文档文本内容
第09 讲 函数模型及其应用
A 夯实基础 B 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
（
为常数），其中
表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，
表示衰减系
数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中
，
当
时，学习率为0.25；当
时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05 以下所
需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知
）
A．31
B．32
C．33
D．34
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、指数函数模型的应用（2）
【分析】可先根据已知条件求出初始学习率
和衰减系数
，进而得到学习率
关于训练
迭代轮数
的表达式，最后根据学习率的要求求出训练迭代轮数
的最小值.
【详解】因为衰减学习率模型为
，
所以根据已知条件可得：
①
②
用②式除以①式可得：
,化简可得：
.
将
代入①式中可得：
.
所以衰减学习率模型为
.
当学习率衰减到0.05 以下时，即
.
化简上述不等式得：
，所以
.
因为
为正数，所以最小值取34.
故选：D.
2．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大
脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100 个英语新单词的经历，用画图软件拟合了
自己的遗忘曲线，得到其记忆率
（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经
过的时间
（单位：小时）的函数关系式为
，当记住的单词仅剩25 个时，则
离初次记忆经过了（ ）（参考数据：
）
A．100 小时
B．300 小时
C．1000 小时
D．3000 小时
【答案】C
【知识点】对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】利用对数性质求解指数方程可得答案.
【详解】由题意得
，所以
，即
，
两边同时取以10 为底的对数，得
，所以
.
故选：C.
3．（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对
地震有所了解，例如，地震时释放出的能量
（单位：焦耳）与地震里氏震级
之间的关
系为：
.若记2025 年1 月7 日西藏日喀则发生里氏6.8 级地震释放出来的能
量为
，2022 年5 月20 日四川雅安发生里氏4.8 级地震释放出来的能量为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】根据对数的运算可得正确的选项.
【详解】由题设有
，
，
故
即
，
故选：C.
4．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek 是一款人工智能助手，其用户满意度评分
随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：
，其中
是常数．
若Deep Seek 在经过3 个月后评分增长到70，则满意度评分
为（ ）
A．60
B．61
C．62
D．63
【答案】A
【知识点】对数函数模型的应用（2）、对数的运算
【分析】根据已知条件代入计算求解.
【详解】由题可得
，则
，
故选：A．
5．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）溶液酸碱度是通过
计量的．
的计算公式为
，其中
表示溶液中氢离子的浓度（单位：
）．某强酸溶液加水
稀释后
值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为
（ ）
A．2
B．
C．100
D．
【答案】D
【知识点】对数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化
【分析】根据题意，列出方程，利用对数的运算性质和指对数的互化计算即得.
【详解】设稀释前溶液的
值为
，氢离子的浓度为
，
加水稀释后
值为
，氢离子的浓度为
.
则
，
两式相减，可得
，
化简得
，解得
.
故选：D.
6．（2025·广东广州·二模）声强级
（单位：dB）由公式
给出，其中
为
声强（单位：
）.轻柔音乐的声强一般在
之间，则轻柔音乐的声强
级范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】对数函数模型的应用（2）
【分析】依题意可得
，即可求出
的范围，从而得解.
【详解】依题意可得
，所以
，所以
，
所以
，即轻柔音乐的声强级范围是
.
故选：C
7．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中
会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发
育不受密度制约时，其增长符合模型：
，其中
为种群起始个体数量，为增
长系数，
为时刻的种群个体数量.当
时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.若
，则
（ ）
A．300
B．450
C．600
D．750
【答案】C
【知识点】指数幂的化简、求值、指数函数模型的应用（2）
【分析】根据已知函数模型计算得出
，再结合指数运算计算求解.
【详解】因为模型：
，其中
为种群起始个体数量，为增长系数，
因为当
时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.
所以
，所以
，
若
，则
.
故选：C.
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知一种治疗某种疾病的针剂注射到人体后，其主要成分
在血液中的含量
（单位：毫克）与注射时间（单位：时）的关系为
，那么这种主要成分在血液中含量的最大值为（ ）
A．2 毫克
B．3 毫克
C．4 毫克
D．6 毫克
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】首先将
与的关系式进行转化，用表示
，然后运用基本不等式求得
的最大
值．
【详解】由
，得
，得
，则
．
由题意知
，所以
，故
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
，因此这种主要成分在血液中含量的最大值为2 毫克.
故选：A．
二、多选题
9．（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定
的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9 个等级，其中能量
（单位：焦耳）与里氏震级
的对应关系为
，则（ ）
A．若某次地震的震级不超过2 级，则产生的能量低于
焦耳
B．若某次地震的震级超过4 级，则产生的能量高于
焦耳
C．5 级地震的能量是4 级地震的能量的100 倍
D．3 级地震的能量是7 级地震的能量的
【答案】ABD
【知识点】对数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、对数的运算
【分析】借助能量E 与里氏震级M 的对应关系计算即可判断各选项.
【详解】记
表示震级为级地震的能量，
对于
项，若
，则
，所以
，故A 项正确；
对于B 项，若
，则
，所以
，故B 项正确；
对于C 项，
，则
，故C 项错误；
对于C 项，
，则
，故D 项正确.
故选：ABD.
10．（24-25 高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商
场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200 元送40
元”的促销策略．某顾客计划消费
元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一
些，则（ ）
A．当
时，应进甲商场购物
B．当
时，应进乙商场购物
C．当
时，应进乙商场购物D．当
时，应进甲商场购物
【答案】AC
【知识点】分段函数模型的应用
【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.
