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第六章 机械能守恒定律
【机械能守恒定律的单元知识体系】
知识点 36：功和功率
考点一：做功的判断及计算
【知识思维方法技巧】
（1）做功正负的判断方法：
①根据F的方向与位移l的方向间的夹角α来判断：常用于恒力做功的判断。
②根据F的方向与瞬时速度v的方向间的夹角α来判断：常用于曲线运动中的功。
0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不
做功。
③根据能量守恒或功能关系：此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的
判断。
（2）几个结论：
①无论静摩擦力还是滑动摩擦力都是既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．一对
静摩擦力所做功的代数和总等于零，一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值。
②人行走、跑步、起跳时地面对人不做功．
③一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这
一对力所做的功一定是数值相等，一正一负或均为零。
④一对相互作用力可以都做正功、都做负功、可以一正一负，一对相互作用力做的总功W
＝Flcos α。l是相对位移，α是F与l间的夹角，一对相互作用力做的总功可正、可负，也
可为零。
题型一：判断某个力对物体做功
【典例1基础题】 (多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右
匀速移动了距离s，如图所示，物体m相对斜面静止．则下列说法正确的是( )
1
学科网（北京）股份有限公司A．重力对物体m做正功
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m不做功
D．支持力对物体m做正功
【典例1基础题】【答案】BD
【解析】根据W＝FLcos α可知，重力与位移方向垂直，重力不做功，A错误；物体匀速
运动，合力为零，故合力不做功，B正确；摩擦力与位移的夹角为钝角，故摩擦力做负功，
C错误；支持力与位移夹角为锐角，故支持力做正功，D正确；故选BD.
【典例1基础题对应练习】用起重机将质量为m的物体匀速吊起一段距离，那么作用在物
体上的各力做功情况应是下列说法中的哪一种( )
A．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零
B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
D．重力不做功，拉力做正功，合力做正功
【典例1基础题对应练习】【答案】C
【解析】物体匀速上升，重力方向与位移方向相反，重力做负功，拉力竖直向上，拉力方
向与位移方向相同，拉力做正功，物体做匀速直线运动，处于平衡状态，所受合力为零，
则合力做功为零，故A、B、D错误，C正确。
题型二：判断物体对物体做功
【知识思维方法技巧】
一个物体对另一个物体的作用力就是物体对另一个物体弹力与摩擦力的合力，以物体为对
象，则物体只受重力与作用力二个力的作用，再根据加速度的方向，从而可以确定作用力
的大小和方向，依据W ＝F lcos α判断。
合 合
【典例2基础题】如图所示，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆
环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆
环对它的作用力( )
A．一直不做功
B．一直做正功
2
学科网（北京）股份有限公司C．始终指向大圆环圆心
D．始终背离大圆环圆心
【典例2基础题】【答案】A
【解析】因为大圆环光滑，所以大圆环对小环的作用力只有弹力，且弹力的方向总是沿半
径方向，与速度方向垂直，故大圆环对小环的作用力一直不做功，选项A正确，B错误；
开始时大圆环对小环的作用力背离圆心，后来指向圆心，故选项C、D错误．
考点二：恒力做功的计算
【知识思维方法技巧】
恒力做功的计算公式是W＝Flcos α。L为物体对地的位移，α是力与位移方向之间的夹角。
（1）计算功时要指明是哪个力的功，如机车的功实际是指牵引力的功，电流做功实际是电
场力做功，电场力做功也可用W＝qU＝UIt计算。
（2）物体沿斜面下滑过程中克服摩擦力做的功，与底边长有关，如图甲、乙分别从顶端
A、B滑至底端C 克服摩擦力做的功W＝W＝μmgcos θ·＝μmgL。
1 2
（3）合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W 、W 、W…，再应用W ＝W ＋W ＋W ＋…求合外力做的
1 2 3 合 1 2 3
功．
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
题型一：某个力对物体做功的计算
【典例1基础题】在一次跳绳体能测试中，一位体重约为50 kg的同学，一分钟内连续跳
了140下，若该同学每次跳跃的腾空时间为0.2 s，重力加速度g取10 m/s2，则他在这一分
钟内克服重力做的功约为( )
A．3 500 J B．14 000 J C．1 000 J D．2 500 J
【典例1基础题】【答案】A
【解析】G＝mg＝500 N，腾空时间为0.2 s表示每次上升过程用时0.1 s，上升的高度为h
＝gt2＝0.05 m，根据W＝Gh得起跳一次克服重力做的功W＝Gh＝500 N×0.05 m＝25 J．一
0
分钟内连续跳了140下，则一分钟内克服重力做功W＝140W＝140×25 J＝3500 J．故选A.
