文档文本内容
4.1 三角函数的概念、诱导公式
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................3
02 落实主干知识..................................................................................................................................4
一、任意角与弧度制............................................................................................................................4
二、任意角的三角函数........................................................................................................................5
三、三角函数的诱导公式....................................................................................................................5
常用二级结论........................................................................................................................................6
03 探究核心题型..................................................................................................................................7
题型一：角及其表示............................................................................................................................7
题型二：弧度制及其应用..................................................................................................................10
题型三：三角函数的概念..................................................................................................................13
题型四：同角三角函数基本关系式..................................................................................................15
题型五：诱导公式..............................................................................................................................17
题型六：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用..........................................................19
题型七：割圆术问题..........................................................................................................................23
04 好题赏析........................................................................................................................................28
05 数学思想方法................................................................................................................................31
①数形结合..........................................................................................................................................31
②转化与化归......................................................................................................................................33
③分类讨论..........................................................................................................................................35
06 课时精练（真题、模拟题）......................................................................................................37
基础过关篇..........................................................................................................................................37
能力拓展篇..........................................................................................................................................46
1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
2、借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
3、理解同角三角函数的基本关系式.
4、掌握诱导公式，并会简单应用.
一、任意角与弧度制
1、各种角的集合：
角的集合
角度制
弧度制
①与角
终边相
同的角的集合(含角
)
②终边在轴的
非负半轴上的角的集
合
③终边在轴上
的角的集合
④终边在坐标轴
上的角的集合
⑤终边在第一(二
三四)象限的角的集合
2、注意角
与角
及
的象限关系．
（1)图中序号表示角
的象限，序号所在区域为角
(或
）的终边所在区域．
（2）由角
的象限推理角
及
的象限，列不等式对进行赋值判断即可．
3、角度与弧度的互化公式：①
，②
，③
4、①弧长公式：
，
②扇形面积公式：
，其中
．
二、任意角的三角函数
1、任意角的三角函数的定义：
(1)借助单位圆来定义
设
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
，
则：
，
，
．
(2)设角
终边上任意一点
的坐标为
，它到原点的距离为
，
则：
，
，
．
①定义域、值域：
，
定义域都是
，值域都是
；
定义域是
，
值域为
．
②三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
③
点又可表示为
，在已知
或的情形下使用，这将给解题带来方便．
2、单位圆中的三角函数线(有向线段)：
，
，
(如下图)．
3、同角三角函数的基本关系式：
(1)平方关系：
；
(2)商数关系：
．
三、三角函数的诱导公式
1、诱导公式
公
式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k ∈
π +α
−α
π−α
π
2 −α
π
2 +α
正
弦
sin α
−sinα
−sin
sin α
cosα
cosα
余
弦
cosα
−cosα
cosα
−cos
sin α
−sinα
正
切
tan α
tan α
−tan
−tan
口
诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看
象限
2、“奇变偶不变，符号看象限”
(1)奇、偶是指
中的奇偶．奇函数名改变，偶函数名不变
①正弦和余弦互相变，
②正切需先化为正弦余弦比值再进行诱导．
(2)默认
为第一象限角
(3)观察
整个角度所在象限，从而判断该角度所对应三角函数的正负情况．
常用二级结论
1、三角完全平方公式
①
②
③
2、齐次式转化
①一次分式齐次
同除以
进行弦化切．
②二次整式齐次
除以1
，再除以
进行弦化切．
题型一：角及其表示
【典例1-1】已知角
的终边在图中阴影部分内，则角
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【解析】终边在
角的终边所在直线上的角的集合为
，终边在
角的终边所在直线上的角的集合为
，因此，终边在图中阴
影部分内的角
的取值范围是
．
【典例1-2】若角
，
，则符合条件的角
的最大负角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
.
又
，所以角
符合条件的最大负角为
.
故选：B.
【解题总结】
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的
集合，然后通过集合中的参数
赋值来求得所需的角.
(2)确定
(k∈N*)的终边位置的方法是先写出
或
的范围，然后根据k 的可能取值确定
或
的终边所在的位置.
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角
B．若
是钝角，则
是第一象限角
C．大于
的角一定是钝角
D．若
是锐角，则
是第二象限角
【答案】B
【解析】对于选项A：例如
为第一象限角，但不是锐角，故A 错误；
对于选项B：若
是钝角，则
，
可得
，所以
是第一象限角，故B 正确；
对于选项C：例如
，但
不是钝角，故C 错误；
对于选项D：例如
为锐角，则
不是第二象限角，故D 错误；
故选：B.
