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4.1 任意角、弧度制和三角函数的概念
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α
的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，
k∈Z}，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作
弧度．
(2)公式
角α 的弧度数公式
|α|＝(l 表示弧长，r 表示半径)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝αR(R 是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角)
扇形面积公式
S＝lR＝αR2(R 是圆半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，l 是扇形弧长，S 是扇
形面积)
提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
(1)定义
前提
如图，设α 是一个任意角，α∈R，它的终边OP 与单位圆交于点P(x，
y)
定义
正弦
y 叫做α 的正弦函数，记作sin α
余弦
x 叫做α 的余弦函数，记作cos α
正切
叫做α 的正切函数，记作tan α
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan
α＝(x≠0)．
[常用结论]
1．三角函数值在各象限的符号规律
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若α∈，则tan α>α>sin α.
考点一 任意角的相关问题
考点二 扇形的弧长及面积公式
考点三 三角函数的定义求值
考点四 利用三角函数的定义求参数
考点五 各象限角三角函数值的符号
考点一 任意角的相关问题
1．（25-26 高三上·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角都比第二象限角小
B．小于
的角是锐角
C．终边相同的角一定相等
D．终边在
轴非负半轴上的角的集合是
【答案】D
【详解】选项A.
是第一象限角，
是第二象限角，但是
，错误.
选项B.
，但它不是锐角，错误.
选项C.终边相同的角相差
的整数倍，不一定相等，错误.
选项D.终边在
轴非负半轴上的角，就是
加上
的整数倍，集合表示为
，正确.
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知角
的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角
的集合为______.
【答案】
【分析】根据题意，可得出在
范围内，终边落在阴影内的角为
或
；结合周
期性进行化简，即可得出答案.
【详解】在
范围内，终边落在阴影内的角为
或
，
所以终边落在阴影所表示的范围内的角
的集合为
.
3．（2026 高三·全国·专题练习）设
是第三象限角，且
，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【分析】由
是第三象限角推断
是第二或第四象限角，结合
即可判断
所在象限.
【详解】因
是第三象限角，则
，
所以
，
当
时，
，即
是第二象限角；
当
时，
，即
是第四象限角.
又由
可知
，
所以
是第二象限角.
4．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）678°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【详解】
，
因为
是第四象限角，所以
是第四象限角.
考点二 扇形的弧长及面积公式
5．（25-26 高三上·江西上饶·阶段检测）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一
把折扇，测得其周长为
，面积为
，则其圆心角弧度数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．1 或4
【答案】D
【详解】设扇形的圆心角为
，半径为
，弧长为.
由题意得，
，解得，
或
，
由
得，
或
.
6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，
，
，扇形圆
心角
，
，则扇形区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
.
中，
，
，
，
，
由正弦定理得
，解得
，
扇形区域面积为
.
7．（25-26 高三上·广东江门·期中）如下图，已知
是圆心角为
的扇形，
是扇形弧上的点，四边形
是扇形的内接矩形，其中
，
，则扇形
的面积为______．
【答案】
【分析】先根据正切函数的定义求出
，再根据勾股定理求出扇形
半径，进而根据扇形的面积公式求解即
可．
【详解】在矩形
中，有
，
，且
，
则在
中，
，所以
，解得
，
所以在
中，
，所以
，
即扇形
半径的平方为
，
所以扇形
的面积为
．
8．（25-26 高三上·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角为2 弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________．
【答案】
16
【详解】扇形的圆心角弧度数
，弧长
．
根据弧长公式
，解得扇形半径
．
代入扇形面积公式
，可得
．
9．（25-26 高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知扇形的周长为10cm，面积为
，求扇形圆心角的弧度数．
（2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角
等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最
大面积．
【答案】（1）
（2）
时，面积S 取得最大值
【分析】（1）根据扇形面积公式求解即可；
（2）根据扇形面积公式及二次函数的性质求最值即可得解.