0
【典例1基础题对应练习】如图所示，两个物体与水平地面间的动摩擦因数相等，它们的
质量也相等。在甲图中用力F 拉物体，在乙图中用力F 推物体，夹角均为α，两个物体都
1 2
做匀速直线运动，通过相同的位移。设F 和F 对物体所做的功分别为W 和W，物体克服
1 2 1 2
摩擦力做的功分别为W 和W，下列判断正确的是( )
3 4
3
学科网（北京）股份有限公司A．F ＝F B．W＝W
1 2 1 2
C．W＝W D．W－W＝W－W
3 4 1 3 2 4
【典例1基础题对应练习】【答案】D
【解析】因两物体均做匀速运动，故有：F cos α＝μ(mg－F sin α)＝f ，F cos α＝μ(mg＋
1 1 1 2
F sin α)＝f ，故有：F <F 。W ＝F s cos α，W ＝F s cos α，W<W ，又W ＝fs，W ＝
2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 4
fs，因f<f ，故有W<W ，选项A、B、C均错误；因两物体匀速运动，合外力的功为零，
2 1 2 3 4
故有W－W＝W－W＝0，选项D正确。
1 3 2 4
题型二：物体对物体做功的计算
【知识思维方法技巧】
物体对物体做功的计算方法：
物体对物体做功就是一个物体对另一个物体作用力做功，就是物体对另一个物体弹力与摩
擦力合力的功，以物体为对象，则物体只受重力与作用力二个力的作用，再根据加速度的
方向，从而可以确定作用力的大小和方向，依据W ＝F lcos α计算。
合 合
【典例2基础题】如图所示，某起重机利用抓钩提升重物，当钢绳对抓钩的拉力为F＝
2.02×104 N时，重物由静止开始竖直向上运动，历时3 s．已知抓钩的总质量为20 kg，重物
的质量为2×103 kg，重力加速度g＝9.8 m/s2，求此过程中抓钩对重物做的功．
【典例2基础题】【答案】1.8×104 J
【解析】设重物上升的加速度为a，由牛顿第二定律得F－(M＋m)g＝(M＋m)a
代入数据解得a＝0.2 m/s2，设抓钩对重物的摩擦力为F，有F－Mg＝Ma
f f
代入数据解得F＝2×104 N，3 s末重物上升的高度h＝at2，则h＝0.9 m，抓钩对重物做的
f
功W＝Fh＝2×104×0.9 J＝1.8×104 J.
f
题型三：含动滑轮的细绳拉力做功的计算
【知识思维方法技巧】
4
学科网（北京）股份有限公司含动滑轮的细绳拉力做功的计算方法：
方法一：用W＝Flcos α求，其中l为力F作用点的位移，α为F与l之间的夹角。注意物
体与力的作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。
方法二：用两段细绳拉力分别所做功的代数和求解。注意：不计摩擦和滑轮质量时，滑轮
两侧细绳拉力大小相等。
类型一：动滑轮两侧细绳平行模型
【典例3a基础题】如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作
用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(
)
A．物体加速度大小为2 m/s2 B．F的大小为21 N
C．4 s内F的功为84J D．4 s内F的的功为42J
【典例3a基础题】【答案】C
【解析】由题图乙可知，vt图像的斜率表示物体加速度的大小，即 a＝0.5 m/s2，由2F－
mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的
位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故C正确,D错误。
类型二：动滑轮两侧细绳不平行模型
【典例3b基础题】一木块前端有一滑轮，轻绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另
一端用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图所示。当用力F拉绳使木块前进
位移s时，力F做的功(不计滑轮摩擦)是( )
A．Fscos θ B．Fs(1＋cos θ) C．2Fscos θ D．2Fs
【典例3b基础题】【答案】B
5
学科网（北京）股份有限公司【解析】方法一：如图所示，力F作用点的位移l＝2scos，故拉力F所做的功W＝Flcos α
＝2Fscos2＝Fs(1＋cos θ)。方法二：可看成两股绳都在对木块做功W＝Fs＋Fscos θ＝Fs(1
＋cos θ)，则选项B正确。
考点三：变力做功的计算及分析
题型一：用动能定理法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
动能定理是求变力做功的首选，在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功
的公式求解时，可用动能定理，W ＋W ＝mv 2－mv 2，物体初、末速度已知，恒力做功
变 恒 2 1
W 可根据功的公式求出，这样就可以得到W ＝mv 2－mv 2－W ，就可以求变力做的功
恒 变 2 1 恒
了．
类型一：曲线运动中变力做功的计算
【典例1a基础题】如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为
m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力
加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A．mgR B．mgR C．mgR D．mgR
【典例1a基础题】【答案】C
【解析】在Q点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，
所以有N－mg＝m，N＝2mg，联立解得v＝，下滑过程中，根据动能定理可得mgR－W＝
f
mv2，解得W＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，C正确。
f
类型二：人对物体做功的计算
【典例1b基础题】在篮球比赛中，某位同学获得罚球机会，他站在罚球线处用力将篮球投
