文档文本内容
3.2 导数与函数的单调性
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、导数研究单调性............................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................3
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：不含参函数的单调性............................................................................................................5
题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型..................................................................................6
题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型......................................................................9
题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型............................................................12
题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型........................................................18
题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型......................................................................21
题型七：利用单调性比较大小或解不等式......................................................................................26
题型八：根据函数单调性求参数......................................................................................................28
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................34
05 数学思想方法.................................................................................................................................38
①数形结合..........................................................................................................................................38
②转化与化归......................................................................................................................................41
③分类讨论..........................................................................................................................................42
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................45
基础过关篇..........................................................................................................................................45
能力拓展篇..........................................................................................................................................54
1、结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3、会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
一、导数研究单调性
1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间
内，①如果
，那么函数
在这个区间内单调递增
②如果
，那么函数
在这个区间内单调递减
③如果
，那么函数
在这个区间内为常数函数
2、求单调区间的方法：
①通过解不等式
或
(等号可要可不要)；
②求
，并可适当整理，尽量将
整理成
，
，…，
之积商的形式，借助
数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性．
注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“
”．
⑵若
在某个区间上单调递增，则
；若
在某个区间上单调递减，则
；
⑶设
，
，且
，那么
①
在
是增函数
恒成立
②
在
是减函数
恒成立
常用二级结论
1、含参数单调性讨论
第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是
一个连续的区间)
第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒
正或恒负，无需单独讨论的部分)
第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)
第四步：然后再求有效根
第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)
第六步：导数图像定区间
2、函数
在区间
内
增
单调递
(或
减
递
)，可得
(或
)在
区
恒成立，而不是
该
间
(或
)恒成立，“＝”不能少.必要
需
时还
对“＝”
行
进
检验.
3、若函数
在
内存在
增区
，
当
单调递
间则
，
时
有解；若函数f(x)在(a,b)内存
在
减区
，
当
单调递
间则
，
时
有解.
题型一：不含参函数的单调性
【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
的定义域为
，
在
上单调递增，在
上单调递
增，不满足在
上单调递增，故A 错误.
对于B，
在
上单调递减，不满足在
上单调递增，故B 错误.
对于C，
，满足在
上单调递增，故C 正确.
对于D，
在
上单调递减，在
上单调递增，不满足在
上单调递增，
故D 错误.
故选：C.
【典例1-2】已知函数
.证明：
在定义域内单调递增.
【解析】函数
的定义域为
，
，
当
时，
，所以
在定义域内单调递增.
【解题总结】
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是
不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
【变式1-1】函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
【答案】B
【解析】因为
，
.
所以对函数求导得：
.
令
，则
，解得
.
又
，所以
.
所以函数的单调递增区间为
.
故选：B.
【变式1-2】（2025·高三·山西运城·开学考试）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
的定义域为
，解不等式
，可得
，
故函数
的单调递减区间为
.
故选：B.
【变式1-3】（2025·四川达州·一模）曲线
在点
处的切线平分圆
，则函数
的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
因为曲线
在点
处的切线平分圆
，
所以曲线
在点
处的切线经过圆心
，
所以
，解得：
，
所以
，
令
，则
，所以函数
的增区间为
.
故选：C.
题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型
【典例2-1】已知
，函数
，当
时，讨论函数
的单调性.
【解析】函数
的定义域为
，
又
，
当
时，
，故函数
在区间
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
变化时，
，
的变化情况如下表所示：
单调递增
单调递减
故当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减；
当
时，函数
在区间
上单调递减.
【典例2-2】已知函数
，讨论
的单调性.
【解析】定义域
，
，
①当
时，
，
在
上单调递减，
②当
时，令
得
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增.
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增.
【变式2-1】已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设函数
，讨论
在区间
上的单调性.
【解析】（1）当
时，
，
则
，所以
，
，
所以切线方程为；
，即
.
（2）由
，
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，令
.
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
【变式2-2】已知函数
．
(1)若
，求
的极小值；
(2)讨论导函数
的单调性．
【解析】（1）当
时，
，
的定义域为
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取得极小值
．
（2）
的定义域为
，
，
令
，则
，
当
时，
恒成立，所以
即
在
上单调递增．
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
即
在
上单调递减，在
上单调递增.
