文档文本内容
4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ω x ＋
φ
φ
2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
3．函数y＝sin x 的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变
换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
[常用结论]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z)．
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程
考点二 求图象变化前后的解析式
考点三 由图象确定函数解析式
考点四 由函数的性质确定图象(解析式)
考点五 三角函数图象与性质的综合应用
考点六 三角函数实际的应用
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换过程
1．（25-26 高三上·辽宁朝阳·期中）（多选）要得到
函数的图像，只需将函数
的图像
（ ）
A．先向右平移
个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3 倍
B．先向左平移
个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3 倍
C．先将横坐标扩大为原来的3 倍，再向左平移
个单位长度
D．先将横坐标扩大为原来的3 倍，再向右平移
个单位长度
【答案】BC
【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解．
【详解】对于A，先向右平移
个单位长度，得到
，
再将横坐标扩大为原来的3 倍得到
，故A 错误；
对于B，先向左平移
个单位长度，得到
，
再将横坐标扩大为原来的3 倍得到
，故B 正确；
对于C，先将横坐标扩大为原来的3 倍，得到
，
再向左平移
个单位长度得到
，故C 正确．
对于D，先将横坐标扩大为原来的3 倍，得到
，
再向右平移
个单位长度，得到
，故D 错误．
2．（25-26 高三上·广东汕尾·期中）只需要把
图象上（ ），即可得到
的图象.
A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
，再向右平移
个单位长度
B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
，再向右平移
个单位长度
C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位长度
D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】应用三角函数的伸缩变化结合平移规则计算求解.
【详解】正弦函数
各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，得到
，
再向右平移
个单位长度，得到
.
3．（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数
的图象，只需把函数
图象上的（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再向右平移
个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再向右平移
个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，再向右平移
个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，再向左平移
个单位
【答案】B
【详解】对函数
做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标保持不变，
得到新函数
的图象，
根据平移变换的“左加右减”规则，将
变形为目标函数：
，
可知需要将
的图象向右平移
个单位，即可得到目标函数的图象，
B 选项正确.
4．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【详解】由
，只需把函数
的图象向右平移
个单位长度.
5．（25-26 高三上·上海·期中）要得到函数
的图像，只需要将函数
的图像（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】C
【详解】因
，
故只需要将
的图像向左平移
个单位长度即得
的图象.
6．（2026·河北张家口·二模）将函数
的图象向右平移
（
）个单位长度后得到函数
的图象，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解析：由题可知
，又
，所以
.
考点二 求图象变化前后的解析式
7．（25-26 高三上·四川南充·期中）将函数
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍，再向右
平移
个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍得到
，
再向右平移
个单位得到
.
8．（25-26 高三上·北京延庆·期中）把函数
的图象上所有点向左平移
个单位，得到函数
的图象，
则此时
______；把函数
的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的
，可得到函数
的图
象.则此时
______.
【答案】
【分析】根据三角函数图象的平移、伸缩变换即可求解.
【详解】函数
的图象上所有点向左平移
个单位，得到函数
的图象，
则
；
把函数
的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的
，得到函数
的图象，
则
.
9．（2026·天津·二模）把函数
图象上所有的点横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，再把所
得的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数
，
再把
图象向右平移
个单位长度得：
．
10．（25-26 高三上·广东佛山·期中）将函数
的图象向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有
点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】按照
和
对图象变换的影响写出相应的解析式即可.
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位，
得到
，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得到
，
即所得到的图象的函数解析式是
.
11．（25-26 高三上·安徽安庆·阶段检测）将函数
的图象先向左平移
个单位长度，再将图象
上所有点的横坐标伸长到原来的4 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可.
【详解】将
的图象先向左平移
个单位长度，得到
的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的4 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为
．
12．（2026·山东青岛·一模）把函数
图像上所有点的横坐标扩大为原来的
倍，纵坐标不变，再把所得曲
线向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可.
【详解】函数
的图像向左平移
个单位长度，得到
.
所有点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，得到
.
又
，所以
.
考点三 由图象确定函数解析式
13．（2026·山西忻州·模拟预测）函数
，（
，
）的部分图像如图所示，则
（ ）
A．1
B．-1
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图象求得
的解析式，进而求得
.
【详解】由函数
的图像过点
，得
，即
.
又
，故
或
.
由图象可知，函数在
右侧附近单调递增，当
时，
增大，
增大，
减小，函数单调递减，与图象矛盾；
当
时，
增大，
增大，
增大，
函数单调递增，与图象相符，故
.
由图象过点
，且该点为
轴右侧第一个零点，
，
，相位
从
增加到
，
所以
，解得
，即
.
因此，
.
代入
，得
.
