文档文本内容
3.2 导数与函数的单调性
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、导数研究单调性................................................................................................................3
方法总结1：含参数单调性讨论.........................................................................................................3
方法总结2：根据函数单调性求参数.................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结........................................................................................................................15
题型一：无参函数的单调性讨论......................................................................................................15
题型二：含参函数单调性 —— 一次型分类讨论..........................................................................17
题型三：含参函数单调性 —— 指对结合一次型..........................................................................19
题型四：含参函数单调性 —— 可因式分解二次型......................................................................21
题型五：含参函数单调性 —— 不可因式分解二次型..................................................................24
题型六：含参函数单调性 —— 指对结合二次型..........................................................................27
题型七：单调性的应用：比较大小与解不等式..............................................................................30
题型八：根据单调性逆向求解参数范围..........................................................................................32
05 课后拓展精练................................................................................................................................38
知识点一、导数研究单调性
1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间
内，①如果
，那么函数
在这个区间内单调递增
②如果
，那么函数
在这个区间内单调递减
③如果
，那么函数
在这个区间内为常数函数
2、求单调区间的方法：
①通过解不等式
或
(等号可要可不要)；
②求
，并可适当整理，尽量将
整理成
，
，…，
之积商的形式，借助数
轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性．
注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“
”．
⑵若
在某个区间上单调递增，则
；若
在某个区间上单调递减，则
；
⑶设
，
，且
，那么
①
在
是增函数
恒成立
②
在
是减函数
恒成立
方法总结1：含参数单调性讨论
第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个
连续的区间)
第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或
恒负，无需单独讨论的部分)
第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)
第四步：然后再求有效根
第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)
第六步：导数图像定区间
方法总结2：根据函数单调性求参数
1、函数
在区间
内单调递增(或递减)，可得
(或
)在该区间恒成立，而不是
(或
)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验.
2、若函数
在
内存在单调递增区间，则当
时，
有解；若函数f(x)在(a,b)内
存在单调递减区间，则当
时，
有解.
1．（2026·北京·高考真题）下列函数
是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A，在
中，
，则
，函数为偶函数，故错误；
B，在
中，
，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；
方法一：
C，在
中，
，则
，
，函数单调递减，故错误；
D，在
中，
，解得
，
，则
为奇函数，
，即函数在定义域上单调递增，故正确.
法二：
C，在
中，
，则
，为奇函数，
∵
和
是减函数，
∴函数
单调递减，故错误；
D，在
中，
，解得
，
，
为奇函数，
∵
和
是增函数，则
为增函数，
∴函数
单调递增，故正确.
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为
（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【解析】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是______.
【答案】
【解析】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
4．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
则
，解得
，
所以
.
（2）由（1）得
，
则
，
令
，解得
，不妨设
，
，则
，
易知
恒成立，
所以令
，解得
或
；令
，解得
或
；
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
即
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
（3）由（1）得
，
，
由（2）知
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
当
时，
，
，即
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
在
上单调递减，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
单调递减；
所以
在
上有一个极大值点；
当
时，
在
上单调递增，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
，
所以
，则
单调递增，
所以
在
上无极值点；
综上：
在
和
上各有一个极小值点，在
上有一个极大值点，共有个极值点.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
【解析】（1）
定义域为
，
当
时，
，故
在
上单调递减；
当
时，
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
的单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
，且
时，
，
令
，下证
即可.
，再令
，则
，
显然
在
上递增，则
，
即
在
上递增，
故
，即
在
上单调递增，
故
，问题得证
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，
则
，
据此可得
，
所以函数在
处的切线方程为
，即
.
（2）由函数的解析式可得
，
满足题意时
在区间
上恒成立.
令
，则
，
令
，原问题等价于
在区间
上恒成立，
则
，
当
时，由于
，故
，
在区间
上单调递减，
此时
，不合题意;
令
，则
，
当
，
时，由于
，所以
在区间
上单调递增，
即
在区间
上单调递增，
所以
，
在区间
上单调递增，
，满足题意.
当
时，由
可得
，
当
时，
在区间
上单调递减，即
单调递减，
注意到
，故当
时，
，
单调递减，
由于
，故当
时，
，不合题意.
