7.4几何法求空间角（精讲）（基础版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）

7.4 几何法求空间角（精讲）（基础版） 思维导图考点呈现 例题剖析 考点一 线线角 【例1】（2022·全国·模拟预测）已知正方体中 ，E，G分别为 ， 的中点，则直 线 ，CE所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 取AB的中点F，连接EF，CF，易知 ，则∠ECF（或其补角）为直线 与CE所成角．不妨设，则 ， ， ，由余弦定理得 ，即直线 与CE 所成角的余弦值为 ．故选：C． 【一隅三反】 1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是 的中点，则异面直线 与 所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取 的中点 ，连接 ， ， ， ， 由正方体的性质可知 且 ，所以 为平行四边形， 所以 ， 所以异面直线 与 所成的角的平面角为 ， 又 ，则 ， ， 则 ， 所以 ， 故选：C． 2．（2022·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为 ，母线长为4，点C是底面直径AB所 对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设底面圆心为O，连接PO，OC，取PO的中点E，连接DE，CE，则 ， 且 ，所以 为AB与CD所成的角（或其补角）. 由题意知 ， ，所以 ，所以 . 由题意知 ， ， ，AB， 平面POB， 所以 平面POB.又 平面POC，所以平面 平面POB， 又平面 平面 ， 平面POB且 ， 所以 平面POC，因为 平面POC， 所以 .又 ，所以 ， 所以 . 故选:B.3．（2022·黑龙江）如图，在正三棱柱ABC﹣ABC 中，AB=AA=2，M、N分别是BB 和BC 的中点，则 1 1 1 1 1 1 1 直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作 的中点 ，连接 ，作 的中点 ，连接 、 , 即 为异面直线AM与CN所成的角， 由已知条件得 ，则 , , 由余弦定理得 , 在△ 中，有余弦定理可知 , 即 ,解得 ， 故选：D.考点二 线面角 【例2-1】（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知正四棱锥 底面边长为2，侧棱长为4， 为侧棱 中点，则直线 与底面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作 底面 与于 ，连接 .因为正四棱锥 底面边长为2，故 ，又侧 棱长为4，故 .又 为侧棱 中点，故 到底面 的距离为 .又 ,由余弦定理有 ,故直线 与底面 所成角的正弦值为故选：D 【例2-2】（2022·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台 中， 平面 ， ， ， ，则 与平面 所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将棱台补全为如下棱锥 ， 由 ， ， ，易知： ， ， 由 平面 ， 平面 ，则 ， ，所以 ， ，故 ， 所以 ，若 到面 的距离为h，又 ， 则 ，可得 ， 综上， 与平面 所成角 ，则 ，即 .故选：A 【一隅三反】 1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝ AB，E是BP的中点． (1)求证：EC∥平面APD； (2)求BP与平面ABCD所成角的正切值； 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)如图，取 中点 ，连接 .因为 是 的中点，所以 ，又 ，故 ，所以四边形 是平行四边形，故 ，又因为 平面 ， 平面 ，所 以 ∥平面(2)取 中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，因为平面 平面 于 ，所 以 平面 ，故 是 在平面 内的投影.所以 是 与平面 所成角.因为四边 形 中， ，所以四边形 是直角梯形，又 ，设 ，则 ，在 中，易得 ，所以 ， ，又 因为 ，所以 是等腰直角三角形， .所以 ，故在 中， 2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， ， ， 平面ABCD， ，M为PC的中点.(1)求证： 平面PAD； (2)设点N在平面PAD内，且 平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】(1)取PD的中点E，连接EM，AE，则 且 ， 而 ， ，则 ，又 ， 所以 ， ，从而四边形ABME是平行四边形，故 . 因为 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD. (2) 当N为AE的中点时， 面PBD，理由如下： （法一） 面ABCD， 面ABCD， ，又 ， ， 平面PAD， 所以 面PAD，而 面PAD，则 ， 又 ，E是PD的中点，即 ， 而 ， 面ABME， 所以 面ABME，在面ABME中作 交AE于点N，所以 ，又 ， 面PBD， 所以 面PBD，易知： ，而 ， ， ，即 ，而 ， N为AE的中点时， 面PBD. 作 于G，则 面 ， 是BN与平面ABCD所成角， 因为 ， ， ，则 . 即直线BN与平面AD所成角的正弦值为 . （法二）易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴， 建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1). 设 ，则 ， ， . 因为 平面PBD，故 ，可得 . ，又平面 的法向量为 ， 设BN与平面ABCD所成角为 ，则 . 