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3.2 利用导数研究函数的单调性（精练题组版）
题组一 无参函数的单调区间
1.（2025 哈尔滨）函数
的单调递增区间是
【答案】
【解析】由题意得
，令
，解得
或
，故其单调增区间为
，
2.（24-25 江苏淮安·期末）已知函数
，则
的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】由题意
，由
得
，所以
单调递增是
.
故答案为：
3.（23-24 天津）已知函数
，函数
的单调增区间为 .
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
则
，
由
，可得
，故函数
的单调增区间为
.
故答案为：
.
4.（24-25 山东菏泽）函数
的单调增区间为
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
，令
，即
，
解得：
，所以增区间为
.
题组二 函数与导数图像关系
1.（24-25 河北沧州）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
的导函数
的图象可知，
当
时，
，所以
在
上单调递减，可排除AC；
当
时，
，所以
在
上单调递增，可排除B；
当
时，
，所以
在
上单调递减，D 均符合，故D 正确.
故选：D.
2.（24-25 高三上·湖南长沙·期末）已知函数
的图象如下图所示，则其导函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可得函数
的图象为单调递增，则其导函数
恒成立，
排除A、D 两个选项，对于B，当
，
，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意；
选项C 不符合题意；故选：B.
3．（2025·黑龙江）已知
的图象如图所示（其中
是函数
的导函数），下面四个图象中，
是
的大致图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，
∴
，故
在区间
上为减函数，排除AB；
当
时，
，∴
，
故
在区间
上为减函数，排除D.
故选：C.
4.（24-25 陕西宝鸡·阶段练习）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象
最有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
的图象知，当
时，
为增函数，当
时，
为减
函数，当
时，
，
为增函数.
故选：C
5（2024·山西）函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的符号不确定
【答案】B
【解析】
如图所示，
在
上单调递减，所以
故选：B
6（2025·河南新乡）已知定义在区间
上的函数
的导函数为
，
的图象如图所示，则
（ ）
A．
在
上单调递增
B．
C．曲线
在
处的切线的斜率为0
D．
最多有3 个零点
【答案】D
【解析】设
，且
．由图可得，当
时，
，
当
时，
．所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
．
故
最多有3 个零点．排除ABC.故选：D
7.（23-24 江苏无锡）函数
的导函数
的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
上单调递减
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】C
【解析】结合图象可得，
当
时，
，故
在
上单调递减，
当
时，
，故
在
上单调递增，
当
时，
，故
在
上单调递减，
当
时，
，故
在
上单调递增，
显然C 正确，其他选项错误.故选：C
8.（24-25 高三上·安徽黄山·期中）已知函数
与其导函数
的图象的一部分如图所示，则关于函数
的单调性说法正确的是（ ）
A．在
单调递减
B．在
单调递减
C．在
单调递减
D．在
单调递减
【答案】B
【解析】从图象可以看出过点
的为
的图象，过点
的为导函数
的图象，
，
当
时，
，故
，
在
上单调递减，
当
时，
，故
，
在
上单调递增，
ACD 错误，B 正确，故选：B
题组三 无参函数在有参区间的单调性
1．（2025 福建）已知函数
，若
在区间
上单调递减，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
令
可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间
上单调递减，
则区间（2m，m+1）是区间
的子区间，所以
，求解不等式组可得：
，
解得-1≤m<1，所以实数m 的取值范围是
.故选：D
2.（2025 河北）若函数
在区间
上递减，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为
,
，
令
,解得
或
,即函数的单调递减区间为
因为
在区间
上单调递减，所以
.故选：A.
3．（23-24 北京·期中）若函数
在
上单调，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
令
可得
，令
可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为函数
在
上单调，
所以
，所以
.
故实数
的取值范围是：
.
故选：A.
4．（2025 黑龙江）若函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，
.则
，
因为
在区间
上单调递减，则
在区间
上恒成立，即
，
所以
在区间
上恒成立，所以
，解得
，故选：A.
5.（2025·河南）已知函数
，若
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
的定义域为
，
，
由
，得
，解得
，所以
的递增区间为
．
由于
在区间
上单调递增，则
，
所以
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
．
故选：A.
题组四 有参函数在无参区间的单调性
1.（24-25 海南已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
在
上单调递减，
所以
恒成立，
即
恒成立，
而
（当且仅当
时，等号成立），
所以只需
，解得
.经检验，当
时，仅有
使
，符合题意.
故选：B.
