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第五讲：函数的单调性、奇偶性、周期性
【考点梳理】
1．增函数与减函数
一般地，设函数 的定义域为 ：
(1)如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有
，那么就说函数 在区间 上是增函数．
(2)如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有
，那么就说函数 在区间 上是减函数．
2．函数的最大值与最小值
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
(1)对于任意的 ，都有 ；存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数
的最大值．
(2)对于任意的 ，都有 ；存在 ，使得 ，那么我们称 是函数
的最小值．
3．函数单调性的两个等价结论
设 则
(1) (或 在 上单调递增。
(2) (或 ⇔f(x)在 上单调递减．
4．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果函数 的定义域内任意一个
偶函数 关于 对称
都有 ，那么函数 是偶函数
如果函数 的定义域内任意一个
奇函数 关于原点对称都有 ，那么函数 是奇函数
5.奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.
(3)若 是奇函数且 处有意义，则 .
6．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
(3) 常 见 结 论 ： 若 ， 则 ； 若 ， 则 ； 若
，则 .
【典型题型讲解】
考点一：函数的单调性
【典例例题】
例1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 >0成立，则必有
（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
【变式训练】
1.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是___.
2.已知函数 的定义域为 ，且对任意两个不相等的实数 ， 都有 ，则不等
式 的解集为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·广东惠州·一模）已知 ，则当 时， 与 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．不确定
4.“ ”是“函数 是在 上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数 若 ， ， ，且
仅有1个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 是 上的单调函数，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．考点二：判断函数的奇偶性
【典例例题】
例1.已知函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 是单调递增 B．是奇函数，且在 是单调递增
C．是偶函数，且在 是单调递减 D．是奇函数，且在 是单调递减
【方法技巧与总结】
1、函数的奇偶性的判断：图像法、解析式法；
2、常见函数的奇偶性。
【变式训练】
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·二模）存在函数 使得对于 都有 ，则函数 可能为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东广东·一模）下列四个函数中，以 为周期且在 上单调递增的偶函数有（ ）
A． B．
C． D．
考点三：函数的奇偶性的应用
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）A．函数 是偶函数 B．函数 是奇函数
C．函数 在 上为增函数 D．函数 的值域为
例2．（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，
函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
【变式训练】
1.（2021·广东汕头·高三期末）已知偶函数f(x)在区间 上单调递减，若f(-1)=0，则满足f(m)>0的实数
m的取值范围是______．
2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知函数 ，则 ________．
3．（2022·广东深圳·一模）已知函数 是定义域为R的奇函数，当 时， ，则
_________．
4．（2022·广东韶关·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则5．（2022·广东·一模）已知函数 ， ，则图象如图的函数可能是( )
A． B． C． D．
6．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·广东广州·一模）若函数 的大致图象如图，则 的解析式可能是( )
A． B． C． D．8．（2022·广东广东·一模）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
考点四：函数的对称性和周期性
【典例例题】
例1．设函数 的定义域为D，若对任意的 ，且 ，恒有 ，则
称函数 具有对称性，其中点 为函数 的对称中心，研究函数
的对称中心，求 （ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【方法技巧与总结】
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 .【变式训练】
1．（2022·广东珠海·高三期末）已知 是定义域在 上的奇函数，且满足 ．当
时， ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
2．已知定义在R上的函数 满足 ，且 是奇函数，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
3．已知函数 的定义域为R，且 对任意 恒成立，又函数
的图象关于点 对称，且 ，则 （ ）
A．2021 B． C．2022 D．
4．已知定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则下面结论正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 满足 对任意 恒成立，又函数 的图象关于点
对称，且 则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 是 上的奇函数，且 ，且当 时， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．7．已知 是定义在R上的奇函数，若 为偶函数且 ，则
（ ）
A． B． C． D．6
【巩固练习】
一、单选题
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 在区间 的最大值是M，最小值是m，则 的
值等于( )
A．0 B．10 C． D．
4．已知函数 的图象关于原点对称，且 ，当 时， ，则
（ ）
A．-11 B．-8 C． D．
二、多选题
5．下面关于函数 的性质，说法正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 在定义域上单调递减 D．点 是 图象的对称中心6．已知定义在R上的偶函数 的图像是连续的， ， 在区间 上是
增函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的一个周期为6 B． 在区间 上单调递减
C． 的图像关于直线 对称 D． 在区间 上共有100个零点
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 对任意 都有 ，若函数
的图象关于 对称，且对任意的 ，且 ，都有 ，若
，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．
C． 的图象关于点 对称 D．
8．已知函数 ， ， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 的图象没有对称中心
C．对任意的 ， 的最大值与最小值之和为
D．若 ，则实数 的取值范围是
三、填空题
9．已知函数 是偶函数，则 __________．
10．已知函数 在 上的最小值为1，则 的值为________.
11．（2022·广东佛山·三模）已知函数 的图象关于原点对称，若 ，则
的取值范围为________．12．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有 ；（2）对于定义域上
的任意 ，当 ，恒有 ，则称函数f（x）为“理想函数”，下列① ，②
，③ ，④ 四个函数中，能被称为“理想函数”的有
___________.（填出函数序号）