【变式1-2】下列命题：
①第四象限的角可表示为
；
②第二象限角大于第一象限角；
③将表的分针拨快10 分钟，则分针转过的角为
；
④若
是第二象限角，则
的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【解析】对于①，第四象限的角可表示为
，故①错误，
对于②，大小为
的角在第二象限，大小为
的角在第一象限，但
，故②错误，
对于③，将表的分针拨快10 分钟，则分针转过的角为
，故③正确，
对于④，大小为
的角在第二象限，但
的终边在第三象限；故④错误，
所以真命题的个数为1，
故选：B.
【变式1-3】角
对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（ ）
A．
，第一象限
B．
，第一象限
C．
，第二象限
D．
，第二象限
【答案】D
【解析】因为
，且
，
因为
为第二象限角，故
为第二象限角，
故选：D.
【变式1-4】（2025·福建福州·模拟预测）已知函数
，设的始边是轴的非负半轴，且
，若关于的方程
在
内有解，则的终边不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】由
，
，
，
或
，
当
，
时，得
，
，
又
，所以这样的不存在，
当
时，得
，
，
，
，又
，
时，
，此时在第一象限；
当
时，
，此时在第二象限；
当
时，
，此时在第四象限；
所以的终边可能位于第一、二、四象限.
故选：C.
题型二：弧度制及其应用
【典例2-1】在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上从
出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1
rad，则经过3 秒，M 的位置为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，得M 的位置为
，即为
.
故选：B
【典例2-2】若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【解析】如图，等边三角形
是半径为的圆
的内接三角形，
则线段
所对的圆心角
，
作
,垂足为
，
直角
中，
,
所以
，
所以
，
所以长度等于圆内接正三角形的边长的圆弧所对圆心角的弧度数为
，
故选：D.
【解题总结】
应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）高为2 的圆锥的侧面展开图是圆心角为
的扇形，则此圆锥的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，高为，体积为
，侧面展开图扇形的圆心角为
，
则根据题意可知
，
，
所以
，即
，解得
，
，
所以圆锥的体积为
.
故选：B.
【变式2-2】（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其
中一个是
的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知
，
，则该月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图所示，根据已知和图形知
，
设以
为外接圆的圆心为
，直径
由正弦定理得
，即
，
在圆
中，根据圆心角和圆周角的关系，可知
，
由扇形面积公式可得
，
易知以
直径的半圆的半径为
，即
，于是
，
故选：A.
【变式2-3】（2025·广西南宁·模拟预测）某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24 块，
店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8 块，再按照右图将每个
角蛋糕近似的均分成三块，
从弧
的中点B 出发，左右对称各切1 刀，已知右图中
，则
的长度约
为（ ）
（其中
，计算结果小数点请保留到
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
即
故选：B.
【变式2-4】体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中
和
均以
为圆心，
．若
，
，且
（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由扇形弧长公式可得
，
即
，
又
，
所以
，
所以当
时，最大为
，
故选：C.
题型三：三角函数的概念
【典例3-1】（2025·云南·模拟预测）已知角
的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过
点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知角
的终边经过点
，则
，
故
,
故选：D
【典例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
，
则
.
故选：D.
【解题总结】
设角
终边上任意一点
的坐标为
，它到原点的距离为
，
则：
，
，
．
【变式3-1】已知角
终边上一点
，若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．±1
D．
【答案】A
【解析】依题意，
，解得
.
故选：A
【变式3-2】设是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，且
，
解得
，则
，
故选：D.
【变式3-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为角
的终边经过点
，则
，
所以
.
故选：B.
题型四：同角三角函数基本关系式
【典例4-1】若
，
，则
.
【答案】
【解析】由题意，
，①
所以
，即
，
则
．
因为
，且
，所以
，
，
所以
，②
由①②变形得
，
所以
．
故答案为：
.
【典例4-2】若
，则
，
．
【答案】
/
/0.3
【解析】
；
.
故答案为：
；
.
【解题总结】
齐次式转化
①一次分式齐次
同除以
进行弦化切．
②二次整式齐次
除以1
，再除以
进行弦化切．
【变式4-1】已知
，则
．
【答案】
【解析】
.
故答案为：
.
【变式4-2】（2025·四川南充·一模）已知
，则
．
【答案】
/0.3
【解析】
，
．
故答案为：
.
【变式4-3】已知
，则
；
．
【答案】
/
【解析】因为
，则
，
所以
；
．
故答案为：
；
题型五：诱导公式
【典例5-1】已知
，则
．
【答案】1
【解析】原式
.
故答案为：.