综上可知：实数
得取值范围是
.
7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【解析】（1）
令
,则
则
当
当
,即
.
当
,即
.
所以
在
上单调递增,在
上单调递减
（2）设
设
所以
.
若
,
即
在
上单调递减,所以
.
所以当
,符合题意.
若
当
,所以
.
.
所以
,使得
,即
,使得
.
当
,即当
单调递增.
所以当
,不合题意.
综上,
的取值范围为
.
8．（2022·北京·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
【解析】（1）因为
，所以
，
即切点坐标为
，
又
，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）因为
，
所以
，
令
，
则
，
∴
在
上单调递增，
∴
∴
在
上恒成立，
∴
在
上单调递增.
（3）证明如下：
原不等式等价于
，
令
，
，
即证
，
∵
，
，
由（2）知
在
上单调递增，
∴
，
∴
∴
在
上单调递增，又因为
，
∴
，所以命题得证.
9．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数
，其中
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
的图象与
轴没有公共点，求a 的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为
，
又
，
因为
，故
，
当
时，
；当
时，
；
所以
的减区间为
，增区间为
.
（2）因为
且
的图与
轴没有公共点，
所以
的图象在
轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得
，
故
即
.
10．（2021·全国甲卷·高考真题）已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
【解析】（1）当
时，
,
令
得
,当
时，
,当
时，
,
∴函数
在
上单调递增；
上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数
,
则
,令
，得
,
在
内
,
单调递增；
在
上
,
单调递减；
,
又
，当
趋近于
时，
趋近于0，
所以曲线
与直线
有且仅有两个交点，即曲线
与直线
有两个交点的充分必要
条件是
,这即是
,
所以
的取值范围是
.
[方法二]：构造差函数
由
与直线
有且仅有两个交点知
，即
在区间
内有两个解，取对数得方程
在区间
内有两个解．
构造函数
，求导数得
．
当
时，
在区间
内单调递增，所以，
在
内最多只有一个零点，不符合题意；
当
时，
，令
得
，当
时，
；当
时，
；
所以，函数
的递增区间为
，递减区间为
．
由于
，
当
时，有
，即
，由函数
在
内有两个零点知
，所以
，即
．
构造函数
，则
，所以
的递减区间为
，递增区间为
，所以
，当且仅当
时取等号，故
的解为
且
．
所以，实数a 的取值范围为
．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线
与
有且仅有两个交点等价为
在区间
内有两个不相同的解．
因为
，所以两边取对数得
，即
，问题等价为
与
有且
仅有两个交点．
①当
时，
与
只有一个交点，不符合题意．
②当
时，取
上一点
在点
的切线方程为
，即
．
当
与
为同一直线时有
得
直线
的斜率满足：
时，
与
有且仅有两个交点．
记
，令
，有
．
在区间
内单调递增；
在区间
内单调递减；
时，
最大值为
，所以当
且
时有
．
综上所述，实数a 的取值范围为
．
[方法四]：直接法
．
因为
，由
得
．
当
时，
在区间
内单调递增，不满足题意；
当
时，
，由
得
在区间
内单调递增，由
得
在区间
内单调递减．
因为
，且
，所以
，即
，即
，两边取对数，得
，即
．
令
，则
，令
，则
，所以
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减，所以
，所以
，则
的解为
，所以
，即
．
故实数a 的范围为
．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，
属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数
形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成
与
两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线
斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
题型一：无参函数的单调性讨论
【典例1-1】下列区间中，函数
单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵ 函数
的定义域为
，对其求导得
.
函数
单调递增等价于
，即
.
对选项A，当
时，
且
，∴
，即
，故
在
上单调递增，
A 符合要求.
对选项B，当
时，
但
，∴
，即
，故
在
上单调递减，
B 不符合要求.
对选项C，当
时，
但
，∴
，即
，故
在
上单调递减，
C 不符合要求.
对选项D，当
时，
时
，此时
；
时
，此时
，故
在
上不是单调递增，D 不符合要求.
【典例1-2】函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
的单调递减区间是
.
【变式1-1】已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
和
【答案】A
【解析】
，
，
，令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
.
【变式1-2】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】由题设
，且
，
若
，则
或
，
所以函数
的单调递增区间为
，
.
