文档文本内容
3．3 导数与函数的极值、最值
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、函数的极值........................................................................................................................3
知识点二、函数的最值........................................................................................................................3
方法总结1：极值的判断方法.............................................................................................................3
方法总结2：利用导数研究函数极值的步骤.....................................................................................3
方法总结3：极值与最值关系.............................................................................................................4
方法总结4：已知极值(点)求参数.....................................................................................................4
方法总结5：利用导数研究函数最值.................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结........................................................................................................................27
题型一：结合函数图象判定极值......................................................................................................27
题型二：给定函数的极值求解..........................................................................................................29
题型三：由极值（点）条件逆向求参..............................................................................................32
题型四：无参函数的最值求解..........................................................................................................35
题型五：含参函数的最值讨论..........................................................................................................37
题型六：极值与最值综合应用问题..................................................................................................42
05 课后拓展精练................................................................................................................................49
知识点一、函数的极值
极小值：若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都小，
，
而且在点
附近的左侧
，右侧
，则把点
叫做函数
的极小值点，
叫做
函数
的极小值．
极大值：若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都大，
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则把点
叫做函数
的极大值点，
叫做函数
的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点（
的值，不是坐标），极小值、极大值统称为极值．
知识点二、函数的最值
1、函数
在区间
上有最值的条件：
如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2、一般地，求函数
在区间
上的最大值和最小值的步骤如下：
⑴求函数
在区间
上的极值；
⑵将函数
的各极值与端点处的函数值
比较，其中最大的一个是最大值，其中最小
的一个是最小值．
方法总结1：极值的判断方法
一般地，求函数
的极值的方法是：解方程
．当
时：
⑴如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极大值；
⑵如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极小值．
方法总结2：利用导数研究函数极值的步骤
第一步：确定函数
的定义域
第二步：求
，并可适当整理；尽量将
整理成
之积商的形式
第三步：解出方程
在定义域内的所有实数根
第四步：将函数
，
随
的变化情况分段标注在数轴上
第五步：确定
的极值．
方法总结3：极值与最值关系
函数
在
有最值
在
有极值
在
有解．
方法总结4：已知极值(点)求参数
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
方法总结5：利用导数研究函数最值
求函数
在闭区间
上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
，
与
的各极值进行比较得到函数的最值．
1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数
的最大值为1，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】法1：（1）当
时，由
，解得
，
故函数
定义域为
.
①当
时，
，
当
，则
，故不存在最大值，不合题意；
②当
时，此时
，
，
故最大值不为，不合题意；
③当
时，
，
当
，则
，故不存在最大值，不合题意；
（2）当
时，则
，则函数
定义域为
.
且由
最大值为可知，
，
即
对任意
恒成立，且等号能取到.
设
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
故
，当且仅当
时，
，
由
对任意
恒成立，可知
，
又当
时，恒有
，取不到等号，所以有
，
故选：B.
法2：
，
由选项知
，则定义域为
，
故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为
，
由
，
则由
，可得
①，
且
，即
②，
联立①②解得
.
验证：当
时，
，
则
，
设
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
，且
，
且当
，
；当
，
；
作出函数
的大致图象，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
则
，满足题意，故
.
法3：由选项知
，则定义域为
，
由
，解得
.
同法2 验证可得，故
满足题意，由选项唯一可得..
法4：由选项知
，则定义域为
，
由
，解得
.
验证：当
时，由不等式
可得
，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
满足题意，由选项唯一可得.
2．（2024·上海·高考真题）已知函数
的定义域为
，定义集合
，在使得
的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在
是偶函数
B．存在
在
处取最大值
C．存在
是增函数
D．存在
在
处取到极小值
【答案】B
【解析】对于A 选项：
时，
，
当
时，
， 任意的
，
恒成立，
若
时偶函数，此时
矛盾，故A 选项错误；
对于B 选项：若
函数图像如下：
当
时，
，
时，
，当
，
，
∴存在
在
处取最大值，故B 选项正确；
对于C 选项：在
时，若函数
严格递增，则集合
的取值不会是
，
而是全体定义域，故C 选项错误；
对于D 选项：若存在
在
处取到极小值，则在
在左侧存在
，
，与集合
定义矛盾，故D 选项错误.
故选：B
3．（多选题）（2025·全国二卷·高考真题）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
【答案】ABD
【解析】对A，因为
定义在
上奇函数，则
，故A 正确；
对B，当
时，
，则
，故B 正确；
对C，
， 故C 错误；
对D，当
时，
，则
，
令
，解得
或（舍去），
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
则
是
极大值点，故D 正确；
故选：ABD.
4．（多选题）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【解析】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小
值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
5．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【解析】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
6．（2026·北京·高考真题）已知
，给出下列四个结论：
①
在
上有最小值和最大值；
②
，
时，
有最大值；
③
，
有3 个解；
④
，
与
有4 个交点.