14．（25-26 高二下·陕西咸阳·期中）已知函数
的部分图象如图所示，下
列说法正确的有（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的图象关于点
，
中心对称
C．函数
在
单调递减
D．将该图象向右平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），可
得
的图象
【答案】D
【详解】∵ 由图象可知，函数的最大值为
，最小值为
，且
，故
.
∵ 函数最高点横坐标为
，相邻零点横坐标为
，二者间隔为
，对应
个周期，
∴
，即
，故
，则
.
将最高点
代入得
，即
，
又
，故
，解得
，即
.
对选项A：∵
的最小正周期
，不是
，∴ A 错误.
对选项B：令
，
，解得
，
，即函数对称中心为
，
，与
，
不一致，∴ B 错误.
对选项C：当
时，
，
∵
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
在
上不是单调递减，∴ C 错误.
对选项D：将
图象向右平移
个单位长度，得
，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），得
，符合要求，∴ D
正确.
15．（25-26 高三上·湖南益阳·期中）（多选）函数
的部分图象如图
所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
图象的对称中心为点
C．将
的图象向左平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象
D．若
在区间
上的值域为
，则实数
的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用图象可求出函数解析式，即可得A；结合正弦型函数对称性计算可得B；借助三角函数平移变换计算
可得C；结合三角函数图象及其性质计算可得D.
【详解】对A：由
，故
，解得
，
由图可得
，则
，由
，则
，
则
，解得
，
又
，故
，故A 正确；
对B：由A 可得
，
令
，解得
，
故
图象的对称中心为点
，故B 正确；
对C：由题意可得
，故C 错误；
对D：当
时，
，
由
在区间
上的值域为
，
即
，则
，
故有
，解得
，
故实数
的取值范围为
，故D 正确.
16．（2026 高三·全国·专题练习）函数
（
，
，
是常数，
，
，
）的部分
图象如图所示，则
________．
【答案】
【详解】由函数
的部分图象知，
，
该函数的最小正周期
，因
，则
．
又
时，
，
，解得
，
，
故
．
17．（25-26 高三上·贵州遵义·期中）（多选）已知函数
的部分图象如图
所示，则（ ）
A．
的图象关于直线
轴对称
B．
在区间
上单调递增
C．将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得
D．函数
在区间
上有且仅有一个零点
【答案】BD
【分析】由三角函数的性质结合图像求出
的解析式，由
是否为最值可判断A；求出
在区间的
单调性可判断B；由三角函数的平移变换可判断C；由三角函数图像以及对数函数的图像可判断D.
【详解】由图像可知，最高点为
，故
；
最高点在
处，相邻零点在
，
设函数
的最小正周期为
，
因此
，所以
，
结合
可得，
；
将
代入
，即
，所以
.
结合
，解得
，因此
.
对于选项A.
，错误.
对于选项B.令
，
解得
.
当
时，递增区间为
，且
，故
在该区间单调递增，正确.
对于选项C.横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，
变为原来的
，得函数为
，错误.
对于选项D.
的零点即
的交点.
当
时：
，
时取等号，
，
时取等号，无零点；
当
时：
单调递减，
单调递增，函数
单调递减，
又
，
，此处存在1 个零点；
当
：
，而
，故
，无零点；
当
：
从
上升到，而
，
恒成立，无零点.
因此
在
上仅有1 个零点，正确.
18．（25-26 高三上·广东佛山·期中）（多选）已知函数
的图象如图所示，若
，则（ ）
A．
B．当
时，函数
与
有3 个交点
C．若
，当
时，
有5 个零点，则
的取值范围为
D．对于任意实数
在
上的最大值与最小值的差的取值范围为
【答案】ACD
【分析】A.利用图像过点
，求出角
，根据正弦函数性质，及
，算出
；
B. 构造函数
，问题等价转化为求
在
内零点的个数；
C. 求出
的零点的表达式，再考虑第5 个零点必须落在区间内或右端点处且第6 个零点必须落在区间外；
D. 转化为极差的取值范围.
【详解】A.由题设
，其中
，
，
确定
：由图像知点
为函数图像与
轴交点，且
，
故
，结合
，得
，因此
，
确定
：点
均满足
，即
，
由图像走势分析，
为相邻两解，对应相位分别为
与
，
因
，故
，
，
由
，得
，解得
．
综上，
． 由上述推导，
，故A 正确．
B.判断
与
在
上交点个数，
设
，分析关键点：
，故在
内至少有一个零点，
，
，
故在
内至少有一个零点，所以
在
内至少有两个零点，
又因
周期为
，在
内完成两个完整周期，则
在
内至少有四个零点，可知两函数交点多于3
个，故B 错误．
C.设
，
的零点满足
，即
，
在区间
上恰有个零点，当且仅当
，·
即
且
，解得
，故C 正确．
D.设区间
，其相位变化范围为
，
即
，区间长度为
．
求最大极差：当相位区间关于原点对称，即
时，
，
此时
，
求最小极差：当相位区间关于
对称，即
时，
，
此时
，
由连续性知极差可取遍中间所有值，故极差取值范围为
，
即对于任意实数
在
上的最大值与最小值的差的取值范围为
，故D 正确．
考点四 由函数的性质确定图象(解析式)
19．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
.从下列四个条件中选择两个作为已知，
使函数
存在且唯一确定.
