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7.4 几何法求空间角（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 线线角
【例1】（2022·全国·模拟预测）已知正方体中 ，E，G分别为 ， 的中点，则直
线 ，CE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
取AB的中点F，连接EF，CF，易知 ，则∠ECF（或其补角）为直线 与CE所成角．不妨设，则 ， ， ，由余弦定理得 ，即直线 与CE
所成角的余弦值为 ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体 中，
分别是 的中点，则异面直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 的中点 ，连接 ， ， ， ，
由正方体的性质可知 且 ，所以 为平行四边形，
所以 ，
所以异面直线 与 所成的角的平面角为 ，
又 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，
故选：C．
2．（2022·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为 ，母线长为4，点C是底面直径AB所
对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面圆心为O，连接PO，OC，取PO的中点E，连接DE，CE，则 ，
且 ，所以 为AB与CD所成的角（或其补角）.
由题意知 ， ，所以 ，所以 .
由题意知 ， ， ，AB， 平面POB，
所以 平面POB.又 平面POC，所以平面 平面POB，
又平面 平面 ， 平面POB且 ，
所以 平面POC，因为 平面POC，
所以 .又 ，所以 ，
所以 .
故选:B.3．（2022·黑龙江）如图，在正三棱柱ABC﹣ABC 中，AB=AA=2，M、N分别是BB 和BC 的中点，则
1 1 1 1 1 1 1
直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作 的中点 ，连接 ，作 的中点 ，连接 、 ,
即 为异面直线AM与CN所成的角，
由已知条件得 ，则 , ,
由余弦定理得 ,
在△ 中，有余弦定理可知 ,
即 ,解得 ，
故选：D.考点二 线面角
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知正四棱锥 底面边长为2，侧棱长为4，
为侧棱 中点，则直线 与底面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作 底面 与于 ，连接 .因为正四棱锥 底面边长为2，故 ，又侧
棱长为4，故 .又 为侧棱 中点，故 到底面 的距离为 .又
,由余弦定理有 ,故直线 与底面
所成角的正弦值为故选：D
【例2-2】（2022·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台 中， 平面 ，
， ， ，则 与平面 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将棱台补全为如下棱锥 ，
由 ， ， ，易知： ， ，
由 平面 ， 平面 ，则 ， ，所以 ， ，故 ，
所以 ，若 到面 的距离为h，又 ，
则 ，可得 ，
综上， 与平面 所成角 ，则 ，即 .故选：A
【一隅三反】
1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面
ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝ AB，E是BP的中点．
(1)求证：EC∥平面APD；
(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值；
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)如图，取 中点 ，连接 .因为 是 的中点，所以 ，又 ，故
，所以四边形 是平行四边形，故 ，又因为 平面 ， 平面 ，所
以 ∥平面(2)取 中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，因为平面 平面 于 ，所
以 平面 ，故 是 在平面 内的投影.所以 是 与平面 所成角.因为四边
形 中， ，所以四边形 是直角梯形，又 ，设 ，则
，在 中，易得 ，所以 ， ，又
因为 ，所以 是等腰直角三角形， .所以
，故在 中，
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， ， ， 平面ABCD，
，M为PC的中点.(1)求证： 平面PAD；
(2)设点N在平面PAD内，且 平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】(1)取PD的中点E，连接EM，AE，则 且 ，
而 ， ，则 ，又 ，
所以 ， ，从而四边形ABME是平行四边形，故 .
因为 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD.
(2)
当N为AE的中点时， 面PBD，理由如下：
（法一） 面ABCD， 面ABCD，
，又 ， ， 平面PAD，
所以 面PAD，而 面PAD，则 ，
又 ，E是PD的中点，即 ，
而 ， 面ABME，
所以 面ABME，在面ABME中作 交AE于点N，所以 ，又 ， 面PBD，
所以 面PBD，易知： ，而 ， ，
，即 ，而 ，
N为AE的中点时， 面PBD.
作 于G，则 面 ， 是BN与平面ABCD所成角，
因为 ， ，
，则 .
即直线BN与平面AD所成角的正弦值为 .
