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考点 10 函数的单调性
【命题解读】
考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学
式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数
性质的考查；
【基础知识回顾】
1. 函数单调性的定义
(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x 、x ，当xf(x)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．
1 2 1 2
(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单
调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间
为减区间．
2. 函数单调性的图像特征
对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数
图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3. 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝
f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样
的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
4. 函数单调性的常用结论
(1)对∀x
1
，x
2
∈D(x
1
≠x
2
)，>0⇔f(x)在D上是增函数；
<0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．
(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
5.常用结论
1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x，x∈[a，b]且x≠x，则
1 2 1 2
(x－x)[f(x)－f(x)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
1 2 1 2
(x－x)[f(x)－f(x)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
1 2 1 21、函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数
2、函数y＝在[2，3]上的最小值为( )
A．2 B.
C. D．－
3、已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)0)的单调性．
变式2、试讨论函数f(x)＝(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．
方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函
数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.
2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：
→→→→
其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因
式；(2)配方；(3)通分约分等．
考向二 函数的单调区间
例1、求下列函数的单调区间
（1）y＝－x2＋2|x|＋1；
（2）、.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.
变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是( )
A. B.和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
变式2、 函数f(x)＝的单调减区间为________________．
方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见
函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：
(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；
(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间
例3、求下列函数的单调区间
(1)f(x)＝；
（2）
变式1、函数f(x)＝logx2－4)的单调递增区间为（ ）
(
A． B． C． D． ．
变式2、函数f(x)＝2的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合
而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
考向四 函数单调性中的含参问题
例4、已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
变式1、如果函数f(x)＝满足对任意x≠x，都有>0成立，那么a的取值范围是________.
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变式2、设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a可能的值为( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
例5、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)＜f(3x－2)的实数x的取值范围是(
)
A．(－∞，0] B．(3，＋∞)
C．[1，3) D．(0，1)
变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，有恒成立，若 ，则x的取值范围是________．
变式2、已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f
