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考点 4-1 三角函数的图像与性质
1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】
根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】
因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移 个单位长
度即可得到函数 的图象．
故选：D.
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】
化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
3．（2022·全国·高考真题（文））将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到
曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.
【详解】
由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
4.（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））将最小正周期为 的函数
的图像向左平移 个单位长度，得到 的图像，则函数 的一个对称中心为___________
【答案】 ，不唯一
【分析】
根据最小正周期求出 ，再根据函数平移规则即可求出 的解析式.
【详解】
由题意， ， ，即 ，
向左平移 得 ，
，令 ，∴ 的一个对称中心为 ；
故答案为： .
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的一个零点为 ，则 ________；
________．
【答案】 1
【分析】
先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
【详解】
∵ ，∴
∴
故答案为：1，
6．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知某质点从直角坐标系xOy中的点 出发，沿以O为
圆心，2为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达B点，若B在y轴上的射影为C， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角函数定义 ，代入运算整理．
【详解】设点 得坐标为 ，根据三角函数定义可知： ，则
∴
故选：C．
【点睛】
7．（2022·江苏连云港·模拟预测）如果函数 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据余弦函数的对称轴可得结果.
【详解】
因为函数 满足 ，所以 的图象关于 对称，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 的最小值为 .
故选：B
8．（2021·北京八十中高三阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于 轴对称C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
【答案】C
【分析】
由题意利用三角函数的对称性与周期，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
对A，因为 与 的最小正周期均为 ，所以 的最小正周期为 ，A错误；
对B，因为 ，所以 不是偶函数，其图象
不关于 轴对称，故B错误；
对CD，因为 ，所以 的图象关于 对称，故C正确，D错误
故选：C
9.（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ___________；已知函数满
足：① ；② ；③函数在 上单调递减；
【答案】 （答案不唯一）
【分析】
由条件得函数性质后求解
【详解】
对于①，若 ，则 的图象关于 中心对称，
对于②，若 ，则 的图象关于 对称，
设 ，则 ， ，
又 的图象关于 对称，且函数在 上单调递减，
则 ，得
故答案为： （答案不唯一）
10．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上有且仅有3个零点和2个极
小值点，则 的取值范围为______．【答案】
【分析】
找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.
【详解】
如下图，作出简图，由题意知， ，设函数 的最小正周期为 ，
因为 ，则 ， ，
结合 有 且 ，解得 ．
故答案为：
11．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数 的最小正
周期为 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 在区
间 上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据最小正周期为 可得 ，再根据三角函数图象平移的性质可得 ，结合三角函数图象的性质
即可得值域
【详解】因为 的最小正周期为 ，所以 ．将
的图象向左平移 个单位长度后得到函数
的图象，当 ， ，所以 的值域为 ．
故选：C
12．（2022·广西柳州·模拟预测（理））若直线 是曲线 的一条对称轴，且函数
在区间[0， ]上不单调，则 的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【分析】
根据给定条件，求出 的关系式，再求出函数 含有数0的单调区间即可判断作答.
【详解】
因直线 是曲线 的一条对称轴，则 ，即 ，
由 得 ，则函数 在 上单调递增，
而函数 在区间 上不单调，则 ，解得 ，
所以 的最小值为11.
故选：C
13．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，已知 为 图象的一个
对称中心，直线 为 图象的一条对称轴，且 在 上单调递减．记满足条件的所有
的值的和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由一条对称轴和一个对称中心可以得到 或 ，由 在
上单调递减可以得到 ，算出 的大致范围，验证即可.
【详解】
由题意知： 或∴ 或
∴ 或
∵ 在 上单调递减，∴
∴
①当 时，取 知
此时 ，当 时，
满足 在 上单调递减，∴ 符合
取 时， ，此时 ，当 时， 满足 在
上单调递减，∴ 符合
当 时， ，舍去，当 时， 也舍去
②当 时，取 知
此时 ，当 时，
，此时 在 上单调递增，舍去
当 时， ，舍去，当 时， 也舍去
综上： 或2， .
故选：A.
14.
14．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知函数 的部分图象如图所示，则满足条件 的最小正偶数x为___________.
【答案】4
【分析】
先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最小正偶数.
【详解】
由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 ；
由 ，即 ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
令 ，可得 或 ，
所以最小正偶数 为4.
故答案为：4.
15．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 ，已知 且对于任
意的 都有 ，若 在 上单调，则 的最大值为______.
【答案】5【分析】
根据已知条件，利用 和 建立起关于 的等量关系，然后根据 在
上单调，卡出 的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.
【详解】
因为函数 ， ，
所以 ，
所以 ， ,
因为于任意的 都有 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
或 ，
所以 或 ，
即 （舍去），所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
令 ，所以 ， 在 上单调，
， 且 ，所以在区间 中包含在一个对称轴和对称中心之间（
）即 ，
所以 ，而 ，
所以 的最大值为5.
故答案为：5.
16．（2021·全国·高三专题练习）已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是___________.
【答案】
【分析】
利用单位圆确定 的取值范围，再根据题给条件分析 的最值即可得出结论.
【详解】
解：在单位圆中分析，由题意可得 的终边要落在图中阴影部分区域(其中 ，如图，
由于 恒成立，且 为常数
， 位于连续两终边之间
当 为 的正整数倍时，连续两终边间的间隔长度为 ，
， 取 ，此时，
即， ，当 时 取得最小值， .
当 不为 的正整数倍时，可设
这里的 是根据 中的 的最小值 推导出，这里只考虑 情况.
时， ，满足 不为 的正整数倍时， .
所以 时，
由 得： ，此时，
， 当 为正整数时， 连续两终边间的间隔长度小于所以必定存在正整数使得 的终边落在区间 上，此时不符合题意.
综上， 的最小值为 .
故答案为：