【变式2-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数
，
．
(1)若
在
处的切线方程为
，求实数m 的值；
(2)讨论
的单调性.
【解析】（1）由
，
．
依题意，
，
解得
.
（2）
的定义域为
，
，
当
时，恒有
，故
的单调递减区间为
，
②当
时，令
，得
，
由
，得
；由
，得
，
故
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
综上所述，当
时，
的单调递减区间为
；
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型
【典例3-1】已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，讨论函数
的单调性.
【解析】（1）由题设
，则
，
所以
，
，
故点
处的切线为
，则
；
（2）由题设
且
，
令
，则
，即
，
令
且
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，故
，
故
，即
时，
，即
在
上单调递增；
当
时，由
或
时
趋向于正无穷，故
与
有两个交点，
若交点横坐标为
，
，则
，
所以，
或
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上，
时
在
上单调递增；
时
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减；
【典例3-2】已知函数
．讨论
的单调区间.
【解析】
，
，
令
，得
．
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减.
【变式3-1】 已知函数
.
(1)若
在
处的切线斜率为
，求切线方程.
(2)求
的单调区间.
【解析】（1）因为
，所以
，则
，所以
，
所以
，所以
，
切线方程为：
，即
．
（2）因为
，所以
，
若
，由
，得
；由
，得
，
此时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
若
，由
，得
；由
，得
，
此时，函数
的单调递减区间为
，递增区间为
．
综上所述，当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递减区间为
，递增区间为
．
【变式3-2】设函数
，
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
【解析】（1）因为
，则
，解得
，故
，
所以
，所以
，
此时，曲线
在
处的切线方程为
，即
.
（2）因为
，则
，
当
时，则
，
即函数
的单调递减区间为
，没有单调递增区间；
当
时，由
可得
，由
可得
.
此时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
综上所述，当
时，函数
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
【变式3-3】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间．
【解析】（1）当
时，
．
，即切点为
．
，则
．
所以切线方程为
，即
．
（2）
．
①当
时，
，所以
在
单调递增．
②当
时，由
可得
，由
可得
．
所以
在
单调递减，在
单调递增．
综上所述，当
时，
在
单调递增；当
时，
在
单调递减，在
单调递增．
题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型
【典例4-1】已知函数
，其中
.
(1)若函数
的极小值为4，且在
处取到极大值，求函数
的解析式；
(2)讨论函数
的单调性.
【解析】（1）因为
，
，
所以
，
由
在点
处取到极大值，得
，解得
，
所以
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
在
处取到极大值，在
处取到极小值，故
符合题意，
所以
，且
，
所以函数
的解析式为
.
（2）由（1）知，
，
当
时，
，由
，得
；由
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，由
得
或
.
当
时，由
，得
或
；由
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
时，
，由
，得
或
；由
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，
，函数
在
上单调递增.
当
时，
，由
，得
或
；由
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
【典例4-2】已知函数
，
．
(1)若
在
处的切线方程与直线
垂直，求a 的值并求函数
在区间
的最值；
(2)若
，试讨论
的单调性．
【解析】（1）由题意可知：
，
所以
，则
，
所以此时
，
，
令
，
或
（舍）．
令
，
，令
，
．
可知
在
上单调递减；
在
上单调递增；
所以
，又因为
，
所以
．
综上，函数
在区间
的最小值为
，最大值为
．
（2）由题可得：
，
，
，
令
，则
或
．
①当
时，
，令
，得
，令
，得
，或
；
②当
时，
，令
，得
，令
，得
，或
；
③当
时，
，则
在区间
单调递增．
综上所述：当
时，
在
和
上单调递增，在区间
单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在区间
单调递减．
【变式4-1】已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，讨论函数
的单调性.
【解析】（1）
，所以切点为
又
，所以切线方程为
（2）
定义域为
令
，解得
或
，
①当
，即
时，在
单调递减，在
上单调递增，
②当
，即
时，
在
单调递减，
③当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
【变式4-2】（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
.
(1)已知
在
取得极值，求a 的值，
(2)当
时，讨论
的单调性；
【解析】（1）因为
，
所以
，
因为
在
取得极值，
所以
，
经检验符合题意；
（2）由题意可知
的定义域为
，
.
