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第18课 三角函数的诱导公式（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·高一课时练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由诱导公式求出 的值，再利用拆分角 求得结果.
【详解】由 ，
得 .
故选：C.
2．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得 的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
3．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）已知 为锐角，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平方关系计算出 ，再由诱导公式得出答案.
【详解】由 为锐角得 ，所以 ，
.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）若 是纯虚数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据纯虚数的定义可得 ， ，即可求出 ，再根据诱导公式即可求出.
【详解】 是纯虚数，
，且 ，
即 且 ，即 ，
则 ，则 .
故选：C.
二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）下列各式的值为 的是（ ）.
A．sin B．sin cos
C． D．
【答案】AD
【分析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判断即可.
【详解】A： ，符合题意；
B： ，不符合题意；
C： ，不符合题意；
D： ，符合题意，
故选：AD
6．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球
卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，
2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信
号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 近似模拟其信号，则下列结论中正确
的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称
C．对任意 ，都有 D．函数 的最小值为-3
【答案】BCD【解析】A.根据 的周期分别是 判断；B.由 是否为零判断；C.
利用诱导公式判断；D.由 的值判断.
【详解】A.因为 的周期分别是 ，其最小公倍数为 ，所以函数函数
的最小正周期为 ，故错误；
B.因为 ，故正确；
C. ，故正确；
D. ,故正确；
故选：BCD
7．（2023·安徽黄山·统考二模）若 ，则 的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】CD
【分析】利用余弦的二倍角公式和“齐次式”结构，求出 或 ，再利用 的周期，
化简 ，从而求出结果.
【详解】由余弦的二倍角公式知，
得到 ，即 ，解得 或 ，当 时， ，
当 时，
所以，当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
故选：CD.
三、填空题
8．（2023春·福建泉州·高一校考阶段练习）已知 为锐角，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得结果.
【详解】因为 为锐角，且 ，则 ，
因此， .
故答案为： .
9．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图 中，已知点 在 边上， ，
， ， ，则 的长为
【答案】
【分析】通过诱导公式易知 ，利用余弦定理计算即得结论．【详解】解： ， ，
，
又 ， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查求三角形中某条线段的长度，利用三角函数的诱导公式、余弦定理是解决本题的关键，
注意解题方法的积累，属于中档题．
四、解答题
10．（2022·浙江·高三专题练习）设函数 .
(1)求函数 单调递增区间；
(2)求函数 在区间 上的最值.
【答案】(1) 是单调递增区间
(2)最小值为 ，最大值是
【分析】(1)通过恒等变换将原函数变成单一的三角函数即可判断；
(2)将原函数通过辅助角公式转化为单一的三角函数，
在指定区间判断其单调性即可求出其值域.
(1)，
当 ，即 时是单调递增区间；
(2)
，
因为 ，所以 ，
所以当 时 单调递减，当 时 单调递增，
，
最大值在区间的两个端点中的一个， ，
，
故 最小值为 ， 大值是 ；
综上， 的单调递增区间为 ，
的最大值为 ，最小值为 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据诱导公式求得 ，结合角的范围，可求得 ，再利用诱导公式化简 ，
即可求得答案.
【详解】因为 ， ，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ,
故选:D
二、多选题
2．（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）已知函数 （ ）
A． 为 的周期
B．对于任意 ，函数 都满足
C．函数 在 上单调递减
D． 的最小值为
【答案】ABC
【分析】A.由函数周期定义判断是否满足 ；B根据诱导公式判断是否满足
；C.根据定义域 ，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分
和 两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.
【详解】A. ，即 ，所以 为 的周期，故A正确；
B. ， ，所以
，故B正确；
C.当 时， ，此时 ，而 ，
故C正确；
D.由A可知函数的周期是 ，所以只需考查一个周期函数的值域，设 ，
当 时， ， ，
，即 ，
当 时， ， ，
，即 ，所以 时， 的最小值为-1，故D不正确.
故选：ABC
【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查诱导公式，周期性，函数的单调性和最值，属于中档题型.
三、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， 均为锐角，则
.
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式求解.
【详解】因为 ， ，且 ， 均为锐角，所以 ， ，
所以 .
故答案为：
四、解答题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若
．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 边上的高的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答.
（2）由（1）可得 ，再利用三角形面积公式计算作答.
【详解】（1）在 中，由正弦定理及 ，得 ，
即有 ，而 ， ，即 ， ，
因此 ， ，
所以 ．
（2）令 边 上的高为 ，
由 ，得 ，由（1）知， ，即 ，则 ，
所以 边上的高的取值范围是 .
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，下列说法中，正确
的是（ ）
A． 在 是增函数
B． 是奇函数
C． 在 上有两个极值点
D．设 ，则满足 的正整数 的最小值是
【答案】ABD
【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；
利用函数的极值与导数的关系可判断C选项的正误；验证 、 时， 是否成立，由
此可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，当 时， ， ，
，所以，函数 在 是增函数，A选项正确；
对于B选项，令 ，该函数的定义域为 ，，
，
则 ，
所以，函数 为奇函数，B选项正确；
对于C选项，当 时， ，且 ，
所以，函数 在 内无极值点；
，
①当 时， ， ，则 ，
则 ， ，此时， ，
所以，函数 在 上单调递减，
， ，
所以，函数 在 上只有一个极值点；
②当 时， ， ，
所以， ， ，则 ，
所以， ，则 ，所以，函数 在 上没有极值点.
综上所述，函数 在 上只有一个极值点，C选项错误；
对于D选项， .
当 时， ， ， 不成立；
当 时， ，
当 时， ， ，
， ， ，则 ，
所以， ，
所以，满足 的正整数 的最小值是 ，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：
（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断 与 之间的关系；
（3）下结论.
二、填空题
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 中， ，则数列 的前100项之和 ．
【答案】10200
【详解】因为 ，所以
同理可得：
,
的前100项之和 .
故答案为 .
点睛：本题中由条件 ，由余弦函数的值可将 分成四
种情况，即将数列分成四个一组求和即可.