其中正确结论的序号是________．
【答案】①②③④
【解析】由题意，
①在
中，
，
，
，函数为偶函数，
在
中，
，
∴函数
单调递增，
∵
，
∴当
时，
，当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴函数在
处取最小值，
，
在
中，
，为偶函数，
当
在
内有零点时，
即
，
，使得
，
此时
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
在
和
处取最小值，
，
在
处取最大值，
当
在
内无零点时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
在
处取得最小值，
，
在
处取得最大值，
，
故①正确；
②当
时，
，
，
，
由①可得，
在
上单调递增，
∵
，
，
∴
，使得
，
∴在
中，
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
在
处取最大值，
②正确；
③同①可得推广结论，
在
中，
，
，为偶函数，
即
，
，使得
，
，
此时
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
∴
在
和
处取极小值，
当
时，
，
，
，
∵
在
上单调递减，
，
∴
，使得
，
∵
在
上单调递增，
，
∴
，使得
，
∴当
时，
，
∴
，
有3 解，
故③正确；
④由③可得，
在
中，
，
此时
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
在
中，
，
，开口向上，
∴函数
，即
恒成立，
∴
∴
在
下方，
∵
，
∴
在
轴上方，
此时
与
有4 个交点，
故④正确.
7．（2025·全国二卷·高考真题）若
是函数
的极值点，则
___________
【答案】
【解析】由题意有
，
所以
，
因为
是函数
极值点，所以
，得
，
当
时，
，
当
单调递增，当
单调递减，
当
单调递增，
所以
是函数
的极小值点，符合题意；
所以
.
故答案为：
.
8．（2026·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线
方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的极值点个数；
(3)求
与
交点个数．
【解析】（1）
，则
，
，又
，解得
；
（2）由（1）得
，则
，
令
，则
，
令
，解得
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，
故存在
，使得
，且有
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
故
有两个极值点；
（3）令
，则
，
令
，则
；
若
，则
恒成立（不恒为零），
故
在
上单调递减，又
，
当
时，
，故
在
上有唯一零点，
即
与
有唯一交点；
若
时，
有两个实根，
设这两个实根分别为
、
，且
，则
、
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
故
为
的极小值，
为
的极大值，且
，
由
，则
，
则
，
由
，则
，
则有
、
，
故
，则
，
又
时，
，故
在
上存在唯一零点，
即
与
有唯一交点；
综上所述：
与
交点个数为.
9．（2025·上海·高考真题）已知
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
【解析】（1）因为
，故
，故
，故
，
故
即为
，
设
，则
，故
在
上为增函数，
而
即为
，故
，
故原不等式的解为
.
（2）
在
有极大值即为有极大值点.
，
若
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极小值点，无极大值点，故舍；
若
即
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极大值点，符合题设要求；
若
，则
时，
，
无极值点，舍；
若
即
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极大值点，符合题设要求；
综上，
且
.
10．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
.证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
【解析】（1）证明：由题得
，
因为
，所以
，设
，
则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
，令
，
所以当
时，
，则
；当
时，
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上存在唯一极值点，
对函数
有
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
又因为
，
时
，
所以
时
，
所以存在唯一
使得
，即
在
上存在唯一零点.
（2）（i）（i）证明：由（1）知
，则
，
，
，
则
，
，
，
即
在
上单调递减.
（ii）
，证明如下：
由（i）知：函数
在区间
上单调递减，
所以
即
，又
，
由（1）可知
在
上单调递减，
，且对任意
，
所以
.
（ii）略
11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
【解析】（1）法1：
，
因为
，故
，故
，
当
时，
即
，
当
时，
即
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
故
在
上的最大值为
.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
故
在
上的最大值为
，在
上的最大值也是
.
（2）法1：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
则
且
，此时
无解，
矛盾，故无解；故存在
，使得
，
法2：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
则对每个
，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为的闭区间
上必有一整数
，
该整数
不满足条件，矛盾.
故存在
，使得
成立.
（3）法1：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
当
时，
，
此时
，
令
，则
，
而
，
，故
，
当
，在（2）中取
，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，
使得等号成立.
综上，
.
法2：设
.
①一方面，若存在
，使得
对任意
恒成立，
则对这样的
，同样有
.
所以
对任意
恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
假设
，则
，
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，
这三个点不可能都在直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由（1）中已经证明
，
知存在
，使得
.
从而
满足题目要求.
综合上述两个方面，可知
的最小值是
.
12．（2025·上海·高考真题）已知函数
的定义域是
．对于
，定义集合
．
(1)
，求
；
(2)对于集合
，若对任意
都有
，则称
是对称集．若
是对称集，证明：“函数
是偶
函数”的充要条件是“对任意
，
是对称集”；
(3)若
，
．求
的取值范围，使得对于任意
，都有
．
【解析】（1）由定义得，
.
