文档文本内容
2．2 函数的单调性与最值
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数的单调性................................................................................................................................3
二、函数的最值....................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：函数单调性的判断................................................................................................................5
题型二：利用定义证明函数的单调性................................................................................................5
题型三：利用单调性比较函数值的大小............................................................................................7
题型四：求函数的最值........................................................................................................................8
题型五：解函数不等式........................................................................................................................9
题型六：求参数的值(范围).................................................................................................................9
04 好题赏析（一题多解）................................................................................................................. 11
05 数学思想方法.................................................................................................................................13
①数形结合..........................................................................................................................................13
②转化与化归......................................................................................................................................13
③分类讨论..........................................................................................................................................14
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................15
基础过关篇..........................................................................................................................................15
能力拓展篇..........................................................................................................................................17
1、借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义．
2、掌握函数单调性的简单应用．
一、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数
的定义域为
，区间
：
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
当
时，都有
，那么就说
在区间
上是增函数．
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
，那么就说
在区间
上是减函数．
①属于定义域
内某个区间上；
②任意两个自变量
，
且
；
③都有
或
；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数
在区间
上是增函数或减函数，那么就说函数
在区间
上具
有单调性，
称为函数
的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
减函数．
二、函数的最值
1、最大值：
的定义域为，如果
满足：（1）对
，都有
，（2）
，使得
，则称
为
的最大值，记作
；
2、最小值：
的定义域为，如果
满足：（1）对
，都有
，（2）
，使得
，则称
为
的最小值，记作
．
常用二级结论
1、单调性定义的变式：设
，且
，
①
在
是增函数
恒成立
②
在
是减函数
恒成立
2、判断函数单调性
设
，
具有单调性，常数
，常数
，则
①
，
，
与
有相同的单调性
②
，
与
有相反的单调性
③若
，
都是区间
上的增（减）函数，则
在区间
上也是增（减）
函数．
④设
，
都是区间
上的恒正的增（减）函数，则
在区间
上也是增
（减）函数．
题型一：函数单调性的判断
【例1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
【变式1-1】已知函数
的定义域为R，对任意实数
满足
．且
，
当
时，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
为增函数
D．
为奇函数
【变式1-2】下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2025·陕西榆林·一模）已知函数
在
上单调递增，则对实数
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型二：利用定义证明函数的单调性
【例2】已知函数
(1)若
，求
的值；
(2)若
，判断
在区间
上的单调性，并用定义证明.
【解题总结】
证明函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.
【变式2-1】已知函数
满足任意的实数
，
，都有
，且当
时，
.
(1)求
的值，并证明：
是奇函数；
(2)判断
在
上的单调性并证明；
(3)若关于的不等式
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【变式2-2】讨论函数
在区间
上的单调性.
【变式2-3】判断并证明函数
（其中
）在
上的单调性.
题型三：利用单调性比较函数值的大小
【例3】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，
则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
【变式3-1】已知定义域为
的函数
，
，
，
，都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】设
，则下列函数值最小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2025·山东日照·一模）定义在
上的函数
满足以下条件：①
；②
对任意
，当
时都有
．则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：求函数的最值
【例4】函数
的最小值为 ．
【解题总结】
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个
分式和的形式.
【变式4-1】函数
的最大值为1，最小值为
，则
.
【变式4-2】已知函数
，点
是
图象上的两点．
(1)求
的值：
(2)用定义判断函数
在
上的单调性，并求该函数的最大值和最小值.
(3)若函数
，求函数
的值域．
【变式4-3】已知函数
在
时有最大值.
(1)求实数
的值；
(2)设
，若当
时，
的最小值为，最大值为
，求
，的值.
题型五：解函数不等式
【例5】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
【变式5-1】（2025·广西河池·二模）设函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递增.
若实数满足
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式5-2】已知函数
，若
，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）若定义在
上的偶函数
在
上单调递减，且
，
则满足
的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：求参数的值(范围)
【例6】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
在区间
单调递增，则的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图
象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【变式6-1】已知函数
在
内单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1 ．已知
、
、
、
、
、
为6 个不同的实数，满足①
，
，
，②
，③
，以下选项值恒成立的是
A．
B．
C．
D．
2．若
，
，则ab 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
①数形结合
1．设函数
则满足
的x 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．已知定义在R 上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
满足
在区间
上单调递减，
，则关于x 的不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
3．若
为R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4．已知函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
5．函数
，若
，不等式
恒成立，则实数m 的取
值范围是
A．
B．
C．
D．
6 ．已知函数
，若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．已知函数
的最小值为
，则
．
8．已知函数
若
，
，且
，使得
成立，则实数a 的取值
范围是
．
9．定义在闭区间
上的函数
的最大值与最小值之积为
，则b 的取值
范围是
．
基础过关篇
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南·模拟预测）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·浙江金华·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数
同时满足以下三个条件：①
在定义域内是奇函数或偶函数；
②有奇数个零点；③在
内单调递增．函数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河北保定·二模）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·江西·二模）若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·陕西西安·一模）已知函数
，则满足
的x 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
12．已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（多选题）（2025·广东·二模）设函数
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．
C．函数
的值域为
D．函数
在其定义域上为增函数
15．（多选题）已知函数
若
的最小值为
，则（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．函数
在
上单调递增
C．
D．函数
的最小值为
16．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）若
是定义域为R 的单调递增函数，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
，
B．
，
，且
，有
C．
，
，且
，有
D．
，
17．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
18．（2025·广东茂名·二模）已知函数
在
上单调递增，函数
是定义在
上的奇函数，且
，则
可以是 .（写出一个满足条件的函数即可）
19．（2025·山西·模拟预测）已知函数
在R 上可导，其导函数为
，且
，则不等
式
的解集为 ．
20．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知
，
，
，
，则
，
，
的大小关系为 .（均用“>”连接）
能力拓展篇
21．（2025·安徽合肥·三模）已知
，若
，则
的范围为 .
22．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为
的函数
是奇函数，且在
上严格单调递增，若对
的某个内角
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
.
23．已知
是定义在
上的奇函数，
，若
在
上单调递增，则不等式
的解集为 .
24．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
满足对
都有
成立．当
时，
，则不等式
的解集为 ．
25．（2025·全国·一模）已知函数
，则
的解集为 .
26．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象上任意一点
处的切线方程
是
，且
在区间
上不是单调递增的，则实数
的取值范围是
．
