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8.3 值域（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 直接型
【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．
函数 的值域为 ， ，故排除 ； 函数 的值域为 ，故排除 ；
函数 的值域为 ，故 满足条件；函数 的值域为 ， ，故排除 ，
故选： ．
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中是偶函数，且值域为 的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD【解析】由题意可得 是奇函数，故排除选项B； 是偶函数，但值域为 ，
故排除选项C； 和 都是偶函数，且值域均为 .故选：AD.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，当 时， ，又 ，
所以 ， ，即 所以 ，故选：D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）下列函数中，函数值域为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于选项 ，函数 的值域为 ，所以选项 错误；
对于选项 ，函数 ，所以函数的值域为 ，所以选项 正确；
对于选项 函数 的值域为 ,所以选项 错误；
对于选项 ，函数 的值域为 ，所以选项 错误.故选：B
3．（2022·河南·模拟预测（文））下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】A. ，最小值为5，故错误；
B. 令 ，则 在 上递减，其最小值为10，故错误；
C. ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故正确；
D. 当 时， ，显然不成立，故错误；
故选：C
考点二 换元型
【例2】（2022·黑龙江）求函数 的值域______．
【答案】
【解析】令 ，则 ，所以 ．又 ，所以 ，即函数
的值域是 ．故答案为： .
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为___________．
【答案】
【解析】因为 ，令 ，则 ，则 ，所以 ，
，所以 在 上单调递增，所以 ，即 的值域为 ；
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最大值是___．
【答案】【解析】由题意，函数 ，令 ，则 ，所以 ，
根据二次函数的性质，可得当 时， ，即函数 的最大值为 .故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为________．
【答案】
【解析】由 可得 ，即函数的定义域为 所以设 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的值域为 ，
故答案为： .
考点三 分离常数型
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
又 ，所以函数 的值域为 故选：A
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数 的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设 ，则有 ，
当 时，代入原式，解得 ．
当 时， ，
由 ，解得 ，于是 的最大值为 ，最小值为 ，
所以函数 的最大值与最小值的和为 ．
故选：B.
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
因为
，
所以函数 的值域为 .故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数 的值域（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】依题意， ，其中 的值域为
，故函数 的值域为 ，故选D．
2．（2022·全国·高一专题练习）求函数 的值域.
【答案】 .
【解析】 ，
因 ，即 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，于是得 ，
所以原函数的值域为 .
3．（2022·全国·高三专题练习）求函数 的值域.
【答案】
【解析】因为 ，又 ，
所以 ，所以函数 的值域为 .
考点四 已知值域求参数
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，又函数 的值域为R，
则 ，解得 ．故选：C．
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的值域为 ，则实数m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时 时 ，
函数 的部分图象及在 上的的图象如图所示.
所以为使函数 在 上的值域为 ，实数m的取值范围是 ，
故选：B.
【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域和值域都是 ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
【答案】B
【解析】因为函数 在 上为增函数，且定义域和值域都是 ，
所以 ， ，解得 或 （舍），
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 时， ，
又 的值域为 ，则 时， 的值域包含 ，
，解得： .故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
当 时， 在 上单调递增，所以 ，此时 ，
当 时，由 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为 在 上单调递增，
若 的值域为 ，则有 ，即 ，则 ，
综上， ，
所以实数 的取值范围为
故选：A.