【典例5-2】（2025·上海徐汇·三模）已知
，且
，则
.
【答案】
/
【解析】由
，
，
则
，
故
.
故答案为：
【解题总结】
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
【变式5-1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若
，则
．
【答案】
/0.6
【解析】当
时，
.
故答案为：
【变式5-2】（2025·北京大兴·三模）已知函数
，若
对任意
都成立，则
满足条件的一个实数的值是 .
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为
，即
，
所以
，即
.
故答案为：
（答案不唯一）
【变式5-3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数
，若
，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】
，
令
得
，
化简得
，
由题意得，
使得
，
即
在
有解，
所以实数的取值范围为
.
故答案为：
【变式5-4】（2025·山东·模拟预测）已知等差数列
的前项和为
，满足
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
.
令
，则
的定义域为
，且
，所以
为奇函数.又因为
，所以
在
上单调递增.
令
，则
，故
，即
，则
，
故
.
故答案为：
.
【变式5-5】（2025·山东泰安·三模）数列
的通项公式为
，则
.
【答案】
【解析】由
，可得
，
所以
是以8 为周期的数列，且2025=8×253+1，
，
所以
.
故答案为：
.
题型六：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【典例6-1】（多选题）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】
，故A 错误，B 正确；
若
，则
，故C 正确；
若
，两边取平方，整理得：
，即
，
即
，故D 正确；
故选：BCD.
【典例6-2】（多选题）已知角
满足
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由
，得
，
所以
，则
，
化简整理得
，
所以
，或
，
当
时，
，
所以当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
故选：ACD
【解题总结】
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的
联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
【变式6-1】（多选题）在数学史上，为了三角计算的简便及计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函
数：定义
为角的正矢，记作
，定义
为角的余矢，记作
．下列说法正确
的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．函数
的最大值为
【答案】ABC
【解析】对A：
，故A 正确；
对B：
，故B 正确；
对C：由
，
所以
，故C 正确；
对D：因为
.
当
时，
取得最大值4.故D 错误.
故选：ABC
【变式6-2】（多选题）已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由
，
，
得
，
，则
，故A 正确；
，
，
，
则
，
当
时，联立
，
解得
，
，则
；
当
时，联立
，
解得
，
，则
，故B、C 错误；
由
，两边平方可得，
，
则
，
，故D 正确.
故选：AD.
【变式6-3】（多选题）已知
，且
为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
，两边同时平方可得
，
即
，解得
，A 选项正确；
，
为锐角，于是
，则
，B 选项正确；
由
，
可得，
，则
，
注意到
，则
，故C 错误，D 正确.
故选：ABD
【变式6-4】（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意
，
从而
.
故选：AD.
题型七：割圆术问题
【典例7-1】（2025·安徽宣城·二模）刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n
很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率
．在《九章算
术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思
想．运用此思想，当
取
时，可得
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将一个单位圆分成
个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为
由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长
，
因为这
个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，
所以
，
所以
．
故选：D．
【典例7-2】（2025·高三·山东聊城·期中）刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:
当很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率
.在《九章
算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限
思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当
取3.1416 时可得
的近似值为
（ ）
A．0.00873
B．0.01745
C．0.02618
D．0.03491
【答案】B
【解析】根据
，将一个单位圆分成360 个扇形，由这360 个扇形的面积之和近似为单位圆的
面积求解.因为
，
所以将一个单位圆分成360 个扇形，则每一个扇形的圆心角为
，
所以这360 个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，
即
，
所以
，
故选：B
【解题总结】
割圆术是魏晋时期数学家刘徽首创的方法，用于计算圆周率。其核心思想是通过不断倍
增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周
率。
【变式7-1】如图当
时，圆内接正六边形的周长为
，故
，即
.运用“割圆术”的思想，下
列估算正确的是（ ）
A．
时，
B．
时，
C．
时，
D．
时，
【答案】A
【解析】设圆的内接正十二边形被分成
个如图所示的等腰三角形，其顶角为
，即
，
作
于点
，则
为
的中点，且
，
因为
，在
中，
，即
，
所以，
，则
，
所以，正十二边形的周长为
，
所以，
.
故选：A.
【变式7-2】圆周率
、自然对数的底数e 是数学中最为神奇的两个常数.人类研究
的历史悠久并创造了
辉煌的成就.为了得到精确度更高的圆周率，一代代数学家付出过许多艰苦的努力.中国古代数学家刘徽曾
用“割圆术”计算圆周率，得到
．以正n 边形的周长近似表示其外接圆周长时，可得
的近似
值.