【变式1-3】设函数
的导函数为
，若函数
在区间
上是减函数，且函数
在区间
上
是增函数，称
在区间
上是“缓减函数”，区间
称为
的“缓减区间”，若
，下列区间不是
的“缓减区间”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，
又
，由
，得
，解得
，
，
即
的单调递减区间为
，
．
设
，
则
．
由
得
，即
，
又
，则
，解得
，
，
即
的单调递增区间为
，
．
由“缓减区间”的定义可得
的“缓减区间”为
，
，
而
是
的子集，是“缓减区间”；
不是
的子集，不是“缓减区间”；
是
的子集，是“缓减区间”；
是
的子集，是“缓减区间”.
题型二：含参函数单调性 —— 一次型分类讨论
【典例2-1】（2026·陕西咸阳·三模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）易知
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，此时
在区间
上单调递增，
当
时，令
，得到
，当
时，
，当
时，
，
此时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
综上所述，当
时，
在区间
上单调递增，
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
【典例2-2】已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）函数
的定义域为
，
求导
，
因为
，所以
，故
的符号只取决于
的符号，
当
时，则
恒成立，即
，
在
上单调递增，
当
时：
若
，则
，
在
上单调递减，
若
，则
，
在
上单调递增，
综上：
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
【变式2-1】已知函数
（
）．求函数
的单调区间；
【解析】
，
①当
时，
对任意
，都有
，因此
恒成立，
此时
，
在
上单调递增，
②当
时，
令
，解得
，因为
，所以
，
当
时，
，此时
，
单调递增，
当
时，
，此时
，
单调递减.
综上，当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间，
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
【变式2-2】已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
【解析】（1）由题得
，
，
①当
时，
恒成立，所以
在
上单调递减；
②当
时，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
【变式2-3】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
【解析】（1）当
时，
，可得
，
则
，且
，即切线的斜率为
，切点为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）由函数
，其定义域为
，且
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，令
，可得
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
题型三：含参函数单调性 —— 指对结合一次型
【典例3-1】已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
【解析】（1）
当
时，
恒成立，故函数
在
单调递增；
当
时，令
得
．
令
得
．
故当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上，当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
【典例3-2】已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）函数
的定义域为
，对其求导得，
，
当
时，
恒成立，因此
恒成立，故
在
上单调递增，
当
时，令
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增.
综上所述，若
，
在
上单调递增，
若
，
在
上单调递减，在
上单调递增.
【变式3-1】已知函数
，
．
(1)求
的单调区间；
【解析】（1）由题意可得
，
当
时，
，函数
在R 上单调递减．
当
时，令
，得
，
因
在R 上单调递增，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
综上所述：当
时，
的单调递减区间是
；
当
时，
单调递减区间是
，单调递增区间是
；
【变式3-2】已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【解析】（1）因为
，所以
，
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，令
，得
；令
，得
.
综上：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增.
【变式3-3】已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）因为
.
若
，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递增；
若
，由
可得
，由
可得
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
题型四：含参函数单调性 —— 可因式分解二次型
【典例4-1】已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
【解析】（1）
则
，
当
时，
在
上递减，在
上递增；
当
时，
在
上单调递增；
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；
【典例4-2】已知函数
，其中
．
(1)讨论函数
的单调性；
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，
若
，则
，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
若
，令
，则
或
，
当
，即
时，
或
，
，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
，即
时，
在
上恒成立，此时
在
上单调递增；
当
，即
时，
或
，
，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
综上：
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
时，
在
上单调递增；
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
【变式4-1】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
【解析】（1）当
时，
，
则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）
的定义域为
．
若
，则当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
若
，则当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
若
，则
恒成立，所以
在
上单调递增．
若
，则当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
【变式4-2】已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)讨论函数
的单调性；
【解析】（1）当
时，
，
对函数求导得：
，
解得
或
；
解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则
的极大值为
，极小值为
.