条件①：
；
条件②：
图像的一条对称轴是
轴；
条件③：
的最大值为1；
条件④：
图象的相邻两条对称轴之间的距离为
(1)求
的解析式；
(2)设
，若函数
在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)选择条件①④或③④，
(2)
【分析】（1）先化简函数，排除矛盾条件，再分析可行条件组合，确定函数解析式；
（2）先化简
，求出零点，结合区间限制确定
的取值范围.
【详解】（1）
，
该函数为奇函数，图像关于原点对称，故条件②不成立，舍去.
若选①③：由③得
，即
；代入①得
，
解得
，
不唯一，不符合题意.
若选①④：由④得
，得
；代入①得
，得
，
函数唯一确定，且
.
若选③④：由③得
，由④得
，函数唯一确定，且
.
综上所述，
.
（2）
.
令
，得
，即
.
在
上，零点依次为
.
要使
在
上恰有两个零点，需
.
所以
的取值范围是
.
20．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数
（其中
，
，
）.从条件①、
条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数
唯一确定.
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
上的最大值和最小值.
条件①：
；
条件②：
是
的对称中心；
条件③：
可以由函数
平移得到.
【答案】(1)
(2)最大值为2，最小值为
【分析】（1）分析易得要使函数
唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求
解即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可；
【详解】（1）①，由
，得
；
②，由
是
的对称中心，得
，
则
，
；
③，由
，
因为
可以由函数
平移得到，
则
，
.
由上述可知，要使函数
唯一确定，则必须要选③.
选①③，由上述可知，
，
，
，
则
，即
，
所以
或
，
，
则
或
，
，
又
，则
，即
.
选②③，由上述可知，
，
，
，
，
则
，
，即
，
，
又
，则
，即
.
（2）由
，得
，
则
，则
，
所以函数
在
上的最大值为2，最小值为
.
21．（25-26 高三下·山东日照·阶段检测）若函数
图象过点
，
的任意两个零点
，
之间距离的最小值为
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【分析】先利用函数过已知点求解
，再根据零点的最小距离求解
，最后代入
计算函数值.
【详解】因为
图象过点
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
令
，所以
，
所以
，或
,
解得
，或
,
相邻零点的最小距离是
，
由题意
的任意两个零点
，
之间距离的最小值为
，
所以
，所以
，所以
，
所以
.
22．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
图像上一个最高点的坐标为
，与之相邻的一个最低点坐标为
,将函数
的图像向右平移
个单位得到曲线C，把曲线C 上各
点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作
.
(1)求函数
的解析式，并写出函数
单调递减区间；
(2)求函数
的最小值；
(3)若函数
在
内恰有6 个零点，求
的值.
【答案】(1)
，
(2)
(3)
或
【分析】（1）根据条件，确定函数的最值，周期，求函数的解析式；
（2）首先求
，再根据三角恒等变换求函数
的解析式，再根据正弦函数的性质求最值；
（3）首先根据二倍角公式，转化为关于
的二次函数，再令
，得
，再根据复合函
数的零点个数，求
的取值范围.
【详解】（1）由题意
，最小正周期
，则
，
由
，可得
又
，所以
，
，所以
，
令
，
,解得：
，
，
所以函数
的单调递减区间是
.
（2）由题意得
，
，
所以
的最小值为
，当
，即
；
（3）
，
令
，可得
，令
，得
，
由于
，故方程必有两个不同的实数根
，
，且
，故
异号，
不妨设
，
若
，则
，无解，
在
内有四个零点，不符题意；
若
，则
在
内有2 个零点，
在
内有4 个零点，符合题意，
此时
；
若
在
有4 个零点，故
在
内应恰有2 个零点，
，此时
，
综上所述，
或
．
23．（25-26 高三上·重庆·期中）已知函数
的最小正周期为
，且
．
(1)求函数
的解析式，并写出
的最大值；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位得到
的图象，求
的单调递减区间．
【答案】(1)
，最大值为
(2)
【分析】（1）根据周期可求
，由
可得
，即可求出解析式，得到最大值；
（2）由平移变换公式得到
，再根据整体法即可求解单调区间．
【详解】（1）
，解得
，
，
，又
，
，
则
，最大值为
；
（2）将函数
的图象向左平移
个单位，
得到
，
令
，解得
，
故
的单调递减区间为
．
24．（2026·北京顺义·二模）已知函数
，其中
.