出，篮球以约1 m/s的速度撞击篮筐。已知篮球质量约为0.6 kg，篮筐离地高度约为3 m，
忽略篮球受到的空气阻力，则该同学罚球时对篮球做的功大约为( )
A．1 J B．10 J C．50 J D．100 J
【典例1b基础题】【答案】B
【解析】由功能关系，该同学罚球时对篮球做的功大约为 W＝mgh＋mv2＝0.6×10×1.5 J＋
×0.6×12 J＝9.3 J，B正确。
【典例1b基础题对应练习】一同学将地面上一质量m＝400 g的足球沿与水平方向成θ＝
45°角踢出，足球与脚分开时的速度大小为10 m/s，不计空气阻力，足球可看做质点，重力
加速度g＝10 m/s2。则该同学踢球时对足球做的功为( )
A．200 J B．100 J C．20 J D．10 J
【典例1b基础题对应练习】【答案】C
【解析】由题意可知，足球离开脚时的速度为10 m/s，而脚踢球时只有脚对足球做功，由
动能定理可得W＝mv2＝×0.4×102 J＝20 J，故C正确，A、B、D错误。
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学科网（北京）股份有限公司题型二：用结论法（微元法）计算变力做功
【知识思维方法技巧】
当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程（不是
位移）的乘积，如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。
【典例2基础题】如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，与磨杆始终垂
直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动．则在转动一周的过程中推力F做的功
为( )
A．0 B．2πrF C．2Fr D．－2πrF
【典例2基础题】【答案】B
【解析】磨盘转动一周，力的作用点的位移为0，但不能直接套用W＝Fscos α求解，因为
在转动过程中推力F为变力．由于F的方向在每时刻都保持与作用点的速度方向一致，所
以有：W ＝F2πr＝2πrF(这等效于把曲线拉直)．
F
【典例2基础题对应练习】小明以初速度v=10m/s竖直向上抛出一个质量m=0.1kg的小皮
0
球，最后在抛出点接住，假设小皮球在空气中所受阻力大小为重力的0.1倍，求小皮球
（1）上升的最大高度；
（2）从抛出到接住的过程中重力和空气阻力所做的功；
（3）上升和下降的时间。
【典例2基础题对应练习】【答案】（1） ；（2）0； ；（3） ，
【解析】（1）小球上升过程，根据牛顿第二定律有
代入数据解得 ，上升的高度
（2）从抛出小球到接住的过程中，重力做功 ，空气阻力做功
（3）小球上升的时间 ，下降过程，根据牛顿第二定律有
7
学科网（北京）股份有限公司解得 ，根据 ，解得
题型三：用图象法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
用图象法计算变力做功的特点：
（1）F－x图象：由公式W＝Fx可知，F－x图线与x坐标轴围成的面积表示力所做的功。
且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于
求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
（2）P(功率)－t图象：由公式W＝Pt可知，P－t图线与t坐标轴围成的面积表示力所做的
功。
（3）p(压强)－V图像中图线与横坐标轴所围面积表示功
【典例3基础题】如图所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作
用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图
线为半圆．则小物块运动到x 处时F所做的总功为( )
0
A．0 B．F x C.F x D．x
m 0 m 0
【典例3基础题】【答案】C
【解析】在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的
功，面积S＝＝＝F ·＝F x＝x，所以C正确．
m m 0
【典例3基础题对应练习】轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连
如图7甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数 μ＝0.2。以
物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x
轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至 x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势
能为(g＝10 m/s2)( )
A．3.1 J B．3.5 J C．1.8 J D．2.0 J
【典例3基础题对应练习】【答案】A
【解析】物块与水平面间的摩擦力为F＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由
f
F－x图象面积表示功可知，物块运动至x＝0.4 m处时F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功
8
学科网（北京）股份有限公司W＝Fx＝0.4 J。由功能关系可知W－W＝E ，此时弹簧的弹性势能为E ＝3.1 J，选项A
f f f p p
正确。
题型四：用平均力法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即F＝kx＋b时，则可以认为物体
受到一大小为F＝的恒力作用，F 、F 分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝
1 2
Flcos α求此力所做的功．比如弹簧由伸长x 被继续拉至伸长x 的过程中，克服弹力做功
1 2
W＝·(x－x)
2 1
【典例4基础题】（多选）如图所示，A、B质量分别为m和M，B系在固定于墙上的水