即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为 . 3．（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，已知三棱台 中，点 在平面 内的射影D在 上， ， ， ，M，N分别为 、 的中点． (1)证明：直线 平面 ； (2)若 ，求直线 与平面 所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)证明：连接 ，因为 ， 分别为 、 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，故直线 平面 .(2) 由（1）知，只需要求直线 与平面 所成角的大小， 过 作 交 于 ，连 ， ，所以 ，所以四点 、 、 、 共面， 因为在三棱台 中， ，因为 ，所以 ，所以 ， 因为点 在平面 内的射影D在 上，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ，因为 ，且 平面 ， 所以 平面 ，即 平面 ， 在直角三角形 中， ， ，所以 ， ， 在直角三角形 中， ，则 ， 过 作 交 延长线于点 ，连接 ，同样可证 平面 ， 且 ， ，所以 ， 所以 到平面 的距离等于 ，故 即为所求， 在 中， ，故 ， 即直线 与平面 所成角的大小为 ，从而直线 与平面 所成角的大小 . 考点三 二面角 【例3-1】（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）四面体 中， ，则 二面角 的平面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点A作 交 于点M，过点M作 交 于点N，如图，则 是二面角 的平面角，设 ，则 ， 在 和 中，由余弦定理， ， 所以 ， 故选：C 【例3-2】．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别是 的中点，G是 的重心，将 沿 折起，使点A到达点P的位置，点P在平面 的 射影为点G． (1)证明： ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】(1)连接 ，因 是等边三角形， 是 的中点， 是 的重心，所以 在 上， ， 又点 在平面 的射影为点 ，即 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 . (2) 过点 作 ，连接 ，与 ， 分别交于点 ，点 .因为 分别是 ， 的中点，所以 ， 所以 ， 是平面 与平面 的交线.由 是等边三角形， 是 的重心， 知点 ，点 分别是线段 ， 的中点. 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ， 平面 ， ，则 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，于是 ， ， 为平面 与平面 所成二面角的平面角. 由等边三角形 的边长为 ，可得 ， ， ， ， ，在 中，由余弦定理，得 ， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .【一隅三反】 1．（2022·广东广州·三模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 平面 . (1)求证： 平面 ； (2)若 ，求二面角 的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】(1) 作 于 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 平 面 ， 又 平面 ，则 ，又因为 平面 ， 平面 ，则 ，又 平 面 ， ，则 平面 ； (2)作 于 ，作 于 ，连接 ，由（1）知 平面 ， 平面 ，则 ， 又 面 ， ，则 面 ，又 面 ，则 ，则 即为二 面角 的平面角.又 平面 ，则 ，不妨设 ，则 ， ，又由（1）知 平面 ， 平面 ，则 ，则 ， 平面 ， 平面 ，则 ，则 ， ，则 ，则 ，即二面角 为 . 2．（2022·湖南）如图，在三棱锥 中， . (1)证明：平面 平面 ； (2)求二面角 的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）∵ ，∴ ，又 ， 平面 ，∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ，又 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，又 平面 ，∴平面 ⊥平面 ． （2）取 的中点 ，连接 ，则 ，由（1）知平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．又 平面 .所以 .作 ，垂足为点 ，连接 ，因为 , 平面 .所以 平面 .又 平面 则 ，则 为二面角 的平面角．设 ，则 ．由题意得 ， 中， ，∴二面角 的平面角的正弦值为 . 3．（2022·江苏·如皋市第一中学）已知矩形 ，E，F分别是线段 中点， 底面 ．(1)若棱 上一点G满足 ，求证： 面 ； (2)若 ，求二面角 的正切值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明：作 为 的中点，在 上取 点，使点 满足 ，连接 、 、 、 ； 是 的中点， 在梯形 中， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 且 ， 四边形 为 平行四边形， ， 面 ， 面 ， 面 ． （2）解：因为 ， ，所以 ，又 为 的中点，所以 ，又 为矩形，所以 、 为等腰直角三角形，所以 ，，所以 ，即 ，又 底面 ， 底面 ，所 以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角，所以 ，即二面角 的正切值为 .