【详解】当
时，甲商场的费用为
，乙商场的费用为
，
，故应进
甲商场，
所以选项A 正确；
当
时，甲商场的费用为
，乙商场的费用为
，
，因为
，所以
，
，
进入乙商场，当
故
应进甲商场，所以选项B 错误；
当
时，甲商场的费用为
，乙商场的费用为
，因为
，所以
故
，所以应进乙商场，所以选项C 正确；
假设消费了600，则在甲商场的费用为
，在乙商场的费用为
，
所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D 错误.
故选：AC
三、填空题
11．（2026 高三·全国·专题练习）运货卡车以
的速度匀速行驶
，按交通法规
限制
（单位：
），假设汽油价格是每升6 元，汽车每小时耗油
，司机的工资是每小时46 元．则这次行车的总费用的最低值是 元．
【答案】600
【知识点】基本不等式求和的最小值、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】利用基本不等式求函数的最小值.
【详解】行车所用时间
，根据汽油的价格是每升6 元，而汽车每小时耗油
，司机的工资是每小时46 元，
可得行车总费用为
．
，当且仅当
，即
时，等号成
立．
所以当
时，这次行车的总费用y 最低，最低费用为600 元.
故答案为：600
12．（2025 高三·全国·专题练习）从金山区走出去的陈驰博士在《自然-可持续性》杂志上
发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主
导作用．已知某种树木的高度
（单位：m）与生长年限（单位：年，
）满足如
下的逻辑斯蒂函数：
，其中为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为
0．则需要经过 年，该树的高度才能超过5m．（精确到个位．）
【答案】8
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题
【分析】根据题意，利用指数和对数的运算解不等式
即可.
【详解】由题意令
，
因为
，所以
，
，
两边取对数得
，即
，
，
因为
，且
，
所以
，
，
，
又因为
，所以
，
因此，需要经过8 年，该树的高度才能超过5m，
故答案为：8
四、解答题
13．（24-25 高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健
康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的
趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产
品的年固定成本为300 万元，最大产能为100 台，每生产
台，需另投入成本
万元，
且
，由市场调研知，该产品每台的售价为200 万
元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润
万元关于年产量
台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
；
(2)年产量为60 台时，公司所获利润最大，最大利润是1680 万元
【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、分式型函数模型的应用、基
本（均值）不等式的应用
【分析】（1）分
和
两种情况，进行求解利润；
（2）
时，可利用二次函数的特点求最大利润值，
时，利用基本不等
式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润．
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
．
（2）若
，当
时，
万元；
若
，
，
当且仅当
时，即
时，
万元，
由于
，故该产品的年产量为60 台时，公司所获利润最大，
最大利润是1680 万元．
14．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某同学有压岁钱10000 元，计划存入银行，
银行最新推出两种存款理财方案.
方案一：年利率为单利（单利指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期
利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方式），每年的存款利率为
；
方案二：年利率为复利（复利指在计息利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周
期所积累利息总额来计息的计息方式），每年的存款利率为
；
(1)若该同学存款
年，其所获得的利息为
元，分别写出两种方案中，
关于
的函数关
系式；
(2)若该同学存款5 年，应选择哪种方案？若存款10 年，应选择哪种方案?请分别说明理由.
参考数据:
.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】指数函数模型的应用（2）
【分析】（1）根据题目中给出的关系，可得答案；
（2）代入给定的
的值，可得答案.
【详解】（1）方案一：
；方案二：
.
（2）当
时，方案一：
；方案二：
.
由
，则应选择方案一.
当
时，方案一：
；方案二：
.
由
，则应选择方案二.
B 素养提升
19．（23-24 高一上·贵州遵义·期末）金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥
郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用
的水泡制，待茶水温度降至
时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好
的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔
测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间
变化的数据如下表：
时间
0
1
2
3
4
5
水温
100
91
82.9
78.37
72.53
67.27
设茶水温度从
经过
后温度变为
，现给出以下三种函数模型：①
；②
；③
.
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3 组数据求出该解析
式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数
据：
）
【答案】(1)选模型②，
且
；
(2)6.5min；
(3)
.
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、指数函数模型的应用（2）
【分析】（1）通过表格数据，发现水温随着时间变化逐渐降低，且降低的速度逐渐变慢，
所以是第②个函数模型，只需将具体数值代入，即可求得解析式；
（2）最佳饮用口感温度为
，代入解析式，利用对数式求得
；
（3）求出
的最小值，即为答案.
【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②，
则
，即
，可得
，
所以
且
.
（2）令
，则
.
所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min.
（3）由
，即
，所以进行实验时的室温约为
.
20．（23-24 高一上·山西长治·期末）某大学科研小组自2023 年元旦且开始监测某实验水域
中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为
（单位：
），此后
每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了
，二月
底测得绿球藻的生长面积为
，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增
长越来越慢，绿球藻生长面积
（单位：
）与时间
（单位：月）的关系有两个函数模
型可供选择，一个是
；另一个是
，记2023 年元
旦最初测量时间
的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积
的7 倍？
【答案】(1)第二个模型
满足需求，理由见解析，其解析式为
(2)该水域中绿球生长的面积在9 月底达到其最初的生长面积的7 倍
【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】（1）根据函数增长速度选择函数模型，然后利用题目条件列式求解即可；
（2）根据条件结合函数解析式列方程求解即可解答.
【详解】（1）函数模型
在
上都是增函数，
的函数值增加得越来越快，而
的函数值增加得越
来越慢，
因为该水域中绿球藻生长面积的增长速度越来越慢，
所以第二个函数模型
满足要求，
由题意知
，解得
，
所以
；
（2）由题意
，解得
，
所以该水域中绿球藻生长的面积在9 月底达到其最初的生长面积的7 倍.
