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3.5 利用导数研究零点和证明类问题
6 大考点汇总
考点01 判断函数零点个数
考点02 已知零点个数求参数范围
考点03 证明函数有唯一或多个零点
考点04 利用导数证明不等式
考点05 利用导数研究函数图象及性质
考点06 隐零点的相关问题
题型专练
考点01 判断函数零点个数
1．函数
的零点的个数为 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知函数
(1)当
时，解不等式：
；
(2)当
时，判断
的零点个数并证明；
3．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的零点个数；
(3)若
恒成立，求实数
的取值范围.
4．设函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间：
(3)当
时，求
零点的个数．
5．已知函数
.
(1)当
时，求
的最大值；
(2)判断函数
在
的零点个数，并说明理由
6．已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，判断函数
的零点个数.
考点02 已知零点个数求参数范围
7．已知函数
有两个零点，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
8．已知函数
.若关于
的方程
在区间
内恰有两个不同实根，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
或2
9．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个零点．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
，
．
10．函数
在
内存在2 个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
．
(1)求
的最小值；
(2)若方程
有两个不等的实根，求
的取值范围．
考点03 证明函数有唯一或多个零点
13．已知函数
.
(1)讨论
单调性
(2)当
时，证明：函数
有且仅有一个零点；
14．已知函数
．
(1)证明不等式：
；
(2)讨论
的单调性；
(3)设
，证明：
在定义域上有两个零点．
15．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
在
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；
(3)当
时，证明：函数
有且仅有两个零点．
16．已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的定义域；
(3)证明：方程
有唯一解.
17．已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)证明：若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求
的取值范围.
18．已知函数
．
(1)若
是
的极值点，求
的值，并讨论
的单调性；
(2)当
时，证明
存在唯一的极小值点
，且
．
考点04 利用导数证明不等式
19．已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程.
(2)证明：
无零点.
(3)若函数
，证明：
.
20．已知函数
，
为
的导函数
(1)求
的单调增区间；
(2)记
，
.当
时，证明：
.
21．已知函数
与函数
的图象在公共点处有相同的切线.
(1)当
时，求函数
与
在公共点处的切线方程；
(2)求
的最大值；
(3)证明：当
时，
.
22．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)证明：
，
．
23．已知函数
.
(1)证明：当
时，
恒成立；
(2)证明：当
时，
恒成立；
(3)对任意的
且
，满足
，求
的取值范围.
24．函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
，
时，
（ⅰ）求
的值域；
（ⅱ）证明：
．
考点05 利用导数研究函数图象及性质
25．已知关于
的方程
至多有两个不同实数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．已知不等式
恰有2 个非负整数解，求实数k 的取值范围 ___________________
27．已知函数
．
(1)求
的极值，并画出函数
的大致图象；
(2)求出方程
（
）解的个数；
(3)若
恒成立，求实数
的取值范围．
28．（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
有极大值
B．当
时，
C．
，
恒成立
D．当
有且仅有两个零点时，
29．若关于
的不等式
有且只有两个整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．过点
有n 条直线与函数
的图像相切.
(1)若
，求n 的值并求切线的方程；
(2)当n 取最大值时，求m 的取值范围.
考点06 隐零点的相关问题
31．已知函数
(1)求
的单调区间；
(2)不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
32．已知函数
．
(1)若
，试求
在
上的最大值；
(2)若对于任意的
，
恒成立，求
的最小值．
33．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)试讨论函数
的单调性；
(3)当
时，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
34．若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
35．已知函数
，
(1)
在区间
有唯一零点，求实数
的取值范围；
(2)当
时，若对任意
，不等式
恒成立，求
的最大整数值.（注：
）
36．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