由
可得
或
，
当
时，
,故
在
上单调递减.
当
时，
，故令
，解集为
，
令
，解集为
，
因此
的递增区间为
，递减区间为
，
.
当
时，
，令
，解集为
，
令
，解集为
，
因此
的递增区间为
，递减区间为
，
.
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
，
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
，
.
【变式4-3】已知函数
，其导函数为
．
(1)设
．
①求
的值；
②求
在
上的最大值．
(2)讨论
的单调性．
【解析】（1）①由题意得
，
则
，解得
．
②由①得
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，也就是最大值，最大值为
．
（2）由题意有
的定义域为
，
．
当
时，
，由
，得
，由
，得
，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
【变式4-4】已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)讨论函数
的单调性．
【解析】（1）当
时，
，则
，
因为函数定义域为
，
所以当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
即函数
有极小值
，无极大值.
（2）直接求导得：
，
因为函数定义域为
，
当
时，
，则函数
在
上单调递增；
当
时，
则当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
综上可得：当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
【变式4-5】已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
【解析】（1）当
时，
，
，则切点坐标为
．
又因为
，
，
所以
在
处的切线方程为
．
（2）由函数
求导可得
．
定义域为
，
则①当
时，由
得
，
当
或
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
单调递增，在
上单调递减；
②当
时，
，
在
上单调递增；
③当
时，由
得
，
当
或
时，
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，在
单调递增，在
单调递减；
④当
时，由
得
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当
时，
在
递增，
上递减，
递增；
当
时，
在
上递增；
当
时，
在
递增，
递减，
递增；
当
时，
在
递减，
递增．
题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型
【典例5-1】（2025·高三·山西晋城·期末）设函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，讨论
的单调性．
【解析】（1）当
时，
，则
，
则曲线
在点
处的切线斜率为
，
因为
，所以曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）
的定义域为
．
当
时，
．
令
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此，
的最小值为
当
时，
则
，此时，
在
上单调递增，
当
时，令
，得
．
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增
综上，当
时，
在
上单调递增，当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减．
【典例5-2】已知函数
．
(1)当
时，求
的解集；
(2)当
时，求
的单调区间．
【解析】（1）当
时，
，
，
所以
在
上单调递减，又
，
则当
时，
；当
时，
，
故
的解集为
．
（2）
，（
）
设
，（
）的对称轴
，
，
当
，有
，则
，
在
单调递减．
当
，则
有两个不等正根
，
，
所以
、
上
，
上
，
在
、
上单调递减，在
上单调递增；
当
，则
有一个正根
，即
上
，
上
，
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上：
当
，
的单调减区间为
，无单调递增区间；
当
，
的单调减区间为
、
，单调递增区间为
；
当
，
的单调递增区间为
，单调减区间为
．
【变式5-1】已知函数
．讨论
的单调性.
【解析】
，则
，
令
，
，则
，
因
，故
，
当
，即
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，令
，
，
，
，
，
，
在
和
单调递减，在
单调递增;
当
时，
，
，则
在
上单调递增，在
单调递减;
综上所述，当
时，则
在
上单调递减，
当
时，
在
和
单调递减，在
单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
单调递减.
【变式5-2】（2025·贵州黔东南·三模）设函数
．
(1)若
，试求函数
的极值；
(2)设
，讨论
的单调性．
【解析】（1）当
时，
，函数
的定义域为
，
所以
，令
有
，
由
有
，
有
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值；
（2）由
，
所以
的定义域为
，
所以
，令
，
当
时，
，
，所以
在
单调递减；
当
时，令
有
，
，
所以
，
所以由
有
，
，
有
，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
的单调增区间为
，单调减区间为
；
综上有：当
时，
的单调减区间为
，无增区间；
当
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
.
题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型
【典例6-1】已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)讨论
的单调性.
【解析】（1）由题意得
，
则
.
因为曲线
在点
处的切线与直线
垂直，
所以
，即
.
（2）由（1）得
，
令
，则
.
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以
，
即
.
①当
时，
在
上单调递增.