(1)若
，求
值；
(2)已知
在区间
上单调递减，
，再从条件①条件②条件③
､
､
这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在且唯一确定，求
的值.
条件①：
在区间
上单调递增；
条件②：
；
条件③
.
注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)选择条件①或者条件②时，
，
；选择条件③时，函数不存在.
【分析】
先利用两角和的正弦公式将函数化简为
，代入
得到关于
的三角函数方程，
结合
的取值范围即可求解.
先根据
的单调性、
的条件，得到
的取值范围与
、
的等式关系，再结合所选补充条件建
立方程，联立求解验证是否能得到唯一的
、
值即可.
【详解】（1）由两角和的正弦公式，可得
.
∵
，且
，
∴
.
（2）由题意
，
∴
，即
，
.
又
在区间
上单调递减，该区间长度为
，
正弦函数的单调区间长度不超过半周期，故
，其中
，解得
.
选择条件①：
在区间
上单调递增，
同理该区间长度为
，符合
的范围，且
为递增区间的右端点、递减区间的左端点，即
在
处取最大值，
∴
，即
，
.
联立
，
两式相减得
，其中
；当
时满足要求，此时解得
，
代入
得
，
因为
，解得
.
此时
，当
时，
，满足单调递减要求，所以此时函数存在且唯一确定.
选择条件②：
，
已知
，由
得：
，即
，
---（1）
又
在
上单调递减，区间长度为
，故正弦函数半周期
，结合
得
.
由条件②
得：
，即
，
---（2）
（1）-（2）得
，即
，
.
结合
，仅
时
符合要求，代入（1）得
，解
，
因为
，解得
，此时同选条件①，由上可知，函数存在且唯一确定.
选择条件③：
由条件③
得
，即
，
---（3）
联立（1）和（3），（1）-（3）得
，即
，
.
结合
：
时
，不符合要求；
时
，代入（3）得
，因为
，所以
，
此时
，当
时，
，不满足单调递减的要求；
时
，不符合
的要求，故条件③不满足要求.
考点五 三角函数图象与性质的综合应用
25．（2026·云南·三模）（多选）将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，
若
的图象与
的图象关于
轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
是
的一条对称轴
D．对任意的
，都存在
，使得
【答案】ACD
【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可.
【详解】对于A，根据题意得，
，
因为
的图象与
的图象关于
轴对称，所以
，
即
，
可得
或
，
因
,则得
，又因
，所以
，故A 正确；
对于B，由A 得
，所以
，故B 错误；
对于C，由
，可得
，当
时，
，故C 正确；
对于D，当
时，
，此时
，
而当
时，
，此时
所以
，故D 正确.
26．（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）若将函数
的图像向左平移
个单位长度后得到
的图像，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
D．
是奇函数
【答案】AC
【分析】根据周期公式判断A；根据正弦函数的图像判断B；根据函数平移与解析式关系判断C；根据诱导公式判
断D．
【详解】由题知，
，
对于A，
的最小正周期为
，故A 正确；
对于B，当
时，
，
因为
在
上不单调，
所以
在
上不单调，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
为偶函数，故D 错误．
27．（25-26 高三上·甘肃定西·期中）函数
的图象为
，如下结论中正确的是__________.（写
出所有正确结论的编号）
①图象
关于直线
对称；
②图象
关于点
对称；
③函数
在区间
内是增函数；
④由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象
；
⑤函数
的最小正周期为
.
【答案】①②③
【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利
用相位变换即可判断.对于⑤，利用三角函数图象的平移、对称变换即可判断.
【详解】因为
对于①：当
时，
为函数的最小值，
故图象
关于直线
对称，即①正确；
对于②：因为
，
所以图象C 关于点
对称；故②正确；
对于③：令
，
解得：
，
所以
的递增区间为
，
当
时，
是
的一个递增区间，故③正确；
对于④：
的图象向右平移
个单位长度可以得到
，故④
错误.
对于⑤；因
，可理解为将函数
的图象向上平移1 个单位长度，
再保持
轴上方部分不变，并将
轴下方部分沿着
轴向上翻折得到，
故其周期并非
的周期
的一半
，即⑤错误.
28．（2026·北京丰台·二模）已知函数
的部分图象如图所示，则
___________；若将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，请写出
的图象的一条对
称轴方程：___________.
【答案】 2
（答案不唯一，满足
即可）
【分析】由图可知
，即可得
；根据图象可知函数
的对称轴为
，结合图象平行求函
数
的图象的对称轴方程.
【详解】设函数
的最小正周期为
，
则
，即
，
且
，则
，所以
；
由图可知：
为函数
的对称轴，
结合函数
的周期可知函数
的对称轴为
，
又因为将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，
所以函数
的图象的对称轴方程为
，
所以
的图象的一条对称轴方程为
.