2.．（24-25 福建）若函数
在区间
上是增函数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
．因为函数
在区间
上是增函数，
所以
在区间
上恒成立，即
在区间
上恒成立．
设
，则
．
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递减，
故
，所以
．
故选：D
3.（24-25 安徽合肥·阶段练习）若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
，所以
，
又函数
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则在
上，
，则
.
当
时，
不恒为零，也符合题意，
所以实数
的取值范围是
.
故选：C
4.（23-24 山东菏泽·期中）若函数
在区间
上单调递增，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
，求导得
，
由
在区间
上单调递增，得
，
，
而对勾函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
，因此
，
所以实数k 的取值范围为
.
故选：B
5.（23-24 海南·期中）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
因为函数
在区间
上单调递增，所以
在
上恒成立，
所以
或
，解得
或
综上可得
，
故选：A
6.（2025 山东淄博·期中）已知函数
在区间
上单调递减，则a 的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．e
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
因为
在区间
上单调递减，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
当
时，因为
在
上恒成立，故上式成立，满足题意；
当
时，则
在
上恒成立，
令
，
，
所以
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，
又
，故
，即
，
综上
，所以ABD 错误，C 正确.
故选：C.
7.（24-25 湖北孝感）函数
的单调递减区间为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
因为
的单调递减区间为
，而
的定义域为
，
所以
的一个极值点为1，
所以
，解得
．
所以
，
，
令
，
，解得
，
所以
的单调递减区间为
，符合题意，
综上，
故选：B．
8.（24-25 陕西榆林）已知
是
上的增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
得
，
因为
是
上的增函数，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
由于
，所以
，即
故选：A.
9.（23-24 重庆渝北）若函数
在
上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
在区间
上能成立，
即
在区间
上能成立，
设
，则
，故只需求
在
上的最小值，
而
在
时，取得最小值
，故得
.
故选：B.
10（24-25 高三上·福建泉州·阶段练习）若函数
在
上存在单调递增区间，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在
上存在单调递增区间，
所以存在
，使
成立，即存在
，使
成立，
令
，
， 变形得
，因为
，所以
，
所以当
，即
时，
，所以
，
故选：D．
11.（2025·四川泸州）若函数
在
上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是
【答案】
【解析】函数
，则
，
因为
在
上存在单调递增区间，所以
在
上有解，
所以当
时，
有解，
令
，而当
时，令
，
即为
，
此时
(此时
)，所以
，
故答案为：
.
12（2024 上海·阶段练习）若函数
在
上存在严格减区间，则m 的取值范围是
【答案】
【解析】
，
函数
在
上存在严格减区间，则
在区间
上有解．
即
在区间
上有解，
令
，因为
在区间
上严格递减，
所以
，故有
．
故答案为：
.
13（2025 江苏）若函数
存在单调递减区间，则实数
的取值范围为是 .
【答案】
【解析】
，
因为函数
存在单调递减区间，
所以存在
，使得
小于零，
所以导函数的判别式
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为是
，
故答案为：
.
14.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上存在单调递减区间，则实数
的
取值范围是
【答案】
【解析】由题意可知：
，
因为函数
在
上存在单调递减区间，
则
在
上有解，可得
，
所以
．
令
，则
，
显然
，可知函数
单调递增，则
，
即
，所以实数
的取值范围是
.
15.（24-25 海南·期末）若函数
在
上存在单调减区间，则实数
的取值范围是
【答案】
【解析】因为
，
而
时，函数
存在单调减区间，
所以
在
有解，
即
有解，
因为
，所以
，即
在
有解，
又因为
，所以
，所以
．
故答案为：
.
题组五 函数在区间不单调
1.（23-24 江苏南通）函数
在区间
上不单调，则实数 k 的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数求导
，
因为在区间
上不单调，所以
在区间
内有零点.
又因为
为偶函数，所以
在
上最多只有1 个根.
，因为
，
，
所以
.
故答案为：
2. （24-25 高三上·福建·阶段练习）若函数
在
上不单调，则实数a 的取值范围为
【答案】
【解析】由题可得
，若函数
在
上不单调，则
时，
，
故
，则
．
3.（24-25 高三上·重庆渝中·阶段练习）若函数
在区间
上不单调，则k 的取
值范围是
【答案】
【解析】函数
，求导得
，
由函数
在区间
上不单调，得
在
上有变号零点，
由
，得
，
则
，令
，
于是
，即有
，
令
，函数
在
上单调递减，函数值从
减小到，
在
上单调递增，函数值从增大到
，
由
在
上有变号零点，得直线
与函数
的图象有交点，
且当有两个交点时，两个交点不重合，因此
，解得
，
所以k 的取值范围是
.