②当
时，由
，得
；由
，得
，
所以当
时，
单调递增；当
时，
单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
【典例6-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知函数
，
且
.
(1)求曲线
的对称中心；
(2)证明：曲线
在对称中心处的切线不过坐标原点；
(3)讨论
的单调性.
参考数据：当
时，
.
【解析】（1）由函数
，
则满足
，解得
，所以函数
的定义域为
，
因为
所以曲线
的对称中心为
.
（2）证明：由函数
，可得
，
则
，所以曲线
在对称中心处的切线方程为
，
因为
且
，
，所以曲线
在对称中心处的切线不过坐标原点.
（3）当
时，
，此时
在
上单调递增；
当
时，
当
时，
.
设
，
，所以
，令
，可得
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
因为当
时，
，
，
，所以
，
由
，可看成关于变量
的二次函数，
该二次函数的判别式为
，
由引理可知，
，所以
，
，
因为
时，
，所以
，此时
在
上单调递减，
综上所述，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减.
【变式6-1】（2025·湖北武汉·三模）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【解析】（1）
，
，
，
，
切线方程为
，即
.
（2）
，
.
①当
时，
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增.
②当
时，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
时等号成立，
所以
在
上单调递增.
③当
时，
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
④当
时，
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
综上所述：①当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
②当
时，
在
上单调递增；
③当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
④当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
【变式6-2】已知函数
．
(1)若
，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
【解析】（1）若
，则
，则
，
，
，
所以
在点
处的切线方程为
．
（2）
，
①当
，令
，解得
，令
，解得
，
在
单调递增，在
单调递减；
②当
，令
，解得
，
，
当
时，令
，解得
或
，令
，解得
，
在
，
单调递增，在
单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，令
，解得
或
，令
，解得
，
在
，
单调递增，在
单调递减，
综上，当
时，
在
单调递增，在
单调递减；
当
时，
在
，
单调递增，在
单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
单调递增.在
单调递减．
【变式6-3】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间
【解析】（1）当
时
，则
，
，
所以
，则切点为
，切线的斜率
，所以切线方程为
；
（2）函数
的定义域为
，又
，
当
时，则当
时
，当
或
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
；
当
时
（当且仅当
时取等号），
所以
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，则当
时
，当
或
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
；
综上可得：
当
时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
；
当
时
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
.
【变式6-4】已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
的单调性．
【解析】（1）当
时，
，
，
∴
，
∵
在
上恒成立，∴由
得
，
∵当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
的极小值为
，无极大值．
（2）由题意得
，
，
当
时，
，
，即
恒成立，所以
在R 上单调递减；
当
时，令
，则
，得
，
时，
，
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在R 上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
题型七：利用单调性比较大小或解不等式
【典例7-1】（2025·高三·江苏·期末）已知实数x，y 满足
，则下列关系一定正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可知，
，
设
，
，
，所以
在
单调递增，
因为
，
，所以
.
故选：D
【典例7-2】（2025·湖北武汉·三模）已知函数
的定义域为
，对任意的
，均有
，且
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，令
，则有
，错误；
对于B，令
，则
，又
，从而
，错误；
对于C，对任意的
有，
，
令
，则
，即
，
令
且
，则
，
所以
在
上单调递减，则
，即
，
从而
，（利用
，则
），正确；
对于D，令
，则
，又
，从而
，错误.
故选：C
【变式7-1】定义在
上的函数
为奇函数，其导数为
，且当
时，
，则
不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，又因为函数
为定义在
上奇函数，
为定义在
上奇函数，所以
为定义在
上的奇函数，
则
在
上单调递减，即函数
在
上单调递减，
所以由
可得：
，
即
，所以
，
故选：C.
【变式7-2】已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，其中
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
因为
，
，
，
因为
，所以
，即
，所以
，
故选：B.
【变式7-3】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若函数
是偶函
数，
也是偶函数，且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为偶函数，则
，等式两边求导可得
，①
因为函数
为偶函数，则
，②
联立①②可得
，
令
，则
，且
不恒为零，
所以，函数
在
上为增函数，即函数
在
上为增函数，
故当
时，
，所以，函数
在
上为增函数，
由
可得
，
所以，
，整理可得
，解得
.