【详解】（1）设扇形半径为
，圆心角为
，
由题意得
， 解得
（舍去），
．
所以扇形圆心角为
．
（2）设扇形半径为，弧长为，
由已知得，
．
所以扇形面积
，
所以当
时，S 取得最大值
，此时
，解得
．
当扇形的圆心角
为2 弧度时，这个扇形的面积最大为
．
10．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知扇形
的圆心角的弧度为
，面积为4．
(1)若该扇形的弧长为4，求
的值．
(2)当
多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值．
【答案】(1)
(2)当
为2 时，扇形的周长取最小值，最小值为8
【分析】（1）利用弧长公式结合扇形面积公式求解；
（2）利用扇形面积表示弧长，结合基本不等式求解．
【详解】（1）设扇形所在圆的半径为，则弧长
，
扇形的面积
，
解得
，
．
（2）扇形的面积
，即
，
则扇形的周长
，
当且仅当
时，等号成立，此时
，
由
得
，
故当
为2 时，扇形的周长取最小值，最小值为8．
考点三 三角函数的定义求值
11．（25-26 高三上·四川泸州·期中）已知角
的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为角的终边过点
，
所以
.
12．（25-26 高三上·贵州·期中）若点
为角
终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接由三角函数的定义可得.
【详解】因为点
为角
终边上一点，所以
.
由任意角的三角函数定义得：
.
13．（25-26 高三下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，角
的终边经过点
，则
______．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义求
，再由两角差的正切公式即可求解.
【详解】由题可知
，则
．
14．（25-26 高三上·广西南宁·期中）已知
是角
终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【详解】由已知得：
．
15．（25-26 高三上·北京西城·期中）在平面直角坐标系
中，已知点
，若点
绕原点逆时针旋转
到
点
，则点
的横坐标为______．
【答案】
【分析】先由点
坐标得到对应角的正余弦值，再结合旋转后角的余弦即为点
横坐标，利用三角恒等变换公式
计算即可.
【详解】设以
轴正半轴为始边，射线
为终边的角为
.
∵ 点
，∴ 由三角函数的定义得
，
.
∵ 点
绕原点逆时针旋转
得到点
，∴ 点
对应的终边角为
，
∴ 点
的横坐标为
.又
，
∵
，
，
∴ 代入得：
.
【点睛】方法归纳：解决点绕原点旋转的坐标问题，可通过三角函数的定义将点坐标转化为对应角的正余弦值，
结合旋转后角的正余弦值即可得到旋转后的点坐标.
16．（25-26 高三上·上海·阶段检测）已知角
，
的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，
、
，
角
的终边与单位圆交点的横坐标为
，角
的终边与单位圆交点的纵坐标是
，求：
(1)
的值；
(2)
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义求出
，利用同角三角函数关系求出答案；
（2）根据条件推得
，结合
的符号，得到
，求出
的值，最后进行
拆角
，利用差角的余弦公式计算即得.
【详解】（1）由题意，
，因
，则
；
（2）由
，
，可得
，
又
，则
，
又因
，则
，
故
，
于是
.
考点四 利用三角函数的定义求参数
17．（25-26 高三上·河南驻马店·期中）已知角
的终边经过点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】已知角
的终边经过点
，若
，则
，解得
.
18．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026 学年高三上学期5 月春季联赛数学试题）已知角
的终边经过点
，且
，则m 的值为（ ）
A．4
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式及三角函数的定义列方程求解即可．
【详解】由角
的终边经过点
，
则
，
，
整理得
，
，
解得
或
（舍去），
所以m 的值为
．
19．（25-26 高三上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系
中，已知
是第二象限角，其终边上有一点
.
(1)若
，求
的值；
(2)在（1）的条件下，将
绕坐标原点顺时针旋转
至
，求点
的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义列方程求解即可.
（2）根据两角和的正弦、余弦公式求解即可.
【详解】（1）由题意得
，则
.
根据三角函数定义，
.
又因为
，所以：
因为
是第二象限角，
，两边约去
得：
两边平方得：
，解得
.
因为
是第二象限角，所以
.故
.
（2）由（1）知
，则
.
所以
.
设旋转后的角为
，则
.设
，则：
∴点
的坐标
.
20．（25-26 高三上·上海·期中）已知角
终边上一点
，若
，则实数
的值为______
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解.
【详解】依题意，
，则
的终边落在第一或第二象限，
又因为
，则点
在第一或第四象限，综上可得角
在第一象限，所以
，
即
，解得
.
21．（25-26 高三上·福建泉州·阶段检测）已知
是第二象限角，点
为其终边上一点，且
，则
等于（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】A
【分析】根据任意角三角函数的定义求解.
【详解】因为
是第二象限角，点
为其终边上一点，所以
，
解得
或
或
，因为
是第二象限角，所以
，所以
.