平轻弹簧的另一端，并置于光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，将B向右拉离平衡位
置x后，无初速度释放，在以后的运动中A、B保持相对静止，则在弹簧恢复原长的过程
中( )
A．A受到的摩擦力最大值为 B．A受到的摩擦力最大值为
C．摩擦力对A做功为 D．摩擦力对A做功为
【典例4基础题】【答案】BD
【解析】刚释放时，A、B加速度最大，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得kx＝(M
＋m)a ，解得a ＝，此时A受到的摩擦力最大，对A根据牛顿第二定律得F ＝ma ＝，
m m fm m
故A错误，B正确；在弹簧恢复原长的过程中，A受的摩擦力随位移增大而线性减小到零，
所以摩擦力对A做的功为W＝·x＝，故C错误，D正确。
【典例4基础题对应练习】铁锹、斧头、锄头是常用农具，其长柄多为木制。为其安装木
制手柄的过程基本一致，以斧头为例对该过程进行简化：距地面一定高度，金属头在上，
用手抓住手柄向下快速砸向地面，手柄碰到地面立即停止运动，反复4次，金属头“砸
入”手柄的总深度为d。已知金属头所受阻力与其进入手柄的深度成正比，每次动作完全
相同，全程认为斧头只有竖直方向运动。则第一次金属头“砸入”手柄的深度为（ ）
A． B． C． D．
【典例4基础题对应练习】【答案】A
9
学科网（北京）股份有限公司【解析】金属头所受阻力与进入深度关系如图所示，由此可知，金属头砸入手柄的前一半
深度与后一半深度过程中，阻力做功之比为1:3，因每次动作完全相同，可知金属头每次
“砸入”手柄的初动能一致，则第一次“砸入”手柄的深度为 。故选A。
题型五：用等效转换法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
若某一变力的功和某一恒力的功相等，即效果相同，则可以通过计算该恒力做的功，求出
该变力做的功，从而使问题变得简单，也就是说通过定滑轮，将变力做功转化为恒力做功
这种方法称为等效转换法．如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功的问题．
【典例5基础题】某位工人师傅用如图所示的装置，将重物从地面沿竖直方向拉到楼上，
在此过程中，工人师傅沿地面以速度v向右匀速直线运动，当质量为m的重物G上升高度
为h时轻绳与水平方向成α角，(重力加速度大小为g，滑轮的质量和摩擦均不计)在此过程
中，下列说法正确的是( )
A．人的速度比重物的速度小
B．轻绳对重物的拉力大于重物的重力
C．重物做匀速直线运动
D．绳的拉力对重物做的功为mgh＋mv2
【典例5基础题】【答案】B
【解析】将人的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于重物G的
速度，根据平行四边形定则，绳子与水平方向的夹角为α时，v ＝vcos α，故v>v ，A错误
G G
人在向右匀速运动的过程中，绳子与水平方向的夹角α减小，所以重物的速度增大，重物
做加速上升运动，由牛顿第二定律可知绳子的拉力大于重物的重力，B正确，C错误；当
10
学科网（北京）股份有限公司重物G上升高度为h时，重物的速度v ＝vcos α，重物由地面上升高度h的过程中，根据
G
动能定理可知W－mgh＝mv，解得W＝mgh＋m(vcos α)2，D错误．
【典例5基础题对应练习】如图所示，用细绳通过定滑轮拉物体，使物体在水平面上由静
止开始从A点运动到B点，已知H＝3 m，m＝25 kg，F＝50 N恒定不变，到B点时的速
度v＝2 m/s，滑轮到物体间的细绳与水平方向的夹角在A、B两处分别为30°和45°。此过
程中物体克服阻力所做的功为( )
A．50(5－3) J B．50(7－3) J C．50(3－4) J D．50(3－2) J
【典例5基础题对应练习】【答案】A
【解析】设物体克服阻力做的功为W，由动能定理得F－W＝mv2代入数据求得W＝50(5
f f f
－3) J，选项A正确。
题型六：圆周运动摩擦变力做功的分析
【知识思维方法技巧】
接触面弹力发生了变化，则滑动摩擦力大小也发生了变化，滑动摩擦力做功也发生了变化。
如图小球能沿粗糙半圆周从P经最低点Q到R，由于机械能的损失，在前半程的速度（摩
擦力）总是大于后半程等高处的速度（摩擦力），P到Q克服摩擦力所做的功大于Q到R
克服摩擦力所做的功．
【典例6基础题】如图一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径
POQ水平．一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道．
质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小．用W表示质点
从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则( )
A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点
B．W＞mgR，质点不能到达Q点
11
学科网（北京）股份有限公司C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
D．W＜mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
【典例6基础题】【答案】C
【解析】根据动能定理得P点动能E ＝mgR，经过N点时，由牛顿第二定律和向心力公
kP
式可得4mg－mg＝m，所以N点动能为E ＝，从P点到N点根据动能定理可得mgR－W
kN
＝－mgR，即克服摩擦力做功W＝.质点运动过程，半径方向的合力提供向心力，即F －
N
mgcos θ＝ma＝m，根据左右对称，在同一高度处，由于摩擦力做功导致在右边圆形轨道
中的速度变小，轨道弹力变小，滑动摩擦力F＝μF 变小，所以摩擦力做功变小，那么从
f N
N到Q，根据动能定理，Q点动能E ＝－mgR－W′＝mgR－W′，由于W′＜，所以Q点速
kQ
度仍然没有减小到0，会继续向上运动一段距离，对照选项，C正确．
考点四：功率的计算及分析
题型一：功率的计算
【知识思维方法技巧】
求解功率时应注意的三个问题：