（2）
，
对
求导得
，
当
时，
恒成立，
时
，
单调递减；
时
，
单调递增，
当
时，令
得
或
，
①若
，则
，
时
，
单调递增；
时
，
单调递减；
时
，
单调递增；
②若
，则
，
恒成立，
在R 上单调递增；
③若
，则
，
时
，
单调递增；
时
，
单调递减；
时
，
单调递增；
综上所述，
时，
在
上单调递减，在
单调递增；
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
时，
在R 上单调递增；
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
题型五：含参函数单调性 —— 不可因式分解二次型
【典例5-1】已知函数
(1)求
的值．
(2)讨论
的单调性．
【解析】（1）
.
（2）
定义域为
，
．
令
，
1°
时,
，即
，则
在
单调递增；
2°
时，当
，即
时，
，
在
单调递增；
当
，即
时，由
可解得
，
所以
或
时
，
在
，
上单调递增，
时，
，
在
上单调递减．
综上，
时，
在
单调递增；
时，
在
上单调递减，
在
，
上单调递增.
【典例5-2】已知函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线的斜率；
(2)当
时，讨论函数
的单调性；
【解析】（1）当
时，
.
求导得
，
.
所以曲线
在点
处的切线的斜率为
.
（2）
的定义域为
.
求导得
.
令
，则
，即
.
令
，因为
，则
.
当
，即
时，
恒成立，故
，
所以
在
上单调递增.
当
，即
时，
的两根为
，
，且
.
因为
，
，所以
，
.
所以当
或
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
、
上单调递增，在
上单调递减，其中，
，
.
【变式5-1】已知函数
.
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)当
时，讨论
的单调性；
【解析】（1）当
时，
，所以
，
所以
，
所以
的图象在
处的切线方程为
，即
；
（2）
的定义域为
，
当
时，若
，即
，所以
在
上单调递增；
若
，即
，令
，
解得
或
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增.
【变式5-2】（2026·河北张家口·三模）已知函数
，
，
．
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）因为
，
，
所以
，
对于
，
，
当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
由
，得
，
则当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
题型六：含参函数单调性 —— 指对结合二次型
【典例6-1】已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论函数
的单调性．
【解析】（1）当
时，
，易知
的定义域为
，
，又
恒成立，
当
时，
，当
时，
，
所以
是
的极小值点，极小值为
，无极大值.
（2）
的定义域为
，
,
当
时，
恒成立，当
时，
，当
时，
，
当
，由
，得到
或
，
若
时，
，
时，
，
时，
，
若
时，
，此时
恒成立，当且仅当
时取等号，
若
时，
，
时，
，
时，
，
综上所述，当
时，
的减区间为
，增区间为
，
当
时，
的减区间为
，增区间为
，
当
时，
的增区间为
，
当
时，
的减区间为
，增区间为
.
【典例6-2】已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）由题意得
令
，
当
时，
恒成立，
恒成立，
在
上单调递增；
当
时，
，
此时
在
单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
【变式6-1】已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)讨论
的单调性.
【解析】（1）当
时，
，所以
，
由
，得
，
0
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以函数
的极小值为
，无极大值；
（2）因为函数
，
所以
，
（ⅰ）当
时，若
，则
，
若
，则
，
若
，则
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
（ⅱ）当
时，由
，得
或
，
若
或
，则
，
若
，则
，
所以函数
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增，
（ⅲ）当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减，
（ⅳ）当
时，由
，得
或
，
若
或
，则
，
若
，则
，
所以函数
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增，
综上所述：当
时，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
和
上单调递减，
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递减；
当
时，函数
在区间
和
上单调递减，
在区间
上单调递增.
【变式6-2】（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数
，
(1)当
时，讨论
的单调性；
【解析】（1）
的定义域为
，
，
，则由
得
，
．
（ⅰ）当
时，则
，当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
所以
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减．
（ⅱ）当
时，则
，此时
，所以
在
单调递减．
（ⅲ）当
时，则
，当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
所以
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减．
综上所述，
当
时，
在
和
上单调递减，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递减，
在
上单调递增．
【变式6-3】已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）
，
恒成立，
当
时，
恒成立，故
，
在
上单调递减；
当
时，令
得
：
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
题型七：单调性的应用：比较大小与解不等式
【典例7-1】（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
的定义域为R，
因为
，所以函数
是R 上的增函数.
因为
，所以函数
是奇函数，
所以由
得
，
则
，解得
.
所以不等式
的解集为
.
