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考向 07 函数的单调性与最值
1.（2020·海南高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分
类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
2.（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
x
2
f x
A． f xx B． 3 C． f x x2 D． f x 3 x
【答案】D
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
f xx
对于A， 为R上的减函数，不合题意，舍.
x
2
f x
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
3 R
f x x2 ,0
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
f x 3 x
对于D， 为R上的增函数，符合题意，
故选：D.
1．函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
2．函数f（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。
3．函数的单调定义中的x、x 有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。
1 2
4．求函数的单调区间必须先求定义域。
5．判断函数单调性常用以下几种方法：
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性
质进行判断；
6.求函数最值(值域)的常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x，x
1 2
定义 当x<x时，都有f(x)<f(x)， 当x<x时，都有f(x)>f(x)，那
1 2 1 2 1 2 1 2
那么就说函数f(x)在区间D上是 么就说函数f(x)在区间D上是减函
增函数 数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I，都有
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
条件 f(x)≤M；
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值【知识拓展】
1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
2.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].
1．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数 ，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递减的函数是（
）
A． B． C． D．f(x)=lg|x|
3．（2021·青海西宁市·高三二模（理））已知函数 ， ，若 在区间
上的最大值是3，则 的取值范围是______.4．（2021·浙江湖州市·高三二模）设 ， ，若 ，且 的最大值是 ，
则 ___________.
1．（2021·湖南高三其他模拟）下列函数在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知偶函数y=f(x)在区间 上是减函数，则下列不等式一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知 ，且 ，则下列式子中正确
的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））设 为定义在R上的奇函数，当 时，
( 为常数)，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·福建高三三模）已知函数 ，实数 ， 满足不等式
，则下列不等式成立的是（ ）A． B．
C． D．
6．（2021·广东高三其他模拟）已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，任意
满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国高三其他模拟（文））已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，
若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[ ，+∞） D．（﹣∞， ]
8．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））设函数 和 ，若两函数在区间 上的单
调性相同，则把区间 叫做 的“稳定区间”.已知区间 为函数 的“稳
定区间”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国高三三模）定义在 上的函数 ，若 恒成
立，则 的取值范围为________．
10．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数 为定义在 上的偶函数，当时，函数 的最小值为1，则 ______.
11．（2021·浙江高三二模）已知函数 ， ，则 的最小值是_______，最大
值是________.
12．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（理））已知函数
.
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若不等式 对 恒成立，求实数a的取值范围.
1．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高考真题（文））设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
3．（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
4．（2019·全国高考真题（理））设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则
A．
B．C．
D．
5．（2019·全国高考真题（理））函数 在 的图像大致为
A． B．
C． D．
6．（2020·全国高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线 对称 D．f(x)的图象关于直线 对称
7．（2017·天津高考真题（理））已知函数 设 ，若关于x的不等式
在R上恒成立，则a的取值范围是A． B． C． D．
8．（2017·浙江高考真题）若函数 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则
的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
9．（2019·浙江高考真题）已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，
则实数 的最大值是____.
10．（2017·浙江高考真题）已知 ，函数 在区间[1,4]上的最大值是5，则a
的取值范围是__________
1．【答案】D
【分析】
由函数解析式可知 是 上的减函数，可得出 ， ， ，然后即可得
出 ， ， 的大小关系，进而得出 ， ， 的大小关系．
【详解】
解： 是 上的减函数， 是 上的减函数，
是 上的减函数，
， ， ，，
．
故选： ．
2．【答案】A
【分析】
由奇偶性的定义判断各个选项函数的奇偶性，排除B；结合反比例函数、二次函数、对数函数的单调性即
可选出正确答案.
【详解】
解：因为 ，所以B不正确；A,C,D中函数定义域均关于原点对称，
，A是偶函数； ，C是偶函数；
，所以D也是偶函数；当 时，
单调递减，故A正确；
由二次函数的性质可得，此时 递增，则C不正确；
也单调递减，则D不正确；
故选:A.
