文档内容
3.6 三角函数的专题综合运用（精讲）（基础版）
考点呈现
例题剖析
考点一 正余弦定理的实际应用
【例1】（2022·甘肃平凉·二模）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落
霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为 ，此人往膝
王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为 ，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人
的身高）（参考数据： ）
A．49米 B．51米 C．54米 D．57米
【答案】D
【解析】设滕王阁的高度为 ，由题设知： ，所以 ，则 ，又 ，可得 米.
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·四川泸州·二模）如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高
度为10000 ，速度为50 .某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶
的海拔高度大约为（ ， ）（ ）
A．7350 B．2650 C．3650 D．4650
【答案】B
【解析】如图，设飞机的初始位置为点 ，经过420s后的位置为点 ，山顶为点 ，作 于点 ，
则 ，所以 ，
在 中， ，由正弦定理得 ，
则 ，
因为 所以 ，
所以山顶的海拔高度大约为 .故选：B.
2．（2022·四川）某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾
斜角为15°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过点D作 ，交BC于E，
因为 ，所以 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
在 中，由正弦定理，得 ，
在 中， ，故山高度约为 ．
故选：B.
3（2022·河南·鹤壁）魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统
的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此
法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等
高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表
却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）A．60米 B．61米 C．62米 D．63米
【答案】D
【解析】根据题意， ， ，所以 ，解得 ．
故选：D.
考点二 正余弦定理的几何应用
【例2】（2021·湖南·高考真题）如图，在 中， ，点D在BC边上，且 ， ，
（1）求AC的长；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，（2） ，所以 ，又由题意可得 ，
【一隅三反】
1．（2021·全国·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边
上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①
在 中， ．②由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
则 ．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，
所以 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））已知角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆
交于点 ，将射线 按逆时针方向旋转 后与单位圆 交于点 ， .
(1)若角 为锐角，求 的取值范围；(2)在 中， 分别是角 的对边，若 ， 的面积为 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由三角函数定义知，
由角 为锐角知， ∴
∴ ∴ 的取值范围是
(2)由 得 ∵ ∴
由 得 ，由余弦定理得：
.
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
．
(1)求角A的大小；
(2)设b＝c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN＝6，CN＝3，
求四边形ABNC面积的最大值．【答案】(1) (2)
【解析】(1) ．由正弦定理得 ，∵sinC≠0，
∴ ，
即 ．∴ ，即 ．
∵0
