文档内容
4.4 构造函数常见方法（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 直接型
【例1】（2022·青海玉树）定义在R上的可导函数 满足 ，若 ，则
m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，则 在R上单减，又 等
价于 ，即 ，由单调性得 ，解得 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·漠河市高级中学）已知 是定义在 上的奇函数， 是函数 的导函数且在
上 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】设 ，则
又 上， ，则 ，即函数 在 上单调递减，
又 是定义在 上的奇函数，则函数 为 上的奇函数，故 在 上单调递减，
又
，即
可得： ，解得：
故选：B.
2（2022年广东潮州）已知 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则使
得 成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，
因为 为奇函数，所以 =xf(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，
因为当 时， ，
单调递减，x＞0时，函数F(x)单调递增，
因为f(-1)=0,所以F(-1)=(-1)f(-1)=0.F(1)=0.
因为f(x)＞0，所以 ，所以 ，所以x＞1或-1＜x＜0.故选：B3.（2022·贵州）已知 , 均是定义在R上的函数，且 ，当
时, ，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A．(－1，0)∪(1，+∞) B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，+∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【答案】D
【解析】 ， , 分别为奇函数偶函数.构造新函数
则 为奇函数当 时，
递增.
当 时， 递增，
故答案选D
4．（2022·全国高三）函数 是定义在 上的函数，且 为 的导函数，若
，则不等式 的解集是________．
【答案】
【解析】由题意可知 在 单调递增，
又 ， 时， 时， ；
对于 ，当 时，不等式成立，
当 时， ，不等式不成立；
当 时， ，且 ，不等式成立.综上不等式的解集为 .故答案为：
考点二 加乘型
【例 2-1】（2022·陕西榆林·三模）已知 是定义在 上的函数， 是 的导函数，且
， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，则 是增函数，
故 ，即 ，可得 .故选：D
【例2-2】（江苏省淮安市2022届高三下学期5月模拟数学试题）已知偶函数 的定义域为R，导函数
为 ，若对任意 ，都有 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，则A错误；
令 ，则 ，
当 时，由 ，
，则 在 上单调递增，
又因为偶函数 的定义域为R，
∴ 为偶函数， 在 上单调递增，
， ，故B错误；， ，故C正确；
由题意，不妨假设 (c为常数)符合题意，此时 ，故D错误.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知函数 的定义域为 ，其导函数是 ，且 ．若
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，其中 ，
则 ，
故函数 在 上为增函数，且 ，
因为 ，由 可得 ，即 ，解得 .故选：B.
2．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数 ，若 且 ，则有
（ ）
A． 可能是奇函数，也可能是偶函数 B．
C． 时， D．
【答案】D
【解析】若 是奇函数，则 ，
又因为 ，与 矛盾，所有函数 不可能时奇函数，故A错误；令 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，所以函数 为增函数，
所以 ，即 ，所以 ，故B错误；
因为 ，所以 ， ，所以 ，
故 ，即 ，
所以 ，故C错误；
有 ，即 ，故D正确.故选：D.
3．（2022·河南濮阳）已知函数 为定义域在R上的偶函数，且当 时，函数 满足
， ，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，当 时， ．令 ，则 ，
，令 ， ，
令 ，解得 ．可知函数 在 上单调递减﹐在 上单调递增．
又 ，所以 ， ，所以函数 在 上单调递减，
，可化为 ，又函数 关于 对称，
故 或 ，所以不等式的解集为 ．故选：A考点三 减除型
【例3-1】（浙江省绍兴市新昌中学2022届）若定义在R上的函数 的导函数为 ，且满足
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可设 ，因为 ，则 ，
所以函数 在R上单调递增，又 ，不等式 可转化为 ，
∴ ，所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．故选：A.
【例3-2】（山东省泰安肥城市2022届）定义在 上的函数 的导函数为 ，且
对任意 恒成立.若 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，即 ，即 ，即 对 恒成立，
令 ，则 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，由 即 ，即 ，
因为 在 上单调递增，∴ 故选：B.
【一隅三反】
1．（河南省部分学校2022届）已知 是定义在R上的函数 的导数，且 ，则下列
不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 .
因为 ，所以 ，则 在R上单调递增.
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，则A错误；
因为 ， 的大小不能确定，所以 ， 的大小不能确定，则B错误；
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，则C正确；
因为 ， 的大小不能确定，所以 ， 不能确定，则D错误.
故选:C
2．（河南省多校联盟2022）已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设函数 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递减，因为 ，
所以 ，因为 ，整理得 ，
所以 ，因为 在 上单调递减，所以 .故选：C.
3．（西藏自治区拉萨中学2022届）设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
∵ 当 时， ，
当 时， ，即 在 上单调递减.
由于 是奇函数，所以 , 是偶函数，所以 在 上单调递增.
又 ，所以当 或 时， ；当 或 时， .
所以当 或 时， .故选：B.
考点四 三角函数型
【例4】（2022·湖北）奇函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有
，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A．（ ，π） B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，因为当 时，有 ，
所以，当 时， ，
所以，函数 在( 内为单调递减函数，
所以，当 时，关于 的不等式 可化为 ，即 ，
所以 ；
当 时， ，则关于 的不等式 可化为 ，即因为函数 为奇函数，故 ，也即 所以 ，即 ，
所以， ．综上，原不等式的解集 .故选：D．
【一隅三反】
1．（2021·江西鹰潭市）已知奇函数 的定义域为 ，其导函数是 ．当
时， ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，∴ ，
∵当 时， ，∴ ，
∴ 在 上单调递减，∵ 是定义在 上的奇函数，
故 ，∴ 是定义在 上的偶函数．∴ 在 上单调递增．①当 时， ，
则不等式 可转化为 ，
即 ，∴ ，故 ．
②当 时， ，
则不等式 可转化为 ，
即 ，∴ ，故 ．
不等式 的解集为 ．
故选：D．
2．（2022·湖北）已知函数 满足： ， ，且 .若角
满足不等式 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令
因为 ，所以 为R上的单调减函数，
又因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以函数 为奇函数，
故 ，
即为 ，
化简得 ，
即 ，即 ，
由单调性有 ，
解得 ，
故选:B.
3（2021·全国高三月考）定义在 上的连续函数 的导函数为 ，且
成立，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可得 ，
所以 ，设 则 ，
所以 在 上单调递减，且
由 可得 ，
所以 ， ，所以选项A､B错误，选项C正确.
把 代入 ，可得 ，所以选项D错误，故选：C.
考点五 题意型
【例5-1】（河南省平顶山市汝州市2022届）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，可得 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
则 ， ，所以 最小，
又由 ，因为 ，所以 ，所以 ，
综上可得： .故选：D.
【例5-2】（浙江省温州市乐清市知临中学2022届）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
对于A选项， ，则 ，即 ，所以， ，A错误；
对于B选项， ，则 ，即 ，所以 ，B正确；
对于C选项， ，则 ，即 ，
所以， ，所以， ，C错误；
对于D选项， ，则 ，即 ，所以， ，D错误.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·山西·一模（理））设 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ，所以，函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ，即 ，即 ，
所以， ，
因为 ，故 ，即 ，即 ，
因此， .故选：D.
2．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
3．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
对于A选项， ，则 ，即 ，所以， ，A错误；
对于B选项， ，则 ，即 ，所以 ，B正确；
对于C选项， ，则 ，即 ，
所以， ，所以， ，C错误；
对于D选项， ，则 ，即 ，所以， ，D错误.
故选：B.
4．（2022·江西萍乡·三模）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
，
，可以判断 在 上单调递增，所以 ，
，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
故选：D.