【典例7-2】若定义在
上的函数
的图象如图所示，其导函数为
，且
，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
的图象可知，当
时，
；当
时，
；当
或
时，
；
当
时，
；当
时，
；当
或
时，
；
若不等式
，则
与
同号，分情况讨论：
①当
且
时，交集为
；
②当
且
时，交集为
；
因此，不等式
的解集为
，故D 正确.
【变式7-1】已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，
则
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上为增函数，
由
可得
，解得
或
，
因此，不等式
的解集为
．
【变式7-2】已知函数
在定义域
内可导，其图象如图所示，记
的导数为
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据函数的图像和导数的性质可知当
的函数值下降时，
，
故观察图像解得当
时，
的函数值下降，故
.
【变式7-3】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得函数
的定义域为
，
，
因为
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
因为
，所以
恒成立，函数
在
上单调递增，
又
，所以函数
为奇函数，
则不等式
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
题型八：根据单调性逆向求解参数范围
【典例8-1】设函数
，已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
，
求导可得
，
因为
恒成立，
所以
，即
，
解得
，即
的单调递减区间为
，
因为
在
上单调递减，
所以
，即
，
解得
，即实数
的取值范围是
，故选项D 正确.
【典例8-2】若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意
，所以
，
，
函数
在区间
内存在单调递增区间，
则
，
，即
，使得
，
即
，
设
，
，
则
，
，
单调递减；
，
，
单调递增，
，
，
，故
在
上最大值为
，
只要
，即
，就存在
满足
，
即
，函数存在递增区间.
【变式8-1】已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对
求导得：
，由题意
在
恒成立，
即
在
恒成立，
时，
，故
.
【变式8-2】已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
求导得
，
已知
在区间
上单调递减，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，
，求导得
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
则
是极小值点，
，
，
在
的上确界为3，
．
【变式8-3】若函数
的单调递减区间是
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】A
【解析】易知
，由题意知
的解集为
，
则
与4 是方程
的两个根，故
．
故选：A．
【变式8-4】已知函数
在区间
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
求导得
，
当
时，则
，
在
上单调递增，不合题意；
当
时，由
，得
，即
，
由
,得
,即
,
此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
由题意，函数
在区间
上是减函数，
所以
，结合
，解得
，
即
的取值范围是
.
【变式8-5】已知
，函数
在区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得：
，令
，
所以
，所以
在
单调递增，且
，
，
又因为
在
上不单调，所以
，解得
.
【变式8-6】（2026·高三·山东淄博·开学考试）已知函数
在
单调递增，则
的取
值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得
，令
，得
．
当
时，
，所以
的单调增区间为
，
因为
在
单调递增，所以
，
所以
.
故选：D.
【变式8-7】已知
，设函数
在
上是增函数，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分段函数
在
上为增函数，需同时满足以下三个条件：
当
时，二次函数
单调递增：
该二次函数开口向下，对称轴为
，
需对称轴位于区间
的右侧，即
，解得
；
当
时，
单调递增：
对
求导得
，需
对任意
恒成立，
即
对
恒成立，故
；
分段点
处，左段的极限函数值不大于右段的函数值：
左段在
时的函数值为
，
右段在
处的函数值为
，
故
，解得
；
综上：实数
的取值范围是
.
【变式8-8】函数
在
上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
在
上存在单调递增区间，等价于
在
上有解，
对
求导得：
，
有解等价于：
有解，
令
，则只需
，
求导得：
，
当
时，
，
，故
，即
在
上单调递减，
因此
的最小值在
处取得：
，
，故
的取值范围是
.
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
，若对任意的
，都有
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
两边同乘
得
.
设
，
，
由题意得
在
上严格递增，则
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立.
令
，
，则
，
当
时
，
单调递增，当
时
，
单调递减，
所以
的最大值为
，因此
.
当
时，
，
令
，
，易得
且仅在
处取等，
故
且
最多有一个实数解，
严格递增，所以
的取值范围是
.
2．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】选项A：
，定义域为
，
因为
在
单调递减，在
单调递增，且是周期函数，
在
单调递增，在
单调递减，
所以在
上不能满足单调递增，所以A 错误；
选项B：
，定义域为
，
，是奇函数，所以B 错误；
选项C：
，定义域为
，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C 错误；
选项D：
，定义域为
，
，是偶函数；
又
，
且当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递增，所以D 正确.
