4.3利用导数求极值最值（精讲）（提升版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）

4.3 利用导数求极值最值（精讲）（提升版） 思维导图考点呈现 例题剖析 考点一 无参函数的极值（点） 【例1】（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学）函数 在区间 上的极小值点是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设 ，所以在 上 ， 递减，在 上 ， 递增， 所以极小值点为 .故选：B 【一隅三反】 1．（2022·天津·耀华中学）已知曲线 在点 处的切线斜率为3，且 是 的极值点，则函数的另一个极值点为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】 ，由题意有 ，解得 ，所以，令 ，解得 或 ，所以函数的另一个极值点为 ． 故选：A． 2．（2022·天津·崇化中学）函数 有（ ） A．极大值为5，无极小值 B．极小值为 ，无极大值 C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为 【答案】A 【解析】 , 由 ，得 ，由 ，得 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 时，取得极大值 ，无极小值.故选：A 3．（2022·重庆八中模拟预测）（多选）设函数 的定义域为 ， 是 的极小值点，以下结 论一定正确的是（ ） A． 是 的最小值点 B． 是 的极大值点 C． 是 的极大值点 D． 是 的极大值点 【答案】BD 【解析】对A， 是 的极小值点，不一定是最小值点，故A错误； 对B，因函数 与函数 的图象关于x轴对称，故 应是 的极大值点，故B正确； 对C，因函数 与函数 的图象关于y轴对称，故 应是 的极小值点，故C错误； 对D，因函数 与函数 的图象关于原点对称，故 是 的极大值点，故D正确. 故选：BD. 考点二 已知极值（点）求参数【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上既有极大值又有极 小值，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 ，导函数 . 因为 在 上既有极大值又有极小值，所以 在 内应有两个不同的异号实数根． ，解得： ，实数a的取值范围 .故选：C． 【例2-2】（2022·陕西）已知函数 ，若 是 的极小值点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 得 ，令 ， 若 ，则 ，此时在 单调递增，在 单调递减，这与 是 的极小值点矛盾，故舍去.若 ，可知 是 的极大值点，故不符合题意. 若 ， ，此时 在 单调递增，在 单调递减， 可知 是 的极大值点，故不符合题意. 当 ，， ，此时 在 单调递增，在 单调递减， 可知 是 的极小值点，符合题意. 若 ， 在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去. 综上可知： 故选：B 【一隅三反】 1．（2022·广东·惠来县第一中学）若函数 在 处有极值，则（ ） A． B． C． D．a不存在 【答案】B 【解析】因为函数 ，故 又函数 在 处有极值，故 ，解得 .经检验满足题意故选：B. 2．（2022·河南）已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，令 ， 因为函数 有两个极值点，所以 有两个不同的解，且 在零点的两侧符号异号. ， 当 时， ， 在 上单调递增，故不可能有两个零点. 当 时， 时， ， 在 上单调递增； 时， ， 在 上单调递减， 所以 ，即 ， . 当 时， ，故 在 上有一个零点； 当 时， ， 所以 在 上有一个零点，综上， ，故选：D. 3．（2022·江西鹰潭）已知函数 的极大值点 ，极小值点 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】 又因为当 时取得极大值，当 时取得极小值，可得 、 是方程 的两个根，根据一元二次方程根的分布可得 即： 作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可 求出边界交点坐标分别为 、 、 ， 表示平面区域内的点 与点 连线的斜率，由图可知 ，根据倾斜角的变化，可得 故选:B 4．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数 在 上有且仅有6个极值点，则正整数 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【解析】设 ，则当 时， 由 在 上有且仅有6个极值点，则 在 上有且仅有6个极值点. 如图由正弦函数的图像性质可得 解得 ，所以正整数 的值为3 故选：B 考点三 无参函数的最值 【例3】（2022·全国·高考真题（文））函数 在区间 的最小值、最大值分 别为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 所以 在区间 和 上 ，即 单调递增； 在区间 上 ，即 单调递减， 又 ， ， ，所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .故选：D 【一隅三反】 1．（2022·海南华侨中学）已知函数 ，下列说法正确的是（ ） A．函数在 上递增 B．函数无极小值 C．函数只有一个极大值 D．函数在 上最大值为3 【答案】C 【解析】因为 定义域为 ， 所以 ， 所以当 或 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增， 所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值， 即 ， ， 又 ， ，故函数在 上最大值为 ； 故选：C 2．（2022·四川省成都市新都一中）函数 在区间 上的最大值为______． 【答案】 【解析】对 求导，可得： 故 在区间 上单调递减，在区间 单调递增 可得： ， ， 可得：故 在区间 上的最大值为 故答案为： 3．（2022·四川·威远中学校）对任意 ，存在 ，使得 ，则 的最小值为_____. 【答案】 【解析】由 得： ，令 ，则 ， ； ， 令 ，则 ，令 ，则 ， 在 上单调递增，又 ， 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 即 的最小值为 . 故答案为： . 考点四 已知最值求参数 【例4-1】（2022·全国·高考真题（理））当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ．故选：B. 【例4-2】（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）若将函数 的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数在区间 上无极值点，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， ， 所以将函数 的图象向左平移 个单位，可得 ， 令 ，解得 即函数 的单调递增区间为 ， 令 ，可得函数的单调递增区间为 ， 又由函数 在区间 上无极值点，则 的最大值为 .故选：A. 【一隅三反】 1．