故选：C.
题型八：根据函数单调性求参数
【典例8-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数
是
上的增函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
得
，
因为
是
上的增函数，则
恒成立，
即
恒成立，
当
时，
，此时
不恒成立，不满足题意；
当
时，等价于
对
恒成立，
则
.
故选：C.
【典例8-2】已知函数
，若对任意两个不相等的实数
，都有
，
则实数
的最大值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】因为对任意两个不相等的实数
，都有
，
即
，
令
，不妨设
，
则有
，
所以
，
所以
在R 上单调递增，
所以
在R 上恒成立，
即
在R 上恒成立，
令
，
则
，令
，得
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
，
所以
.
即
的最大值为
.
故选：D.
【解题总结】
1、函数
在区间
内
增
单调递
(或
减
递
)，可得
(或
)在
区
恒成立，而不是
该
间
(或
)恒成立，“＝”不能少.必要
需
时还
对“＝”
行
进
检验.
2、若函数
在
内存在
增区
，
当
单调递
间则
，
时
有解；若函数f(x)在(a,b)内存
在
减区
，
当
单调递
间则
，
时
有解.
【变式8-1】已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
在
上单调递减，
所以当
时，
恒成立，则
；
当
时，由
在
上递减，
若
，
，合题意，
若
，则
，故
;
又分段点处也要满足递减的性质，所以
，解得
.
综上所述，
，
故选：C．
【变式8-2】（2025·高三·山西·开学考试）函数
（其中
，且
）是其定义
域上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
.若
单调递增，则
恒成立，即
.
设
，
，又函数
在
时函数值趋近于0，不满足条件；
若
单调递减，则
恒成立，即
，
当
时，函数
在
时函数值趋向于
，不满足条件，所以
，
令
，则
，所以
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，所以
，即
，
所以
，即
，解得
.
故选：B
【变式8-3】已知函数
在
上存在单调递减区间，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，
要使
在
上存在单调递减区间，只需存在区间
，使得当
时，
，
当
时，
，显然不存在满足条件的区间
；
当
时，
的解集为
，因为
，
所以要使
在
上存在单调递减区间，则
，解得
；
当
时，
的解集为
，因为
，
所以要使
在
上存在单调递减区间，则
，解得
.
综上，
的取值范围为
.
故选：A.
【变式8-4】（2025·高三·云南保山·期中）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】法一：
令
，则
在
上单调递减，
且
在
上恒成立，
所以
解得
.
法二：
，则
，
则
在区间
上恒成立，
则
或
，解之得
.
故选：A.
【变式8-5】（2025·河北·模拟预测）已知
，
，两个函数图象至少有一个在
区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
的对称轴为
，
若
在
上不单调，则满足
，解得
；
又由函数
，可得
，
若
在
上不单调，则满足
，解得
，
所以两个函数图象至少有一个在区间
上不单调，则有
或
，
可得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：D.
【变式8-6】（2025·山东威海·三模）已知函数
在
上存在单调递减区间，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求导可得
，
由题意
有解，
即
有解，
即
有解，
令
，
因为
，易知
在
单调递增，
此时
，所以
，
又
，
，
所以
，解得：
，
所以
的取值范围是
.
故选：B.
【变式8-7】若函数
在区间
内存在单调递减区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知可得
定义域为
，
当
时，解
可得
，不满足定义域；
当
时，令
，
要使函数
在区间
内存在单调递减区间，
只需满足
或
.
由
可得，
，此时有
；
由
可得，
，此时有
.
所以，
.
综上所述，
.
故选：A.
【变式8-8】已知函数
在
内单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，因为
为
上的增函数，
而
在
内单调递增，
故
为
内的增函数，且
在
内恒成立，
故
，故
，
故选：D.