4.（2025 河南）已知函数
不是单调函数，则a 的取值范围为 ．
【答案】
或
【解析】函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，由
，得
，由
，得
，
函数
在
上递减，在
上递增，即
不是单调函数，因此
；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上递减，在
上递增，
不是单调函数，因此
；
当
时，
恒成立，
在
上递增，不符合题意；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上递减，在
上递增，
不是单调函数，因此
，
所以a 的取值范围为
或
.
故答案为：
或
5.（24-25 高三上·河北沧州·期中）若函数
在
上不单调，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】函数
，求导得
，
依题意，
在
上有变号零点，由
，得
，
函数
在
上单调递减，
；在
上单调递增，
，
所以实数的取值范围是
.
6.（24-25 高三下·湖北·开学考试）函数
在
上不单调，则
的取值范围是
【答案】
【解析】
，
因为函数
在
上不单调，所以函数
有零点，所以方程
有根，
所以函数
与
有交点（且交点非最值点），
因为函数
的值域为
，所以
.
题组六 单调性应用一---比较大小
1.（2025 云南省）设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
，则
.
令
得
，所以函数
在区间
单调递减.
因为
，所以
，
即
，所以
．
故选：C
2（2025·河南）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
，
，
设
，
，则
，
故当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
因为
，
，
，且
，
可得
，
，所以
.
故选：D.
3（24-25 湖南长沙·期末）设
，
，
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，（
），则
.
令
得
，所以函数
在区间
单调递增.
因为
，所以
，
即
，即
，所以
．
故选：B
4（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数
，若
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数定义域为R，且
，
故函数
为偶函数，
又在
上
，即
在
上单调递增，
因为
，且
，
所以
，即
.
故选：D
5.（24-25 安徽·期末）已知函数
，记
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵函数
定义域为
，
，
∴
为奇函数，故
.
由题意得，
.
∵
，当且仅当
时等号成立，
，
∴
，即
在
上单调递增.
∵
，
∴
.
故选：B.
6．（24-25 高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数
，设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
，
故
为偶函数，
当
时，
，
令
，
则
，当且仅当
，
时等号成立，
所以
在
上单调递增，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
在
上单调递增，
因为函数
为减函数，所以
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，
所以
，
所以
，
，
故
.
7（2024·河北邯郸·模拟预测）已知
在
上单调递增，若
为偶函数，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
为偶函数，则
，
所以
关于
对称，所以
，
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，
当
时，由
得，
，则
，
由上可得
，又
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
.
故选：A．
8．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数
，
，
，
，
则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
，得当
时，
，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
在
上的最大值为
.
当
时，
，
，所以
在
上单调递减.
又
，
，
，
所以
，所以
.
故选：A.
9（2025 高三下·全国·专题练习）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
构造函数
，
令
，则
在
上单调递减，
，
故
，所以
在
上单调递减，
，
，
构造函数
，
令
，则
在
上单调递减，
，
故
，所以
在
上单调递减，
，
故
．故选：C.
题组七 单调性的应用二---解不等式
1.（2024·四川泸州·一模）已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，∴
，∴
在
上为增函数，
由
得，
，解得
，故
的取值范围是
.故选：B.
2.（24-25 江苏）函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，其定义域为：
，
由
，故
是奇函数，
由
，得
，
，故
在
上单调递减，
所以
，故
或
，
故选：D
3.（24-25 河南）已知函数
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，函数
的定义域为
.
因为
，
所以函数
为奇函数.
，
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
又因为
，所以
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递增.
由
，得
，即
，
所以
，解得
.
故选：D.
4.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数
，则使得
成立的
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，
，
函数
是奇函数，求导得
，
函数
在R 上单调递增，由
，得
，
即
，则
，因此
，解得
，
所以所求
的取值范围是
.
故选：C
5（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，
，
函数
是偶函数，求导得
，令
，
求导得
，函数
在
上递增，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
不等式
，
则
，令函数
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，函数
在
上递减，在
上递增，
当
时，
，令函数
，求导得
，
函数
在
上递增，当
时，
，
成立，
当
时，
，
不成立，
所以不等式
的解集为
.
故选：C
6.（24-25 高三上·福建福州·期中）已知定义在
上的函数
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】记
，则
所以所求解不等式为
，
，
是奇函数
在
上是增函数
由
得
，化简得
，
所以
的取值范围是
，
故选：B.
7．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）设函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】】令
，定义域为R，
，
故
为奇函数，即
，
，
故
在R 上单调递增，
，
故
，
即
，
所以
，
，
解得
或
.
