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3.6 三角函数的专题综合运用（精讲）（基础版）
考点呈现
例题剖析
考点一 正余弦定理的实际应用
【例1】（2022·甘肃平凉·二模）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落
霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为 ，此人往膝
王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为 ，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人
的身高）（参考数据： ）
A．49米 B．51米 C．54米 D．57米
【答案】D
【解析】设滕王阁的高度为 ，由题设知： ，所以 ，则 ，又 ，可得 米.
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·四川泸州·二模）如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高
度为10000 ，速度为50 .某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶
的海拔高度大约为（ ， ）（ ）
A．7350 B．2650 C．3650 D．4650
【答案】B
【解析】如图，设飞机的初始位置为点 ，经过420s后的位置为点 ，山顶为点 ，作 于点 ，
则 ，所以 ，
在 中， ，由正弦定理得 ，
则 ，
因为 所以 ，
所以山顶的海拔高度大约为 .故选：B.
2．（2022·四川）某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾
斜角为15°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过点D作 ，交BC于E，
因为 ，所以 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
在 中，由正弦定理，得 ，
在 中， ，故山高度约为 ．
故选：B.
3（2022·河南·鹤壁）魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统
的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此
法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等
高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表
却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）A．60米 B．61米 C．62米 D．63米
【答案】D
【解析】根据题意， ， ，所以 ，解得 ．
故选：D.
考点二 正余弦定理的几何应用
【例2】（2021·湖南·高考真题）如图，在 中， ，点D在BC边上，且 ， ，
（1）求AC的长；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，（2） ，所以 ，又由题意可得 ，
【一隅三反】
1．（2021·全国·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边
上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①
在 中， ．②由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
则 ．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，
所以 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））已知角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆
交于点 ，将射线 按逆时针方向旋转 后与单位圆 交于点 ， .
(1)若角 为锐角，求 的取值范围；(2)在 中， 分别是角 的对边，若 ， 的面积为 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由三角函数定义知，
由角 为锐角知， ∴
∴ ∴ 的取值范围是
(2)由 得 ∵ ∴
由 得 ，由余弦定理得：
.
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
．
(1)求角A的大小；
(2)设b＝c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN＝6，CN＝3，
求四边形ABNC面积的最大值．【答案】(1) (2)
【解析】(1) ．由正弦定理得 ，∵sinC≠0，
∴ ，
即 ．∴ ，即 ．
∵0<A<π，∴ ．∴ ，即 ．
(2)在△BCN中，由余弦定理得 ，∵BN＝6，CN＝3，
∴
由（1）和b＝c，得△ABC是等腰直角三角形，于是 ，
∴四边形ABCD的面积
∴当 时，S取最大值 ，
即四边形ABCD的面积的最大值是 ．
考点三 三角函数与正余弦定理
【例3】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的周期及对称轴:(2)在锐角 中， 分别是角 的对边.若 ，求 的面积.
【答案】(1)周期为 ，对称轴为 ， .(2)
【解析】（1） ，
，∴ .
由 得： ，故函数 的对称轴为 ， .
（2） ，得 ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，.
由余弦定理可得 .
所以 ，∴ 或 .
当 时， ，舍去.
当 时，满足，所以
【一隅三反】
1．（2022·天津市宁河区芦台）在 中，角 所对边分别为 ,且
.
(1)求角 的大小;
(2)若 .
(i) 求 的值;(ii) 求 的值.
【答案】(1) (2)(i) ，(ii)
【解析】(1)由 及正弦定理，可得， ， 由余弦定理可得，
， .
(2)(i) 及正弦定理，可得，
，即
(ii)因为 ，且 可得 为锐角，
所以 ,
，
，
由（1），知 ，所以
2．（2022·重庆·二模）已知角 ， （ ， ）的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半
轴重合，点 ， 分别在角 ， 的终边上.
(1)设函数 ， ，求函数 的值域；
(2)若点 在角 的终边上，且线段 的长度为 ，求 的面积.【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵ 的终边过点 ，∴ ， .
∵ ，∴ .则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即 的值域是 .
(2)∵ 的终边过点 ，∴ ， .
∵ ，∴ ，∴ .
由余弦定理可得， ，
∴ ，解得 .∵ ，∴ 为 的中点，
∴则 的面积
3．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数 ，其中 ，
．
(1)求 的单调增区间；
(2)在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，求 的值．
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)令 ，得 ，
所以 的单调增区间为 ， ．
(2)∵ ，∴ ，
又 ， ∴ ，∴
∵ ，∴ ．
∴
考点四 最值问题
【例4-1】（2022·宁夏·银川二中一模（理））在 中， 分别为内角 的对边，若
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：由 及正弦定理得： ，又
，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，(2)解：由正弦定理可得 ，所以 ， ，
所以 的周长
，
因为 ，所以 ，所以
所以 ，即 ，所以 周长的取值范围为 ．
【例4-2】（2022·江西九江·二模）在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角B；
(2)若D为AC的中点，且 ，求 ABC面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：因为 ，所以 即
，
由余弦定理，得 ∵ ，∴ ∵ ，∴ ；
(2)解法一：∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，当且仅当 时取等号，
故 ABC面积的最大值为 ；
解法二：在 ABD中，由余弦定理，得 ，
即 ①
在 CBD中，由余弦定理，得 ，
即
∵ ，
∴ ②
①+②得 ③
在 ABC中，由余弦定理，得 ，即 ，
代入③中，整理得 ，
∵ ，∴
∴ ，当且仅当 时取等号
故 ABC面积的最大值为4
解法三：如图，过C作AB的平行线交BD的延长线于点E，
∵ ，D为AC的中点，
∴ ， ， ， ，
在 BCE中，由余弦定理，得 ，
即 ，整理得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号
故 ABC面积的最大值为4 .
【一隅三反】
1．（2022·四川·仁寿一中二模（理））在① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，
并解答问题.问题：在△ 中，角 的对边分别为 ，且___________
(1)求角B的大小；
(2) ，求△ 周长的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)若选①：在△ABC中，因为 ，
故由 可得 ，
由正弦定理得： ，即 ，
则 ，又 ，故 .
若选②： ，
则 ，故 ，
，则 ，
解得 .
若选③：由 及正弦定理， ，
又 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，
又 ，得 .
综上所述：选择①②③，都有 .
(2)
根据（1）中所求， ，又 ，
故由余弦定理可得
则 ，即 ，当且仅当 时取得等号，又 ，
△ 周长的取值范围为 .
2．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
(2)若 ，A为 的最小角，求 周长的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由正弦定理可得 ，
又因为 ，得 ，则 ．
因为 ，得 ，
因为 ，所以 ．
(2)由（1）知 ，又 ，所以 ．
由正弦定理 ，得 ，
则 ， ，
则
．
由 ，得 ，可得 ．
故 周长的取值范围为 ．3．（2022·江西·二模）在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知①
，② ，③ ，从这三
个条件中任选一个，回答下列问题，
(1)求角C；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)若选①，由 ，得 ，即 ，
∴ ．
又∵锐角 ，∴ ，∴ ．
若选②，由 ， ，
∴ ，∴ ．
又∵锐角 ，∴ ，∴ ．
若选③，∵ ，
由正弦定理，得 ，
即 ，由余弦定理，得 ．
又∵锐角 ，∴ ，∴ ．(2)
由正弦定理 ，得 ．
∴
．
∵锐角 ，∴ 且 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 面积的取值范围为