29．（2026·山东青岛·二模）（多选）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长
度得到，则（ ）
A．
B．直线
是曲线
的对称轴
C．
在区间
单调递增
D．函数
是奇函数
【答案】BCD
【分析】利用图象的平移可得
，结合三角函数的图象与性质依次判断选项即可.
【详解】由函数
的图象向左平移
个单位长度得到
，故A 不正确，
的对称轴满足
，即
，当
时，
，即直线
是曲线
的
对称轴，故B 正确；
令
，解得：
，
当
时，
，所以
在区间
单调递增，故C 正确；
，
所以函数
是奇函数，故D 正确.
30．（2026·吉林白山·模拟预测）将函数
图像上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，再将图像沿x
轴向左平移
个单位长度，得到
，则下列结论正确的是（ ）.
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递减
C．
图像关于直线
对称
D．
图像关于点
对称
【答案】A
【分析】利用逆向变换求出
的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项A、B，根据对称轴与
对称中心的性质判断C、D.
【详解】将
沿x 轴向右平移
个单位长度，横坐标变为原来的
，
可得
.
选项A，
的
，最小正周期
，A 正确；
选项B，当
时，
，
在
单调递增，
在
单调递减，故
在
不是单调递减，B 错误；
选项C，正弦函数对称轴处函数值为
，代入
：
，因此
不是对称轴，C 错误；
选项D，正弦函数对称中心处函数值为
，代入
：
，因此
不是对称中心，D 错误.
考点六 三角函数实际的应用
31．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现
测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1 时即为凌晨3 点06 分）：
时间
时
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深
米
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0
根据以上数据，可以用函数
（
，
）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，
则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2 米，根据安全条例规定，
船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2 米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长
为__________．
【答案】
【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出
，再根
据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长.
【详解】如图所示，作出符合题意的图象，
由函数图象可知
，周期
，
所以，函数解析式为
，
把
代入得
，
而
，
所以，函数解析式为
；
由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2 米，
安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2 米，
那么港口水深要不低于
米才安全，
则令
，得
，
，
当
时，
货船停靠的时长为
；
当
时，
，
可得货船停靠的时长为
；
当
时，不存在符合实际意义的解；
所以货船在一天(
小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为
.
32．（25-26 高三上·北京西城·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地
往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2 米，转盘半径为30
米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12 号的12 个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24
分钟．现从1 号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t 分钟．
(1)设1 号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t 的函数关系为
，求
的解析式；
(2)当
时，求1 号座舱与地面的距离为17 米时t 的值；
(3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1 号和5 号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对
值为H（单位：米）．当
时，求H 的最大值．
【答案】(1)
；
(2)
或
；
(3)
米.
【分析】（1）根据给定信息，设出
的解析式，再利用待定系数法求解.
（2）由（1）及
求出值.
（3）求出
的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值.
【详解】（1）依题意，设
，
由
，得
，由
，
，得
，而
，
则
，由转一周需要24 分钟，得
，解得
，
所以
.
（2）由
，得
，当
时，
，
解得
或
，即
或
，
所以
或
.
（3）依题意，5 号座舱在1 号座舱前，相隔
，
则甲、乙两人距离地面的高度分别为
，
因此
，
当
时，
，则当
，即
时，
，
所以H 的最大值为
米.
33．（25-26 高三上·四川成都·阶段检测）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30 米，轮上最低
点与地面的距离为2 米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所用时间为24 分钟．在圆周上均匀分布12 个座舱，标
号分别为1～12（每个座舱视为圆周上与前一座舱的交点，如座舱1 即为图上A 点），在旋转过程中，座舱与地面
的距离h 与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置开始计时，旋转时间为分钟.
(1)建系如图，求1 号座舱（A 点）与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系
的解析式（写出定义
域）；
(2)在前24 分钟内，求1 号座舱（A 点）与地面的距离为17 米时的值；
(3)当座舱距离地面的高度达到47 米及以上时，可看到该游乐场全貌，这段时间称为“美景期”，请问在前24 分
钟内，“美景期”的时间有多长？
【答案】(1)
，定义域为
；
(2)
或
或
；
(3)
.
【分析】（1）依题意设
，即可得到
，
，再由周期求出
，最后求出
即可.
（2）令
，结合正弦函数的性质计算可得.
（3）由（1）的结论，解不等式
即可.
【详解】（1）设1 号座舱与地面的距离与时间的函数解析式为
（
，
），
依题意，
，
，
，函数
的最小正周期
，
则
，当
时，点
距地面
米，即
，
则
，而
，解得
，
所以所求函数式为
，定义域为
．
（2）由
，得
，整理得
，
由
，得
，则
或
或
，
解得
或
或
，
所以
或
或
时，1 号座舱与地面的距离为17 米.
（3）由
，得
，整理得
，
由
，得
，则
，解得
，
所以在前24 分钟内，“美景期”的时间为
.
