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3.4 导数的综合应用（精讲）
考向一 判断零点的个数
【例1-1】（2025·广东湛江·一模）已知函数
，其中
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)当
时，试判断
的零点个数并证明．
【例1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
在
上零点的个数.
【一隅三反】
1．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数
.
(1)证明：
，
；
(2)求函数
的零点个数.
2．（23-24 内蒙古通辽·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
.
(2)讨论函数
的极值点个数.
考向二 根据零点个数求参数
【例2-1】（23-24 河南）已知函数
在
及
处取得极值．
(1)求a，b 的值；
(2)若方程
有三个不同的实根，求c 的取值范围．
【例2-2】（2025·四川广安·二模）已知函数
（
为常数）.
(1)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值；
(2)是否存在实数
，使得
有3 个零点？若存在，求实数
的范围；若不存在，请说明理由.
【例2-3】（2025·新疆·三模）已知函数
，
且
．
(1)当
（为自然对数的底数）时，求函数
在
处的切线方程；
(2)函数
在
上有且仅有两个零点，求a 的取值范围．
【例2-4】（2025·北京·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
的极值点在
内，求m 的取值范围；
(2)若
有两个零点，求m 取值的范围.
【例2-5】（24-25 高三上·山西·阶段练习）若函数
恰有2 个零点，则实数
的取值范围是
.
【一隅三反】
1．（24-25 高二下·山东·期中）函数
有两个零点，则m 的取值范围是 .
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极小值；
(2)若函数
有2 个零点，求
的取值范围．
3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若方程
有两个根，求
的取值范围.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在
上的函数
.
(1)若
，判断
是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若
存在两个零点，求
的取值范围.
5．（2025·山东·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为
（是自然对数的底数），求
的值；
(2)若
有且只有两个零点，求
的取值范围．
考向三 恒（能）成立求参数
【例3-1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【例3-2】（2025·湖北·三模）已知函数
（为自然对数的底数）.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【一隅三反】
1．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数
.
(1)当
时，证明:
.
(2)若对于定义域内的任意
恒成立，求t 的取值范围.
2．（2025·湖北武汉·二模）已知函数
．
(1)若在
处的切线斜率为
，求
；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
3．（2025·北京·模拟预测）已知函数
，
，
.
(1)求函数
的极值；
(2)若
恒成立，求实数
的最小值.
考向四 隐零点
【例4】（2024 湖北）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求证：函数
的图象在x 轴上方.
【一隅三反】
1.(2025 河南)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
2.（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)证明：当
时，
．（参考数据：
）
3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
考向五 不等式的证明
【例5】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数
有两个零点.
(1)求
的值；
(2)证明：当
时，
.
【一隅三反】
1．（2025·北京顺义·一模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，求证：
是
上的单调递减函数；
(3)求证：当
时，
.
2．（2025·辽宁锦州·二模）已知
．
(1)若
在
上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
的图像在
处的切线为
，求a 与b 的值，并证明
时，
．
3．（2025·江西南昌·一模）已知
．
(1)若
在定义域上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
有极大值m，求证：
考向六 极值点偏移
【例6-1】（2025·湖南郴州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同极值点
，证明：
.
【例6-2】（2025·江苏·模拟预测）设
，曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求
，
的值；
(2)证明：
；
(3)若
存在两根
，
，且
，证明：
.
【一隅三反】
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程；
(2)若函数
在
上恰有2 个零点
，
.
求
①
的取值范围；
求证：
②
.
3．（2025·江苏南京·一模）已知函数
.
(1)当
时，求证：
；
(2)若
对于
恒成立，求
的取值范围；
(3)若存在
，使得
，求证：
.
考向七 放缩法证明不等式
【例7-1】（2025·湖南·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间与极值；
(2)若
恒成立，求
的值；
(3)求证：
.
【变式】
1．（2025·浙江宁波·三模）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)求证：当
时，
.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知
，
.
(1)当
时，求函数
在
的最小值；
(2)若函数
为增函数，求实数
的取值范围；
(3)若
时，
，
，证明：
.
3．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数
．
(1)若
，求a 的值；
(2)设
，求证：
．