【变式8-9】函数
的单调递减区间是
，则
（ ）
A．6
B．3
C．2
D．0
【答案】A
【解析】由
可得
，
由于
的单调递减区间是
，故
和
是
的两个根，故
，故
，
故选：A
1．已知
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先证当
，
令
，
则
恒成立，即
在
上单调递增，
所以
，即
；
令
，
则
恒成立，即
在
上单调递增，
所以
，即
；
综上，当
恒成立．
[方法一]：构造函数
因为当
，
故
，故
，所以
；
设
，
，所以
在
上单调递增，
故
，所以
，
所以
，所以
，故选
[方法二]：不等式放缩
因为当
，
取
得：
，故
，
，其中
，且
，
当
时，
，即
，
此时
，
，
故
，故
，
所以
，所以
，故选
[方法三]：构造函数
因为
，因为当
，
所以
，即
，所以
设
，
，
所以
在
单调递增，则
，
所以
，所以
，所以
，
故选
[方法四]：【最优解】不等式放缩
因为
，因为当
，
所以
，即
，所以
因为当
，取
得
，故
，所以
故选
2．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
①数形结合
1 ．已知函数
，
，
，
，则a ，b ，c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
则
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
时
，
时
，
且
时
，
时
，
作出
与
的图象如图所示：
由图可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
所以
，
因为
，则
，
即
，即
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
在
上单调递减，
所以
，
即
即
故选：
2．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
，
则
在
单调递减，
单调递增，如图所示：
，
，
，
同理
，
，
又
，
，
故选：
3．若
为R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
，
，
，
则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
有极大值
在
时取最小值
根据分段函数的定义，当
时，
与
一致，当
时，
与
一致．
在同一坐标系下作出
与
的图象．
要使分段函数
的表达式有意义，则有
因为
为R 上的减函数，所以
在
上单调递减，
在
上单调递减，
且
，
观察可得，a 的取值范围为
②转化与化归
4．已知
，x，
，且
，则下列关系式恒成立的为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
则
，
因为
，
所以
，所以
，
所以函数
在
上单调递增；
由
得
，
因为
，所以
，
当
时，由
得
，此时
；
当
时，
，故
，所以
；
当
时，
，故
，所以
；
综上所述
，所以
，即
，
故选
5．若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
函数
在区间
上存在单调增区间，
函数
在区间
上存在子区间使得不等式
成立，
，
由
，则在区间
上存在子区间使得
，
令
，
在
为增函数，
，
所以
故选
6．若函数
在区间
上单调递增，则实数k 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
函数
在区间
单调递增，
在区间
上恒成立．
，
而
在区间
上单调递减，
的取值范围是
故选：
③分类讨论
7．已知函数
在R 上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．e
【答案】B
【解析】 由题意可得
，
因为
在R 上单调递增，
所以
恒成立，
那么有两种情况：
或
恒成立，
要使上述两种情况恒成立，则
，
则
，
设
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以
，
故选：
8．若函数
是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知，在
上，
，
因为
且
，所以
，则
，
当
时，a 不存在，
当
时，
经检验
不符合题意，
故
故选：
9．已知函数
在
上不单调，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
当
时，
在
上单调递增，不符合题意；
故
，
，
当
时，
，又
，
故
在
上恒成立，故函数
在
上单调递增，不符合题意；
当
时，又
，要使
在
上不单调，
则
，可得
，则
，
故选
基础过关篇
1．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值
为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【解析】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
2．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设
，若函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
3．（2025·上海黄浦·三模）若
、
，则“
”成立是“
”成立的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】令
，求导得
恒成立，
所以
是
上的增函数，
所以
，
当
时，有
，这表明
不是
的充分条件，
当
时，有
，这表明
不是
的必要条件，
所以“
”成立是“
”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．（2025·四川眉山·模拟预测）函数
在区间
上单调递减的必要不充
分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，
求导得
，
函数
在区间
上单调递减，
等价于
在区间
上恒成立，
则
，等价于
，
与
，
与
，
与
不具有包含关系，
所以
，
，
不是函数
在区间
上单调递减
的必要不充分条件，
因为
是
的真子集，所以
是函数
在区间
上单
调递减的必要不充分条件，
故选：A.
5．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在
上时单调递增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，因为
，
在
上单调递增，故A 正确；
对于B，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，
的定义域为
，
，所以
为偶函数，
因为
，所以由幂函数的性质知
在
上单调递增，
由偶函数的性质可得：
在
上单调递减，故C 错误；
对于D，当
时，
,
由
的单调性知，
在
不具备严格的单调性，
所以
在
上不具备严格的单调性，故D 错误.
