文档内容
3.2.1 函数的性质（一）（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 单调区间（无参）
【例1-1】（2022·贵州）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在函数 中，由 得 或 ，则 的定义域为
，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又 在
上单调递增，于是得 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的单调递
减区间为 .故选：B
【例1-2】（2022·广东）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和C． 和 D． 和
【答案】B
【解析】
如图所示：
函数的单调递增区间是 和 ．故选：B.
【例1-3】（2022·湖北）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，
设 ，则 ， ，
函数 是由 和 复合而成，
当 时， 是减函数；
若求 的单调递增函数，只需求 的单调递减区间，
当 时， 为减函数，
所以函数 的单调递增区间是 .
故选：A.
【例1-4】（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数 在 上是减函数，则实数
的范围是_______.
【答案】
【解析】函数 ，定义域为 ，
又 ，
因为函数 在 上是减函数，所以只需 在 上是减函数，
因此 ，解得 .故答案为：
【例1-5】（2021·云南昆明市）函数 的单调增区间是
【答案】
【解析】要使函数 有意义则 ，即函数定义域为 ，
又 ，由一次函数的单调性可知函数 在 上单调递增.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】令 ，解得 ，令 ，则 ，
∵函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数 的单调递增区间是 故选：C
2．（2022·福建）函数 的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 直接通过解析式，结合二次函数图象得： 递增，在
递减，故选：A.
3．（2021·全国·高三阶段练习（文））下列函数在 上是减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于选项A， 在 上无意义，不符合题意；
对于选项B， 在 上是增函数，不符合题意；
对于选项C， 的大致图象如图所示中，由图可知 在 上是减函数，
符合题意；对于选项D， 在 上是增函数，不符合题意.故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意， ，解得，
又函数 在定义域内为单调增函数，
且函数 在 内为单调增函数
根据复合函数的单调性可知：
的单调增区间为
选项C正确，选项ABD错误.故选：C.
5．（2021·天津静海区）函数 的单调减区间为___________
【答案】
【解析】 ,当 ,即 时原函数为减函数.故函数 的单调减区间为 .故答案为：
考点二 已知单调性求参数
【例2-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学）已知函数 在 ， 上单调
递增，在 上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ．
因为 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以方程 的两个根分别位于区间 和 上，
所以 ，即 解得 .故选：A．
【例2-2】（2022·河南濮阳·一模）“ ”是“函数 是在 上的单
调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意，函数 是在 上的单调函数，
由于 在 上递增，所以 在 上递增，所以 且 ，即 .所以“ ”是“函数 是在 上
的单调函数”的必要不充分条件.故选:B
【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数 （ 且 ）在区间 内单调
递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 在区间 内有意义， 则 ，
设 则 ， ( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数 在区间 内单调递增，
需使 在区间 内内单调递增，
则需使 ，对任意 恒成立 , 即 对任意 恒成立；
因为 时， 所以 与 矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当 时， 是减函数，
要使函数 在区间 内单调递增，
需使 在区间 内内单调递减，
则需使 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
综上， 的取值范围是
故选：B
温馨提示
已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：
（1）若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；
（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；
（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 是 上的单调函数，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为分段函数 在 上的单调函数，由于 开口向上，故在 上单调递增，故分段
函数 在在 上的单调递增，所以要满足： ，解得： 故选：B
2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】C【解析】由题意， 在 恒成立，则 ，
又 ，∴ 在 恒成立，
∴ 即 在 恒成立，∴ ，综上， 或 .故选：C.
3．（2022·重庆）已知函数 在区间 ， 上都单调递增，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，其判别式 ，
∴函数 一定有两个零点，设 的两个零点为 ， 且 ，
由 ，得 ， ，
∴ ，
①当 时， 在 上单调递减或为常函数，从而 在 不可能单调递增，故 ；
②当 时， ，故 ，则 ，
∵ 在 上单调递增，
∴ 在 上也单调递增， ， ，由 在 和 上都单调递增，且函数的图象是连续的，
∴ 在 上单调递增，欲使 在 上单调递增，只需 ，得 ，
综上：实数 的范围是 .
故选：D.
4．（2021·重庆市）已知 且 ，若函数 在 上是减函数，则 的取值范围是
__________
【答案】
【解析】令 ，当 时，因为函数 在 上是减函数，
所以函数 在 上是减函数，且 成立，则 ，无解，
当 时，因为函数 在 上是减函数，所以函数 在 上是增函数，
且 成立，则 ，解得 ，综上：实数 的取值范围是
故答案为：
考点三 奇偶性的判断
【例3】（2022·广西）下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 函数 为偶函数，A错，
∵ ，∴ 函数 为偶函数，C错，
∵ ，∴ 函数 为奇函数，∵ 当 时， ， 时， ，
∴ 函数 在定义域上不是单调递增函数，B错，
∵ ，又函数 在定义域上单调递增，函数 在定义域上单调递减，
∴ 函数 既是奇函数，又在定义域上单调递增，D对，
故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·广东广州·二模）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对 ：容易知 是偶函数，且在 单调递减，故错误；
对 ：容易知 是偶函数，当 时， ，
其在 单调递增，在 单调递减，故错误；
对 ：容易知 是偶函数，当 时， 是单调增函数，故正确；
对 ：容易知 是奇函数，故错误；故选：C.