22．（25-26 高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角
的终边过
，求
的值．
（2）角
终边经过点
，且
．求
的值．
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）由三角函数的定义求出
的值，再代入计算；
（2）根据三角函数的定义求得
，再分情况求解即可．
【详解】（1）已知角
的终边过
，
，
；
（2）角
终边经过点
，
，
，
，即
，解得
，
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
综上，
的值为
或
．
考点五 各象限角三角函数值的符号
23．（25-26 高三上·辽宁·期中）若
，则
是（ ）
A．第二或第四象限角
B．第三象限角
C．第二象限角
D．第一或第三象限角
【答案】A
【分析】结合三角函数性质可得
范围，即可得
范围，即可得解.
【详解】由
，
，则
是第三象限角，
即
，
所以
，
当
，即
为偶数时，
，此时
是第二象限角；
当
，即
为奇数时，
，此时
是第四象限角；
综上
是第二或第四象限角.
24．（25-26 高三上·江西抚州·期中）若角
的终边不在坐标轴上，且满足
，则角
为（ ）
A．第一象限角或第二象限角
B．第二象限角或第三象限角
C．第三象限角或第四象限角
D．第二象限角或第四象限角
【答案】B
【分析】由三角函数式的符号确定角的范围或象限.
【详解】当角
的终边不在坐标轴上时，
，
所以
，所以只需
，
又因为
，要使
，
所以只需
，所以角
的终边在第二象限或第三象限.
25．（25-26 高三下·广西桂林·阶段检测）若
，则
为（ ）
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角C．第二或第四象限角D．第三或第四象限角
【答案】B
【详解】由题知
，
，
若
是第一象限角，则
，
，故
，不满足题意；
若
是第二象限角，则
，
，故
，满足题意；
若
是第三象限角，则
，
，故
，满足题意；
若
是第四象限角，则
，
，故
，不满足题意.
综上，
为第二或第三象限角.
故选:B.
26．（2026 高三·全国·专题练习）点
在第三象限，则角
终边在第二象限.( )
【答案】正确
【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于点
在第三象限，
所以
，所以
在第二象限，
所以命题正确.
1．（25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测）半径为2 的圆上长度为1 的圆弧所对的圆心角的弧度数为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【答案】D
【分析】由弧度制的定义计算求解.
【详解】半径为2 的圆上长度为1 的圆弧所对的圆心角的弧度数为
.
2．（25-26 高三上·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与
终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，求出合适的
的值，即可得答案.
【详解】设
与
的终边相同，
则
，
当
时，
.
3．（2026·天津·模拟预测）“角
与
终边相同”是“角
是第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若角
与
终边相同，则
，
.
当
为偶数（设
）时，
，此时
是第一象限角；
当
为奇数（设
）时，
，此时
是第三象限角.
充分性不成立.
若角
是第三象限角，则
，
，
此时角
的终边落在第一、第二象限或与
终边相同，不一定与
终边相同；
必要性不成立.
综上，“角
与
终边相同”是“角
是第三象限角”的既不充分也不必要条件.
4．（25-26 高三上·辽宁·期中）已知扇形的周长为
，圆心角为
，则该扇形的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据扇形的周长公式和弧长公式计算即可.
【详解】设该扇形的半径为，则有弧长公式
，其中
是圆心角的弧度数，
由于
，即
，
扇形的周长由两条半径和一段弧长组成，即
，
已知
，因此
，解得
，故C 正确.
5．（25-26 高三上·上海·期中）已知角
的终边经过点A，将OA 绕坐标原点
逆时针旋转
至OB，若点B 的坐标
为
，则点
的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义设出
的坐标，通过旋转得到
的坐标，结合
列方程组求解.
【详解】由题知，
，可设
，
由题知，向量
绕点
逆时针旋转
得到
，
则
，展开得
，
解得
，则
的横坐标为
.
6．（2026·甘肃白银·三模）已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】应用三角函数定义结合两角差正切公式计算求解.
【详解】点
是角
终边上的一点，则
，
所以
.
7．（25-26 高三上·上海·期中）已知
，则角
的终边所在的象限为第（ ）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】B
【详解】由象限角的三角函数符号可知，
，角
的终边在第二或第四象限，
，角
的终边在第一或第二象限，
综上可知当
时，角
的终边所在的象限为第二象限.