（2）证明：
必要性：因为函数
是偶函数，所以对任意
，
，
对任意
，若
，即
，则
，
所以
，所以对任意
，
是对称集.
充分性：若对任意
，
是对称集，
因为对任意
，
，所以
，即
①，
又
，所以
，即
②.
由①②得，对任意
，
，
所以函数
是偶函数.
综上，“函数
是偶函数”的充要条件是“对任意
，
是对称集”，得证.
（3）因为对于任意
，都有
，
所以若
，则
，即若
，则
，
所以
，所以
在
上单调不减，
所以对任意
，
恒成立.
当
时，显然成立，
；
当
时，
恒成立，令
，
，
所以
在
单调递减，
单调递增，所以
；
当
时，
恒成立，此时
因为
在
上单调递减，当
时，
，
时，
，
所以
；
综上，
.
13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
【解析】（1）
定义域为
，
当
时，
，故
在
上单调递减；
当
时，
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
的单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
，且
时，
，
令
，下证
即可.
，再令
，则
，
显然
在
上递增，则
，
即
在
上递增，
故
，即
在
上单调递增，
故
，问题得证
14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，
故
，
因为
在
上为增函数，
故
在
上为增函数，而
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
处取极小值且极小值为
，无极大值.
（2）
，
设
，
则
，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
，即
，
所以
在
上为增函数，故
.
当
时，当
时，
，
故
在
上为减函数，故在
上
，
即在
上
即
为减函数，
故在
上
，不合题意，舍.
当
，此时
在
上恒成立，
同理可得在
上
恒成立，不合题意，舍；
综上，
.
15．（2024·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
对任意
成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
【解析】（1）由于
，故
.
所以
，
，所以所求的切线经过
，且斜率为，故其方程为
.
（2）设
，则
，从而当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增，这就说明
，即
，且等号成立当且仅当
.
设
，则
.
当
时，
的取值范围是
，所以命题等价于对任意
，都有
.
一方面，若对任意
，都有
，则对
有
，
取
，得
，故
.
再取
，得
，所以
.
另一方面，若
，则对任意
都有
，满足条件.
综合以上两个方面，知
的值是2.
（3）先证明一个结论：对
，有
.
证明：前面已经证明不等式
，故
，
且
，
所以
，即
.
由
，可知当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增.
不妨设
，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当
时，有
，结论
成立；
情况二：当
时，有
.
对任意的
，设
，则
.
由于
单调递增，且有
，
且当
，
时，由
可知
.
所以
在
上存在零点
，再结合
单调递增，即知
时
，
时
.
故
在
上递减，在
上递增.
①当
时，有
；
②当
时，由于
，故我们可以取
.
从而当
时，由
，可得
.
再根据
在
上递减，即知对
都有
；
综合①②可知对任意
，都有
，即
.
根据
和
的任意性，取
，
，就得到
.
所以
.
情况三：当
时，根据情况一和情况二的讨论，可得
，
.
而根据
的单调性，知
或
.
故一定有
成立.
综上，结论成立.
16．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
【解析】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：因为
的定义域为
，且
，
若
，则
对任意
恒成立，
可知
在
上单调递增，无极值，不合题意；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
，
构建
，则
，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
；
解法二：因为
的定义域为
，且
，
若
有极小值，则
有零点，
令
，可得
，
可知
与
有交点，则
，
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，符合题意，
由题意可得：
，即
，
构建
，
因为则
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
17．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
则
，解得
，
所以
.
（2）由（1）得
，
则
，
令
，解得
，不妨设
，
，则
，
易知
恒成立，
所以令
，解得
或
；令
，解得
或
；
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
即
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
（3）由（1）得
，
，
由（2）知
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
当
时，
，
，即
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
在
上单调递减，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
单调递减；
所以
在
上有一个极大值点；
当
时，
在
上单调递增，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
，
所以
，则
单调递增，
所以
在
上无极值点；
综上：
在
和
上各有一个极小值点，在
上有一个极大值点，共有个极值点.
题型一：结合函数图象判定极值
【典例1-1】已知函数
的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若
为
的导函数，则“
在
处取极值”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．不充分不必要
条件
【答案】A
【解析】充分性：已知函数
在定义域内处处可导，若
在
处取极值，所以
，
故充分性成立.
必要性：若
，无法推出
在
处取极值，例如：函数
，
其导函数
满足
，但
在
上单调递增，
处不存在极值，故必要性不成立.
因此“
在
处取极值”是“
”的充分不必要条件.