34．（23-24 高三上·内蒙古兴安·期中）如图是一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为
圆上最低点与地面距离
为
且摩天轮
转动一圈，图中
与地面垂直，游客从
处进入座舱，逆时针转动
后到达
处，设
点到地面的距离为
(1)试将表示成关于的函数；
(2)由于建筑物的阻挡，当座舱离地面的高度不低于33m 时，乘客方可观看远处的无人机表演，已知无人机表演共
持续
求乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意设
，根据题意得到
、
，由周期求出
，再由
时
求出
，即可得解；
（2）令
，根据余弦函数的性质解得，从而求出一个周期内观看时长，即可得解.
【详解】（1）因为摩天轮距离地面高度是周期变化，且与三角函数有关，
不妨设开始转动
后距离地面的高度
，
由题可知，
，
，
所以
，
，
因为
，解得
，此时
，
因为
时
，代入有
,
解得
，
故
.
（2）令
，即
，
即
，
解得
，
所以一个周期内可观看无人机表演的时间有
，
因为摩天轮
转动一圈，无人机表演共持续
，
，即摩天轮再次期间恰好转
圈，所以
，
即乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值为
.
35．（25-26 高三上·河北邢台·开学考试）为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传
感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P 在时刻t（单位：秒）距离地面的高度
y（单位：米）满足
（
，
，
），已知叶片长40 米，旋转中心O 距离地面
80 米，每片叶片转一圈需要12 秒，点P 的起始位置在最低点处.
(1)求A，
，
，b；
(2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P 距离地面的高度不低于100 米？
【答案】(1)
；
(2)4s
【分析】（1）根据最低点和最高点位置解方程组可得
，再由周期性计算可得
，
的值；
（2）令
解不等式，由正弦函数单调性可得
，可求出点P 距离地面的高度不低于100 米的时间.
【详解】（1）根据意义可知
，即
，解得
；
因为每片叶片转一圈需要12 秒，即周期为
s，，所以
；
由点P 的起始位置在最低点处，即可知
时，
，
即
，可得
，又
，所以
.
（2）由（1）可知
；
令
，可得
，即
，
因此可得
由题意可得
，所以
，
因此
或
，
解得
，所以
；
即在叶片转动的一圈内，有4s 时间点P 距离地面的高度不低于100 米.
36．（25-26 高三上·全国·课后作业）如图，某大风车的半径为
，按逆时针方向匀速转动，每
旋转一周，它
的最低点
离地面
.风车圆周上一点
从最低点
开始，运动
后与地面的距离为
.
(1)求函数
的关系式；
(2)画出函数
的大致图象.
【答案】(1)
(2)作图见解析
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设点
的坐标为
，可得
，设
，可得
，由周期可得
，进而求解即可；
（2）根据函数表达式画出图象即可.
【详解】（1）如图，以
为原点，过点
的圆的切线为
轴，建立平面直角坐标系.
过点
作
轴的垂线段，垂足为
，连接
.
设点
的坐标为
，则
.
设
，则
，所以
.
又
，即
，所以
，
则
.
（2）函数
的大致图象如图所示.
1．（25-26 高二·全国·暑假作业）已知函数
的最小正周期为
，为了得到函数
的图像，只需将函数
的图像（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】A
【详解】由
的最小正周期
，
，
得
，
即
，
因此它的图像可由
的图像向左平移
个单位长度得到．
2．（25-26 高三上·江西抚州·期中）把函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再
把所得曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移变换，采用逆变换法求出
的解析式，结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】根据逆变换法，将
的图象向左平移
个单位，得到
，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，得到
.
.
3．（25-26 高三上·北京朝阳·期末）将函数
的图象经过下列哪种变换可以得到函数
的图象
（ ）
A．先向左平移
个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
B．先向左平移
个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．先向左平移
个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
D．先向左平移
个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
【答案】A
【详解】先将
向左平移
个单位，可得
，
再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），
可得
的图象，故A 正确.
4．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图为函数
的部分图象，
为
图象与
轴的两个交点坐标，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【详解】由图可得
解析式，然后由
周期性可得答案.
【点睛】由图可得
最小正周期为
，则
，又
，则
.
又由图可得
，则
，取
，得
，
从而
，
.
结合
最小正周期为4，
，则
.
5．（25-26 高三上·贵州安顺·期中）将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函
数
的图象，如图所示，
，且图中阴影部分的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合题意由三角函数的对称性得到
，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可．
【详解】如图，
由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形
和矩形
的面积之和，
又
，所以
，
因为函数
图象向左平移
个单位长度得到
的图象，所以
，
所以
，即
，故
，
由图象可得
，所以
，则
，
又
，所以
，则
，
又
，所以
．
6．（25-26 高三上·北京·期中）若函数
的部分图象如下图所示，则
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由
得
的图像关于
对称，进而得周期，即可求解.