3．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上恒成立，
即：
，即
，
因为
时
，所以
，
令
，则只需
（
），
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
在
处取得唯一极大值，也是区间
上的最大值，
且
，则
.
则实数
的取值范围是
.
4．（2026·山西·模拟预测）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得函数
的定义域为
，
则
，令
，解得
，
当
时，
，
所以函数
的单调递增区间是
，
5．在平面直角坐标系
中，将函数
的图象绕坐标原点逆时针方向旋转
后，所得
到的曲线仍然是某个函数的图象，则称
为“
旋转函数”．现有以下4 个命题，其中所有的真命题
为（ ）．
①存在“
旋转函数”；
②“
旋转函数”一定是“
旋转函数”；
③若
为“
旋转函数”，则
；
④若
为“
旋转函数”，则
．
A．①③④
B．①②④
C．①④
D．①③
【答案】A
【解析】由题意，
对于①，如
，逆时针旋转
后函数为
，故①正确；
对于②，如倾斜角为
的直线，
旋转
后是倾斜角为
函数，旋转
后是垂直于
轴的一条直线，不是函数，
∴ “
旋转函数”不一定是“
旋转函数”，②错误；
对于③，
在
中，函数为“
旋转函数”，
∴函数逆时针旋转
后，不存在垂直于
轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点，
∴不存在倾斜角为
的直线
，使其与函数
有两个及以上交点，
即倾斜角为
的直线
与函数
有至多1 个交点，
直曲联立
，解得
，
当
，即
时，
，至多一解，符合题意，
当
，即
时，为一元二次方程，
，
对
，都
，使得
，即方程有不止一个解，
故不合题意，舍去，
∴
，③正确；
对于④，
在
中，函数为“
旋转函数”，
∴函数逆时针旋转
后，不存在垂直于
轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点，
∴不存在倾斜角为
的直线
，使其与函数
有两个及以上交点，
即倾斜角为
的直线
与函数
有至多1 个交点，
∴
即
至多有1 解，
在
中，函数为单调函数，
，
为使为使函数为单调函数，其导数需恒为非正或恒为非负，
∵
，
∴
恒成立，
单调递减，
即
恒成立，
当
时，
，符合题意，
当
时，
在
中，
，
当
时，解得
，
∴
，
当
即
时，函数单调递减，
当
即
时，函数单调递增，
∴
在
处取得最小值，
，
解得：
，
综上，
，④正确.
6．已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
在区间
上恒成立，
设
，
在区间
上恒成立，所以
在区间
上单调递增，
所以
，则
，即
，则
的取值范围是
.
7．（2026·高三·云南曲靖·阶段检测）已知函数
为增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，求导得
，
由函数
是增函数，得
，
恒成立，
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，
函数
，即
在R 上单调递增，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，则
，
所以
的取值范围是
.
8．（2026·河南·三模）已知函数
，正数
满足
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知函数
，则
，
因此函数
是一个奇函数，
又因为
在
上恒成立，因此函数
是
上的增函数，
由于正数
满足
，则有
，即得
，
从而有
，
因此
，
根据基本不等式有
，即
，
当且仅当
，即
时取等号，满足
为正数的条件，
所以
的最小值为
.
9．若函数
在
是增函数，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
.
因为
在
上是增函数，所以
在
上恒成立，
所以
，即
在
恒成立.
当
时，
，当且仅当
，即
时等号成立.
因此
，即
.
故
的取值范围是
.
10．（2026·海南三亚·一模）若函数
的减区间为
，则函数
的值域为______．
【答案】
【解析】因为
，
，
由题意，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
.
因为
，由
.
此时
，
.
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，故
满足题意.
此时
，
所以函数
的值域为
.
11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
，对于
，
，且当
时，恒
有
，则实数
的取值范围为________．
【答案】
【解析】
，
又
，
，则
，
即对于
，
，且
时，
恒成立，
所以函数
在
上单调递减，
因
，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，又
，
所以
，所以实数
的取值范围为
12．设函数
，当
时单调递增，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】由已知有当
时，
恒成立.