故选：B
8（24-25 高三上·福建宁德·期中）已知函数
，若
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知
，当且仅当
时等号成立，
所以
是
上的增函数，
又
，
所以不等式
化为
，
所以
，解得
或
．
故选：D．
9（24-25 高三上·江苏·期末）已知函数
，则
的解集为
.
【答案】
【解析】
的定义域为R，
，
①当
时，
恒成立，故
单调递增，则不等式恒成立，满足题意；
②当
时，
，令
，可得
或
，令
，可得
，
故
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
又
，则
，所以要使不等式成立，
只需满足
，且
，即
，且
，
③当
时，
，令
，可得
或
，令
，可得
，
故
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
又
，
所以要使不等式成立，需满足
，再结合
，解得
综上所述，不等式
的解集为：
故答案为：
10（24-25 江西宜春）已知函数
，若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的最大值为 ．
【答案】
/
【解析】设
，则其定义域为
，且
，故
为奇函数.
而
，且仅在
时
，所以
为增函数.
同时，不等式
可化为
，即
.
而
是奇函数，故原不等式又等价于
，
因为
是增函数，所以等价于
.
当
时，这可化为
，故条件即为
对任意
成立.
①一方面，在条件中取
，即可得到
，从而一定有
；
②另一方面，当
时，我们证明对任意的
，都有
.
首先，代入
，然后两边同乘正数
，可知该不等式等价于
.
设
，则
，故对
有
，对
有
.
从而
在
上递减，在
上递增，所以对
均有
.
这就意味着
，所以
.
从而由
即可得到
.
即当
时，不等式
对
恒成立，
综合①②两方面，可知
的最大值为
.
故答案为：
.
题组八 导函数推导原函数
1（2025 高三下·全国·专题练习）已知
是定义在R 上的奇函数，
是函数
的导函数且在
上
，若
，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
又
上，
，则
，
即函数
在
上单调递减，
又
是定义在R 上的奇函数，则函数
为R 上的奇函数，
故
在R 上单调递减，又
，
即
，可得
，解得
．
故选：B.
2（24-25·陕西榆林·期末）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，因为
，所以
，所以
在
上单调递减；
又
，所以
，因此不等式
可化为
，
所以
，解得
，即不等式
的解集为
.故选：A
3．（2025 高三下·全国·专题练习）若定义在R 上的函数
的导函数为
，且满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可设
，因为
，
则
，
所以函数
在R 上单调递增，
又
，不等式
可转化为
，
所以
，解得
，所以不等式
的解集为
．
故选：A.
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为定义在
上的可导函数，
为其导函数，且
恒成
立，e 是自然对数的底数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意知
，即
，构造函数
，
可得
，因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，
则
，两边同乘
，即
．
故选:B
5．（2025·山东·一模）设函数
的导函数为
，当
时满足
，且
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
，
故
(
为常数)，
又
，
故
，
所以
，定义域为
，
，
所以
在区间
上单调递减，
因为
，所以
，
又由
，
故
.
故选：A.
6．（24-25 河南郑州·阶段练习）已知函数
的定义域为R，
，若对任意
，都有
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令函数
，由
，得
，
又
，求导得
，
函数
在R 上单调递增，不等式
，
解得
，所以不等式
的解集为
.
故选：A
7（24-25 河北邯郸·阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，其导函数为
，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知
在
上单调递减．因为
是定义在
上的奇函数，
所以
在
上单调递减，又
，
所以
，
所以当
或
时，
；当
或
时，
．
不等式
，即
或
，
解得
或
，
所以满足不等式
的实数
的取值范围为
．
故选：D
8．（24-25 高三上·云南德宏·期末）已知定义在
上的函数
，
是
的导函数，满足
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
则当
时，
，即
在
上单调递减，
由
，则
，又
，
即不等式
等价于
，
即
，即有
，解得
.
故选：D.
9（2024·四川德阳·三模）已知函数
及其导函数
在定义域均为
且
是偶函数，其
函数图象为不间断曲线且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
，
又因为
，即
，
且
，
当
时，则
，可得
；
当
时，则
，可得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，且
函数图象为不间断曲线，
若
，即
，
可得
，则
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：C.
10（2025·贵州毕节·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
由题意知当
时，
，故
在
上单调递增，
因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
所以
，
所以
是定义域为
的偶函数，
所以
在
上单调递减，
又因为
，所以
，
所以
，
所以当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
.
则不等式
的解集为
.
故选：D.
11（24-25 浙江丽水·期末）已知
的定义域是
，且
，则不等式
的
解是 .