（1）首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
（2）平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内
做功的平均功率。平均功率的计算方法：P＝或P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度。
（3）瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。瞬时功率的计算方法：
P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度，α是F与v的夹角。
类型一：功率的计算
【典例1a基础题】水平恒力F两次作用在同一静止物体上，使物体沿力的方向发生相同的
位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，两次力 F做的功和功率的大
小关系是( )
A. W＝W，P>P B. W>W，P＝P
1 2 1 2 1 2 1 2
C. W>W，P>P D. W＝W，P＝P
1 2 1 2 1 2 1 2
【典例1a基础题】【答案】A
【解析】根据功的定义，两次水平恒力F做的功相等，即W＝W；第一次是在光滑水平
1 2
面上，第二次是在粗糙水平面上，第二次受到摩擦力作用，作用同样大小的力F，第一次
的加速度较大，由x＝ at2可知，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次需要的时间较
短，根据功率的定义，可知第一次的功率较大，即P>P，选项A正确，B、C、D错误．
1 2
【典例1a基础题对应练习】如图所示，分别用力F 、F 、F 将质量为m的物体由静止沿
1 2 3
同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，在此过程中F 、F 、F 的平均
1 2 3
功率分别为P、P、P，则( )
1 2 3
12
学科网（北京）股份有限公司A.P＝P＝P B.P＞P＝P
1 2 3 1 2 3
C.P＞P＞P D.P＞P＞P
3 2 1 1 2 3
【典例1a基础题对应练习】【答案】A
【解析】三种情况下，物体从底端运动到顶端的加速度相同，运动时间相同，运动过程中
的平均速度也相同。图甲中，根据牛顿第二定律得 F ＝mgsin α＋ma，因此F 做功的平均
1 1
功率P ＝F v＝(mgsin α＋ma)v。图乙和丙中，由牛顿第二定律可知F cos α＝mgsin α＋
1 1 2
ma，F cos θ＝mgsin α＋ma。因此F 和F 做功的平均功率分别是P＝F vcos α＝(mgsin α
3 2 3 2 2
＋ma)v，P＝F vcos θ＝(mgsin α＋ma)v，A正确。
3 3
类型二：平均功率的估算
【典例1b基础题】某同学进行体能训练，用了100 s 时间跑上20 m高的高楼，试估算他登
楼时的平均功率最接近的数值是( )
A．10 W B．100 W C．1 kW D．10 kW
【典例1b基础题】【答案】B
【解析】这是一道实际生活中求平均功率的计算题，考查估算能力，不仅要知道平均功率
的计算公式P＝，而且要对学生的质量有一个比较切合实际的估计，设 m ＝50 kg，则＝
人
＝ W＝100 W。
【典例1b基础题对应练习】 “双摇跳绳”是指每次在双脚跳起后，绳连续绕身体两周的
跳绳方法。在比赛中，高三某同学1 min摇轻绳240圈，跳绳过程脚与地面接触的时间约为
总时间的，则他在整个跳绳过程中克服重力做功的平均功率约为( )
A．15 W B．60 W C．120 W D．300 W
【典例1b基础题对应练习】【答案】C
【解析】假设该同学的质量约为50 kg，每次跳跃的时间t ＝ s＝0.5 s，腾空时间t ＝×0.5 s
1 2
＝0.3 s，腾空高度h＝gt2＝×10×2 m＝0.112 5 m，上升过程中克服重力做功 W＝mgh＝
50×10×0.112 5 J＝56.25 J，则跳绳过程中克服重力做功的平均功率P＝＝ W＝112.5 W，最
接近120 W，故选项C正确。
题型二：功率的分析
【典例2基础题】如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用
13
学科网（北京）股份有限公司下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率的变化
情况是( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
【典例2基础题】【答案】A
【解析】小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点，即小球做匀速圆周运动，那么
小球受到的重力mg、水平拉力F、绳子拉力F 三者的合力必是沿绳子指向O点．对小球
T
受力分析如图，F＝mgtan θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐渐增大，则功率P
逐渐增大，A项正确．
考点五：机车功率的问题
【知识思维方法技巧】
（1）机车启动问题的两种求解思路：
①机车以恒定功率启动：
②机车以恒定加速度启动：
（2）解决机车启动问题的两点注意：
①分清是匀加速启动还是恒定功率启动：
匀加速启动过程中，机车功率是不断增大的，当功率达到额定功率时匀加速运动速度达到
最大，但不是机车能达到的最大速度。
14
学科网（北京）股份有限公司以额定功率启动的过程中，牵引力是不断减小的，机车做加速度减小的加速运动，牵引力
的最小值等于阻力。
②无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Fv ，P为机车的额定功率。
f m
题型一：机车功率的计算问题
类型一：机车在水平面运动模型
【典例1a基础题】(多选)某汽车质量为5 t，发动机的额定功率为60 kW，汽车在运动过程
中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍．若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始匀加速启动，
