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2.2 函数的单调性与奇偶性考点一 无参函数求单调区间
【例1-1】（2023云南丽江）下列函数中，定义域为 ，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2023春·江西）函数 的单调递增区间为__________.
【例1-3】（1）（2023·江西）函数 的单调增区间是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
（2）（2022·广东）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C． 和 D． 和
（3）（2022秋·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（1）（2023·江西）函数 的单调减区间为______.
（2）（2024河南） 的单调增区间为
【一隅三反】
1．（2024·北京）下列函数中，在 为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2（2021·4安徽）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．3.（2024广东茂名）已知 ，则函数 的单调递增区间为 .
4．（2024上海）函数 的单调递增区间为 ．
5（2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为____________．
6（2022·山东）函数 的单调减区间是_______．
考点二 根据单调性求参数
【例2-1】（2023·广西）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【例2-2】（2024福建三明·期中）函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2023·陕西商洛·一模）已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·4浙江）设 ，则“ ”是“函数 在 为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数 在 上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
3（2023秋·江西抚州）已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024内蒙古赤峰）已知 ，且 ，函数 在 上单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5（2023·四川南充·模拟预测）函数 在 上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为 ．
考点三 函数奇偶性的判断
【例3】（2024安徽合肥）判断下列各函数是否具有奇偶性
(1) (2) (3) (4) ；
(5) (6)【一隅三反】
（2023·广东潮州）判断下列函数的奇偶性．
(1) ； (2) ； (3) (4)
； (5) ． (6) ；
(7) ； (8) ．
考点四 根据奇偶性求参数
【例4-1】（2024·内蒙古包头·一模）已知 是奇函数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例4-2】（2024·浙江·二模）若函数 为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【例4-3】（多选）（2024北京）设函数 是定义在区间 上的奇函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】1．（2024·河南郑州·模拟预测）函数 是偶函数，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·宁夏银川·一模）“ ”是“函数 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024甘肃兰州）设函数 是定义在 上的奇函数，且 ．则函数 的解析式
为 ．
4.（2024长沙市）函数 是定义在 上的奇函数．若 ，则
的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考点五 根据奇偶性求解析式
【例5-1】（2024上海）已知函数 为奇函数，当 时， ，当 时，
的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（2024黑龙江哈尔滨）已知 为奇函数， 为偶函数，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024上海杨浦）已知奇函数 在区间 上的解析式为 ，则 在区间
上的解析式 ．2．（2024云南昆明·阶段练习） 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则 时，
．
3．（2024山东潍坊·期中）已知 ， 是分别定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，
则 .
4．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则当
时， ．
考点六 函数性质应用之比较大小
【例6-1】（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（2023·四川成都·二模）已知函数 ，若 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【例6-3】（2024·云南贵州·二模）已知 ，则 的大关系为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，且对 ，满足 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．2．（2024陕西渭南·期末）已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·北京·模拟预测）函数 ，记 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）设 是定义域为 的偶函数，且 在 上单调递减，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，若 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
考点七 函数性质之解不等式
【例7-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2024江西·阶段练习）已知函数 ，则满足不等式 的 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．【例7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在 上的函数 ，满足不等式
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·北京延庆·一模）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数 ，若 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024广东茂名）已知函数 的定义域为 的奇函数， ，对任意两个不等的正实数 都有
，则不等式 的解集为 .
4（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若 成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·四川南充·二模）设函数 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．一．单选题
1．（2023·海南海口·模拟预测）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
2．（2024·广东·一模）已知 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川攀枝花·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024吉林·阶段练习）已知函数 ( 且 )是R上的单调函数，则a的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·广东广州·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．C． D．
7．（2024重庆开州·期中）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， .若函数 在区
间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024安徽）已知函数 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题
9．（2024安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·江西·一模）已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成
立，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 的定义域为 ，且 ，
则（ ）
A． B． 或
C． 是 上的增函数 D． 是 上的增函数
三．填空题
12．（2024安徽）函数 是偶函数，则 .
13．（2024·青海·一模）已知函数 ，则不等式 的解集为 ．14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为 ．
四．解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为R的函数f(x)＝ 是奇函数．
(1)求实数a，b的值；
(2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围
16．（2024河南周口·期末）已知函数 是定义在 上的函数， 恒成立，且
.
(1)确定函数 的解析式，并用定义研究 在 上的单调性；
(2)解不等式 .17．（2024湖北·开学考试）已知函数 为偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)解关于 的不等式 ；
(3)设 ，若函数 与 图象有 个公共点，求实数 的取值范围．
18．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 时，
．
(1)求 时，函数 的解析式；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．19．（2024河北石家庄·阶段练习）已知函数 定义域为R，且对任意的x， ，都有
，且当 时， ，其中 ．
(1)证明： 是奇函数；
(2)不等式 对所有的 均成立，求实数m的范围．