即当
时，
恒成立.
令
，则
，
，
.
故
时，
.从而当
时，
.
因此
时，
，
单调递增.
若
，令
，则
，
.
故
时，
，此时
单调递减，从而
时，
.
因此
时，
，即
.
此时不满足
时
单调递增.
故
的取值范围是
.
13．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数
是
上的单调递增函数，则
的值为______.
【答案】
/
【解析】
，令
，
，
① 当
时，
，
在
上单调递增，
又
，所以当
时，
；当
时，
，
所以
的单调增区间为
，单调减区间为
，不符合题意；
② 当
时，令
，解得
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以当
时，
有最小值
，
所以当
在
上单调递增时，有
，
令
，
，得
，
所以
时，
；
时，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，
又
要求
，所以
，即
.
14．若函数
在
上不单调，求
满足的条件为_____.
【答案】
【解析】已知函数
在
上不单调，
则
有两不等实根
，
即
.
15．已知函数
．若函数
在
处的切线与直线
垂直，求函数
的单
调区间．
【解析】因为
，
直线
斜率为1，切线与
垂直，故切线斜率
，
代入
得：
，解得
，符合
．
此时
，
当
时，
，
，所以
，故
，
单调递减；
当
时，
，
，所以
，故
，
单调递增．
结论：
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
16．已知函数
．
(1)当
时，曲线
的一条切线方程为
，求实数
的值；
(2)求函数
的单调区间．
【解析】（1）当
时，
，则
，
由切线方程为
，则
，即
，解得
，
所以
，则切点坐标为
，
代入切线方程得
，则
．
（2）由
，则
，
若
，则
为常数函数，无严格单调区间；
若
，当
时，解得
；当
时，解得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，当
时，解得
；当
时，解得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，函数
无严格单调区间；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
17．已知函数
，求
在
内的单调性．
【解析】因为
，所以
，
当
时，
，
，
单调递增，
当
时，
，
，
单调递减，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
18．已知函数
，若
为增函数，求实数a 的取值范围．
【解析】由题可知，定义域为
，则
，
若
为增函数，则对
，
，
即
对任意
恒成立，即
恒成立．
令
，则
，
令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，即
的取值范围是
．
19．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）
的定义域为
，
，
，当且仅当
时，即
时，等号成立，
故当
时，
，
则
，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，即
，
则
的两个根为
，
；
又
，则
，
则
的解为
或
，
的解为
，
则
在
上单调递增，在
上递减，在
上递增；
综上所述：
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上递减，在
上递增.
20．已知函数
.
(1)若
，求函数在
的最值；
(2)讨论
的单调性；
【解析】（1）
，则
；
，即
在
内单调递减.
，
；
即函数在
时的最大值为
，最小值为
.
（2）
，则函数
的定义域为
.
.
当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，令
，即
，解得
.
若
，则
，即
在
上单调递增；
若
，则
，即
在
上单调递减；
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
21．已知函数
.
(1)求函数
的单调性；
【解析】（1）由已知，
当
时，令
的图象开口向下，且
，
所以
时，
，即
，则
在
上单调递增，
时，
，即
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
，
所以
时，
，则
在
上单调递增，
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
的图象开口向上，且
，
或
时，
，即
，
则
在
上单调递增，
时，
，即
，
则
在
上单调递减.
当
时，
的图象开口向上，且
且不恒为0，
此时
，即
，则
在
上单调递增；
综上所述：当
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，在
上单调递增；
22．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最大值；
(2)当
时，求
的单调区间．
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
则
，
令
，则
.
，
随
的变化情况如下：
1
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
所以当
时，
取最大值，为
．
（2）
，
当
时，令
，解得
或
，
①当
时，由
，得
或
，由
，得
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，由
，得
或
，由
，得
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
③当
时，由
，得
，由
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
④当
时，
，则函数
在
上单调递增．
综上：
当
时，函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间．
23．已知函数
，a∈R.
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）
的定义域为
，
且
.
①当
时，
恒成立，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
，即
时
恒成立，
所以
在
上单调递增；
③当
，即
时，
当
或
时
，当
时
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
④当
，即
时，
当
或
时
，当
时
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