经过24 s，汽车达到最大速度．取重力加速度g＝10 m/s2，在这个过程中，下列说法正确的
是( )
A．汽车的最大速度为12 m/s
B．汽车匀加速运动的时间为24 s
C．汽车启动过程中的位移为120 m
D．4 s末汽车发动机的输出功率为60 kW
【典例1a基础题】【答案】AC
【解析】当阻力与牵引力平衡时，汽车速度达到最大值，由汽车的功率和速度关系可得P
＝Fv ，解得v ＝＝＝ m/s＝12 m/s，故A正确；汽车以0.5 m/s2的加速度运动时，当汽
f max max
车的功率达到额定功率时，汽车达到了匀加速运动阶段的最大速度，由汽车的功率和速度
关系可得P＝F′v ，由牛顿第二定律，F′－0.1mg＝ma，联立解得v ＝8 m/s，F′＝7.5×103
m m
N，这一过程能维持的时间t ＝＝ s＝16 s，故B错误；匀加速过程中汽车通过的位移为x
1 1
＝at2＝×0.5×162 m＝64 m，启动过程中，由动能定理得F′x ＋P(t－t)－kmgx＝mv 2，解
1 1 1 max
得汽车启动过程中的位移为x＝120 m，故C正确；由B项分析可知，4 s末汽车还在做匀加
速运动，实际功率小于额定功率，所以4 s末汽车发动机的输出功率小于60 kW，故D错误
【典例1a基础题对应练习】“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．
总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的
额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F ＝kv，k为常量），动车组能
阻
达到的最大速度为v .下列说法正确的是( )
m
A.动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B.若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C.若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为v
m
D.若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 t达到最大速度
v ，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv 2－Pt
m m
【典例1a基础题对应练习】【答案】C
【解析】对动车组由牛顿第二定律有F －F ＝ma，动车组匀加速启动，即加速度a恒定，
牵 阻
但F ＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而增大，故A错误；
阻
若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，故可
知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
15
学科网（北京）股份有限公司若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv，
而以额定功率匀速行驶时，有＝kv ，联立解得v＝v ，故C正确；
m m
若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度v ，
m
由动能定理可知4Pt－W ＝mv 2－0
克阻 m
可得动车组克服阻力做的功为W ＝4Pt－mv 2，故D错误．
克阻 m
类型二：机车在斜面运动模型
【典例1b基础题】（多选）一辆质量为m的汽车在平直公路上以功率P、速度v 匀速行驶
0
时，牵引力为F .现汽车以恒定的功率P驶上倾角为30°的斜坡，已知汽车在斜坡上行驶时
0
所受的摩擦阻力是在平直路面上的，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
A．汽车在斜坡上达到最大速度时牵引力为F
0
B．汽车在斜坡上达到最大速度时牵引力为F ＋mg
0
C．汽车能达到的最大速度为v
0
D．汽车能达到的最大速度为
【典例1b基础题】【答案】BD
【解析】汽车在平直公路上匀速行驶时，牵引力等于阻力，则F＝F ，当汽车在斜坡上匀
f 0
速运动时速度最大，则F－mgsin 30°－F ＝0，解得F＝F ＋mg，故A错误，B正确；由P
0 0
＝Fv得汽车的最大速度为v ＝＝，故C错误，D正确．
max
【典例1b基础题对应练习】 (多选)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN
段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s
匀速行驶．已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g
取10 m/s2，不计空气阻力．下列说法正确的有( )
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
【典例1b基础题对应练习】【答案】ABD
【解析】小车从M到N，依题意有P＝Fv ＝200 W，代入数据解得F＝40 N，故A正确；
1 1
小车从M到N，因匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为 f ＝F＝40 N，则摩擦力做功为W
1 1
＝－40×20 J＝－800 J，则小车克服摩擦力做功为800 J，故B正确；
依题意，从P到Q，重力势能增加量为ΔE ＝mg·PQsin 30°＝5 000 J，故C错误；
p
小车从P到Q，摩擦力大小为f ，有f ＋mgsin 30°＝，摩擦力做功为W ＝－f·PQ，联立解
2 2 2 2
得W＝－700 J，则小车克服摩擦力做功为700 J，故D正确．
2
16
学科网（北京）股份有限公司类型三：竖直提升重物模型
【典例1c基础题】如图甲所示，用起重机将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面
