文档文本内容
第10 讲 函数与方程
题型方法
题型一 判断零点所在区间
题型二 判断零点的大小
题型三 判断零点的个数
题型四 已知零点个数求参数
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至
少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解．
题型梳理
知识清单
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间
的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
常用结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
【题型一】判断零点所在区间
【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
【举一反三】【变式1】（2025·河北沧州·二模）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，则实数
的取值范
围为 .
【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数
零点所在的一个区间 .
【题型二】判断零点的大小
【例2】（2024·广东·二模）设
，
，分别为函数
，
，
的零点，则
，
，
的大小关系为( ).
A．
B．
题型方法
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）设函数
的零点分
别为a,b,c, 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2025·四川达州·模拟预测）若实数
都是一次函数
的零点，则下列不等关
系中可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2022·内蒙古呼和浩特·二模）若
，
，
，则x、y、z 由小到大的顺序是
.
【题型三】判断零点的个数
【例3】（2021·北京·高考真题）已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，
恰 有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
④存在正数
，使得
恰有3 个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
解题技巧
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
【举一反三】【变式1】（2025·陕西安康·模拟预测）函数
在
上的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【变式2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
，则函数
在区间
上的零点个数
为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【变式3】（2023·河南平顶山·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的零点个数．
【题型四】已知零点个数求参数
【例4】（2020·天津·高考真题）已知函数
若函数
恰有4 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
【举一反三】【变式1】（2025·北京海淀·三模）已知函数
，若函数
恰有2 个零
点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·江苏·模拟预测）已知函数
，若存在实数
，使函数
恰有个零点，
则实数
的取值范围是 ．
【变式3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
在
处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围.
一、单选题
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·广东·模拟预测）已知函数
，那么在下列区间中含有函数
零点的是（ ）
好题必刷
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数
在区间
的零点个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知
，则正数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山东青岛·模拟预测）若函数
有2 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2025·陕西·二模）已知函数
，则
的零点个数可能为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2025·江西·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最小值为
C．
在
内有3 个零点
D．
在
内有3 个零点
三、填空题
8．（2025·上海·三模）函数
的零点个数为
9．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数
，
，若曲线
与
恰有一个交点，
则实数
．
10．（2024·浙江·二模）函数
至多有 个零点．
四、解答题
11．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，证明：函数
在
上单调递增；
(2)若函数
有三个零点，求
的取值范围．
12．（2025·上海杨浦·模拟预测）设常数
.已知函数
.
(1)若
，求
在区间
上的零点；
(2)若
在
上严格增，求
的取值范围.
13．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数
．
(1)求
的零点个数；
(2)设
是
的一个零点，证明：曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线．
14．（2024·四川泸州·三模）已知函数
（
），
(1)讨论函数
的零点个数；
(2)若
恒成立，求函数
的零点
的取值范围．
15．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
，
(1)解不等式：
；
(2)函数
，求
的零点个数；
(3)若
恒成立，求实数
的取值范围.