与n 的关系为：
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将一个单位圆平均分成个扇形，
则每个扇形的圆心角度数均为
可得每个圆心角所对的弦长为
由于正n 边形的周长近似表示其外接圆周长
所以
，则
故选：C
【变式7-3】公元3 世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先
在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于
圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边
形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆内接正边形的边长为，圆的半径为，
如图所示，连接
，取
中点
，连
，令
，
易知
，
，得到
，
由题意知，周长（近似）为
，所以
，
得到
，
故选：A.
【变式7-4】在3 世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥
少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可
以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近
似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为
，底边约为
，
由题意得
，
故选：C
1．有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19 世纪德国工程师勒洛的
名字命名的勒洛三角形．勒洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C 为圆心，线段
AB 长为半径画圆弧，便得勒洛三角形如图所示，若勒洛三角形的周长为
，则其面积是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法1：由已知得：
，所以
，
弓形AB 的面积为
，所求面积为
故选
解法
由已知得：
，所以
，扇形ACB 的面积为
，
所求面积为
故选
2．角
的终边在直线
上，则
的值是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法一： 当角
的终边位于第一象限时，取直线
上位于第一象限的一个点的坐标，如
，则
，同理，当角
的终边位于第三象限时，取直线上一个点的坐标为
，
则
，故选
解法二：
角
的终边在直线
上，
，即
①， 又
②，
解①②构成的方程组，得
，经检验，符合题意，故选
3．已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积S 的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解法一，设扇形半径为r，弧长为l，
则周长为
，面积为
，
因为
，
所以当
时，
；
解法二，设扇形半径为r，弧长为l，
则周长为
，面积为
，
则
，当且仅当
，即
时等号成立．
故本题选
①数形结合
1．2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日
历史上，求圆周率
的方法有多种，与中国传统数
学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形
的周长和外切正6n 边形各边均与圆相切的正6n 边形的周长，将它们的算术平均数作为
的近似值．
按照阿尔卡西的方法，
的近似值的表达式是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，设单位圆的内接正6n 边形的边长为a，单位圆的外切正6n 边形的边长为b，
可得
，
，
则
，
即
，
故选：
2．如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，
是锐角，大小为
，图中阴影区
域的面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆心为O，由题意可得
，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线
时，
即有
，Q 到线段AB 的距离为
，
，
扇形AOB 的面积为
，
的面积为
，
，
即有阴影区域的面积的最大值为
故选
3．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆
弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角
，若“弦”为
，
“矢”为1 时，则
等于
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意可设半径长
，
可得
，
，
由同角三角函数值之间的基本关系可得
，
解得
；
即可得
，
，
；
所以
故选：
②转化与化归
4．已知
是互不相同的锐角，则在
三个值中，大于
的个数的
最大值是
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【解析】已知
是互不相同的锐角，
由基本不等式有
，当
时等号成立，
同理
，当
时等号成立，
，当
时等号成立，
故
，
故
不可能均大于
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2 个，
故选：
5．已知动点A 从
出发，沿单位圆顺时针运动，经过
后落在角
的终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
故选：
6．已知
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】已知
，
整理得
，所以
，
故
，
故选：
③分类讨论
7．若
是第三象限角，则
的值为
A．0
B．2
C．
D．2 或
【答案】A
【解析】
是第三象限角，
，
，
，
，
①当k 为偶数时，
为第二象限角，
，
，
，
②当k 为奇数时，
为第四象限角，
，
，
，
故选
8．以坐标原点为顶点，x 轴非负半轴为始边的角
，其终边落在直线
上，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为角
的终边落在直线
上，
当角
的终边在第一象限时，终边过点
，
此时
，
，
，
，
当角
的终边在第三象限时，终边过点
，
此时
，
，
，
，
故选：
9．已知角
的终边与单位圆交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】角
的终边与单位圆的交点
，
，
解得：
，
当
时，
，
，
此时
；
当
时，
，
，
故选
基础过关篇
1．（2025 年高考天津卷数学真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
，则“
”是“
”的充分条件；
又当
时，
，可知
，
故“
”不是“
”的必要条件，
综上可知，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
，
所以
，
故选：B.
3．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
4．（2022 年新高考浙江数学高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【解析】因为
可得：
当
时，
，充分性成立；
当
时，
，必要性不成立；
所以当
，
是
的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录
了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，
是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在
上，
．“会圆术”给出
的弧长的近似值s 的计算公式：
．当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，连接
，
因为
是
的中点，
所以
，
又
，所以
三点共线，
即
，
又
，
所以
，
则
，故
，
所以
.
故选：B.
