座椅可视为质点，则某座椅运
动一周的过程中（ ）
A．动量保持不变B．所受合外力做功为零
C．所受重力的冲量为零
D．始终
处于受力平衡状态
5．（2025·海南·高考真题）如图所示，光滑圆弧竖直固定，用轻绳连接两个小球P、Q，两小球套在圆环
上且均处于平衡状态，两小球与圆弧的圆心连线夹角分别为
和
，则两球质量之比
为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·浙江·高考真题）如图所示，两根相同的橡皮绳，一端连接质量为m 的物块，另一端固定在水平
桌面上的
、B 两点。物块处于AB 连线的中点C 时，橡皮绳为原长。现将物块沿AB 中垂线水平拉至桌面
上的O 点静止释放。已知CO 距离为L，物块与桌面间的动摩擦因数为
，橡皮绳始终处于弹性限度内，
不计空气阻力，则释放后（ ）
A．物块做简谐运动
B．物块只受到重力、橡皮绳弹力和摩擦力的作用
C．若
时每根橡皮绳的弹力为F，则物块所受合力大小为
D．若物块第一次到达C 点的速度为
，此过程中橡皮绳对物块做的功
7．（2025·重庆·高考真题）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m 的匀质
钢管在无风的空中悬停，轻绳M 端和N 端系住钢管，轻绳中点O 通过缆绳与无人机连接。MO、NO 与竖
直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO 的弹力大小为（ ）（重力加速度为g）
A．2mg
B．mg
C．
D．
8．（2025·北京·高考真题）如图所示，长方体物块
叠放在斜面上，B 受到一个沿斜面方向的拉力
F，两物块保持静止。B 受力的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
二、多选题
9．（2025·广东·高考真题）如图所示，无人机在空中作业时，受到一个方向不变、大小随时间变化的拉力。
无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动。已知拉力与
水平面成30°角，其大小F 随时间t 的变化关系为F = F0－kt（F ≠ 0，F0、k 均为大于0 的常量），无人机
的质量为m，重力加速度为g。关于该无人机在0 到T 时间段内（T 是满足F > 0 的任一时刻），下列说法
正确的有（ ）
A．受到空气作用力的方向会变化
B．受到拉力的冲量大小为
C．受到重力和拉力的合力的冲量大小为
D．T 时刻受到空气作用力的大小为
三、解答题
10．（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P 点，另一端经光滑孔
钉Q 连接质量为m 的小球A，该球穿过与水平直杆
（足够长）成
角的直杆
，两杆平滑连接。点
P、Q 和O 在同一竖直线上，
间距为弹力绳原长。将小球A 拉至与Q 等高的位置由静止释放。当小球A
首次运动到斜杆底端O 点后，在水平方向与穿在直杆
且静止于O 点、质量为
的小球B 发生弹性碰
撞。小球A、B 与杆间的动摩擦因数均为
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限
度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能
与伸长量x 的关系为
。已知重力加速度为
g，
间距为
。
(1)求小球A 下滑过程中滑动摩擦力的大小；
(2)若从碰撞后开始计时，小球A 第一次上滑过程中离O 点的距离x 与时间t 关系为
（
为
常数），求小球A 第一次速度为零时，小球B 与O 点的距离。
【限时训练】（30 分钟）
[分值：37 分]
【基础训练】 [1~7 题，每题3 分]
1.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的
斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小
于( )
A.1
2
B.
❑√3
3
C.
❑√2
2
D.
❑√3
2
2.(2025·河北卷·4)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，
一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对
其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F 的
最大值为( )
A.1
2G
B.