故选：A.
6．（2025·湖南长沙·二模）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
在
上恒成立，
则
.
因为
，
要使得不等式恒成立，则
．
故选：D.
7．（2025·四川泸州·模拟预测）若实数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，得
，
令
，则有
，
又
，故
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
.
又
，故
，所以
，
所以
.
故选：D.
8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得函数
的定义域为
，
由于
，
所以
的图象关于直线
对称，
，
当
时，
单调递增，所以
，
又
，所以
，
单调递增，
所以
，解得
.
故选：D．
9．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知
、
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
、
的大小
【答案】A
【解析】令
，则
，
当
时，
，故
恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，
，
由零点存在定理得
，
令
，则
，
由上面的求解可知
在
上单调递增，
且存在
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
故
的零点
，
，所以
.
故选：A.
10．（2025·江西萍乡·三模）记
，
为实数，设甲：
；乙：
，则甲是乙的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】令函数
，求导得
，故
在
上单调递增，
由
，得
，即
，即充分性成立；
由
，得
，即
，可得
，故必要性不成立，
综上可知，甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
11．（多选题）（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对A，由三角函数线可知当
时，
，
令
，可得
，所以
，故A 对；
对B，构造函数
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
所以当
且
时，
，
令
，可得
，即
，故B 错；
对C，因为当
且
时，
，故
，
所以当
且
时，
，
令
，得
，即
，故C 对.
对D， 构造函数
，
，
则
，
，
所以
在
单调递增，故
，即
，
令
，得
，故D 对.
故选：ACD.
12．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．点
是函数
图象的对称中心B．
是函数
的极小值点
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【解析】由题意，
，求导可得
，令
，得
，
当
或
时，
；当
时，
.
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，且
，
可作出
大致图象如图所示．
对于A，
，所以函数
的图象关于点
成中心对
称，故A 正确；
对于B，由图象可知，
是函数
的极大值点，故B 错误；
对于C，当
时，
，因为
，结合函数图象和单
调性可得
，故C 正确；
对于D，当
时，
，此时
，
，则
，所以
，故D 正确．
故选：ACD.
13．（多选题）（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，则下列判断正确的是（ ）
A．函数
的图象关于
轴对称
B．函数
的最小值为2，无最大值
C．函数
在
上单调递增
D．不等式
的解集为
【答案】ABD
【解析】A.
，即
，所以函数
是偶函数，
的图
象关于
轴对称，故A 正确；
B.当
时，
，
，所以
在
单调递增，
，
且
是偶函数，所以函数
的最小值为2，无最大值，故B 正确；
C.由AB 可知，
在
单调递减，在
上单调递增，故C 错误；
D. 不等式
，两边平方得
，得
，故D 正确.
故选：ABD
14．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
既有极大值又有极小值，且
在区
间
上单调，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得
，且
既有极大值又有极小值，
故
有两个不相等的实数根，
即
，解得
或
.
设
，
若
在区间
上单调递减，则需满足
，解得
.
若
在区间
上单调递增，则
或
解得
无解或
.
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
15．（2025·山西·模拟预测）若函数
在区间
单调递增，则
的取值范围是
.
【答案】
【解析】
，
令
，则当
时，
，
又因为
，
当且仅当
时等号成立，且当
时，
不恒为0，
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
16．（2025·江苏苏州·三模）若
在
上不单调，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由
，可得
，
所以
在
上不单调，所以
在
上有解，
即
在
有解，即存在
，使得
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
17．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点
只有一条直线与函数
的图象相切，则
的
取值范围为 .
【答案】
【解析】
设过点
的切线与
的切点为
，
因为
，则切线的斜率为
，
所以切线的方程为
，
代入
得
，
即
.
设
，则
，
由
，得
或
，
当
或
时，
，
在
，
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
所以
，
，
因为
，所以
，
，
作出
的大致图象如图所示，
由图象可知只有一条直线与
的图象相切时，
或
.
故答案为：
18．（2025·江苏·一模）若
在
上单调递减，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，令
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
19．（2025·青海西宁·模拟预测）已知x，y 为正实数，
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由
得：
，
构造函数
，则
，
可知
在
上递增，
结合
，得
，即
由基本不等式可知：
，
当且仅当
时等号成立，所以
.