6．（2025 年高考北京卷数学真题）已知
，且
，
.
写出满足条件的一组
的值
，
．
【答案】
（答案不唯一）
（答案不唯一）
【解析】因为
，
，
所以
的终边关于
轴对称，且不与
轴重合，
故
且
，
即
，
故取
可满足题设要求；
故答案为：
；
（答案不唯一）
7．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）若
，则
．
【答案】
【解析】因为
，则
，
又因为
，则
，
且
，解得
或
（舍去），
所以
.
故答案为：
.
8．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为
，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为
，
由题意可得
，解得
，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为
.
故选：D.
9．（2025·山东济宁·二模）已知圆锥的体积为
，其侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则该圆
锥的底面半径为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有
，
又
，所以
，
故选：B.
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图
甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧
，
所在圆的半径分别是3 和
6，且
，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）
A．高为
B．体积为
C．表面积为14π
D．轴截面面积为
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为
，
依题意，
，解得
，
又圆台的母线长
，则圆台的高为
，故A 正确；
圆台的体积为
，故B 错误；
圆台的表面积为
，故C 正确；
圆台的轴截面面积为
，故D 正确.
故选：B.
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设角
的顶点与原点
重合，始边与轴的
非负半轴重合，终边经过点
，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】由题意可得，
，
则
，解得
（
舍去）.
故选：B
12．（2025·河北·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
故
，
又
且
，故
，
，故
.
故选：A.
13．（2025·广西柳州·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
，则
.
故选：D.
14．（2025·河南许昌·三模）已知向量
与
的夹角为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题
，
，
，
所以
．
故选：C．
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，解得
，
于是
，
故选：A．
16．（多选题）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】由
，则
，
即
，
因为
，所以
，则
，
所以
，
则
，故D 正确；
由
，解得
，
，故AC 错误；
则
，故B 正确.
故选：BD.
17．（多选题）已知
，
，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由
，则
，化简得
，故A 正确；
对于B，由
，
，则
，即
，
，
，故B 正确；
对于C，由
，解得
，所以
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：ABD.
18．（多选题）（2025·云南大理·模拟预测）已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由角
的终边经过点
，得点
到原点
的距离
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
故选：AC
19．已知
，则
的值等于 ．
【答案】
【解析】
，
，
即
．把
两边平方，得
，
即
，
，即
．
联立
，解得
．
故答案为：
20．已知
，
，则
．
【答案】
【解析】由
，可得
，
所以
，所以
，
又
，所以
，所以
，所以
，
又
，
所以
.
21．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．
主动轮有20 齿，被动轮有48 齿，主动轮的转速为
（转/分），被动轮的半径为
，则被动
轮周上一点每
转过的弧长是
．
【答案】
【解析】由题意知，主动轮的转速为
，则被动轮
转过的角度大小为
，
所以弧长为
故答案为：
22．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系
中，角
以
为始边，其终边与单位圆交点的横坐
标为
，写出一个符合题意的
.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由题意，
，则
或
故答案为：
（答案不唯一）.
23．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为
，侧面积为
，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心
角的大小为 .
【答案】
【解析】设底面半径为，母线长为l
由
，得
，
又
，由勾股定理
，
所以
，解得
，
底面圆周长
，扇形中心角
，
故答案为：
24．（2025·甘肃白银·二模）已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点
，则
.
【答案】
【解析】由正切函数的定义可知
，
再利用诱导公式知
.
故答案为：
能力拓展篇
25．（2025·吉林长春·模拟预测）已知点
在圆
上运动，若过点
可以作曲线
的切线，则点
的轨迹长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，则
，且
，故
，
所以
在
处的切线方程为
，
，
，则
在
处的切线方程为
，
，
，则
在
处的切线方程为
，
当
的切点横坐标从
，切线由
变为
，
此时两切线与圆的交点左边从
，右边从
，
同理
的切点横坐标从
，切线由
变为
，
此时两切线与圆的交点左边从
，右边从
，
所以
的轨迹为劣弧
，其中
，故
，
所以轨迹对应圆心角为
，由弧长公式得
.
故选：C
26．（2025·湖南岳阳·模拟预测）曲线
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可得
或
，
即
或
，
所以，曲线
由一族同心圆
与
直线
以及两族等轴双曲线
、
构成.
故选：D.
27．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系
中，已知点
，若点
绕原点顺时针旋转
到
点
，则点
的横坐标为 ．
【答案】
【解析】设坐标原点为
，设角
终边为射线
，则角
的终边即为射线
．
由题意可知，
，
，
．
故
．
所以点
的横坐标为
．
故答案为：