（法二）易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
设 ，则 ， ， .
因为 平面PBD，故 ，可得 .
，又平面 的法向量为 ，
设BN与平面ABCD所成角为 ，则 .
即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为 .
3．（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，已知三棱台 中，点 在平面 内的射影D在
上， ， ， ，M，N分别为 、 的中点．
(1)证明：直线 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：连接 ，因为 ， 分别为 、 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，故直线 平面 .(2)
由（1）知，只需要求直线 与平面 所成角的大小，
过 作 交 于 ，连 ， ，所以 ，所以四点 、 、 、 共面，
因为在三棱台 中， ，因为 ，所以 ，所以 ，
因为点 在平面 内的射影D在 上，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，因为 ，且 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
在直角三角形 中， ， ，所以 ， ，
在直角三角形 中， ，则 ，
过 作 交 延长线于点 ，连接 ，同样可证 平面 ，
且 ， ，所以 ，
所以 到平面 的距离等于 ，故 即为所求，
在 中， ，故 ，
即直线 与平面 所成角的大小为 ，从而直线 与平面 所成角的大小 .
考点三 二面角
【例3-1】（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）四面体 中， ，则
二面角 的平面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点A作 交 于点M，过点M作 交 于点N，如图，则 是二面角 的平面角，设 ，则 ，
在 和 中，由余弦定理，
，
所以 ，
故选：C
【例3-2】．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别是
的中点，G是 的重心，将 沿 折起，使点A到达点P的位置，点P在平面 的
射影为点G．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)连接 ，因 是等边三角形， 是 的中点， 是 的重心，所以 在 上， ，
又点 在平面 的射影为点 ，即 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
(2)
过点 作 ，连接 ，与 ， 分别交于点 ，点 .因为 分别是 ， 的中点，所以
，
所以 ， 是平面 与平面 的交线.由 是等边三角形， 是 的重心，
知点 ，点 分别是线段 ， 的中点. 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， ，则 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，于是 ， ， 为平面 与平面 所成二面角的平面角.
由等边三角形 的边长为 ，可得 ， ， ， ，
，在 中，由余弦定理，得 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .【一隅三反】
1．（2022·广东广州·三模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)
作 于 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 平
面 ，
又 平面 ，则 ，又因为 平面 ， 平面 ，则 ，又 平
面 ，
，则 平面 ；
(2)作 于 ，作 于 ，连接 ，由（1）知 平面 ， 平面 ，则
，
又 面 ， ，则 面 ，又 面 ，则 ，则 即为二
面角 的平面角.又 平面 ，则 ，不妨设 ，则 ，
，又由（1）知 平面 ，
平面 ，则 ，则 ， 平面 ， 平面 ，则 ，则 ，
，则 ，则 ，即二面角 为 .
2．（2022·湖南）如图，在三棱锥 中， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）∵ ，∴ ，又 ， 平面 ，∴
平面 ，又 平面 ，∴ ，又 ， ， 平面 ，∴
平面 ，又 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ，则 ，由（1）知平面 平面 ，平面 平面
， 平面 ，∴ 平面 ．又 平面 .所以 .作 ，垂足为点
，连接 ，因为 , 平面 .所以 平面 .又 平面 则
，则 为二面角 的平面角．设 ，则
．由题意得 ， 中，
，∴二面角 的平面角的正弦值为 .
3．（2022·江苏·如皋市第一中学）已知矩形 ，E，F分别是线段 中点， 底面
．(1)若棱 上一点G满足 ，求证： 面 ；
(2)若 ，求二面角 的正切值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：作 为 的中点，在 上取 点，使点 满足 ，连接 、 、 、
； 是 的中点， 在梯形 中， ， ， ， ，
， ， 在 中， ， ， 且 ， 四边形 为
平行四边形， ， 面 ， 面 ， 面 ．
（2）解：因为 ， ，所以 ，又 为 的中点，所以 ，又
为矩形，所以 、 为等腰直角三角形，所以 ，，所以 ，即 ，又 底面 ， 底面 ，所
以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以
，所以 为二面角 的平面角，所以 ，即二面角
的正切值为 .
