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5.3.1 函数的单调性
思维导图常见考法
考点一 求函数的单调区间
【例1】（1）（2020·福建省泰宁第一中学高二月考（文））函数 的单调递减区间是
（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是（ ）
A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(0，＋∞)
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
由 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间是 ，故选：D
（2）因为 ，所以 ，令 ，解得： ，
即函数 的增区间为 ，故选：D.【一隅三反】
1．（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 的定义域为 ，则 ，
令 ，解得 ，
所以，函数 的单调递增区间为 .故选：C.
2．（2020·玛纳斯县第一中学高二期末（理））函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】A
【解析】因为函数 ，所以函数的定义域为 ，
求出函数 的导数： ， ；
令 ， ，解得 ，所以函数的单调减区间为 故选： ．
3．（2020·河南高三月考（文））已知 ，则函数 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知， ，且 的定义域为 ，
则 ，
令 ，则 ， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则 的最大值为： ，
故 恒成立，故 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，即函数 的单调减区间为 .
故选：D.
考点二 已知单调性求参数
【例2】（1）（2020·北京高二期末）已知函数 在区间 上单调递增，则a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2020·山东德州·高二期末）若函数 在(0，1)上不单调，则 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）D（2）A
【解析】∵函数 在 内单调递增，∴当 时， 恒成立，即 ，
∴ ，即a的取值范围为 ，故选：D.
（2） ， ，
若 在 上不单调，则 在 上有变号零点，又 单调递增， ，即 ，解得 ．
的取值范围是 ．故选： ．
【一隅三反】
1．（2020·广东汕尾·高二期末）已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数 在 上单调递增，
可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，
根据二次函数的性质知，函数 在 单调递减，所以 ，
所以 ，即实数a的取值范围是 .故选：B．
2．（2020·广东禅城·佛山一中高二月考）已知函数 在区间 上是增函数，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
因为函数 在区间 上是增函数，
所以 在 上恒成立，得 恒成立
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
故选：D
3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））若函数 在区间 内存在单调递
增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 在区间 内存在单调递增区间，
所以 在区间 上成立，
即 在区间 上有解，
因此，只需 ，解得 .
故选D
4．（2020·重庆高二期末）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由函数 得 ，由题意可得
恒成立，即为 ，
设 ，即 ，
当 时，不等式显然成立；
当 时， ，由 在 上单调递减，可得 时， 取得最小值1，可
得 ，
当 时， ，由 在 上单调递减，可得 时， 取得最小值
，可得 ，
综上可得实数 的取值范围是 ，
故选：A.
考点三 单调性与图像
【例3】（2020·辽宁高二期末）函数 的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，则 ，令 ，
解得 的两个极值点为 ，故排除AD，
且当 时， 恒为正，排除C，
即只有B 选项符合要求，
故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·陕西秦都·咸阳市实验中学高二月考（理））函数 的图象大致是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得， ，当 时， ，函数 为增函数，当 时，
，函数 为减函数，则当 时， 取最大值， ，则 选项正确.
故选：
2．（2020·江西上高二中高二期末（文））已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】函数 ，当 时， ，故排除A、D，又
，当 时， ，
所以 在 为减函数，故排除B,故选：C.
3．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））已知函数 的图象如图所示(其中 是
函数 的导函数)，则下面四个图象中， 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】由 的图象可得：
当 时, ,∴ ,即函数 单调递增；
当 时, ,∴ ,即函数 单调递减；
当 时, ,∴ ,即函数 单调递减；
当 时, ,∴ ,即函数 单调递增,
观察选项,可得C选项图像符合题意.故选：C.
考点四 利用单调性解不等式
【例4】（2020·于洪·辽宁省实验中学分校高二期末）设 是定义在 上的偶函数， 为其导函数，
，当 时，有 恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，则 ，
∵当 时，有 恒成立，∴当 时， ， 在 上单调递增，
∵ 是定义在 上的偶函数，
∴ ，即 是定义在 上的奇函数，
∴ 在 上也单调递增.
又 ，∴ ，∴ .不等式 的解可等价于即 的解，
∴ 或 ，
∴不等式的解集为 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·古丈县第一中学高二月考）已知函数 ，对任意 ， ，都有
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题意可知函数 是 上的单调递减函数，
且当 时， ，
据此可得： ，即 恒成立，
令 ，则 ，据此可得函数 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，函数 的最小值为 ，则 ，
据此可得：实数 的取值范围是 ．
故选： ．
2．（2020·河北省玉田县第一中学高二期末）已知 是奇函数 的导函数，当
时， ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，当 时， ，
在 上单调递增，
为奇函数， 也是奇函数，且在 上单调递增，
由 化为
得 ，
，的解集为 ，故选B.
3．（2020·青海高二期末（理））已知函数 满足 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 的定义域是 ，
，
故 在 递增，
， ，
解得： 或 ，故选： ．
考点五 利用单调性比较大小
【例5】．（2020·四川阆中中学高三开学考试（理））已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，所以函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故 时， ，
而 ， ，
所以 .
故选：D
【一隅三反】
1．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高二期末（理））对任意 ，不等式
恒成立，则下列不等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造函数 ，则 ，
∵ ，∴ ，
即 在 上为增函数，
由 ，即 ，即 ，故A正确；
，即 ，即 ，故B正确；
，即 ，即 ，故C正确；由 ，即 ，即 ，即
，
故错误的是D．故选D．
2．（2020·陕西莲湖·西安一中高三月考（理））若 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数 ， ，
所以 时， ，函数 单调递增， 时， ，函数 单调
递减，
又 ， 与
，所以将不等式两边取自然对数得 ，
故选：A．