故答案为：
.
能力拓展篇
20．已知
，则
的大小关系为 .
【答案】
【解析】由
，
即
，
令
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
则有
，即
，
令
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
则有
，即
，
故
.
故答案为：
21．在平面直角坐标系中，将函数
的图像绕坐标原点
逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函
数的图像，则称函数
为“
函数”.若函数
为“
函数”，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】由“
函数”的定义可知若函数
为“
函数”，则直线
与
的图
像至多只有一个交点，
即
，即
只有一根，
令
，则
在
上单调，
则
，
当
时，则
，在
上单调，满足要求；
当
时，设
，则
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
，
由函数
在
上单调，则
，解得
，与
矛盾，不成立；
当
时，设
，则
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
即
，
由函数
在
上单调，则
，解得
，
又
，即
；
综上所述，
，
故答案为：
.
22．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
为增函数，求
的值；
【解析】（1）当
时，
，则
，
所以
，
所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
（2）
，
因为函数
为增函数，所以
对所有
成立，
当
时，
，不等式
恒成立，
所以
，又
，所以
，
当
时，
，不等式
恒成立，
所以
，又
，所以
，
当
，
，不等式
恒成立，此时
，
综上：
，
23．在平面直角坐标系中，如果将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线
仍然是某个函数的图象，则称
为“
旋转函数”．
(1)判断函数
是否为“
旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数
是“
旋转函数”，求
的最大值；
(3)若函数
是“
旋转函数”，求
的取值范围．
【解析】（1）函数
不是“
旋转函数”，理由如下：
的图象逆时针旋转
后与
轴重合，
当
时，有无数个
与之对应，与函数的概念矛盾，
因此，函数
不是“
旋转函数”.
（2）由题意可得，函数
与函数
的图象最多有1 个交点，其中
，
所以关于
的方程
最多有一个根，
即关于
的方程
最多有一个根，
即函数
在
上单调．
易知
，且
．
若
，
则
，不满足题意，
所以
，
所以
，
即
，
即
的最大值为
．
（3）由题意可知，
与
的图象最多有一个交点，
故
，最多一个解，即
与
的图象至多一个交点，
所以
恒大于等于0 或恒小于等于0，
当
时，
，所以
.
令
，
故
，
当
时，
在
单调递减；在
单调递增；
当
，且
时，
，
，矛盾；
当
时，
，满足条件；
当
，
在
单调递增；在
单调递减；
所以
，故
，
综上所述；
.
24．将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即
函数
的图象与直线
至多有1 个交点，则称函数
具有“α 旋转不变性”.
(1)证明：函数
，
具有“
旋转不变性”；
(2)若函数
具有“
旋转不变性”，求m 的取值范围.
【解析】（1）由题意可知，当
时，
,
令
，
，
则
，
在
上单调递减.
故
与
至多有1 个交点，
即
与
至多有1 个交点，
故函数
具有“
旋转不变性”.
（2）由题意得：当
时，
，
函数
与函数
的图象至多有1 个交点，
即方程
至多有一个根,
即函数
与函数
的图象至多1 个交点，
因此函数
在
上为单调函数，
，而当
时，
，
所以
在
上恒成立，故
.
令
，则
因为
在
上单调递减，且
，
由零点存在定理可知，
，使
所以
，
当
单调递增，
当
单调递减，
所以
，
即
.
25．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，
则
，
据此可得
，
所以函数在
处的切线方程为
，即
.
（2）由函数的解析式可得
，
满足题意时
在区间
上恒成立.
令
，则
，
令
，原问题等价于
在区间
上恒成立，
则
，
当
时，由于
，故
，
在区间
上单调递减，
此时
，不合题意;
令
，则
，
当
，
时，由于
，所以
在区间
上单调递增，
即
在区间
上单调递增，
所以
，
在区间
上单调递增，
，满足题意.
当
时，由
可得
，
当
时，
在区间
上单调递减，即
单调递减，
注意到
，故当
时，
，
单调递减，
由于
，故当
时，
，不合题意.
综上可知：实数
得取值范围是
.