【典例1-2】已知函数
（
）的导函数是
，导函数
的图像如图所示，则
在
内只有（ ）
A．1 个驻点
B．1 个极值点
C．1 个极小值点
D．1 个极大值点
【答案】C
【解析】由导函数
的图像可知，在区间
内：
驻点为
的点，由图像可得
的点有4 个，故A 错误；
分析各零点处
的符号变化：
第一个零点：左侧
，右侧
，为
的极大值点；
第二个零点：左侧
，右侧
，为
的极小值点；
处：左右两侧
均为正，符号不变，不是极值点；
第三个零点：左侧
，右侧
，为
的极大值点；
因此
在
内有2 个极大值点，1 个极小值点，共3 个极值点，故B、D 错误，C 正确.
【变式1-1】（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）已知函数
的定义域为
且导函数为
，函数
的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的增区间是
B．函数
的减区间是
C．
是函数的极大值点
D．
是函数的极大值点
【答案】D
【解析】根据
的图象可知：当
时，
；
当
时，
，当
时，
，当
时，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
因此函数
在
时取得极小值，在
时取得极大值.故ABC 错误，D 正确.
故选：D
【变式1-2】如图，已知直线
与曲线
相切于两点，则
有（ ）．
A．1 个极大值点，2 个极小值点
B．2 个极大值点，1 个极小值点
C．3 个极大值点，无极小值点
D．2 个极小值点，无极大值点
【答案】A
【解析】作出与直线
平行且与
的图象相切的直线，
设切点的横坐标从小到大依次为
，
则方程
有三个根，即
，
因
， 则结合图象可知，
当
时
；
时，
；
时，
；
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
和
为极小值点，
为极大值点，
故
有
个极小值点，个极大值点.
故选：A.
【变式1-3】函数
的导函数
的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ）
A．
是函数
的极大值点；
B．
是函数
的最小值点；
C．
在区间
上单调递增；
D．
在
处切线的斜率小于零．
【答案】C
【解析】由函数
的导函数
的图象可知，
A．
左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以
是函数
的极小值点，故
错误，不符合
题意；
B．
左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，
不是函数
的最小值点，故B 错误，不符合题意；
C．当
时，
，
单调递增，故C 正确，符合题意；
D．由图象得
，所以
在
处切线的斜率大于零，故D 错误，不符合题意；
故选：C．
题型二：给定函数的极值求解
【典例2-1】已知函数
在
处有极大值，则
的极小值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
【答案】D
【解析】
，
，解得：
或
；
当
时，
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
是
的极小值点，不符合题意；
当
时，
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
是
的极大值点，符合题意，
此时函数
在
时取极小值，极小值为
，
综上所述：
的极小值为
.
【典例2-2】若
是函数
的极大值点，则
的极小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．4
【答案】A
【解析】
，所以
，
因为
是函数
的极大值点，所以
，解得
，
所以
，则
，
令
，
或
，
，
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是函数
的极大值点，
是函数
的极小值点，
，
所以函数
的极小值为
.
【变式2-1】已知三次函数
的导函数为
，若
，则函数
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得：
，所以
，解得
，
所以
，
所以
，
令
，解得
或
，
由
或
，由
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
的极大值为：
.
【变式2-2】已知函数
，则
的极小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的定义域为
，
令
，解得
，列表如下，
2
0
单调递减
极小值
单调递增
所以
的极小值为
．
【变式2-3】（2026·高三·湖南株洲·阶段检测）函数
的极小值是____．
【答案】
【解析】
的定义域为
.
，令
，解得
或
.
极大值
极小值
的极小值为
题型三：由极值（点）条件逆向求参
【典例3-1】已知函数
在
处取得极大值0，则
________.
【答案】
/
【解析】
，由题意得
，即
，故
，
且
，解得
或
，
当
时，
，则
，
令
得
，令
得
，故
为极大值点，满足要求，
所以
，
当
时，
，则
，
令
得
，令
得
，故
为极小值点，不满足要求，
综上，
.
【典例3-2】若函数
有大于1 的极值点，则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
，
令
，解得
，即
，
由于
在
上单调递增，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
是函数的极小值点，
因此
，解得
，
所以
的取值范围是
．
【变式3-1】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数
有2 个极值，则
的取值范围是
________.
【答案】
【解析】由题意
的定义域为
，且
，
因为
有2 个极值，所以
有2 个变号零点，
令
，可得
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
而
，可得
，解得
，
故
的取值范围是
.
【变式3-2】（2026·四川·模拟预测）已知函数
既有极大值又有极小值，则实数a
的取值范围为_________.
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
由函数
既有极大值又有极小值，得方程
有两个不等的正根，
则
，解得
，令
是
的两个正根，
，则
，当
或
时，
；
当
时，
，函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，符合题意，
所以实数a 的取值范围为
.
【变式3-3】已知函数
在
处取极值，且
，则
的值为____.
【答案】
【解析】因为
，所以
，
因为函数
在
处取极值，且
，
所以
，解得
或
，
当
，
时，
，
，此时函数
有极值点；
当
，
时，
，此时函数
在
上为增函数，无极值点.
所以
，
，故
.