3．【答案】
【分析】
先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分 和 两个范围
分别证明a≤0时符合题意.
【详解】
由题易知 ，即 ，所以 ，
又 ，
所以 .
下证 时， 在 上最大值为3.
当 时， ， ;
当 ，若 ，即 ，
则 ，满足;
若 ，即 ，
此时 ，
而 ，满足;
因此， 符合题意.
【点睛】
本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a≤0，然后分类讨论证明a≤0
时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握.
4．【答案】4
【分析】
令 =d与已知等式联立消元得一元二次方程，利用判别式法即可得解.
【详解】
令 =d，由 消去a得： ，即 ，而 ， ，则 ， ， ，
依题意 ，解得 .
故答案为：4
1．【答案】B
【分析】
根据二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的知识可选出答案.
【详解】
在 上单调递减，在 上单调递增，故A不满足
在 上单调递增，故B满足
在 上单调递减，故C不满足
在定义域内不单调，故D不满足
故选：B
2．【答案】D
【分析】
利用函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】
因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，
所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，
对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）<f（3）=f(﹣3)，故A错误；
对于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；
对于C､D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）<f（2），故C错误，D正确.
故选：D.
3．【答案】D【分析】
设 ，求出导数可得 在 上单调递增，在 上单调递增，从而可判断A,B选
项，设 ，求出其导数，得出单调性，可判断C，D选项 ，得出答案.
【详解】
设 ，则
所以 在 上单调递增，在 上单调递增.
所以当 ， 时，不能判断出 与 的大小.
所以选项A,B都不正确.
设 .则 ，
由 ，得 ， ，得 ，
所以 在 上函数单调递增，在 函数单调递减，
因为 ，且 ， ，即 .
所以选项C不正确，线线D正确.
故选： D.
【点睛】
关键点睛：本题考查构造函数，利用导数讨论函数的单调性，利用单调性比较大小，解答本题的关键是根
据选项的结构形式构造函数 ， ，分别求出其单调区间，利用单调性即可判断，属
于中档题.4．【答案】D
【分析】
根据定义在 上的奇函数的性质 求出 的值，即可得到当 时函数解析式，再判断其单调性，
最后根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解： 为定义在 上的奇函数，
因为当 时， ，
所以 ，
故 ， 在 ， 上单调递增，根据奇函数的性质可知 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
由不等式 可得， ，解可得， ，
故解集为
故选： ．
5．【答案】A
【分析】
根据条件判断函数 关于 对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式
进行转化求解即可.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴函数 关于 对称，又 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 恒成立，则 是增函数，
∵ ，
∴ ，
∴ ，得 ，
故选：A.
【点睛】
根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中
档题.
6．【答案】D
【分析】
由 是偶函数，得函数图像关于直线 对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.
【详解】
因为 是偶函数，所以 的图像关于直线 对称，
则 ，
因为任意 满足 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 等价于 ，解得 .故选：D
7．【答案】D
【分析】
设 ，由题意可知函数 为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由
，得 ，从而得 ，进而可求出实数m的取值范围
【详解】
解：设 ，由题意可知函数 为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，
因为 在[0，+∞）单调递增，
所以 ，两边平方得 ，
解得 ，
所以实数m的取值范围是（﹣∞， ]，
故选：D
8．【答案】C
【分析】
依题意可知函数 与函数 在区间 上同增或者同减，则根据同增或同减分两种
情况讨论即可.
【详解】
函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增,若区间 为函数 的“稳定区间”，
则函数 与函数 在区间 上同增或者同减，
①若两函数在区间 上单调递增，
则 在区间 上恒成立，即 ，
所以 ;
②若两函数在区间 上单调递减，
则 在区间 上恒成立，即 ，不等式组无解.
综上所述； .
故选；C.
【点睛】
结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1） 恒成立⇔ ；
（2） 恒成立⇔ .