【详解】由图可得：
，
，所以
的图像关于
对称，
所以
，所以
，所以
.
7．（25-26 高三上·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数
，在曲线
与直线
的交点中，若相邻交点的距离为
．若
且关于
的方程
有三个不
等的实根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二倍角公式，降幂公式及辅助角公式化简
，再结合已知得出
，由方程有三个不等的实根，得
出方程
有两解，结合
的图像即可求解．
【详解】
，
因为在曲线
与直线
的交点中，相邻交点的距离为
，
所以
，所以
，
，则
或
，
画出函数
在
之间的图象，
观察图象可得方程
在
内有且只有一个根，
又方程有三个不等的实根，所以方程
有两解，
由
在
的图象可得，
．
8．（25-26 高三上·广西钦州·期中）（多选）已知函数
的部分图象如图所
示，则（ ）
A．
B．
C．
D．若将
的图象向右平移
个单位，则所得函数是偶函数
【答案】ACD
【详解】选项A：由图象可知，
的最小正周期为
，
所以
，解得
；
选项B、C：由图象可知，
，即
，
解得
，即
，
因为
，所以
，即
，
所以
；
选项D：设
，
，所以
是偶函数.
9．（25-26 高三下·河南·阶段检测）（多选）已知函数
，自变量、相位、函数值的部分取值如
下表，则（ ）
0
A．
B．
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象上存在互相垂直的切线
【答案】BC
【详解】依题意
，
，解得
，A 选项错误；
又
，解得
，B 选项正确；
由A，B 可知，
，且
，所以
的图象关于点
对称，C 选项正确；
易知
，因此切线斜率取值范围为
，
即不存在两条直线斜率乘积为
，所以D 选项错误.
10．（2026·山西·二模）（多选）函数
的图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．
与直线
有三个公共点
C．
取得最小值时，
D．将
的图象向左平移
个单位长度，所得图象关于
轴对称
【答案】AC
【分析】由最小正周期公式及图象可判断A；求出函数解析式，根据正弦函数的性质判断B 和C；根据平移法则，
得到平移后的函数，再根据三角函数的奇偶性的判定可判断D.
【详解】由图象得：
，解得
，故A 正确；
由
，
，得
，又
，将点
代入
中得：
，即
，
，解得
，
.
又
，
，
函数
.
与
只有一个公共点，
与
只有一个公共点，
与
只有一个公共点，
与
只有一个公共点
，故B 错
误；
令
，即
，
，
解得
，
，故C 正确；
将
的图象向左平移
个单位长度，得
，
，图象不关于
轴对称，故D 错误.
11．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）已知函数
与函数
的图象
关于直线
对称，将
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，将
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
的图象与
的图象重合
D．若
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为
【答案】AD
【分析】对于A，由关于直线
对称得
计算即可；对于B，根据余弦函数单调
性判断即可；对于C，根据平移变换得出
解析式与
解析式比较即可；对于D，由图象关于y 轴对称得
计算即可.
【详解】对于A，函数
与函数
的图象关于直线
对称，
则
，所以
，
所以
，又因为
，所以
，A 正确；
对于B，由A 可知
，当
时，
，
故
在
上单调递减，B 错误；
对于C ，
，
与
的图象不重合，C 错误；
对于D，
，
若
的图象关于y 轴对称，则
满足
,
所以
，由
可知，
的最小值为
，故D 正确.
12．（25-26 高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）（多选）已知函数
，将
的图象上所有点向右平移
个单位长度，然后横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.若
为偶函数，且最小正周期为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象关于
对称
B．
在
上单调递减
C．
的解集为
，
D．方程
在
上有且只有三个相异实根
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的图象变换及三角函数的性质，求出函数
和
的解析式，再利用三角函数的性质对
选项逐一判断即可.
【详解】将函数
的图象上所有点向右平移
个单位长度，可得
，
然后横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），可得
，
因为
的最小正周期为
，所以
，解得
，即
，
又
为偶函数，所以
，解得
，
又
，所以
，
所以
，
.
对于A，
，所以
的图象关于
对称，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，所以
在
上先单调递减后单调递增，故B 错误；
对于C，由
，得
，即
，
所以
，解得
，
，
所以
的解集为
，
，故C 正确；
对于D，由
，得
，即
，
所以
，即
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，所以方程
在
上有且仅有3 个相异实根，故D 正确.
13．（25-26 高三上·上海·阶段检测）已知函数
的一段图象如图所示，若将
图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则
___________．
【答案】
【分析】由图可得
解析式，再利用三角函数性质计算即可得解.
【详解】由图可得
，
，则
，故
，
，解得
，
由
，故
，则
，
由将
图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，
则
，解得
.