【变式3-4】已知函数
有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意可得，
，所以
等价于
，
即
在
时，有两个不同的解，所以
，令
，
问题转化为直线
与
有两个交点时，
的取值范围，所以
，
令
，解得
，解得
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，因此
在
处，取得最大值，所以
，
当
时，
，当
时，
，所以
.
【变式3-5】已知
，函数
在
处取得极大值，则
的取值范围是
________．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，对
求导可得
.
令
，解得
或
.
①当
，即
时，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，符合题意；
②当
，即
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，无极值，不符合题意；
③当
，即
时，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，不符合题意，
综上，
的取值范围是
.
题型四：无参函数的最值求解
【典例4-1】函数
的最小值为______．
【答案】
【解析】令
，求导得
，令
，解得
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
故
在
处取得最小值
，故
，求导得
，令
，解得
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
故
在
处取得最小值：
．
【典例4-2】函数
在
上的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题可知，
，
令
，
解得
，
（舍去负数），
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以最大值在两个端点处，
代值计算可得
，
，
因为
，
所以
，
故最大值为.
【变式4-1】函数
的最小值为______.
【答案】
【解析】求导得：
，
所以
时，
，此时函数
单调递增，
时，
，即此时函数
单调递减，
所以
.
即该函数的最小值为
【变式4-2】设函数
，
，若存在
，
，使得
，则
的最大值为________．
【答案】0
【解析】由题意
，即
，所以
，
由
，所以
在
上单调递增，则
，可得
，
所以
，
令
，函数定义域为
，则
，
令
，有
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，即
在
上单调递减，
由
，则
时，
；
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，即
的最大值为0.
【变式4-3】函数
，
的最小值是______．
【答案】
【解析】因为
，
，则
，
令
，则
，解得
；令
，则
，解得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，
且
，
，即
，
所以函数
在
上的最小值为
.
【变式4-4】（2026·宁夏银川·模拟预测）函数
的最小值为______.
【答案】0
【解析】
.
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
，
令
，
，则
，
因为函数
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，
所以当
时，
取得最小值，且最小值为
，
即函数
的最小值为0.
题型五：含参函数的最值讨论
【典例5-1】已知函数
．
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)当
时，求
在区间
上的最大值．
【解析】（1）当
时，
，
求导得
，
所以
，
，
所以切线方程为
，
所以函数
的图象在
处的切线方程为
.
（2）由题知
，
，
求导得
，
令
，则
，
因为
，所以
，
，
所以当
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，
即
在
上单调递增，
计算得
，
，
①当
，即
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，
②当
，即
时，
因为
，
，
所以，存在唯一
使得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
，
．
综上所述，函数
在区间
的最大值为
．
【典例5-2】已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，求函数
在区间
上的最大值．
【解析】（1）因为
，所以
，
令
，解得
或
，
当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递增；
当
时，
，所以当
或
时，
，
当
时，
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，所以当
或
时，
，
当
时，
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
综上，当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
（2）由（1）可知，当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
所以函数
在区间
上的最大值为
；
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在区间
上的最大值为
和
中的较大者，
因为
，
，
解
，得
，解
，得
，
所以当
时，函数
在区间
上的最大值为
；
当
时，函数
在区间
上的最大值为
；
综上，当
时，函数
在区间
上的最大值为
；
当
时，函数
在区间
上的最大值为2．
【变式5-1】已知函数
（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求
在
上的最小值．
【解析】（1）由题意可得：
的定义域是
，且
，
令
，则
或
,
①当
时，若
或
，则
，若
，则
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
②当
时，因为
，所以
在
上单调递增，
③当
时，若
或
，则
，若
，则
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当
时，由（1）可得：
在
上单调递减，
所以，①当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值，为
，
②当
时，
在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值，为
．
综上，
．
【变式5-2】已知函数
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若方程
恰有一个实数解，求实数a 的取值范围.
(3)若函数
在区间
存在最大值，求m 的取值范围.
【解析】（1）
，
则
的解为
，
的解为
或
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
，
；单调递减区间为
；
在
处取得极大值，极大值为
，
在
处取得极小值，极小值为
（2）由（1）可得，函数
的简要图像如下：
方程
恰有一个实数解，
则
或
；
（3）令
，即
，
解得
或
，
又函数
在区间
存在最大值，则最大值要在
处取得，
，解得
．
【变式5-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上的最小值为
，求
.
【解析】（1）函数
的定义域为
，
当
时，
在
恒成立，
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
，得
，
所以
在
上单调递减；在
上单调递增
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）可知，当
时，
在
上单调递增，则
，由题意得
，
解得
，与
矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递增，则
，由题意得
，
解得
，与
矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
由题意得
，解得
，符合
，所以
.
当
时，
在
上单调递减，则
，由题意得
，
解得
，与
矛盾，舍去.
综上可得，实数
的值为
.