运动至最高点的过程中，其v－t图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．在0～t 时间内，起重机拉力逐渐变大
1
B．在t～t 时间内，起重机拉力的功率保持不变
1 2
C．在t～t 时间内，货物的机械能保持不变
1 2
D．在t～t 时间内，起重机拉力对货物做负功
2 3
【典例1c基础题】【答案】B
【解析】在0～t 时间内，货物加速上升，加速度变小，则起重机拉力变小，A错误；在t
1 1
～t 时间内，货物匀速上升，拉力等于重力，功率不变，由于拉力做正功，机械能增加，B
2
正确，C错误；在t ～t 时间内，货物匀减速上升，拉力方向向上，起重机拉力对货物做正
2 3
功，D错误．
【典例1c基础题对应练习】（多选）图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志
着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备
进一步迈向世界前列。该起重机某次从 时刻由静止开始提升质量为 的物体，其
图像如图乙所示， 内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则
以下说法正确的是（ ）
A．该起重机的额定功率为
17
学科网（北京）股份有限公司B．该起重机的额定功率为
C． 和 时间内牵引力做的功之比为
D． 和 时间内牵引力做的功之比为
【典例1c基础题对应练习】【答案】BC
【解析】 内，做匀加速运动，牵引力和功率增加，当t=t 时，功率达到额定功率，根
1
据 ， 联立解得起重机的额定功率为 ，故A错
误，B正确；0~t 内牵引力做的功 ，t~t 内牵引力做的功 ，故在
1 1 2
0~t 和t~t 时间内牵引力做的功之比为 ，故C正确，D错误。故选BC。
1 1 2
题型二：与图像结合的机车功率的计算问题
类型一：与v－t图像结合的机车启动问题
【典例2a基础题】一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5
s末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其vt图像如图所示。已知汽车的质量为
m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的，则下列说法正确的是( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N
B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW
D．汽车的最大速度为80 m/s
【典例2a基础题】【答案】C
【解析】前5 s内的加速度a＝＝ m/s2＝4 m/s2，根据牛顿第二定律得F－f＝ma，解得牵引
力F＝f＋ma＝0.1×1×104 N＋1×103×4 N＝5×103 N，故A错误；额定功率P＝Fv＝5 000×20
W＝100 000 W＝100 kW，故C正确；当汽车的速度是25 m/s时，牵引力F′＝＝ N＝4 000
N，汽车的加速度a′＝＝m/s2＝3 m/s2，故B错误；当牵引力与阻力相等时，汽车的速度最
大，最大速度v ＝＝＝ N＝100 m/s，故D错误。
m
【典例2a基础题对应练习】一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直
线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其vt图像如图所示。已知汽车的
质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则以下说法正确
的是( )
18
学科网（北京）股份有限公司A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW D．汽车的最大速度为80 m/s
【典例2a基础题对应练习】【答案】C
【解析】由图像可知匀加速直线运动的加速度为a＝＝m/s2＝4 m/s2，根据牛顿第二定律得
F－f＝ma，解得牵引力为F＝f＋ma＝0.1×1×104 N＋1×103×4 N＝5×103 N，故A错误。额
定功率为P＝Fv＝5 000×20 W＝100 kW，故C正确。当车的速度是25 m/s时，牵引力F′
＝＝ N＝4 000 N，此时车的加速度a′＝＝ m/s2＝3 m/s2，故B错误。当牵引力与阻力相等
时，速度最大，最大速度为v ＝＝＝ m/s＝100 m/s，故D错误。
m
类型二：与a－图像结合的机车启动问题
【知识点的理解与运用】
由F－F＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，则斜率k＝；纵截距b＝－；
f
横截距＝。
【典例2b基础题】（多选）质量为400 kg的赛车在平直赛道上以恒定功率加速，受到的
阻力不变，其加速度a与速度的倒数的关系如图所示，则赛车( )
A．速度随时间均匀增大 B．加速度随时间均匀增大
C．输出功率为160 kW D．所受阻力大小为1 600 N
【典例2b基础题】【答案】CD
【解析】由题图可知，加速度是变化的，故赛车做变加速直线运动，A错误；由P＝Fv和
F－F ＝ma可得a＝·－，由此式可知，赛车速度增大时，加速度逐渐减小，故赛车做加
阻
速度逐渐减小的加速运动，B错误；由a＝·－结合a图像可得F ＝4m(N)，P＝400m(W)，
阻
代入数据解得F ＝1 600 N，P＝160 kW，C、D正确。
阻
19
学科网（北京）股份有限公司【典例2b基础题对应练习】一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持
恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数的图象如图所示．若已知汽车的质量，则根据
图象所给信息，不能求出的物理量是( )
A．汽车的功率
B．汽车行驶的最大速度
C．汽车受到的阻力
D．汽车运动到最大速度所需的时间
【典例2b基础题对应练习】【答案】D
【解析】由F－F＝ma、P＝Fv可得a＝·－，由a－图象可知，＝k＝40 m2·s－3，可求出汽