14．（25-26 高三上·浙江·开学考试）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，若函数
和
的图象相邻的两个交点距离为
，则
的最小值为_________．
【答案】
【详解】令函数
和
的相邻两个交点分别为
，不妨令
在
的上方，
，它们的最小正周期都为
，且
，
由
，得
，而
，则
，
，
因此
，所以
的最小值为
．
15．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）已知函数
的部分图象如图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图像．记
，求
在
上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图像依次确定
，
，
的值，从而得出函数解析式；
（2）根据三角函数恒等变换，将函数
化简，结合正弦函数的图像和性质，即可求出函数在
上的值域.
【详解】（1）由图可得
，
，
，
，
，则
，
又
，则
，
解得
，
，
，
，
；
（2）由题意得
，
．
，
，则当
时，
取得最小值为
，
当
时，
取得最大值为，
的取值范围为
.
16．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数
在一
个周期内的图象如图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在区间
上的最大最小值及相应的
值．
(3)将
的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得
到函数
的图象，若
在
上有两个解，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
，
；
，
(3)
【分析】（1）先根据最值得出
，再根据周期得出
，最后代入点结合
求值得出解析式；
（2）应用换元法结合正弦函数最值求解；
（3）先根据平移得出解析式，再结合正弦函数图象及方程的解列式计算求解.
【详解】（1）由图知，
，函数的最小正周期
满足
，
则
，所以
，
又因为图象过点
，所以
，可得
；
而
，则
，
于是
．
（2）因为
，所以
，
则当
时，即当
时，
，
当
时，即当
时，
；
（3）
的图象向右平移
个单位长度得到
，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到
.
由
，可得
，
因为
在
上有两个解，所以
与
在
上有两个交点，
作出函数的图象.
由图知,
，解得
，
即a 的取值范围为
．
17．（25-26 高三上·上海·阶段检测）摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受
众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60 个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可
以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160 米，转盘直径为153 米，其示意图如图所示（座舱相
对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30 分
钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5 分钟进入座舱，在小朱运行
一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米.
(1)求关于的表达式；
(2)当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值；
(3)设
，当
时，这两人距离地面的高度差恰有1 次取到最大值，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设
，
，结合题意与三角函数性质计算
即可得解；
（2）由题意可表示出小毛距离地面高度与的表达式，令其与小朱相等，解出即可得；
（3）利用三角恒等变换公式计算即可得.
【详解】（1）如图，设座舱距离地面的最近点为
，以摩天轮轴心
为原点，与地面平行的直线为
轴建立平面
直角坐标系，
设
，
，
由题得
，解得
，
又摩天轮匀速旋转一周需要30 分钟，所以
，所以
，
.
又当
时，小朱位于点
，以
为终边的角为
，所以
，
所以
，
，
即
，
.
（2）设小毛距离地面的高度为
，则
，
，
令
，可得
，即
，
所以
，
或
，
（舍去），
即
，
，又
，当
时，
.
（3）令
，则
，
，
所以
，
当
，
，即
，
时，
.
又当
时，这两人距离地面的高度差恰有1 次取到最大值，
所以
，即
的取值范围是
.
18．（2026·北京丰台·三模）已知
，函数
，从①②③中任选
两个条件作为已知条件．使得
唯一确定．
①
在
处取得最大值；
②
是偶函数；
③
相邻两个零点之间的距离为
．
(1)求
的解析式；
(2)将函数
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
在区间
上恰有3 个零点，求t 的取值范围．
【答案】(1)选①③，
；
选②③，
；
(2)选①③，
；
选②③，
．
【分析】先对
解析式利用降幂公式，两角和与差公式，进行化简，利用所给条件求出参数
的值，得到
的解析式，利用图象的变换得到
的解析式，利用整体代换的思想，根据正弦函数的图象零点分布情况，
计算参数t 的取值范围．
【详解】（1）
；
选①②
因为
在
处取得最大值，故
；
又因为
为偶函数，则
关于
对称，
则
，
式与
式相加即可得
，
因为
，则
，解得
；
则
，解得
，因为
，
故
，故
的值不唯一，故不选①②.
选①③
因为
在
处取得最大值，故
；
因为
相邻两个零点之间的距离为
，则
，解得
；
代入
可得：
，解得
，
因为
，故
，
；
故
的解析式为
；
选②③
因为
相邻两个零点之间的距离为
，则
，解得
；
又因为
为偶函数，则
关于
对称，
则
，即
，
因为
，故
，
；
故
的解析式为
；
（2）选①③，
由
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，
可得
，
当
时，
；
因为
在区间
上恰有3 个零点，
故
，解得
；
故t 的取值范围为
；
选②③
由
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，
可得
，
当
时，
；
因为
在区间
上恰有3 个零点，
故
，解得
；
故t 的取值范围为
．