【变式5-4】已知函数
．
(1)当
时，判断经过点
的曲线
的切线有多少条；
(2)若
在区间
上的最小值为
，求实数a 的值．
【解析】（1）由题可知
的定义域为
，
当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
．
将
代入上式，得
，
化简得
．
令
，则
，设
，则
，
令
，得
，所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
在
上有唯一的零点，
所以经过点
的曲线
的切线仅有1 条．
（2）
，
令
，得
，令
，得
．
①当
时，
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
所以
，不符合题意；
②当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，由
，解得
；
③当
时，
在
上恒成立，
在
上单调递减，
所以
，不符合题意，舍去．
综上，
．
题型六：极值与最值综合应用问题
【典例6-1】设函数
在
处取得极值.
(1)求a 的值，并求
的单调区间；
(2)若
，有
，求b 的取值范围.
【解析】（1）因为
在
处取得极值，且
，
则
，所以
，则
，
又
的定义域为
，
所以
时，
，
时，
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
（2）因为
，有
，则
，
即
恒成立，令
，则
求导，
，
当
时
，
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
所以
，即b 的取值范围为
.
【典例6-2】已知函数
，
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若曲线
在点
处的切线l 方程为
.
（i）求a，k 的值；
（ii）已知点
，
（
，
）在曲线
上，若直线AB 与l 平行，
求m.
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
求导得
，令
，即
，解得
.
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
综上，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）（i）
，
，所以
，
所以，
在点
处的切线为
，
故
，
，所以
.
（ii）由（i）可知
，定义域为
，则
，
，
所以
，即
，
令
，定义域为
，求导得
，
令
，定义域为
，求导得
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以当
时，
，当
时，
.
所以当
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减，
当
时，
；当
时，
，
所以
有两根，其中一根为
，另一根为
，且
.
因为
，所以
；
又
且
，所以
，
所以
，
因为
在
上单调递减，所以
，
又
，
，所以
.
【变式6-1】已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
是函数
的极值点，求证：
．
【解析】（1）由函数
，可得其定义域为
，
求导得
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由
，其中
可得
，即
，
由
对任意
恒成立，即
在
恒成立，
令
，可得
，
令
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，即实数
的取值范围为
.
（3）证明：由
，
可得
，
令
，可得
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递增，即函数
在
上单调递增，
因为
是
的极值点，所以存在
使得
，即
，
又由
，所以
，
则
，
所以
.
【变式6-2】已知函数
，（
）．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，若
存在极小值点
，证明：
；
(3)若对任意
，都有
，求
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，
则
，
令
，解得
，或
，
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递减，
综上，
在
上单调递减；在
上单调递增；在
上单调递减．
（2）由
，
令
，解得
，或
，
当
时，
，
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递减，
此时
是
的极小值点，而
是
的极大值点；
则
，所以
，得证；
当
时，
，
，
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递减，
此时
无极值点，更无极小值点；
当
时，
，
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，
，则
，所以
在
上单调递减，
此时
是
的极小值点，而
是
的极大值点；
则
，所以
，得证．
综上，当
时，若
存在极小值点
，必有
，得证．
（3）对任意
，有
，即
，
当
时，
恒成立，此时
的取值范围为
，
当
时，
，
令
，
，则
，
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，且
，
所以当
时，
，即
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，即
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
综上，当
时，
；当
时，
．
故对任意
，都有
时，
的取值范围为
．
【变式6-3】已知函数
、
(1)当
，
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求
的取值范围.
【解析】（1）当
，
时，
，则
，故切点为
.
由
，得
，所以
，
由点斜式得切线方程为
，即
.
（2）对
求导，得
.
当
时，
恒成立，故
恒成立，
在
上单调递增，无极值，不符合题意；
当
时，令
，解得
，当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
故
的极小值为
，
由题设极小值小于0，得
，
即
对任意
成立.
令
，则
，
令
，解得
，所以，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
故
的最大值为
，因此
，即
的取值范围为
.
【变式6-4】（2026·广西柳州·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，记
的极小值为
，证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
所以
的定义域为
，
，
，
所以
，即在点
处的切线斜率为
.
由点斜式可知曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）由
知
的定义域为
，且
.
①当
时，
恒成立，
是增函数，没有极小值，不符合题意.
②当
时，若
，则
，所以
在
上单调递减；
若
，则
，所以
在
上单调递增，
所以
有极小值，且极小值为
，所以
.
要证
，即
，只需证
.
令
，则
，
由复合函数的单调性知
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
在
时取得极小值，也是最小值，
所以
，即
，
即
.
1．函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求导得：
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以当
时函数
取得最大值为
.
