文档文本内容
3.2 导数与函数的单调性
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、导数研究单调性............................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................3
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：不含参函数的单调性............................................................................................................5
题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型..................................................................................5
题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型......................................................................6
题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型..............................................................8
题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型..........................................................9
题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型......................................................................10
题型七：利用单调性比较大小或解不等式......................................................................................12
题型八：根据函数单调性求参数......................................................................................................12
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................15
05 数学思想方法.................................................................................................................................16
①数形结合..........................................................................................................................................16
②转化与化归......................................................................................................................................16
③分类讨论..........................................................................................................................................16
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................18
基础过关篇..........................................................................................................................................18
能力拓展篇..........................................................................................................................................19
1、结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3、会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
一、导数研究单调性
1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间
内，①如果
，那么函数
在这个区间内单调递增
②如果
，那么函数
在这个区间内单调递减
③如果
，那么函数
在这个区间内为常数函数
2、求单调区间的方法：
①通过解不等式
或
(等号可要可不要)；
②求
，并可适当整理，尽量将
整理成
，
，…，
之积商的形式，借助
数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性．
注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“
”．
⑵若
在某个区间上单调递增，则
；若
在某个区间上单调递减，则
；
⑶设
，
，且
，那么
①
在
是增函数
恒成立
②
在
是减函数
恒成立
常用二级结论
1、含参数单调性讨论
第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是
一个连续的区间)
第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒
正或恒负，无需单独讨论的部分)
第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)
第四步：然后再求有效根
第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)
第六步：导数图像定区间
2、函数
在区间
内
增
单调递
(或
减
递
)，可得
(或
)在
区
恒成立，而不是
该
间
(或
)恒成立，“＝”不能少.必要
需
时还
对“＝”
行
进
检验.
3、若函数
在
内存在
增区
，
当
单调递
间则
，
时
有解；若函数f(x)在(a,b)内存
在
减区
，
当
单调递
间则
，
时
有解.
题型一：不含参函数的单调性
【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】已知函数
.证明：
在定义域内单调递增.
【解题总结】
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是
不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
【变式1-1】函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
【变式1-2】（2025·高三·山西运城·开学考试）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2025·四川达州·一模）曲线
在点
处的切线平分圆
，则函数
的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型
【典例2-1】已知
，函数
，当
时，讨论函数
的单调性.
【典例2-2】已知函数
，讨论
的单调性.
【变式2-1】已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设函数
，讨论
在区间
上的单调性.
【变式2-2】已知函数
．
(1)若
，求
的极小值；
(2)讨论导函数
的单调性．
【变式2-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数
，
．
(1)若
在
处的切线方程为
，求实数m 的值；
(2)讨论
的单调性.
题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型
【典例3-1】已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，讨论函数
的单调性.
【典例3-2】已知函数
．讨论
的单调区间.
【变式3-1】 已知函数
.
(1)若
在
处的切线斜率为
，求切线方程.
(2)求
的单调区间.
【变式3-2】设函数
，
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
【变式3-3】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间．
题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型
【典例4-1】已知函数
，其中
.
(1)若函数
的极小值为4，且在
处取到极大值，求函数
的解析式；
(2)讨论函数
的单调性.
【典例4-2】已知函数
，
．
(1)若
在
处的切线方程与直线
垂直，求a 的值并求函数
在区间
的最值；
(2)若
，试讨论
的单调性．
【变式4-1】已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，讨论函数
的单调性.
【变式4-2】（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
.
(1)已知
在
取得极值，求a 的值，
(2)当
时，讨论
的单调性；
【变式4-3】已知函数
，其导函数为
．
(1)设
．
①求
的值；
②求
在
上的最大值．
(2)讨论
的单调性．
【变式4-4】已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)讨论函数
的单调性．
【变式4-5】已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型
【典例5-1】（2025·高三·山西晋城·期末）设函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，讨论
的单调性．
【典例5-2】已知函数
．
(1)当
时，求
的解集；
(2)当
时，求
的单调区间．
【变式5-1】已知函数
．讨论
的单调性.
【变式5-2】（2025·贵州黔东南·三模）设函数
．
(1)若
，试求函数
的极值；
(2)设
，讨论
的单调性．
题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型
【典例6-1】已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)讨论
的单调性.
【典例6-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知函数
，
且
.
(1)求曲线
的对称中心；
(2)证明：曲线
在对称中心处的切线不过坐标原点；
(3)讨论
的单调性.