（2022·江西省丰城中学模拟预测（文））已知函数 在 上有最小值，则 实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， 若函数 在 上有最小值，即 在 先递减再递增，即 在 先小于0，再大于 0， 令 ，得 ，令 ， ，只需 的斜率 大于过 的 的切线的斜率即可， 设切点是 ， ，则切线方程是： ，将 代入切线方程得： ， 故切点是 ，切线的斜率是1，只需 即可，解得 ，即 ，故选：D． 2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 对 恒成立，则实数a的最小值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，即 ， 构造函数 ， 所以 ，令 ，解得： ，令 ，解得： ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， 与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时 因为当 时， 单调递减，故 ，两边取对数得： ， 令 ，则 ， 令 得： ，令 得： ， 所以 在 单调递增，在 单调递减，所以 故a的最小值是 ． 当 时， ，从四个选项均为负，考虑 ，此时有 ， 两边取对数得： ，所以 令 ，则 ，当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，无最大值， 此时无解，综上：故a的最小值是 ．故选：C 3．（2022·河南洛阳）若曲线 与曲线： = 有公切线，则实数 的最大值为（ ） A． + B． - C． + D． 【答案】C 【解析】设在曲线 上的切点为 ，则切线斜率为 ， 在曲线 上的切点为 ，切线斜率为 ， 所以切线方程分别为 、 ， 即 、 ， 有 ，整理得 ， 设 ，则 ， 令 ，令 ， 故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以在 上 ，如图，由图可知 ，即k的最大值为 .故选：C. 4（2022·吉林·延边二中）若函数 最小值为 ， 最小值为 ，则 + =（ ） A．-2 B．0 C．2 D．-4 【答案】A 【解析】由题意知： 、 定义域均为 ； ， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增， 又当 时， ，当 时， ， ，使得 ，此时 ， ， 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递减，在 上单调递增， ；； 令 ，则 ，令 ，解得： ，令 ，解得： 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ， ， ， ， ，使得 ， ， 即 ， ， ， ； 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递增； 的极小值 ， ， ； .故选：A. 考点五 最值极值综合运用 【例5】（2022·浙江嘉兴）已知函数 ．（注： 是自然对数的底数） (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 只有一个极值点，求实数a的取值范围； (3)若存在 ，对与任意的 ，使得 恒成立，求 的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)当 时， ，故 ， 故在点 处的切线方程为 ，化简得 ．(2)由题意知 有且只有一个根且 有正有负． 构建 ，则 ①当 时， 当 时恒成立， 在 上单调递增， 因为 ， 所以 有一个零点，即为 的一个极值点； ②当 时， 当 时恒成立，即 无极值点； ③当 时，当 ；当 ， 所以 在 单调递减，在 上单调递增， 故 ， 若 ，则 即 . 当 时， ， 当 时， , 设 ，故 ， 故 在 上为增函数，故 ， 故 ， 故当 时， 有两个零点，此时 有两个极值点． 当 时， 当 时恒成立，即 无极值点； 综上所述： ．(3)由题意知，对与任意的 ，使得 恒成立，则 ，又要使 取到最小值，则 ． 当 时， ，故 ，所以 的最小值为e； 当 时，当 时， ， 所以 无最小值，即 无最小值； 当 时，由（2）得 只有一个零点 ，即 且 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 此时 ，因 ，所以 代入得 ， 令 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，此时 ， 所以 的最小值为 ． 【一隅三反】1．（2022·河北·石家庄二中）已知函数 ． (1)当 时，证明：当 时， ； (2)若 ，函数 在区间 上存在极大值，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)由题意得 ，则 ，当 时， ， 在 上是减函数，∴ ，设 ， 在 上是增函数， ∴ ，∴当 时， ． (2) ，且 ， 令 ，得 或a， ①当 时，则 ， 单调递减，函数 没有极值； ②当 时，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， ∴ 在 取得极大值，在 取得极小值，则 ； ③当 时，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， ∴ 在 取得极大值，在 取得极小值，由 得： ， 综上，函数 在区间 上存在极大值时，a的取值范围为 ． 2．（2022·四川省成都市新都一中）已知函数 ．(1)当 时，若对任意 ， 恒成立，求b的取值范围； (2)若 ，函数 在区间 上存在极大值，求a的取值范围． 【答案】(1) ；(2) . 【解析】(1)由题意， 在 上恒成立，即 ， 设 ，对称轴为 ，开口向上， 所以当 时， ，则 ． (2) ，且 ， 令 ，得 或a． ①当 时，则 ， 单调递减，函数 没有极值； ②当 时，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减． ∴ 在 取得极大值，在 取得极小值，则 ； ③当 时，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减． ∴ 在 取得极大值，在 取得极小值， 由 得： ．综上，函数 在 上存在极大值时，a的取值范围为 ． 3．（2022·全国·哈师大附中）已知函数 ， 为 的导函数． (1)证明：当 时，函数 在区 内存在唯一的极值点 ， ； (2)若 在 上单调递减，求整数a的最小值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)当 时， ， ， ， ， 令 ， 则 ，所以导函数 在区间 单调递减， 又 ， ， 据零点存在定理可知， 存在唯一零点 ， 使得 ， 所以当 时， ， 在区间 上单调递增，当 ]时， ， 在区间 上单调递减， 所以函数 在区间 内存在唯一的极值点 ， 又 ，所以 ； (2)若 在 上单调递减，则 在 上恒成立， 参变分离得 ， ， 令 ， ， 即是求 在 时的最大值， ， 当 时， ，令 ， 则 ， 单调递增， ， ， 根据零点存在定理可知，存在唯一 ， 使得 ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， ， ，根据零点存在定理可知，存在唯一 ， 使 ， ， 大致图像如下： 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， ∴ ， ， ∴ ； 综上，a的最小值为1.