f
车的功率P，由a＝0时＝0.05 m－1·s，可得汽车行驶的最大速度v ＝20 m/s，再由v ＝，可
m m
求出汽车受到的阻力F，但无法求出汽车运动到最大速度所需的时间．
f
类型三：与F－图像结合的机车启动问题
【知识思维方法技巧】
如图AB段牵引力不变，做匀加速直线运动；BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率
不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；B点横坐标对应匀加速运动
的末速度为；C点横坐标对应运动的最大速度，此时牵引力等于阻力。
【典例2c基础题】（多选）质量为2×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程
中牵引力F和车速倒数的关系图象如图所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s，设阻力
恒定，则( )
A．汽车所受阻力为6×103 N
20
学科网（北京）股份有限公司B．汽车在车速为5 m/s时，加速度为3 m/s2
C．汽车在车速为15 m/s时，加速度为1 m/s2
D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W
【典例2c基础题】【答案】CD
【解析】当牵引力等于阻力时，速度最大，由题图可知阻力大小 F＝2 000 N，故A错误；
f
车速为5 m/s时，汽车的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，故B错误；题中倾斜图线的斜率表示汽
车的额定功率，可知P＝Fv＝2 000×30 W＝6×104 W，当车速为15 m/s时，牵引力F＝＝
f
N＝4 000 N，则加速度a′＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确；汽车的最大功率等于额定功率，等
于6×104 W，故D正确．
类型四：与P－t图像结合的机车启动问题
【典例2d基础题】一辆汽车在平直的公路上由静止开始启动，在启动过程中，汽车牵引力
的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力恒为重力
的 ，重力加速度g取 。下列说法正确的是（ ）
A．该汽车的质量为
B．
C．汽车受到的阻力大小为
D．汽车行驶过程中最大牵引力为
【典例2d基础题】【答案】AC
【解析】第5 s末，汽车的功率达到15 kW，此时速度为5 m/s，所以此时的牵引力为
，而在 ，汽车在做匀加速直线运动，加速度为
21
学科网（北京）股份有限公司，根据牛顿第二定律，有 ，解得m＝1000
kg，A正确；汽车所受的阻力大小为 ，故匀速时的速度 ，
B错误，C正确；汽车在0~5 s内做匀加速直线运动，5~15 s内汽车做加速度减小的加速运
动，根据牛顿第二定律可知0~5 s内牵引力最大，即等于5s末的牵引力 ，D
错误。
类型五：与其他图像结合的机车启动问题
【典例2e基础题】一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，发动机的输出功率与汽车速度
大小的关系如图所示，当汽车速度达到 后，发动机的功率保持不变，汽车能达到的最大
速度为 。已知运动过程中汽车所受阻力恒为f，汽车的质量为m，下列说法正确的是（
）
A．汽车的加速度先减小后不变 B．发动机的最大功率为
C．汽车速度为 时，加速度a= D．汽车速度从0达到 所用时间
【典例2e基础题】【答案】BCD
【解析】由 ，从0到 ，功率随时间均匀增大，则牵引力不变；当功率达到最大功
率保持不变，则速度增大，牵引力减小，由 ，可知，加速度先不变后减小，故A
错误；当汽车达到最大速度时，牵引力等于阻力，则 故B正确；汽车速度为
22
学科网（北京）股份有限公司时，由 ， ，加速度为 故C正确；汽车从0达到 的时间是 ，
又 ，解得 ，故D正确。
题型三：根据机车启动情景选择图象的问题
【典例3基础题】汽车在平直公路上以速度v匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹区时，
0
司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．下面四个图像中，
哪个图像正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系( )
【典例3基础题】【答案】C
【解析】功率减小一半时，由于惯性汽车速度来不及变化，根据功率和速度关系公式P＝
Fv，此时牵引力减小一半，小于阻力，汽车做减速运动，由公式 P＝Fv可知，功率一定时，
速度减小后，牵引力增大，则汽车所受合力减小，加速度减小，故汽车做加速度越来越小
的减速运动，当牵引力增大到等于阻力时，汽车做匀速运动，C正确．
【典例3基础题对应练习】（多选）下列各图是反映汽车(额定功率为P ，所受阻力为F)
额 f
从静止开始匀加速启动，最后做匀速运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和
功率随速度变化的图象，其中正确的是( )
【典例3基础题对应练习】【答案】ACD
【解析】汽车开始做初速度为零的匀加速直线运动，当达到额定功率时，匀加速结束，然
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学科网（北京）股份有限公司后做加速度逐渐减小的加速运动，直至最后匀速运动，开始匀加速时F－F＝ma，设匀加
f
速刚结束时速度为v ，有P ＝Fv ，最后匀速时F＝F，有P ＝Fv ，由以上各式解得匀
1 额 1 f 额 f m
加速的末速度为v ＝，最后匀速速度为v ＝，在v－t图象中斜率表示加速度，汽车运动过
1 m
程中开始加速度不变，后来加速度逐渐减小，最后加速度为零，选项A正确，B错误；汽
车牵引力开始大小不变，然后逐渐减小，最后牵引力等于阻力，选项C正确；开始汽车功
率逐渐增加，P＝Fv＝Fat，故为过原点直线，后来功率恒定，选项D正确。
24
学科网（北京）股份有限公司