【答案】
【解析】依题意，不等式
，
令函数
，求导得
，由
，
得
，函数
在
上单调递增，原不等式为
，
因此
，解得
或
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
12（24-25 湖南长沙·期末）已知函数
是定义在
上的偶函数，记
为函数
的导函数，且满足
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】因为
是定义在
上的偶函数，所以
，故
，
又
，所以
，即
，
所以
是定义在
上的奇函数；
又因为
，
所以
，即
，
两式相加，再整理得：
，所以由
得
，即
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
，所以在
上，由
，解得
；
又当
时，
，
，即
，故
，即
，
综上：
的解集为
，故
的解集为
.
故答案为：
题组九 含参函数单调性的分类讨论
1.（24-25 湖南）已知函数
，讨论
的单调区间．
【答案】答案见解析
【解析】
．
①当
时，
，所以
在
上单调递增．
②当
时，令
，得
．
当
或
时，
；
当
时，
，
因此
在
上单调递增，
在
上单调递减．
综上可知，当
时，
的增区间为
，没有减区间．
当
时，
的增区间为；减区间为
．
2.（24-25 河北）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
的定义域为R，
.
若
，令
，得
或
，令
，得
；
若
，令
，得
或
，令
，得
.
综上，当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
3.（24-25 高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数
，讨论函数
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由
，则
当
时，
恒成立，则
在
上单调递增；
当
时，令
，解得
，
时，
，则
在
上单调递增；
时，
，则
在
上单调递减．
4.（24-25 高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
【答案】(1)
；(2)答案见解析；
【解析】（1）当
时，
，
，
，
所以
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）由题意得
的定义域为
，
，
①当
时，
，
所以
在
上单调递增．
②当
时，
，
由
，解得
，
不妨设
，则由韦达定理有
，
又
，
，即
，
故
在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减．
③当
时，
，
可得
，所以
在
上单调递减．
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
在当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减．
5.（2025·湖北·二模）已知函数
，当
时，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】
的定义域为
，则
，
因
，由
，解得
，
①当
时，
恒成立，
所以
的无递增区间，递减区间为
；
②当
时，
，
令
，得
；令
，得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
③当
时，
，
令
，得
；令
，得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
综上所述，
当
时，
无递增区间，递减区间为
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
；
6．（24-25 高三下·甘肃白银·开学考试）已知函数
，讨论函数
的单调性；
【解析】函数
的定义域为
，
，
①当
时，令
，得
，令
，得
，
所以
的增区间为
，减区间为
；
②当
时，令
，得
或
，令
，得
，
所以
的增区间为
、
，减区间为
；
③当
时，则
，所以，函数
的增区间为
，无减区间；
④当
时，令
，得
或
，令
，得
，
所以
的增区间为
、
，减区间为
.
综上所述，当
时，
的增区间为
，减区间为
；
当
时，
的增区间为
、
，减区间为
；
当
时，
的增区间为
，无减区间；
当
时，
的增区间为
、
，减区间为
.
7.（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）已知
(1)当
时，过原点作函数
的切线l，求切线l 的方程；
(2)讨论函数
的导函数
的单调性.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
设切点为
，切线方程为
，
因为切线过原点，所以
，即
，解得
；
所以
，因此
；
即切线方程为
；
（2）易知
，
令
，则
，
①当
时，
，则
在R 上递减；
②当
时，令
，可得
；
同理
的解是
，
所以
在区间
上单调递增，在
上单调递减；
③当
时令
，即
；同理
的解是
，
所以
在区间
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在R 上递减；
当
时，
在区间
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在区间
上单调递减，在
上单调递增．
8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数
，其中
.
(1)若
的图象在
处的切线经过点
，求a 的值；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）
，
因为
，
，
所以
的图象在
处的切线方程为
，
将
代入得
，解得
；
（2）
，
当
时，
，令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，
，所以
在
上单调递增.
当
时，令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
9．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为
，
的定义域为
，
所以
．
设
，则
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
．
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，若
，则
，
单调递减，若
，则
，
单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
10（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恰有两个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由题知
，
当
时，
，
单调递增.
当
时，若
，即
，则
，故
在
上单调递增；
若
，即
，则
，故
在
上单调递减,
综上，当
时，
在
上单调递增；
（2）当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
由（1）可知，当
时，
在
上单调递增，
至多有一个零点，不符合题意.
故
，且根据指数函数与一次函数的增长速度可知，当
时，
，当
时，
.
由（1）知，若
有两个零点，
则
，
即
.
令
，
则
在
上单调递减，
且
，则当
时，
；
当
时，
.
所以实数
的取值范围为
.