2．若函数
有唯一极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
若函数
有唯一极值点，等价于
有唯一的变号零点，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
此时函数
无极值点，不满足题意，
当
时，由
，又因为
，所以
，
令
，问题转化为函数
与函数
图象只有一个交点，
由
，
令
，解得：
或
，
当
时，
，则函数
在
上单调递减，
当
时，
，则函数
在
上单调递增，
当
时，
，则函数
在
上单调递减，
所以函数
的极小值为
，极大值为
，
且当
时，
，当
时，
，
即函数
的大致图象为：
当
时，
与
有三个交点，不满足题意；
当
时，
与
有两个交点，
一个点的横坐标为
，此点为直线
与函数
的切点，
且
在此处不变号；另一个点的横坐标
，
在此处变号，满足题意；
当
时，
与
只有一个交点，满足题意.
综上所述，
的取值范围为：
.
3．已知函数
有两个极值点
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
有两个极值点
，且
，
所以
有两个不等正根
，
即
，
则
，即
，
设
，则
，
因为
，所以
，
则
转化为
，解得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
则
，
令
，
，
设
，
，
当
时，
，
在
单调递减，
则
，
则
，
在
单调递减，
当
时（临界
），
取最大值为
，
当
，由洛必达法则可知
，
综上可得
，
令
，
，
当
时，
，
在
单调递增，
因为
，所以
因为
，所以
，
因为
在
处取得最大值
，
方程
有两个正根的充要条件是
，
因为
，
所以
.
则
取值范围为
，故选项B 正确.
4．已知函数
的最大值为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．e
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
若
，则
恒成立，无最大值.
，令
，解得
，所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
.
那么
.
，解得
，所以
在
单调递减，
单调递增，
所以
.
5．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数
，
，若
，
，有
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
，
，
，
即
，则
，
，
令
，
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
作函数
的草图如下，
由图可知，当
时，
有唯一解，
故
，且
，
，
∴
，
设
，
，则
，令
，解得
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
故
，即
的最大值为
.
6．如图是函数
的导函数
的图象，则在下列区间内，
一定存在最大值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图象可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上
单调递增.
对于A，
在开区间
先减后增，无最大值，A 错误.
对于B，结合
在开区间
上的单调性，知
为极大值点，开区间内，无法确定端点函数值与
极大值的大小关系，故不一定存在最大值，B 错误.
对于C，
在开区间
先增后减，一定有最大值，C 正确.
对于D，结合
在开区间
上的单调性，知
为极大值点，开区间内，无法确定端点值与极大
值的大小关系，故不一定存在最大值，D 错误.
7．已知函数
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．e
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
，
令
，解得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
.若关于
的方程
在区间
内恰有两个
不同实根，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
或2
【答案】D
【解析】函数
，
，
当
单调递增，当
单调递减，当
单调递增，
所以
的极大值为
，
的极小值为
，且
，
，
所以
的最大值为2，
的最小值为
，
所以若关于
的方程
在区间
内恰有两个不同实根，则
或
.
9．（多选题）已知函数
有两个极值点
，
，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由于
，
，
设
，
，
①若
，
，此时
只有一个极值点，矛盾；
②若
，
，
在
上单调递增，且
，
(i)若
，则当
时，
，则
，故
在
上单调递增；
当
时，
，则
，故
在
上单调递增；
于是
在
上单调递增，无极值点，不合题意；
(ii)若
，则
，
，
于是存在
，使
，即
，
时，
，
，
，
在
上单调递增；
时，
，
，
，
在
上单调递减；
时，
，
，
，
在
上单调递增；
于是
，
；
(iii)若
，则
，
，
于是存在
，
，
，
时，
，
，
，
在
上单调递增；
时，
，
，
，
在
上单调递减；
时，
，
，
，
在
上单调递增；
于是
，
；
③ 若
，由于
，
由
得
；由
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
取得极小值
，
若
，即
时，
，
，
，不合题意；
若
，则
，
，
由零点存在定理，不妨设
，存在
，
，
则
，即
，
，
则
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
令
，则
，
，则
，
于是
，
，
设
，
，
取
，设
，
，
则
在
上单调递增，于是
，则
，
于是
在
单调递减，
且
，则
，且
，则
.
于是当
时，
；当
时，
；
当
时，
.
若
，由于
，
，则A 不可能；
若
，
，则A 有可能；
若
，则
，若
，则
有解，故B 正确；
若
，则
；若
，由于
，若
，
由于
的解
，而且
，
则
在
上无解，从而C 错误；
若
，则
；若
，考虑到
，则D 错误.
10．（多选题）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．当
，
时，函数
的极大值为
B．当
，
时，函数
存在零点
C．当
，不等式
恒成立，则
的取值范围为
D．若函数
与
的图象有交点，则
的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，当
，
时，
，
定义域为
，则
，
因为
，
则
，
，函数
单调递增，
，
，函数
单调递减，
所以函数
的极大值点为
，极大值为
，A 正确；
对于B，当
，
时，
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以函数
不存在零点，B 错误；
对于C，当
，
，
因为不等式
恒成立，即
，也就是
，
令
，则
，
令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
即
的取值范围为
，C 正确；
对于D，当
时函数
与
的图象有交点，
即
，
令
，则有
，
其中函数
图象如下，
在
单调递减，
单调递增，
当
时，
，
，即：
，则
，
而
在
上单调递增，所以
，即：
，
所以由图可知：
当
时，两个交点，
，
当
时一个交点，
，
当
时，没有交点，
故不符合题意，
所以
的取值范围为
，D 正确.
