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考向 07 函数的单调性与最值
1.（2020·海南高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分
类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
2.（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
x
2
f x
A． f xx B． 3 C． f x x2 D． f x 3 x
【答案】D
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
f xx
对于A， 为R上的减函数，不合题意，舍.
x
2
f x
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
3 R
f x x2 ,0
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
f x 3 x
对于D， 为R上的增函数，符合题意，
故选：D.
1．函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
2．函数f（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。
3．函数的单调定义中的x、x 有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。
1 2
4．求函数的单调区间必须先求定义域。
5．判断函数单调性常用以下几种方法：
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性
质进行判断；
6.求函数最值(值域)的常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x，x
1 2
定义 当xf(x)，那
1 2 1 2 1 2 1 2
那么就说函数f(x)在区间D上是 么就说函数f(x)在区间D上是减函
增函数 数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I，都有
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
条件 f(x)≤M；
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值【知识拓展】
1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
2.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].
1．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数 ，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递减的函数是（
）
A． B． C． D．f(x)=lg|x|
3．（2021·青海西宁市·高三二模（理））已知函数 ， ，若 在区间
上的最大值是3，则 的取值范围是______.4．（2021·浙江湖州市·高三二模）设 ， ，若 ，且 的最大值是 ，
则 ___________.
1．（2021·湖南高三其他模拟）下列函数在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知偶函数y=f(x)在区间 上是减函数，则下列不等式一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知 ，且 ，则下列式子中正确
的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））设 为定义在R上的奇函数，当 时，
( 为常数)，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·福建高三三模）已知函数 ，实数 ， 满足不等式
，则下列不等式成立的是（ ）A． B．
C． D．
6．（2021·广东高三其他模拟）已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，任意
满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国高三其他模拟（文））已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，
若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[ ，+∞） D．（﹣∞， ]
8．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））设函数 和 ，若两函数在区间 上的单
调性相同，则把区间 叫做 的“稳定区间”.已知区间 为函数 的“稳
定区间”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国高三三模）定义在 上的函数 ，若 恒成
立，则 的取值范围为________．
10．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数 为定义在 上的偶函数，当时，函数 的最小值为1，则 ______.
11．（2021·浙江高三二模）已知函数 ， ，则 的最小值是_______，最大
值是________.
12．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（理））已知函数
.
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若不等式 对 恒成立，求实数a的取值范围.
1．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高考真题（文））设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
3．（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
4．（2019·全国高考真题（理））设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则
A．
B．C．
D．
5．（2019·全国高考真题（理））函数 在 的图像大致为
A． B．
C． D．
6．（2020·全国高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线 对称 D．f(x)的图象关于直线 对称
7．（2017·天津高考真题（理））已知函数 设 ，若关于x的不等式
在R上恒成立，则a的取值范围是A． B． C． D．
8．（2017·浙江高考真题）若函数 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则
的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
9．（2019·浙江高考真题）已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，
则实数 的最大值是____.
10．（2017·浙江高考真题）已知 ，函数 在区间[1,4]上的最大值是5，则a
的取值范围是__________
1．【答案】D
【分析】
由函数解析式可知 是 上的减函数，可得出 ， ， ，然后即可得
出 ， ， 的大小关系，进而得出 ， ， 的大小关系．
【详解】
解： 是 上的减函数， 是 上的减函数，
是 上的减函数，
， ， ，，
．
故选： ．
2．【答案】A
【分析】
由奇偶性的定义判断各个选项函数的奇偶性，排除B；结合反比例函数、二次函数、对数函数的单调性即
可选出正确答案.
【详解】
解：因为 ，所以B不正确；A,C,D中函数定义域均关于原点对称，
，A是偶函数； ，C是偶函数；
，所以D也是偶函数；当 时，
单调递减，故A正确；
由二次函数的性质可得，此时 递增，则C不正确；
也单调递减，则D不正确；
故选:A.
3．【答案】
【分析】
先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分 和 两个范围
分别证明a≤0时符合题意.
【详解】
由题易知 ，即 ，所以 ，
又 ，
所以 .
下证 时， 在 上最大值为3.
当 时， ， ;
当 ，若 ，即 ，
则 ，满足;
若 ，即 ，
此时 ，
而 ，满足;
因此， 符合题意.
【点睛】
本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a≤0，然后分类讨论证明a≤0
时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握.
4．【答案】4
【分析】
令 =d与已知等式联立消元得一元二次方程，利用判别式法即可得解.
【详解】
令 =d，由 消去a得： ，即 ，而 ， ，则 ， ， ，
依题意 ，解得 .
故答案为：4
1．【答案】B
【分析】
根据二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的知识可选出答案.
【详解】
在 上单调递减，在 上单调递增，故A不满足
在 上单调递增，故B满足
在 上单调递减，故C不满足
在定义域内不单调，故D不满足
故选：B
2．【答案】D
【分析】
利用函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】
因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，
所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，
对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；
对于C､D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）