9．【答案】
【分析】
利用导数确定函数的单调性，根据单调性列出不等式，构造函数利用单调性解不等式即可.
【详解】
因为 ，所以 ，易知 且 ，所以 单调递增，
所以当 时， ， 单调递增．
又因为 恒成立，所以需同时满足如下条件：
（1） ；
（2） ．
因为 ，所以（1）成立；
对于（2）， ，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 单调递增，而 ，
所以 ．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：利用函数的导数，确定函数的单调性是解题的关键所在，根据单调性建立不等式，并根据单
调性解不等式，属于中档题.
10．【答案】2
【分析】
根据偶函数的定义可得 ，从而利用换元法：令 ，将原问题转化为含参数 的二
次函数最值即可求解.
【详解】
解：由题意得 ，即 ，即 ，
所以 ，所以 ，.
令 ， .
因为 在 上是增函数，所以当 时， .
因为 在 上的最小值是1，所以 在 上的最小值是1.
当 时， ，解得 或 （舍去）；
当 时， ，不合题意，舍去.
综上， .
故答案为：2.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是观察出 与 的关系，然后利用换元法将原问题等价转化为
二次函数最值来解决.
11．【答案】0 5
【分析】
画出函数的图象，根据图象判断函数的最值.
【详解】
首先画出函数的图象，根据图象可知当 时，函数取得最小值 ，当 时，函数取得最大值
.故答案为： ；
12．【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）分类讨论 、 、 分别求 的解集，然后取并集即可.
（2）利用绝对值的几何意义可知 ，结合已知不等式恒成立则有 ，求解集即可.
【详解】
（1）当 时， .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
∴ ，有 或 ，解得 或 .
∴不等式的解集为： .（2） ，当且仅当 等号成立，
∴ ，则 ，两边平方整理得： ，
∴ ，解得 或 .
∴实数a的取值范围是： .
【点睛】
关键点点睛：
（1）利用分类讨论的方法求绝对值不等式的解集.
（2）利用绝对值的几何意义求函数最小值，由不等式恒成立有 .
1．【答案】D
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．【答案】A
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
3．【答案】A
【分析】
由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.
【详解】
函数 ，
在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，故选A.
【点睛】
本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结
合思想，属于容易题.
4．【答案】C
【分析】
由已知函数为偶函数，把 ，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】
是R的偶函数， ．
，
又 在(0，+∞)单调递减，
∴ ，
，故选C．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
5．【答案】B
【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 的近似值即可得出结果．
【详解】
设 ，则 ，所以 是奇函数，图象关于原点
成中心对称，排除选项C．又 排除选项D； ，排除选项A，故选
B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基
础知识、基本计算能力的考查．
6．【答案】D
【分析】
根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线 对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】
本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
7．【答案】A
【解析】
不等式 为 (*)，
当 时，(*)式即为 ， ，
又 （ 时取等号），
（ 时取等号），
所以 ，
当 时，(*)式为 ， ，
又 （当 时取等号），
（当 时取等号），所以 ，
综上 ．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足 转化为 去解决，由于涉及分段函数问题要
遵循分段处理原则，分别对 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据 的范围，利用极端原理，求
出对应的 的范围.
8．【答案】B
【详解】
因为最值在 中取，所以最值之差一定与 无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，
结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在
区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区
间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
9．【答案】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究
入手，令 ，从而使问题加以转化，通过绘
制函数图象，观察得解.
【详解】
使得 ，
使得令 ，则原不等式转化为存在 ，
由折线函数，如图只需 ，即 ，即 的最大值是
【点睛】
对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
10．【答案】
【详解】
，分类讨论：
①当 时， ，
函数的最大值 ，舍去；
②当 时， ，此时命题成立；
③当 时， ，则：
或 ，解得： 或
综上可得，实数 的取值范围是 ．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由 ，得 ，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：① ；② ；③ ，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属
于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