❑√2
2 G
C.G
D.❑√2G
3.(2024·浙江宁波市二模)如图所示，质量为m 的小球用一轻绳竖直悬吊于O 点。现用一光滑的金属挂
钩向右缓慢拉动轻绳至虚线位置，已知重力加速度为g，在此过程中，下列说法正确的是( )
A.钩子对绳的作用力始终不变
B.挂钩与O 点间的绳子拉力先变大后变小
C.绳子对挂钩的作用力方向始终水平向左
D.钩子对绳的作用力大小不可能等于1.5mg
4.(2025·浙江省名校联盟联考)如图所示，现有一只虫子沿圆管的圆弧曲线从A 点缓慢爬到B 点，关于
虫子爬过去的过程中，下列说法中正确的是( )
A.圆管对虫子的弹力可能不变
B.圆管对虫子的摩擦力先减小后变大
C.圆管对虫子的摩擦力一直减小
D.圆管对虫子的作用力一定改变
5.两金属小球A、B 用一轻质弹簧连接，球A 用轻绳悬挂于O 点，在水平拉力F 的作用下，两小球处
于如图所示的位置，此时轻绳与竖直方向的夹角为30°。现将力F 逆时针缓慢转动30°，在此过程中，
轻绳与竖直方向的夹角不变。下列说法正确的是( )
A.轻绳的拉力先减小后增大
B.A、B 两小球间的距离增大
C.力F 先减小后增大
D.弹簧与竖直方向的夹角增大
6.(多选)如图，一斜面粗糙的斜面体置于粗糙地面上，斜面顶端装有一光滑轻质定滑轮。一细绳跨过
滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M 相连，M 与滑轮间细绳与斜面平行，系统处于静
止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°角。已知M 与斜面体
始终保持静止，则在此过程中( )
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M 所受细绳的拉力大小一定一直增大
C.M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增大
D.斜面体所受地面的摩擦力一定增大
7.(2025·浙江省新阵地教育联盟联考)如图所示，质量为m 的物体由两根轻绳吊起悬在空中处于静止状
态，右侧绳子的另一端固定在高墙处的A 点且与竖直方向的夹角为α，左侧绳子由人拉着且与竖直方
向的夹角为β，现人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，物体在接触墙前的过程，下列说法正确的是(
)
A.两根绳子对物体拉力的合力变大
B.两绳子的拉力都变大
C.地面对人的摩擦力变小
D.地面对人的支持力变小
【提升训练】[8~10 题，每题4 分]
8.(2025·浙江省强基联盟联考)在吊运表面平整的重型板材(混凝土预制板、厚钢板)时，如因吊绳无处
钩挂而遇到困难，可用一根钢丝绳将板拦腰捆起(不必捆的很紧)，用两个吊钩钩住绳圈长边的中点起
吊(如图所示)，钢丝绳与水平方向的夹角为α，若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为μ，为了满足安全
起吊(不考虑钢丝绳断裂)，需要满足的条件是( )
A.tan α>μ
B.tan α<μ
C.sin α>μ
D.sin α<μ
9.如图甲所示，我国自主研发的“章鱼”触手机器人能抓取任意形态的物体，可负载260 倍自重。如
图乙所示，圆锥体母线和高线之间的夹角α=37°，该机器人对圆锥体的弹力方向垂直于圆锥体侧面，
靠机器人和圆锥体之间的摩擦力将圆锥体抓起。若该机器人竖直向上抓起圆锥体时施加的弹力足够大，
则机器人和圆锥体之间的动摩擦因数至少为(已知sin 37°=3
5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
A.3
5
B.4
5
C.3
4
D.4
3
10.(2024·浙江宁波市十校联盟联考)如图所示为某款可折叠手机支架，调节支撑杆MN，手机背部支撑
平面PQ 的倾角θ 随之改变，底部支撑平面ab 与PQ 始终垂直，忽略一切摩擦，当θ 缓慢减小时，下
列说法正确的是( )
A.背部支撑平面PQ 对手机的弹力逐渐变小
B.手机对底部支撑平面ab 的弹力逐渐变大
C.支架对手机的作用力逐渐增大
D.手机对支架的作用力始终不变
【尖子拔高】[4 分]
11.(2024·浙江省金丽衢十二校联考)如图，一直梯斜靠在竖直光滑墙壁，人站在梯子上，缓慢爬到梯子
的顶端，关于此过程，直梯受力情况( )
A.地面对直梯的支持力是由于直梯发生形变产生的
B.地面对直梯的作用力始终沿直梯向上
C.人站的位置越高，直梯受到地面的摩擦力越大
D.竖直墙壁对直梯的作用力保持不变