8．（25-26 高三上·江西宜春·阶段检测）下列式子中：①
；②
；③
；④
，值为正
的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
【答案】D
【分析】根据三角函数的诱导公式和象限角的符号判定即可求解.
【详解】判断①
，
，
是第三象限角，第三象限角的正弦值为负，因此①为负；
判断②
，余弦函数是偶函数，
，
，终边与
相同，
是第四象限角，第四象限角的余弦值为正，因此②为正；
判断③
，
，
是第三象限角，第三象限角的余弦值为负，因此③为负；
判断④
，因为是弧度，
，弧度是第二象限角，第二象限角的正弦值为正，因此④为正.
9．（25-26 高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面直角坐标系中点
位于第三象限，则角
为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据给定条件可得
，进而确定角所在象限.
【详解】由点
位于第三象限，得
，
由
，得角
是第二、四象限角；由
，得角
终边在
轴下方，
所以角
为第四象限角.
10．（25-26 高三上·河南驻马店·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．1 弧度的角与1°的角一样大
B．锐角一定是第一象限角
C．若圆心角为
的扇形的面积为
，则扇形的弧长为
D．终边落在直线
上的角的集合是
【答案】BC
【分析】依据 1 弧度约为
判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求
出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线
终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D
错误.
【详解】根据弧度制的定义可知1 弧度的角约等于
，故A 选项错误；
锐角
，第一象限角
（
），B 选项正确；
扇形面积公式：
（
为圆心角弧度数，r 为半径），
代入
，
，则
，解得
，
扇形弧长公式：
，代入
，
，则
，选项C 正确；
直线
即
，过第二、四象限，
在
内，终边在
上的角为：
，
，
因此终边落在
上的角的集合为：
，
也可写成：
，
而
可以拆成
：终边在直线
上，
和
：终边在直线
上，
即该集合表示终边在
或
上的所有角，
与真正只落在
上的集合S 不相等，选项D 错误；
11．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列结论正确的有（ ）
A．
是第三象限角
B．若扇形的圆心角为
，半径为3，则弧长为6，面积为9
C．若
，
为第二象限角，且
，则
D．
与
值域相同.
【答案】AB
【分析】根据终边相同的角可判断A 项；利用扇形的弧长面积公式判断B 项；举反例可判断C 项；确定内层函数
的值域，再结合外层三角函数的单调性分别求出两个函数的值域，可判断D 项.
【详解】对于A，因
，即
与
的终边相同，故是第三象限角，即A 正确；
对于B，依题意，该扇形的弧长为
，面积为
，故B 正确；
对于C ，举反例：取
，
，二者都是第二象限角，满足
，
但
，不满足
，C 错误；
对于D ，求值域：对
：
，因此
，值域包含负数；
对
：
，因此
，值域全为正数， 二者值域不同，D 错误.
12．（25-26 高三上·四川宜宾·期末）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．如果
是第一象限的角，则角
是第四象限的角
B．函数
在
上的值域是
C．已知角
的终边上的点
的坐标为
，则
D．已知
为第二象限的角，化简
【答案】AC
【详解】对于选项A，
是第一象限角，
与
的终边关于
轴对称，因此
是第四象限角，A 正确；
对于选项B，
时，
，B 错误；
对于选项C，角
的终边上的点
的坐标为
，由正弦函数定义知
，C 正确；
对于选项D，
是第二象限角时，
，D 错误.
13．（25-26 高三上·上海青浦·期中）已知角
的顶点是坐标原点，始边与
轴的正半轴重合，它的终边过点
，则
________.
【答案】
/
【详解】因为
，所以点
在单位圆上，
所以
，
因此
.
14．（2026·湖北·三模）平面直角坐标系中，若角
的终边经过点
，角
的终边经过点
，则
_________．
【答案】0
【详解】由三角函数定义知，
，
，
，
，
所以
.
15．（25-26 高三上·陕西汉中·期中）已知扇形的圆心角是
，
，则该扇形的弧长
______
.
【答案】
【分析】直接代入扇形公式求解即可.
【详解】
，
.
16．（25-26 高三上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是
，半径为R，弧长为l.
(1)若
，
，求扇形的弧长l；
(2)若
，
，求扇形的面积；
(3)若扇形的周长是
，当扇形的圆心角
为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可；
（2）根据扇形面积公式求解；
（3）由题意知
，可得
，然后结合二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）由已知得，
，
所以
．
所以当
时，S 取得最大值
，
此时
．