参考数据：当
时，
.
【变式6-1】（2025·湖北武汉·三模）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【变式6-2】已知函数
．
(1)若
，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
【变式6-3】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间
【变式6-4】已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
的单调性．
题型七：利用单调性比较大小或解不等式
【典例7-1】（2025·高三·江苏·期末）已知实数x，y 满足
，则下列关系一定正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7-2】（2025·湖北武汉·三模）已知函数
的定义域为
，对任意的
，均有
，且
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】定义在
上的函数
为奇函数，其导数为
，且当
时，
，则
不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若函数
是偶函
数，
也是偶函数，且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：根据函数单调性求参数
【典例8-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数
是
上的增函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8-2】已知函数
，若对任意两个不相等的实数
，都有
，
则实数
的最大值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【解题总结】
1、函数
在区间
内
增
单调递
(或
减
递
)，可得
(或
)在
区
恒成立，而不是
该
间
(或
)恒成立，“＝”不能少.必要
需
时还
对“＝”
行
进
检验.
2、若函数
在
内存在
增区
，
当
单调递
间则
，
时
有解；若函数f(x)在(a,b)内存
在
减区
，
当
单调递
间则
，
时
有解.
【变式8-1】已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2025·高三·山西·开学考试）函数
（其中
，且
）是其定义
域上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】已知函数
在
上存在单调递减区间，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-4】（2025·高三·云南保山·期中）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-5】（2025·河北·模拟预测）已知
，
，两个函数图象至少有一个在
区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-6】（2025·山东威海·三模）已知函数
在
上存在单调递减区间，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-7】若函数
在区间
内存在单调递减区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-8】已知函数
在
内单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-9】函数
的单调递减区间是
，则
（ ）
A．6
B．3
C．2
D．0
1．已知
，则
A．
B．
C．
D．
2．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
①数形结合
1 ．已知函数
，
，
，
，则a ，b ，c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
为R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4．已知
，x，
，且
，则下列关系式恒成立的为
A．
B．
C．
D．
5．若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．若函数
在区间
上单调递增，则实数k 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．已知函数
在R 上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．e
8．若函数
是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
在
上不单调，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
基础过关篇
1．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值
为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
2．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设
，若函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围是 .
3．（2025·上海黄浦·三模）若
、
，则“
”成立是“
”成立的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
4．（2025·四川眉山·模拟预测）函数
在区间
上单调递减的必要不充
分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在
上时单调递增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·湖南长沙·二模）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·四川泸州·模拟预测）若实数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知
、
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
、
的大小
10．（2025·江西萍乡·三模）记
，
为实数，设甲：
；乙：
，则甲是乙的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（多选题）（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．点
是函数
图象的对称中心B．
是函数
的极小值点
C．当
时，
D．当
时，
13．（多选题）（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，则下列判断正确的是（ ）
A．函数
的图象关于
轴对称
B．函数
的最小值为2，无最大值
C．函数
在
上单调递增
D．不等式
的解集为
14．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
既有极大值又有极小值，且
在区
间
上单调，则
的取值范围是 .
15．（2025·山西·模拟预测）若函数
在区间
单调递增，则
的取值范围是
.
16．（2025·江苏苏州·三模）若
在
上不单调，则实数
的取值范围是 ．
17．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点
只有一条直线与函数
的图象相切，则
的
取值范围为 .
18．（2025·江苏·一模）若
在
上单调递减，则实数
的取值范围为 ．
19．（2025·青海西宁·模拟预测）已知x，y 为正实数，
，则
的取值范围是 ．
能力拓展篇
20．已知
，则
的大小关系为 .
21．在平面直角坐标系中，将函数
的图像绕坐标原点
逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函
数的图像，则称函数
为“
函数”.若函数
为“
函数”，则实数
的取值范围是
.
22．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
为增函数，求
的值；
23．在平面直角坐标系中，如果将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线
仍然是某个函数的图象，则称
为“
旋转函数”．
(1)判断函数
是否为“
旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数
是“
旋转函数”，求
的最大值；
(3)若函数
是“
旋转函数”，求
的取值范围．
24．将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即
函数
的图象与直线
至多有1 个交点，则称函数
具有“α 旋转不变性”.
(1)证明：函数
，
具有“
旋转不变性”；
(2)若函数
具有“
旋转不变性”，求m 的取值范围.
25．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