2．（2022·河南）下列函数中，即是奇函数又是单调函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ， 均为定义域上的奇函数，对于A： 是偶函数，所以A错误；
对于B： 是奇函数，且 ，为单调递增函数，所以B正确；
对于C： 是偶函数，所以C错误；
对于D： 是奇函数，但不是单调函数，所以D错误故选：B．
3．（2022·安徽）设函数 , 的定义域为R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正
确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【答案】C
【解析】 是奇函数， 是偶函数， ，
对于A， ，故 是奇函数，故A错误；
对于B， ，故 是偶函数，故B错误；
对于C， ，故 是奇函数，故C正确；
对于D， ，故 是偶函数，故D错误.故选：C.
考点四 奇偶性的应用
【例4-1】（2021·河南）已知 为奇函数，当 时， ，则当 时，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 为奇函数，所以 ，即 ．
当 时， ， ．故选：C【例4-2】（2022·河南洛阳）若函数 是偶函数，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】由已知， ，所以 ，
函数 为偶函数，所以 ，所以 ，整理得：
，所以 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，则 的值是
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】函数的定义域为 ，因为函数 是偶函数，所以 ，
所以 ， ，所以 ，得 ，故选：A
2．（2022·江西）若函数 为偶函数，则实数 （ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】D
【解析】由题意，函数 为偶函数，
因为函数 为奇函数，所以 为奇函数，
由 ，可得 ，解得 .
故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，则 ， 的值可能是
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】根据题意，设 ，则 ，则 ， ，又由 为偶函数，
则 ，即 ，变形可得： 对于任意 恒成立，
则有 ，分析选项：C满足 ，故选：C．
4．（2021·河北）已知函数 是 上的奇函数，当 时， ，则函数的解析式为
______．
【答案】
【解析】因为函数 是 上的奇函数，所以 ，又当 时， ，设 ，则
，则 ，因为 为奇函数，所以 ，所以 ，所以
故答案为：
考点五 单调性与奇偶性应用之比较大小
【例5-1】（2022·安徽·寿县第一中学）若 为定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 为偶函数且在 上单调递减知： 在 上单调递增，
，
又 ， ， ，故 ，
所以 .故选：D.
【例5-2】（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以，令 ， ，
所以当 时， ，函数 单调减，
因为 ，所以 ，即 .故选：A
【一隅三反】
1．（2022·天津河北·二模）已知 是定义在R上的偶函数，且在区间 单递调减，若
， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数 是定义在 上的偶函数，可得 ，
则 ， ， ，
因为函数 在区间 上单调递减，且 ， ，即
，
所以 ，即有 ，故选：D．
2．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数 ，设 ，
， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数定义域为
，故函数 为偶函数，所以， ，又因为
，
当 ， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减，
所以， 时，比较 之间的大小，得到 ，且 ，所以，再
比较 和 的大小，因为 ，
，明显可见，，得到 ，根据 的单调性，可得
故选:A
3．（2022·云南德宏））已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意 ， ，都有
， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意 ， ，都有 ，所以 在 上单调递增，
又函数 是定义在 上的偶函数，所以
因为 ，又 所以 ，
又 ， 所以 ，
所以 所以 .故选：D.
4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）设 ， ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】记 .
因为 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递增函数，所以当 时，
，即 ，所以 .记 .
因为 ，所以 在 上单调递增函数，所以当 时， ，
即 ，所以 .所以 .
记 .因为 ，所以当 时， ，所以
在 上单调递增函数，所以当 时， ，即 ，所以
.
所以 .综上所述： .故选：C
考点六 单调性与奇偶性应用之解不等式
【例6-1】（2022·安徽马鞍山）已知偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】偶函数 在 上单调递增，则 在 上单调递减，而 ，
因 ，则当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .故选：B
【例6-2】（2022·安徽·）已知 是奇函数，若 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】 是奇函数， 恒成立，
即 恒成立，
化简得， ，即 ，
则 ，解得 ，又 且 ， ，
则 ，所以 ，
由复合函数的单调性判断得，函数 在 上单调递减，又 为奇函数，
所以 在 上单调递减；由 恒成立得，
恒成立，
则 恒成立，
所以 恒成立，解得 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·云南昭通）若定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C 或
又 在 上单调递增，且在 上为奇函数 在 上单调递增，且
综上：不等式 的解集为 故选：C.
2．（2022·河南）已知定义在R上的函数 为奇函数，则不等式 的解
集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，即 .
所以 ，化简得
因为 ，所以 或 解得 或 .故选：D
3．（2022·全国·高三开学考试（理））已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单
调递减，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 是定义在 上的奇函数所以 ，得：
又 在 上单调递减所以 在 上单调递减由 可得： ，解得：
所以不等式 的解集为： .故选：B.
4．（2022·贵州遵义）若奇函数 在 单调递增，且 ，则满足 的x的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 是奇函数在 单调递增，且 可知：当 时， ，当
时， ，又 或 ，解得： 或
满足 的x的取值范围是 或 故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析函数 ，则 ，
因 ，则不等式 成立必有 ，即 ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，当 时， ，于是得 ，即 ，令 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减， ， ，因此， 无
解，当 时， ，于是得 ，即 ，此时 ，
函数 在 上单调递增， ， ，不等式 解集为 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