11．（多选题）设函数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
在
处取得极小值
C．方程
有且仅有一个实根D．对任意
，都有
【答案】ABC
【解析】A.定义域
关于原点对称，
，满足偶函数定义，A 正确；
B.
，
时，e
x -1<0 ⟹
，
单调递减；
时，e
x-1>0 ⟹
，
单调递增，
故
是极小值点，
在
处取得极小值，B 正确；
C.构造
，
，
在
上严格单调递减；
，
，
由零点存在定理，
在
有唯一零点，方程仅有一个实根，C 正确；
D.构造
，
，
，
令
，则
，
则
单调递减，
所以
，
，
递增；
，
，
递减，
故
在
取最大值
，即m( x)≤0 ⟹g( x)≤ln 2+ x
2
8 ，D 错误.
12．函数
的所有极值点之和为_____.
【答案】
【解析】∵
，∴
令
得
或
，
所以当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
为
的极大值点，
为
的极小值点.
函数
的所有极值点之和为
.
13．若函数
（
，且
）既有极大值又有极小值，则下列说法正确的是
________．
①
②
③
④
⑤
【答案】①③
【解析】
，定义域为
，
，
函数
既有极大值又有极小值，所以
在定义域上有两个不同的变号零点，
即方程
在
上有两个不同正根，
所以
由
且
，可得
，
，
所以
，又
，所以
，①正确；
，所以
，②错误；
，③正确；
，所以
，④错误；
由
，
，可得
，
若
，
，若
，
，⑤错误.
14．若函数
没有极值点，则ab 的最大值为________．
【答案】
/
【解析】因为
，
则
或
恒成立，
因为当
时，
，故只能是
恒成立；
令
，则
，则
，
当
时，
，
单调递增，此时无最小值；
当
时，由
解得
；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
在
处取最小值，故
，
则
，因为
，故
，
令
，则求
的最大值即可；
，
令
，解得
；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，故
的最大值为
，故
，ab 的
最大值为
．
15．若函数
在区间
存在最大值，则
的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为
，所以
，令
，得
或
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取到极大值4.
要使函数
在区间
存在最大值，则
，解得
，
所以满足条件的
.
16．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
.
(1)判断
的单调性.
(2)设
，其中
.
（i）证明：
在
上有唯一的极值点；
（ii）若
为
在
上的零点，
为
在
上的极值点，比较
与
的
大小，并说明理由.
【解析】（1）函数
的定义域为
，
因
，
故
在
上单调递增.
（2）（i）略（ii）略
17．已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
在区间
的最小值为7，求实数
的值．
【解析】（1）当
时，
，定义域
.
，令
得
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
因此
仅在
处取得极小值，极小值为
，无极大值.
（2）求导得
.
因
，导数符号由
决定，分类讨论：
① 若
，即
，此时
在
恒成立，
单调递增，
最小值为
，令
，解得
，符合条件；
② 若
，即
，令
，得
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
在
处取得最小值，即
，
令
，则
，
故
在
上单调递增，又
，故
，无解.
综上，实数
的值为
.
18．已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
上的最小值；
(2)若
是
的导函数
的极大值点，求
的取值范围；
(3)证明：
．
【解析】（1）当
时，
，求导得
，
令
，则
，
因
，则
，
，则
，
即
，故函数
在
上单调递减，
又因
，故存在唯一
，使
．
当
时，
，故
在
上单调递增；
当
时，
，故
在
上单调递减；
又
，
因为
，故
在
上的最小值为
；
（2）令
，
则
，
令
，易知
，故
为奇函数，
而
，
当
时，有
，又因为
，有
，故
在
单
调递减，
因为
为奇函数，则
在
也单调递减，且
，
即当
时，
，则
在
单调递增，
当
时，
，则
在
单调递减，
又因为
，则
是
的极大值点；
当
时，有
，令
，则
，
又因为
，有
，
，故
，
则
在
上单调递减，因为
为偶函数，则
在
上单调递增，
又因为
，
，
由零点存在性定理，可得
在
和
上各有一个零点，分别记为
与
，
则当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
单调递增；
又因为
，则
是
的极小值点，不符合题意；
综上所述，
，即实数
的取值范围是
；
（3）证明：因为
，
由（2）知，当
时，
在
单调递减，
，
所以
，则函数
在
上单调递减，
故
，即
，所以
，
所以
．
